ロナルド・グラハム
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ロナルド・グラハム
1998年のグラハム
生まれる
ロナルド・ルイス・グラハム
（1935年10月31日）1935年10月31日
タフト、カリフォルニア州、米国
死亡2020年7月6日（2020年7月6日）（享年84歳）
サンディエゴ、カリフォルニア州、米国
母校
知られている
配偶者
​
（ 1983年生まれ） 
受賞歴
科学者としてのキャリア
フィールド
機関
論文有理数の有限和について （1962年）
博士課程の指導教員デリック・ヘンリー・レーマー

ロナルド・ルイス・グラハム（1935年10月31日 - 2020年7月6日）[ 1 ]はアメリカの数学者であり、アメリカ数学会によって「近年の離散数学の世界的な急速な発展を支えた主要な設計者の一人」と称えられている。 [ 2 ] 彼はアメリカ数学会とアメリカ数学会の両方の会長を務め、生涯功績に対してリロイ・P・スティール賞を授与され、米国科学アカデミーに選出された。

カリフォルニア大学バークレー校大学院課程を修了後、グラハムは長年ベル研究所、その後カリフォルニア大学サンディエゴ校で勤務しました。彼はスケジューリング理論、計算幾何学、ラムゼー理論、準ランダム性[ 3 ]において重要な研究を行い、数学の多くの分野に彼の名が付けられています。彼は6冊の著書と約400本の論文を出版し、200人近くの共著者を抱え、その中には妻のファン・チュンやポール・エルデシュとの共同研究も数多く含まれています。

グラハムは「世界屈指の数学者」であるだけでなく、優れたトランポリン奏者でありジャグラーでもあることから、『リプリーの信じられない事実』で取り上げられたことがある。彼は国際ジャグラー協会の会長を務めた。[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]

バイオグラフィー

グラハムは1935年10月31日、カリフォルニア州タフトで生まれた。 [ 6 ]父親は油田労働者で後に商船員となった。後に体操に興味を持つようになったが、小柄で運動神経は良くなかった。[ 7 ]幼少期はカリフォルニア州とジョージア州を頻繁に転々とし、その間に数学年を飛び級し、どの学校にも1年以上留まったことはなかった。[ 1 ] [ 7 ] 10代の頃、離婚した母親とともにフロリダ州に移り、高校に進学したが卒業しなかった。その代わり、15歳の時、フォード財団の奨学金を得てシカゴ大学に入学し、体操を学んだが数学の授業は取らなかった。[ 1 ]

3年後、奨学金の期限が切れると、カリフォルニア大学バークレー校に移り、正式には電気工学の学生であったが、D・H・レーマーの下で数論も学び、[ 1 ]カリフォルニア州トランポリンチャンピオンのタイトルを獲得した。[ 7 ] 1955年に入隊適格年齢に達したため、米国空軍に入隊し、 [ 8 ]学位を取得せずにバークレーを離れ、アラスカ州フェアバンクスに駐留し、1959年にアラスカ大学フェアバンクス校で物理学の学士号を取得した。[ 1 ]大学院での研究のためにバークレーに戻り、1962年に数学の博士号を取得した。レーマーの指導を受けた学位論文は、「有理数の有限和について」であった。[ 9 ]大学院生の頃、彼はサーカスのトランポリンで演技して生計を立て、[ 8 ]バークレー校で数学を学んでいたナンシー・ヤングと結婚し、2人の子供をもうけた。[ 1 ]

