コンパクトなスペース

ハイネ・ボレルの定理で述べられているユークリッド空間のコンパクト性基準によれば、区間A = (−∞, −2]は有界ではないためコンパクトではありません。区間C = (2, 4)は閉じていない（ただし有界）ためコンパクトではありません。区間B = [0, 1]は閉じていて有界であるためコンパクトです。

数学、特に一般位相幾何学において、コンパクト性とは、ユークリッド空間の閉じた有界部分集合の概念を一般化しようとする性質である。^{[ 1 ]}その考え方は、すべての無限点列には極限値があるというものである。たとえば、実数直線はコンパクトではない。自然数列には実数の極限値がないためである。開区間(0,1) は極限値 0 と 1 を含まないためコンパクトではないが、閉区間 [0,1] はコンパクトである。同様に、有理数空間はコンパクトではない。すべての無理数はそれより小さい有理数の極限であるためである。一方、拡張された実数直線は両方の無限大を含むためコンパクトである。この発見的概念を正確にする方法は多数ある。これらの方法は、通常、計量空間では一致するが、他の位相空間では等価ではない可能性がある。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

そのような一般化の一つは、位相空間から抽出されたすべての無限点列がその空間のある点に収束する無限部分列を持つとき、その位相空間は順次コンパクトであるというものである。 ^{[ 2 ]}ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理は、ユークリッド空間の部分集合がこの順次的な意味でコンパクトであるためには、それが閉じていて有界である場合に限ると述べている。したがって、閉じた単位区間[0, 1]内の無限個の点を選択すると、それらの点のいくつかはその空間内のある実数に任意に近づく。例えば、数列 ⁠ 内のいくつかの数は、1/2⁠、⁠4/5⁠、⁠1/3⁠、⁠5/6⁠、⁠1/4⁠、⁠6/7⁠、...は0に集積します（一方、他の点は1に集積します）。0も1も開単位区間(0, 1)の要素ではないため、これらの点の集合はその区間のどの点にも集積されず、したがって開単位区間はコンパクトではありません。ユークリッド空間の部分集合（部分空間）はコンパクトになり得ますが、空間全体は有界ではないため、コンパクトではありません。例えば、（実数直線）を考えると、点の列0、1、2、3、...には、任意の実数に収束する部分列はありません。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

コンパクト性は、1906 年にモーリス・フレシェによって正式に導入され、ボルツァーノ–ワイエルシュトラスの定理を幾何学的点の空間から関数の空間へと一般化しました。アルツェラ–アスコリの定理とペアノの存在定理は、このコンパクト性の概念の古典解析への応用例です。最初の導入に続いて、一般計量空間において、逐次コンパクト性や極限点コンパクト性など、さまざまな同値なコンパクト性の概念が開発されました。^{[ 3 ]}しかし、一般位相空間では、これらのコンパクト性の概念は必ずしも同値ではありません。最も有用な概念、および無条件用語であるコンパクト性の標準的な定義は、空間の各点がその族に含まれる何らかの集合に属するという意味で空間を「カバー」する開集合の族という用語で表現されます。具体的には、コンパクト性とは、そのような族にはその空間もカバーする有限の部分族が存在するという条件です。1929年にパベル・アレクサンドロフとパベル・ウリゾーンによって導入された、より繊細な概念であるコンパクト空間は、有限集合の一般化として提示されます。この意味でコンパクトな空間では、局所的に、つまり各点の近傍において成立する情報をつなぎ合わせて、空間全体で成立する対応する命題にまとめることがしばしば可能であり、多くの定理がこのような性質を持っています。

