シュワルツのリスト

数学の特殊関数の理論において、シュワルツのリストまたはシュワルツ表は、ヘルマン・シュワルツ（1873、323ページ）が見つけた、超幾何関数を代数的に表現できる15の場合のリストである。より正確には、超幾何方程式が有限モノドロミー群を持つ場合、または同値として代数関数である2つの独立した解を持つ場合を決定するパラメータのリストである。これは、モノドロミー群の同型類（巡回群の場合は除く）により分けられた15の場合をリストし、複素解析幾何学の方法を用いてシュワルツによって初めて導かれた。それに対応して、ステートメントは超幾何方程式を指定するパラメータに関して直接的ではなく、特定の球面三角形を記述するために使用される量に関してである。

複素平面上の一般的な2階微分方程式に対する表のより広い重要性は、フェリックス・クラインによって示されました。彼は、そのような方程式の有限モノドロミーと正則特異点の場合には、方程式を超幾何形式に簡約する変数変換（リーマン球面の複素解析的写像）に起因するという結果を証明しました。実際には、さらに多くのことが当てはまります。シュワルツのリストは、有限モノドロミーを持つコンパクトリーマン面上の正則特異点を持つすべての2階方程式の基礎となり、リーマン球面上の超幾何方程式から複素解析的写像を引き戻すことで、方程式のデータから計算可能な次数になります。^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

番号	$\lambda$	$\mu$	$\nu$	エリア/ $\pi$	多面体
1	1/2	1/2	p / n (≤ 1/2)	品番	二面角
2	1/2	1/3	1/3	1/6	四面体
3	2/3	1/3	1/3	2/6	四面体
4	1/2	1/3	1/4	1/12	立方体/八面体
5	2/3	1/4	1/4	2月12日	立方体/八面体
6	1/2	1/3	1/5	1/30	二十面体/十二面体
7	2/5	1/3	1/3	2月30日	二十面体/十二面体
8	2/3	1/5	1/5	2月30日	二十面体/十二面体
9	1/2	2/5	1/5	3月30日	二十面体/十二面体
10	3/5	1/3	1/5	4月30日	二十面体/十二面体
11	2/5	2/5	2/5	6月30日	二十面体/十二面体
12	2/3	1/3	1/5	6月30日	二十面体/十二面体
13	4/5	1/5	1/5	6月30日	二十面体/十二面体
14	1/2	2/5	1/3	7月30日	二十面体/十二面体
15	3/5	2/5	1/3	10月30日	二十面体/十二面体

これらの数は（順列、符号変換、および偶数との加算を除けば） 3つの特異点における超幾何微分方程式の指数の差である。これらの数が有理数となるのは、かつがであるときのみである。この点は、理論に対する幾何学的アプローチではなく算術的アプローチにおいて重要である。 $\lambda ,\mu ,\nu$ $(\ell,m,n)\in\mathbb{Z}^{3}$ $\ell +m+n$ $1-c,cab,ba$ $0,1,\infty$ $a,b$ $c$

さらなる研究

シュワルツの結果の拡張は木村毅によって与えられ、彼は超幾何方程式の微分ガロア群の恒等成分が可解群となる場合を扱った。^[³^]^[⁴^]微分ガロア群Gとモノドロミー群Γを結び付ける一般的な結果は、GがΓのザリスキ閉包であることを述べている。この定理は松田の著書の中で久我道夫に帰属している。一般微分ガロア理論によれば、結果として得られる木村・シュワルツ表は、代数関数と求積法によって方程式の可積分性の場合を分類する。

もう一つの関連するリストは、K. Takeuchiによるもので、算術群である（双曲的）三角形群を分類したものです（85例）。^[⁵^]

エミール・ピカールは、一般化された超幾何関数を用いてシュワルツの複素幾何学における研究を拡張し、モノドロミーが射影ユニタリ群PU (1, n )内の離散群となるような方程式の例を構築しようとした。ピエール・ドリーニュとジョージ・モストウは、彼のアイデアを用いて射影ユニタリ群における格子を構築した。この研究は、古典的な場合において竹内リストの有限性を回復し、彼らが構築した算術群である格子の特性評価によって、PU (1, n )における非算術格子の新しい例を提供した。^[⁶^]

バルダッサリはクラインの普遍性を応用し、シュワルツリストを用いてラメ方程式の代数解を議論した。 ^{[ 7 ]}

シュワルツのリストにあるような代数的に表現できる他の超幾何関数は、理論物理学において2次元ゲージ理論の変形の文脈で生じる。^[⁸^] $T{\overline {T}}$