ロナルド・グラハム、妻ファン・チュン、ポール・エルデス、日本、1986年

博士号を取得後、グラハムは1962年にベル研究所で働き、その後AT&T研究所で情報科学部長として勤務した。いずれもニュージャージー州にあった。1963年、コロラド州での会議で、グラハムはハンガリーの数学者ポール・エルデシュ(1913-1996) [ 1 ]と出会い、エルデシュとは親しい友人となり、頻繁に共同研究するようになった。グラハムは、当時既に中年であったエルデシュに卓球で負けて悔しかったが、ニュージャージーに戻って腕を磨く決意を固め、最終的にベル研究所のチャンピオンになり、州の試合で優勝した。 [ 1 ]グラハムは後に、数学者の共同研究ネットワーク内でのエルデシュからの距離を測る尺度であるエルデシュ数の概念を普及させた。 [ 10 ] [ 8 ]エルデシュとの共著としては、未解決問題に関する2冊の本[B1] [B5]とエルデシュの死後に出版された最後の論文[A15]がある。グラハムは1970年代に離婚したが、1983年にベル研究所の同僚で共著者でもあるファン・チュンと結婚した。[ 1 ]

ベル研究所にいる間、グラハムは1986年にラトガース大学の数学科学教授に就任し、1993年から1994年までアメリカ数学会の会長を務めました。彼は1995年に研究所の主任科学者になりました。[ 1 ]彼は37年間の勤務を経て1999年にAT&Tを退職し、[ 11 ]カリフォルニア大学サンディエゴ校（UCSD）のコンピューターおよび情報科学のアーウィン・アンド・ジョーン・ジェイコブス寄付講座教授に就任しました。 [ 1 ] [ 8 ] UCSDでは、カリフォルニア電気通信情報技術研究所の主任科学者も務めました。[ 8 ] [ 5 ] 2003年から2004年にかけて、彼はアメリカ数学会の会長を務めました。[ 1 ]

グラハムは2020年7月6日、カリフォルニア州ラホヤで気管支拡張症[ 12 ]のため84歳で亡くなった。[ 6 ] [ 13 ]

貢献

グラハムは数学と理論計算機科学の複数の分野で重要な貢献を果たした。約400本の論文（その4分の1はチャンとの共著）[ 14 ]と6冊の著書を出版しており、その中にはドナルド・クヌースとオーレン・パタシュニクとの共著『Concrete Mathematics』[B4]も含まれる。エルデシュ数プロジェクトは、彼の共著者数を200人近くとしている[ 15 ] 。彼はベル研究所在籍中にニューヨーク市立大学とラトガース大学でそれぞれ1人ずつ、カリフォルニア大学サンディエゴ校で7人の計9人の博士課程の指導教官を務めた[ 9 ] 。

グラハムにちなんで名付けられた数学における著名なテーマとしては、エジプト分数に関するエルデシュ・グラハム問題、ラムゼーのパラメータ語理論におけるグラハム・ロスチャイルド定理とそこから導かれるグラハム数、グラフ理論におけるグラハム・ポラック定理とグラハムのペブリング予想、近似スケジューリングとグラフ描画のためのコフマン・グラハムアルゴリズム、凸包のためのグラハムスキャンアルゴリズムなどが挙げられる。また、彼は素数自由列、ブール・ピタゴラス三倍問題、最大小多角形、正方形への正方形詰めの研究も始めた。

グラハムは、メンバーの頭文字にちなんで名付けられた匿名の数学共同研究グループ、GWペックの出版物の寄稿者の一人であり、グラハムは「G」と呼ばれていました。 [ 16 ]グラハムはまた、トム・オッダという匿名の名でエルデシュ数に関する論文を執筆しました。[ 17 ] [ 18 ]

数論

グラハムの博士論文は数論分野で、エジプト分数に関するものでした。[ 7 ] [ 9 ]また、整数を有限個のクラスに分割するすべての場合において、これらのクラスのいずれかに逆数の和が1になる有限サブクラスが存在するかどうかに関するエルデシュ・グラハム問題もこの論文に含まれています。証明はアーニー・クルートによって2003年に発表されました。 [ 19 ]グラハムのエジプト分数に関する別の論文は、スティーブ・バトラーと（死後約20年経って）エルデシュと共著で2015年に発表されました。これはエルデシュの最後の論文であり、バトラーはエルデシュの512番目の共著者となりました。[A15] [ 20 ]