コンパクト セットという用語は、コンパクト空間の同義語として使用されることもありますが、位相空間のコンパクト部分空間を指すこともよくあります。

歴史的発展

19 世紀には、後にコンパクト性の帰結と見なされることになるいくつかの異なる数学的性質が理解されていました。一方では、ベルナルド・ボルツァーノ( 1817 ) は、任意の有界点列 (たとえば直線や平面上) には、最終的には他の点に任意に近づく部分列 (極限点と呼ばれる) があることに気付いていました。ボルツァーノの証明は二分法に依存していました。つまり、列をある区間に配置し、それを 2 つの等しい部分に分割し、列の無限個の項を含む部分を選択します。このプロセスは、結果として得られた小さな区間をさらに小さな部分に分割することで繰り返すことができ、目的の極限点で閉じるまで続きます。ボルツァーノの定理とその証明方法の完全な重要性は、ほぼ 50 年後、カール・ワイエルシュトラスによって再発見されるまで明らかではありませんでした。^{[ 4 ]}

1880年代には、ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理と同様の結果が、単なる数や幾何学的な点ではなく、関数の空間に対しても定式化できることが明らかになりました。関数を一般化された空間の点と見なすという考え方は、ジュリオ・アスコリとチェーザレ・アルツェラの研究に遡ります。^{[ 5 ]} 彼らの研究の集大成であるアルツェラ＝アスコリの定理は、ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理を連続関数の族に一般化したものであった。その正確な結論は、適切な関数の族から一様収束する関数の列を抽出できるというものでした。この列の一様極限は、ボルツァーノの「極限点」と全く同じ役割を果たしました。20世紀初頭にかけて、アルツェラとアスコリの結果と同様の結果が、ダヴィド・ヒルベルトとエアハルト・シュミットによって研究された積分方程式の分野で蓄積され始めました。シュミットは、積分方程式の解から得られるある種のグリーン関数について、平均収束、あるいは後にヒルベルト空間と呼ばれることになる空間における収束という意味で、アルツェラ＝アスコリの定理に類似した性質が成り立つことを示した。これは最終的に、コンパクト空間という一般的な概念の派生として、コンパクト作用素という概念につながった。 1906年に、ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの性質のエッセンスを抽出し、この一般的な現象を指すのにコンパクト性という用語を作ったのはモーリス・フレシェであった（彼はこの用語を、有名な1906年のテーゼにつながった1904年の論文^{[ 6 ]}で既に使用していた）。

しかし、19 世紀末には連続体の研究から、まったく異なるコンパクト性の概念も徐々に現れてきており、これは解析学の厳密な定式化の基礎と考えられていました。 1870 年、エドゥアルト ハイネは、閉有界区間上で定義された連続関数は実際は一様連続であることを示しました。証明の過程で、彼は、その区間をより小さな開区間による可算被覆から、その区間も被覆する有限個の開区間を選択できるという補題を使用しました。この補題の重要性はエミール ボレル( 1895 年) によって認識され、ピエール クザン(1895 年) とアンリ ルベーグ( 1904 年)によって任意の区間の集合に一般化されました。現在では結果として知られているハイネ - ボレルの定理は、実数の閉有界集合が持つ別の特殊な性質です。

この特性は、集合についての局所的な情報(関数の連続性など)から集合についての大域的な情報 (関数の一様連続性など) への移行を可能にする点で重要でした。この考えはルベーグ (1904)によって表明され、彼は現在彼の名前を冠している積分の開発でもこの考えを利用しました。最終的に、ロシアの点集合位相学派が、パベル・アレクサンドロフとパベル・ウリゾーンの指導の下で、ハイネ・ボレルのコンパクト性を現代の位相空間の概念に適用できる方法で定式化しました。アレクサンドロフとウリゾーン (1929)は、現在 (相対)逐次コンパクト性と呼ばれている、フレシェによる以前のバージョンのコンパクト性は、適切な条件下では、有限部分被覆の存在に基づいて定式化されたバージョンのコンパクト性から導かれることを示しました。このコンパクト性の概念は、より強い特性であるだけでなく、空間内の開集合の構造のみに依存するため、最小限の追加技術的機構でより一般的な設定で定式化できるため、支配的な概念となりました。

