スコット連続性

数学において、2つの半順序集合PとQが与えられたとき、それらの間の関数f : P → Qがすべての有向上限値を保存するとき、スコット連続（数学者ダナ・スコットにちなんで名付けられました）であるという。つまり、Pに上限値を持つPのすべての有向部分集合Dに対して、その像はQに上限値を持ち、その上限値はDの上限値の像、すなわち、ここで有向結合である。[ 1 ]が真理値の半集合、すなわちシェルピンスキー空間であるとき、スコット連続関数は開集合の特性関数であり、したがってシェルピンスキー空間は開集合の分類空間である。[ 2 ]⊔f[D]＝f（⊔D）{\displaystyle \sqcup f[D]=f(\sqcup D)}⊔{\displaystyle \sqcup }Q{\displaystyle Q}

半順序集合Pの部分集合Oがスコット開集合と呼ばれるのは、それが上集合であり、かつ有向結合によってアクセス不可能な場合、すなわちOを上限とするすべての有向集合DがOと空でない交差を持つ場合である。半順序集合Pのスコット開部分集合はP上の位相、すなわちスコット位相を形成する。半順序集合間の関数がスコット連続となるのは、それがスコット位相に関して連続である場合に限る。 [ 1 ]

スコット位相は、ダナ・スコットによって最初に完全格子に対して定義され、後に任意の半順序集合に対して定義されました。[ 3 ]

スコット連続関数は、ラムダ計算[ 3 ]のモデルやコンピュータプログラムの表示的意味論の研究に使用されています。

性質

スコット連続関数は常に単調です。 つまり、に対してならば となりますA≤PB{\displaystyle A\leq _{P}B}A,B∈P{\displaystyle A,B\in P}f(A)≤Qf(B){\displaystyle f(A)\leq _{Q}f(B)}

有向完全半順序の部分集合が、その半順序によって誘導されるスコット位相に関して閉じている場合と、その部分集合が下側集合であり 、かつ有向部分集合の上限に関して閉じている場合とで同じである。[ 4 ]

スコット位相を持つ有向完全半順序（ dcpo）は常にコルモゴロフ空間である（すなわち、 T 0分離公理を満たす）。[ 4 ]しかし、スコット位相を持つdcpoがハウスドルフ空間となるのは、順序が自明な場合のみである。[ 4 ]スコット開集合は包含によって順序付けられると完全格子を形成する。[ 5 ]

任意のコルモゴロフ空間に対して、位相はその空間上に順序関係、すなわち特殊化順序: x ≤ yが成り立つ場合、かつその場合に限り、xのすべての開近傍はyの開近傍でもある。dcpo Dの順序関係は、スコット開集合からスコット位相によって誘導される特殊化順序として再構成できる。しかし、スコット位相を備えたdcpoは必ずしもソバーである必要はない。ソバー空間の位相によって誘導される特殊化順序はその空間をdcpoにするが、この順序から導かれるスコット位相は元の位相よりも細かい。[ 4 ]

例

与えられた位相空間の開集合を包含順に並べると、スコット位相を定義できる格子を形成する。位相空間Tの部分集合XがT上の位相に関してコンパクトである（ Xのすべての開被覆がXの有限部分被覆を含むという意味で）ことと、 Xの開近傍の集合がスコット位相に関して開であることは同値である。[ 5 ]

dcpoの直交閉圏であるCPOの場合、スコット連続関数の特に注目すべき2つの例はcurryとapplyである。[ 6 ]

ヌエル・ベルナップはスコット連続性を利用して論理接続詞を4値論理に拡張した。[ 7 ]

参照

脚注

  1. ^ a bスティーブン・ヴィッカース（1989年）『論理による位相』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-36062-3。
  2. ^ nラボのスコット位相幾何学
  3. ^ a bスコット、ダナ(1972). 「連続格子」.ビル・ローヴェア編. 『トポーズ、代数幾何学、論理』 . 数学講義ノート. 第274巻. シュプリンガー出版.
  4. ^ a b c d Abramsky, S.; Jung, A. (1994). 「ドメイン理論」(PDF) . Abramsky, S.; Gabbay, DM; Maibaum, TSE (編).コンピュータサイエンスにおける論理ハンドブック第3巻. オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-853762-5。
  5. ^ a b Bauer, Andrej & Taylor, Paul (2009). 「抽象ストーン双対性におけるデデキント実数」 .コンピュータサイエンスにおける数学的構造. 19 (4): 757–838 . CiteSeerX 10.1.1.424.6069 . doi : 10.1017/S0960129509007695 . S2CID 6774320. 2010年10月8日閲覧  
  6. ^ Barendregt、HP (1984)。ラムダ計算。北オランダ。ISBN 978-0-444-87508-2。（定理1.2.13、1.2.14を参照）
  7. ^ N. Belnap (1975)「コンピュータはどのように考えるべきか」、 Contemporary Aspects of Philosophy 、30～56ページ、ギルバート・ライル編、オリエル・プレスISBN 0-85362-161-6

参考文献

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