1964年の論文で、グラハムは、フィボナッチ数列と同じ再帰関係で定義され、その数列の要素のいずれも素数ではない数列が存在することを観察することで、素数のない数列の研究を始めました。[A64]このような数列をさらに構築するという課題は、後にドナルド・クヌースらによって引き継がれました。[ 21 ]グラハムが1980年にエルデシュと共著した『組合せ数論における新旧の結果』は、数論の広範な分野における未解決問題を集大成しています。 [B1]

ラムゼイ理論

ラムゼー理論におけるグラハム・ロスチャイルドの定理は、 1971年にグラハムとブルース・ロスチャイルドによって発表され、ラムゼー理論を単語の組合せ論における組合せ立方体に適用したものである。[A71a]グラハムはこの定理の一例として、上限として大きな数を与えた。これは現在グラハム数として知られ、数学的証明で使用された最大の数としてギネスブックに掲載されているが[ 22 ] 、その後、TREE(3)などのさらに大きな数に上回られている。[ 23 ]

グラハムはラムゼー理論のもう一つの問題であるブール・ピタゴラス三倍問題を解くことに対して賞金を提示し、その賞金は2016年に請求された。[ 24 ] グラハムはラムゼー理論に関する2冊の本も出版した。[B2] [B3]

グラフ理論

グラハム・ポラック定理に従って、完全グラフ の辺を5つの完全二部グラフに分割するK6{\displaystyle K_{6}}

グラハムがヘンリー・O・ポラックと1971年と1972年に2本の論文で発表したグラハム・ポラック定理[ A71b] [A72a]は、 -頂点完全グラフの辺が完全二部部分グラフに分割される場合、少なくとも部分グラフが必要であると述べています。グラハムとポラックは線形代数を用いた簡単な証明を提供しました。この定理の組み合わせ論的性質と、彼らの研究以来複数の代替証明が発表されているにもかかわらず、既知の証明はすべて線形代数を必要とします。[ 25 ]n{\displaystyle n}n−1{\displaystyle n-1}

アンドリュー・トーマソンの研究によって準ランダムグラフの研究が始まって間もなく、グラハムは1989年にチャンとRMウィルソンと共に「準ランダムグラフの基本定理」と呼ばれる結果を発表し、これらのグラフの多くの異なる定義は同等であると述べた。[A89a] [ 26 ]

グラハムのペブリング予想は、1989年のChungの論文[ 27 ]に登場するグラフの直積のペブリング数に関する未解決問題である[ 28 ]。

パッキング、スケジューリング、近似アルゴリズム

グラハムの初期のジョブショップスケジューリングに関する研究[A66] [A69]は、近似アルゴリズムの研究に最悪ケースの近似比を導入し、オンラインアルゴリズムの競合分析のその後の発展の基礎を築きました。[ 29 ]この研究は後にビンパッキングの理論にとっても重要であることが認識され、[ 30 ]グラハムは後にこの分野でより明確に研究を行いました。[A74]

1972年にグラハムがエドワード・G・コフマン・ジュニアと共同で発表したコフマン・グラハムアルゴリズム[A72b]は、 2台のマシンによるスケジューリングに最適なアルゴリズムと、より多くのマシンに対する近似値を保証するアルゴリズムを提供する。また、階層化グラフ描画にも応用されている[ 31 ]。

1979年に発表されたスケジューリングアルゴリズムに関する概説論文において、グラハムと共著者らは、理論的なスケジューリング問題を、問題が実行されるマシンのシステム、タスクとリソースの特性（同期や非中断の要件など）、そして最適化されるべき性能指標に基づいて分類するための3つの記号による表記法を導入した。[A79]この分類法は「グラハム表記法」または「グラハムの表記法」と呼ばれることもある。[ 32 ]

離散幾何学と計算幾何学

凸包のグラハムスキャンアルゴリズム

グラハムスキャンは、2次元点集合の凸包に対して広く使用されている実用的なアルゴリズムであり、点をソートし、ソートされた順序で凸包に挿入することに基づいています。 [ 33 ]グラハムは1972年にこのアルゴリズムを発表しました。 [A72c]