基本的な例

任意の有限空間はコンパクトである。各点について、それを含む開集合を選択することで、有限部分被覆が得られる。コンパクト空間の非自明な例として、実数の（閉）単位区間[0,1]が挙げられる。単位区間内に無限個の異なる点を選択した場合、その区間内にはこれらの点の間に何らかの集積点が存在する。例えば、数列1, ⁠の奇数項は、1/2⁠、 ⁠1/3⁠、 ⁠3/4⁠、 ⁠1/5⁠、 ⁠5/6⁠、 ⁠1/7⁠、 ⁠7/8⁠、...は 0 に任意に近づきますが、偶数番目のものは 1 に任意に近づきます。与えられた例のシーケンスは、区間の境界点を含めることの重要性を示しています。なぜなら、極限点は空間自体の中になければならないからです。実数の開区間（または半開区間）はコンパクトではありません。また、区間が有界であることも重要です。区間[0,∞)では、0、1、2、3、... という点のシーケンスを選択でき、その部分シーケンスは最終的に任意の実数に任意に近づくことはありません。

二次元では、閉じた円板はコンパクトです。なぜなら、円板から無限個の点をサンプリングした場合、それらの点のサブセットは円板内の点か境界上の点のいずれかに任意に近づくからです。しかし、開いた円板はコンパクトではありません。点の列は境界に向かうかもしれませんが、内部のどの点にも任意に近づくことはないからです。同様に、球はコンパクトですが、点が欠けている球はコンパクトではありません。点の列は欠けている点に向かうかもしれませんが、空間内のどの点にも任意に近づくことはないからです。直線や平面はコンパクトではありません。なぜなら、どの方向にも等間隔の点の集合を描いても、どの点にも近づくことはないからです。

定義

一般性の程度に応じて、コンパクト性には様々な定義が適用できる。特にユークリッド空間の部分集合がコンパクトであるためには、それが閉じていて有界である必要がある。これは、ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理により、その集合の任意の無限列には、その集合内の点に収束する部分列が存在することを意味する。一般計量空間においては、逐次コンパクト性や極限点コンパクト性など、コンパクト性の様々な同等の概念を展開することができる。^{[ 3 ]}

対照的に、コンパクト性の異なる概念は一般の位相空間では同等ではなく、最も有用なコンパクト性の概念（元々は双コンパクト性と呼ばれていた）は、開集合からなる被覆を使用して定義されます（下記の開被覆の定義を参照）。この形式のコンパクト性がユークリッド空間の閉部分集合および有界部分集合に当てはまることは、ハイネ・ボレルの定理として知られています。このようにコンパクト性を定義すると、多くの場合、局所的に（空間の各点の近傍で）わかっている情報を取り、それを空間全体に渡って大域的に当てはまる情報に拡張することができます。この現象の一例は、元々ハイネによって適用されたディリクレの定理で、コンパクト区間上の連続関数は一様連続であるというものです。ここで、連続性は関数の局所的な性質であり、一様連続性は対応する大域的な性質です。

オープンカバーの定義

正式には、位相空間Xがコンパクトであるとは、 Xのすべての開被覆が有限部分被覆を持つことを意味する。^{[ 7 ]}つまり、Xがコンパクトであるとは、 Xのすべての開部分集合の集合C ^{[ 8 ]}に対して、

$${\displaystyle X=\bigcup _{S\in C}S\ ,}$$

有限部分集合F⊆Cが存在し 、

$${\displaystyle X=\bigcup _{S\in F}S\ .}$$

代数幾何学など、フランスのブルバキ学派の影響を強く受けた数学の分野では、一般的な概念として「準コンパクト」という用語を用い、 「コンパクト」という用語をハウスドルフコンパクトかつ準コンパクトである位相空間にのみ用いる。コンパクト集合は、コンパクトム（compactum、複数形はcompacta）と呼ばれることもある。