参照

シュワルツの三角形

注記

^現代的な扱いについては、 Baldassarri, F.; Dwork, B. (1979). "On second order linear different equations with algebraic solutions". American Journal of Mathematics . 101 (1): 42– 76. doi : 10.2307/2373938 . JSTOR 2373938 . MR 0527825 .。
^ Baldassari、F. (1986–1987)。「楕円曲線上の分割点を介したラメの微分演算子のシュワルツリストに向けて」。Groupe de travail d'analyse Ultramétrique。14 : エクスポーズ No. 22、17ページ。; 5～6ページを参照。
^木村俊夫 (1969–1970). 「求積法で解けるリーマン方程式について」(PDF) .応用数学. 12 : 269–281 . MR 0277789 .
^ Morales-Ruiz, Juan J.; Ramis, Jean Pierre (2001). 「同次ポテンシャルを持ついくつかのハミルトン系の非積分性に関する注記」 . Methods and Applications of Analysis . 8 (1): 113– 120. doi : 10.4310/MAA.2001.v8.n1.a5 . MR 1867496 . ; 定式化については116ページを参照してください。
^竹内喜三男 (1977). 「算術三角形群」 .日本数学会誌. 29 (1): 91–106 . doi : 10.2969/jmsj/02910091 . MR 0429744 .
^ドリーニュ、ピエール;モストウ、GD (1986)。「超幾何関数のモノドロミーと非格子積分モノドロミー」(PDF)。出版物 mathématiques de l'IHÉS。63 : 5–89 .土井: 10.1007/BF02831622。S2CID 121385846。
^ F. Baldassarri,ラメの微分方程式の代数的解について, J. Differential Equations 41 (1) (1981) 44–58.ラメ方程式の代数的解の訂正の再考(PDF) , Robert S. Maier著.
^ Brennan, T. Daniel; Ferko, Christian; Sethi, Savdeep (2020). 「 TTからのDBIの非アーベル的類似体」 . SciPost Physics . 8 (4): 052. arXiv : 1912.12389 . doi : 10.21468/SciPostPhys.8.4.052 . S2CID 209515455 .

参考文献

松田道彦 (1985).超幾何微分方程式の代数的解に関する講義(PDF) . 数学講義. 第15巻. 東京: 紀伊国屋書店. MR 1104881 .
HA 州シュワルツ (1873 年)。「超幾何学的超幾何学を実現するために、代数関数を理解することができます。」数学に関するジャーナル。75 : 292–335。ISSN 0075-4102 。

外部リンク

非線形シュワルツリストに向けて（PDF）

[1] 現代的な扱いについては、 Baldassarri, F.; Dwork, B. (1979). "On second order linear different equations with algebraic solutions". American Journal of Mathematics . 101 (1): 42– 76. doi : 10.2307/2373938 . JSTOR 2373938 . MR 0527825 .。

[2] Baldassari、F. (1986–1987)。「楕円曲線上の分割点を介したラメの微分演算子のシュワルツリストに向けて」。Groupe de travail d'analyse Ultramétrique。14 : エクスポーズ No. 22、17ページ。; 5～6ページを参照。

[3] 木村俊夫 (1969–1970). 「求積法で解けるリーマン方程式について」(PDF) .応用数学. 12 : 269–281 . MR 0277789 .

[4] Morales-Ruiz, Juan J.; Ramis, Jean Pierre (2001). 「同次ポテンシャルを持ついくつかのハミルトン系の非積分性に関する注記」 . Methods and Applications of Analysis . 8 (1): 113– 120. doi : 10.4310/MAA.2001.v8.n1.a5 . MR 1867496 . ; 定式化については116ページを参照してください。

[5] 竹内喜三男 (1977). 「算術三角形群」 .日本数学会誌. 29 (1): 91–106 . doi : 10.2969/jmsj/02910091 . MR 0429744 .

[6] ドリーニュ、ピエール;モストウ、GD (1986)。「超幾何関数のモノドロミーと非格子積分モノドロミー」(PDF)。出版物 mathématiques de l'IHÉS。63 : 5–89 .土井: 10.1007/BF02831622。S2CID 121385846。

[7] F. Baldassarri,ラメの微分方程式の代数的解について, J. Differential Equations 41 (1) (1981) 44–58.ラメ方程式の代数的解の訂正の再考(PDF) , Robert S. Maier著.

[8] Brennan, T. Daniel; Ferko, Christian; Sethi, Savdeep (2020). 「 TTからのDBIの非アーベル的類似体」 . SciPost Physics . 8 (4): 052. arXiv : 1912.12389 . doi : 10.21468/SciPostPhys.8.4.052 . S2CID 209515455 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[

[

[

[

[ 7 ]

[