最大小多角形問題は、与えられた直径に対して面積が最大となる多角形を求める問題です。驚くべきことに、グラハムが指摘したように、答えは必ずしも正多角形ではありません。[A75a]これらの多角形の形状に関するグラハムの1975年の予想は、2007年にようやく証明されました。[ 34 ]

1975年の別の論文で、グラハムとエルデシュは、単位正方形を非整数の辺長を持つ大きな正方形に詰め込む際に、軸に沿った正方形で明らかに詰め込む場合とは異なり、傾斜した正方形を使用することで、大きな正方形の辺長に対して線形以下の被覆されていない領域を残すことができることを観察した。 [A75b]クラウス・ロスとボブ・ヴォーンは、少なくとも辺長の平方根に比例する被覆されていない領域が必要な場合があることを証明した。被覆されていない領域の厳密な上限を証明することは未解決の問題である。[ 35 ]

確率と統計

ノンパラメトリック統計学において、1977年にペルシ・ディアコニスとグラハムが発表した論文では、スピアマンのフットルールの統計的特性が研究されました。フットルールとは、 2つの順列を比較する順位相関の尺度であり、各項目について、2つの順列におけるその項目の位置間の距離を合計することで表されます。[A77] 彼らはこの尺度を他の順位相関法と比較し、「ディアコニス・グラハム不等式」を導き出しました。

私+E≤D≤2私{\displaystyle I+E\leq D\leq 2I}

ここで、はスピアマンのフットルール、は2つの順列間の反転数（ケンドール順位相関係数の非正規化バージョン）、は1つの順列から他の順列を得るために必要な2要素交換の最小数である。[ 36 ]D{\displaystyle D}私{\displaystyle I}E{\displaystyle E}

チャン・ディアコニス・グラハムランダム過程は、奇数 を法とする整数 上のランダムウォークであり、各ステップで前の数を2倍し、その後ランダムにゼロ、、または（ を法として）を加算する。1987年の論文で、チャン、ディアコニス、グラハムは、擬似乱数生成器の研究をきっかけに、この過程の混合時間を研究した。[A87] [ 37 ]p{\displaystyle p}1{\displaystyle 1}−1{\displaystyle -1}p{\displaystyle p}

ジャグリング

ロナルド・グラハムが4つのボールを使った噴水をジャグリングしている様子（1986年）

グラハムは15歳から優秀なジャグラーとなり、6個ものボールをジャグリングする練習を積んでいた。[ 4 ]（公開された写真では12個のボールをジャグリングしているが、[ 5 ]これは加工された画像である。[ 3 ]）。彼は、国際ジャグラー協会選手権で連覇を果たしたスティーブ・ミルズにジャグリングを教え、ミルズとの仕事はミルズがミルズ・メス・ジャグリングのパターンを開発するきっかけとなった。また、グラハムはジャグリング理論にも大きく貢献し、サイトスワップに関する一連の出版物も発表している。1972年、彼は国際ジャグラー協会の会長に選出された。[ 4 ]

賞と栄誉

2003年、グラハムはアメリカ数学会の年間リロイ・P・スティール生涯功労賞を受賞した。この賞は、離散数学への貢献、講演や著作を通じた数学の普及、ベル研究所でのリーダーシップ、そして学会会長としての貢献が評価された。[ 2 ]彼は、応用数学会のジョージ・ポリア賞の初代受賞者5人の1人で、ラムゼイ理論家のクラウス・レープ、ブルース・ロスチャイルド、アルフレッド・ヘイルズ、ロバート・I・ジューエットと共に受賞した。 [ 38 ]彼はまた、組合せ論およびその応用研究所のオイラー賞の初代受賞者2人の1人でもあり、もう1人はクロード・ベルジュである。[ 39 ]