部分集合のコンパクト性

位相空間Xの部分集合Kがコンパクトであるとは、Xの任意 の開部分集合の集合Cに対して、

$${\displaystyle K\subseteq \bigcup _{S\in C}S\ ,}$$

有限部分集合F⊆Cが存在し 、

$${\displaystyle K\subseteq \bigcup _{S\in F}S\ .}$$

同様に、KがXの部分集合としてコンパクトであることと、位相空間K が部分空間位相においてコンパクトであることは同値である。特に、部分集合Yに部分空間位相が備わっている場合、K がYにおいてコンパクトであることと、K がXにおいてコンパクトであることは同値である。さらに、位相空間Xの部分集合としてのKのコンパクト性は、 K上の部分空間位相が同じである限り、埋め込みとは独立である。 ${\displaystyle K\subset Y\subset X}$

キャラクター設定

Xが位相空間である場合、以下は同値です。

1. Xはコンパクトです。つまり、Xのすべての開被覆には有限の部分被覆があります。
2. X には部分基底があり、その部分基底の元による空間のすべての被覆には有限の部分被覆がある (アレクサンダーの部分基底定理)。
3. Xはリンデレフであり可算コンパクトである。^{[ 9 ]}
4. 有限交差特性を持つXの閉部分集合の任意のコレクションには、空でない交差が存在します。
5. X上のすべてのネットには収束サブネットがあります (証明についてはネットに関する記事を参照してください)。
6. X上のすべてのフィルターには収束的な改良点があります。
7. X上のすべてのネットにはクラスター ポイントがあります。
8. X上のすべてのフィルターにはクラスター ポイントがあります。
9. X上のすべてのウルトラフィルターは少なくとも 1 つの点に収束します。
10. Xの任意の無限部分集合には完全な集積点が存在する。^{[ 10 ]}
11. あらゆる位相空間Yに対して、射影は閉じた写像である^{[ 11 ]}（適切な写像を参照）。${\displaystyle X\times Y\to Y}$
12. 部分集合の包含関係によって線形順序付けられたすべての開被覆にはXが含まれる。^{[ 12 ]}

ブルバキは、各フィルターがクラスター点（すなわち上記の8.）を持つ位相空間としてコンパクト空間（準コンパクト空間）を定義している。^{[ 13 ]}

ユークリッド空間

ユークリッド空間の任意の部分集合Aに対して、Aがコンパクトであるためには、それが閉じていて有界である必要があります。これがハイネ・ボレルの定理です。

ユークリッド空間は計量空間であるため、次の節で述べる条件は、そのすべての部分集合にも適用されます。同値な条件の中で、閉区間や閉n球体など、 部分集合が閉かつ有界であることを確認するのが、実際には最も簡単です。

計量空間

任意の距離空間( X , d )に対して、以下は同値です (可算選択を仮定)。

1. ( X , d )はコンパクトである。
2. ( X , d )は完全かつ全有界である（これは一様空間のコンパクト性とも同値である）。^{[ 14 ]}
3. ( X , d )は順次コンパクトである。つまり、X内のすべてのシーケンスには、その極限がXにある収束部分シーケンスが存在する（これは、第一可算一様空間のコンパクト性とも等しい）。
4. ( X , d )は極限点コンパクト（弱可算コンパクトとも呼ばれる）です。つまり、Xのすべての無限部分集合には、 X内に少なくとも 1 つの極限点があります。
5. ( X , d )は可算コンパクトである。つまり、Xのすべての可算開被覆には有限の部分被覆がある。
6. Xは空であるか、( X , d )はカントール集合からの連続関数の像である。^{[ 15 ]}
7. ( X , d )内の空でない閉部分集合S ₁ ⊇ S ₂ ⊇ ...のすべての減少するネストされたシーケンスには、空でない交差があります。
8. ( X , d )内の適切な開部分集合S ₁ ⊆ S ₂ ⊆ ...のすべての増加ネストされたシーケンスは、 Xをカバーできません。