グラハムは1985年に米国科学アカデミーに選出された。[ 40 ] 1999年には「アルゴリズムの解析、特にヒューリスティックスの最悪ケース解析、スケジューリング理論、計算幾何学への先駆的な貢献」によりACMフェローに選出された。 [ 41 ] 2009年には応用数学協会のフェローに就任した。このフェロー賞は「離散数学とその応用への貢献」を称えたものである。[ 42 ] 2012年にはアメリカ数学会のフェローに就任した。[ 43 ]

グラハムは1982年の国際数学者会議（1983年ワルシャワ開催）に招待講演し、 [ 13 ]「ラムゼー理論の最近の発展」について講演した。[A84]彼は2001年と2015年の二度、ジョサイヤ・ウィラード・ギブス講師を務​​めた。 [ 13 ]アメリカ数学会は、チャン 、マーティン・ガードナーと共著した「チェッカーボード上のシュタイナー木」でカール・アレンドーファー賞を、フランシス・ヤオと共著した「計算幾何学の駆け足ツアー」でレスター・R・フォード賞を、それぞれ授与した。[ A90 ] [ 45 ]ペルシ・ディアコニスと共著した著書「マジカル数学」[B6]はオイラー図書賞を受賞した。[ 46 ]

2005年のIntegers会議の議事録はロン・グラハムの70歳の誕生日を記念した記念論文集として出版された。 [ 47 ] 2015年にグラハムの80歳の誕生日を記念して開催された会議から生まれた別の記念論文集は、2018年に『Connections in discrete math: a celebration of the work of Ron Graham』という書籍として出版された。[ 48 ]

選定された出版物

本

B1.
組合せ論的数論における新旧の結果.ポール・エルデシュと共著. モノグラフ28, L'Enseignement Mathématique, 1980. [ 49 ]
B2.
ラムゼー理論.ブルース・ロスチャイルド、ジョエル・スペンサー共著. ワイリー社, 1980年; 第2版, ISBN 978-0-471-05997-4, 1990年. [ 50 ]
B3.
ラムゼー理論の基礎アメリカ数学会、1981年；スティーブ・バトラーとの共著第2版、2015年、ISBN 978-0821841563。[ 51 ]
B4.
具体数学：コンピュータサイエンスの基礎ドナルド・クヌース、オーレン・パタシュニク共著アディソン・ウェスレー、1989年；第2版、1994年、ISBN 978-0201558029. [ 52 ]
B5.
グラフ上のエルデシュ：未解決問題の遺産ファン・チュン共著AKピーターズ社、1998年、ISBN 978-1568810799 [ 53 ]
B6.
マジカル数学：素晴らしいマジックトリックを動かす数学的アイデア。ペルシ・ディアコニス共著。プリンストン大学出版局、2011年、ISBN 978-0691151649。[ 54 ]

編集された巻

V1。
組み合わせ論のハンドブック。Martin GrötschelとLászló Lovászが編集。 MIT プレス、1995 年、ISBN 978-0-262-07170-3。[ 55 ]
V2。
ポール・エルデシュの数学。ヤロスラフ・ネシェジルと共編。全2巻。シュプリンガー、1997年；第2版、2013年。[ 56 ]

記事

A64。
A66。
A69.
A71a。
A71b.
Graham, RL; Pollak, HO (1971). 「ループスイッチングにおけるアドレス指定問題について」(PDF) . Bell System Technical Journal . 50 (8): 2495– 2519. doi : 10.1002/j.1538-7305.1971.tb02618.x . MR  0289210. Zbl  0228.94020 .
A72a。
グラハム, RL;ポラック, HO (1972). 「押しつぶされた立方体へのグラフの埋め込みについて」.グラフ理論とその応用 (西ミシガン大学会議録, ミシガン州カラマズー, 1972; JWTヤングの追悼に捧げる) (PDF) . 数学講義ノート. 第303巻.  99–110頁. MR  0332576. Zbl  0251.05123 .
A72b。
A72c。
A74.
A75a。
A75b.
A77.
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A79.
A84.
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