コンパクト距離空間( X , d )は次の特性も満たします。

1. ルベーグ数の補題: Xのすべての開被覆に対して、直径 < δのすべての部分集合が被覆のいずれかのメンバーに含まれるような数δ > 0が存在する。
2. ( X , d )は第二可算、可分、リンデレフである 。これらの3つの条件は距離空間において同値である。逆は成り立たない。例えば、可算離散空間はこれらの3つの条件を満たすが、コンパクトではない。
3. Xは閉かつ有界である（制限計量がdである任意の計量空間の部分集合として）。逆は非ユークリッド空間では成立しない可能性がある。例えば、離散計量を備えた実数直線は閉かつ有界であるが、コンパクトではない。なぜなら、その空間のすべての単体の集合は有限部分被覆を許さない開被覆だからである。これは完全であるが、完全に有界ではない。

秩序ある空間

順序付き空間（X、<）（つまり、順序位相を備えた全順序付き集合）の場合、以下は同値である。

1. ( X , <)はコンパクトです。
2. Xのすべての部分集合には、 Xにおける上限（つまり、最小の上限）が存在します。
3. Xのすべての部分集合には、 X内に下限値 (つまり、最大の下限値) が存在します。
4. Xの空でない閉部分集合には必ず最大要素と最小要素があります。

これらの条件のいずれかを満たす順序付けられた空間は、完全格子と呼ばれます。

さらに、次の式はすべての順序付き空間( X , <)に対して同値であり、(可算選択と仮定) は( X , <)がコンパクトである場合に常に真です(逆は一般に( X , <)が計量化可能でない場合は失敗します)。

1. ( X , <)内のすべてのシーケンスには、 ( X , <)に収束するサブシーケンスがあります。
2. Xのすべての単調増加シーケンスは、Xの一意の極限に収束します。
3. Xのすべての単調減少列は、Xの唯一の極限に収束します。
4. ( X , <)内の空でない閉部分集合S ₁ ⊇ S ₂ ⊇ ...のすべての減少するネストされたシーケンスには、空でない交差があります。
5. ( X , <)内の適切な開部分集合S ₁ ⊆ S ₂ ⊆ ...のすべての増加ネストされたシーケンスは、 Xをカバーできません。

連続関数による特徴づけ

X を位相空間とし、 C( X )をX上の実連続関数の環とする。各p ∈ Xに対して、 ev _p ( f ) = f ( p ) で与えられる評価写像は環準同型である。第一同型定理により、留数体C( X )/ker ev _pは実数体であるので、 ev _pの核は最大イデアルである。位相空間Xが擬コンパクトである場合と、C( X )のすべての極大イデアルが実数体の留数体を持つ場合とで同値である。完全に正則な空間の場合、これはすべての極大イデアルが評価準同型の核であることと同値である。^{[ 16 ]} ただし、コンパクトではない擬コンパクト空間も存在する。 ${\displaystyle \operatorname {ev} _{p}\colon C(X)\to \mathbb {R} }$

一般に、非擬コンパクト空間に対しては、C( X )には常に最大イデアルmが存在し、剰余体C( X )/ mは（非アルキメデス的）超実体となる。非標準解析の枠組みは、コンパクト性の次のような別の特徴付けを可能にする：^{[ 17 ]}位相空間Xがコンパクトであるための必要十分条件は、自然拡大*Xのすべての点xがXの点x ₀に無限に近いことである（より正確には、xはx ₀のモナドに含まれる）。

ハイパーリアルの定義

空間Xがコンパクトであるとは、その超実数拡大*X（例えば、超冪構成によって構成される）が、 *Xのすべての点がX ⊂ *Xのいずれかの点に無限に近いという性質を持つ場合である。例えば、実開区間X = (0, 1)はコンパクトではない。なぜなら、その超実数拡大*(0,1)には無限小が含まれており、それらはXの点ではない 0 に無限に近いからである。

十分な条件

• コンパクト空間の閉部分集合はコンパクトである。^{[ 18 ]}
• 有限個のコンパクト集合の和集合はコンパクトである。
• 連続関数によるコンパクト空間の像はコンパクトである。^{[ 19 ]}
• ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合の空でない集合の交差はコンパクト（かつ閉じている）である。
  • Xがハウスドルフ集合でない場合、2つのコンパクト部分集合の交差はコンパクトにならない可能性がある。^{[ a ]}
• 任意のコンパクト空間の集合の積はコンパクトである。（これはティコノフの定理であり、選択公理と同等である。）
• 計量化可能空間において、部分集合がコンパクトとなるのは、それが順次コンパクトとなる場合のみです（可算選択を想定）。
• 任意の位相を備えた有限集合はコンパクトです。

コンパクト空間の性質

• すべてのコンパクト部分集合が閉じている空間をKC 空間と呼びます。
  • ハウスドルフ空間Xのコンパクト部分集合は閉じている。
  • Xがハウスドルフ集合でない場合、 Xのコンパクト部分集合はXの閉部分集合にならない可能性がある。^{[ b ] [ c ]}
  • Xがハウスドルフ集合でない場合、コンパクト集合の閉包はコンパクトではなくなる可能性がある。^{[ d ]}
  • Xがハウスドルフでない場合でも、すべてのコンパクト部分集合が閉じている可能性がある。^{[ e ]}
• 任意の位相ベクトル空間（TVS）において、コンパクト部分集合は完全である。しかし、ハウスドルフ以外のTVSには、閉じていないコンパクト（したがって完全）部分集合が含まれる。
• AとB がハウスドルフ空間Xの互いに素なコンパクト部分集合である場合、 Xには互いに素な開集合UとVが存在し、A ⊆ UかつB ⊆ Vが成立します。
• コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続的な一対一写像は同相写像である。
• コンパクトなハウスドルフ空間は正規かつ正則です。
• 空間Xがコンパクトかつハウスドルフである場合、X上のより細かい位相はコンパクトではなく、X上のより粗い位相はハウスドルフではありません。
• 距離空間のサブセット( X、d )がコンパクトである場合、それはd境界にあります。

機能とコンパクトなスペース

連続関数によるコンパクト空間の像はコンパクトであるため、そのような空間では極値定理が成り立つ。つまり、空でないコンパクト空間上の連続実数値関数は上に有界となり、その上限に達する。^{[ 20 ]} （もう少し一般的には、上半連続関数についてもこれが成り立つ。）上記のステートメントの逆として、適切な写像 によるコンパクト空間の逆像はコンパクトである。

コンパクト化

アレクサンドロフの一点コンパクト化により、任意の位相空間Xは、 Xより高々一点多いコンパクト空間の開稠密部分空間となる。同様の構成により、任意の局所コンパクトハウスドルフ空間Xは、 Xより高々一点多いコンパクトハウスドルフ空間の開稠密部分空間となる。

整然としたコンパクトな空間

実数の空でないコンパクト部分集合には、最大元と最小元が存在します。

X を順序位相を持つ全順序集合とする。このとき、X がコンパクトとなるのは、 X が完備格子（すなわち、すべての部分集合が上限と下限を持つ）である場合に限る。 ^{[ 21 ]}

例

• 空集合を含む任意の有限位相空間はコンパクトである。より一般的には、有限位相（有限個の開集合のみ）を持つ任意の空間はコンパクトである。これには特に自明位相が含まれる。
• 余有限位相を持つ空間はすべてコンパクトです。
• 任意の局所コンパクトハウスドルフ空間は、アレクサンドロフの一点コンパクト化を用いて、一点を加えることでコンパクト空間に変換できる。の一点コンパクト化は円S ¹に同相であり、の一点コンパクト化は球面S ²に同相である。一点コンパクト化を用いることで、非ハウスドルフ空間から始めて、ハウスドルフではないコンパクト空間を容易に構築することもできる。${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• 任意の有界全順序集合上の右順序位相または左順序位相はコンパクトである。特に、シェルピンスキー空間はコンパクトである。
• 無限個の点を持つ離散空間はコンパクトではない。その空間のすべての単元全体の集合は開被覆であり、有限部分被覆を許容しない。有限離散空間はコンパクトである。
• 下限位相を実行すると、無数集合はコンパクトではなくなる。${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 非可算集合上の余可算位相においては、いかなる無限集合もコンパクトではない。前の例と同様に、空間全体は局所コンパクトではないが、それでもリンデレフである。
• 閉単位区間[0, 1]はコンパクトである。これはHeine–Borel の定理から導かれる。開区間(0, 1)はコンパクトではない。n = 3 , 4, ... の開被覆 には有限部分被覆がない。同様に、閉区間[0, 1]の有理数集合はコンパクトではない。これらの区間の有理数集合はn = 4, 5, ... に対して [0, 1] のすべての有理数を被覆するが、この被覆には有限部分被覆がない。ここで、集合は の部分集合としては開ではないが、部分空間位相では開いている 。${\textstyle \left({\frac {1}{n}},1-{\frac {1}{n}}\right)}$ ${\textstyle \left[0,{\frac {1}{\pi }}-{\frac {1}{n}}\right]{\text{ および }}\left[{\frac {1}{\pi }}+{\frac {1}{n}},1\right]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 実数全体の集合はコンパクトではない。なぜなら、開区間の被覆が存在するからであり、その開区間には有限部分被覆がないからである。例えば、区間( n − 1, n + 1)（nはZのすべての整数値を取る）は被覆するが、有限部分被覆は存在しない。${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 一方、類似の位相を持つ拡張実数直線はコンパクトである。ただし、上述の被覆は無限遠点には到達しないため、拡張実数直線を被覆しない点に注意されたい。実際、この集合は[−1, 1] への同相写像を持ち、各無限遠点を対応する単位に、各実数をその符号に、区間の正の部分にある唯一の数（その数自身を 1 から引いた値で割ったときの絶対値）を乗じた値に写像する。同相写像は被覆を保存するため、ハイネ＝ボレルの性質を推論することができる。
• 任意の自然数nに対して、n -球面はコンパクトである。ここでもハイネ・ボレルの定理から、任意の有限次元ノルムベクトル空間の閉単位球はコンパクトである。これは無限次元では成り立たない。実際、ノルムベクトル空間が有限次元であるためには、その閉単位球がコンパクトでなければならない。
• 一方、ノルム空間の双対の閉単位球は弱*位相に対してコンパクトである。(アラオグルの定理)
• カントール集合はコンパクトである。実際、空でないコンパクト距離空間はすべてカントール集合の連続像である。
• 実数直線から閉単位区間へのすべての関数f  : R → [0, 1]の集合Kを考え、 K上の位相を定義して、 K内の列がf ∈ Kに収束することと、すべての実数xに対してf ( x )に収束することとが同値となるようにします。このような位相は1つしか存在せず、これは点収束の位相または積位相と呼ばれます。このとき、Kはコンパクトな位相空間となります。これはティコノフの定理から導かれます。${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$
• コンパクト ハウスドルフ空間上の実数値連続関数のバナッハ空間の部分集合は、それが等連続かつ点ごとに有界である場合に限り、相対コンパクトである (アルツェラ-アスコリの定理)。
• すべての関数f  : [0, 1]  → [0, 1]がリプシッツ 条件| f ( x ) −  f ( y ) | ≤ | x  −  y |を満たす集合Kを考えます。K 上の一様距離によって誘導される計量を考えます。すると、Arzelà–Ascoli の定理により、空間Kはコンパクトになり ます 。${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)|.}$
• バナッハ空間上の任意の有界線型作用素のスペクトルは、複素数の非空コンパクト部分集合である。逆に、 の任意のコンパクト部分集合は、このようにして、ある有界線型作用素のスペクトルとして現れる。例えば、ヒルベルト空間上の対角作用素は、の任意の非空コンパクト部分集合をスペクトルとして持つことができる。${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• コンパクト ハウスドルフ空間上のボレル確率測度の空間は、アラオグルの定理により、曖昧位相に対してコンパクトである。
• ユークリッド空間のボレル集合上の確率測度の集合は、任意の正のイプシロンに対して、各測度の質量のイプシロン以下を除くすべての質量を含むコンパクト部分集合が存在するとき、タイト（稠密）と呼ばれる。ヘリーの定理は、確率測度の集合があいまい位相に対して相対的にコンパクトであるための必要十分条件は、それがタイトである場合であり、かつその場合のみであることを主張する。

代数の例

• 直交群などの位相群はコンパクトですが、一般線型群などの群はコンパクトではありません。
• p進整数はカントール集合に同相なので、コンパクト集合を形成します。
• 任意の大域体Kはそのアデール環の離散加法部分群であり、商空間はコンパクトである。これはジョン・テイトの学位論文で用いられ、調和解析を数論に用いることを可能にした。
• ザリスキー位相（すなわち、素イデアル全体の成す集合）を持つ任意の可換環のスペクトルはコンパクトであるが、ハウスドルフではない（自明な場合を除く）。代数幾何学において、このような位相空間は準コンパクトスキームの例であり、「準」とは位相がハウスドルフではないことを指す。
• ブール代数のスペクトルはコンパクトであり、これはストーン表現定理の一部である。ストーン空間、すなわちコンパクトで完全に分離したハウスドルフ空間は、これらのスペクトルを研究するための抽象的な枠組みを形成する。このような空間は、プロ有限群の研究にも有用である。
• 可換単位バナッハ代数の構造空間はコンパクトなハウスドルフ空間です。
• ヒルベルトキューブはコンパクトであり、これもまたティコノフの定理の結果です。
• 有限群（例えばガロア群）はコンパクトである。

参照

• コンパクトに生成された空間
• コンパクト性定理
• コンパクトハウスドルフ空間上の連続関数
• エーベルライン・コンパクトム
• コンパクトセットによる枯渇
• リンデレフ空間
• メタコンパクト空間
• ネーター位相空間
• オルトコンパクト空間
• パラコンパクト空間
• 準コンパクト射
• 前コンパクト集合-全有界集合とも呼ばれる
• 比較的コンパクトな部分空間
• 完全に境界が

注記

1. X = { a , b } ∪、 U = { a } ∪、 V = { b } ∪ と し。 Xに、次の基本開集合によって生成される位相を与えます。 のすべての部分集合は開集合であり、 a を含む開集合はXとUのみであり、 bを含む開集合はXとVのみであるとします。このとき、 UとV は両方ともコンパクト部分集合ですが、それらの共通集合である はコンパクトではありません。 UとVはどちらもコンパクト開集合であり、どちらも閉じていないことに注意してください${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$
2. X = { a , b }とし、 Xに位相{ X , ∅, { a }}を 与える。このとき{ a }はコンパクト集合であるが、閉じた集合ではない。
3. 共有限位相を持つ空間の任意の無限真部分集合はコンパクトだが閉じていない。
4. X を非負整数全体の集合とする。X に特定の点位相を与える ために、 U ⊆ Xの部分集合が0 ∈ Uのときのみ開集合であると。このときS  := {0}はコンパクトであり、 Sの閉包はX全体である。しかし、開部分集合の集合{{0, x } : x ∈ X }には有限部分被覆がないため、 Xはコンパクトではない。
5. ハウスドルフではない、無数点の空間上の可算位相の場合、部分集合がコンパクトであるためには、それが有限であり、かつ、すべての有限部分集合が閉じている必要がある。

参考文献

1. 「コンパクトネス」ブリタニカ百科事典、数学。 2019年11月25日閲覧– britannica.com経由。
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8. ここで「コレクション」は「集合」を意味しますが、「開部分集合のコレクション」の方が「開部分集合の集合」よりも違和感が少ないため、この表現が用いられています。同様に、「サブコレクション」は「部分集合」を意味します。
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参考文献

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外部リンク

• サンドストローム、マニヤ・ラマン (2010). 「コンパクトネスの教育史」. arXiv : 1006.4131v1 [ math.HO ].

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