小麦とチェス盤の問題

チェス盤の 5 番目のマス目に到達するまでに、盤には合計 31 個、つまり, 個の小麦粒が含まれます。${\textstyle 2^{5}-1}$

小麦とチェス盤の問題(時には米粒で表現される) は、次のようにテキスト形式で表現される数学の問題です。

チェス盤の各マスに小麦を置き、最初のマスには 1 粒、2 番目のマスには 2 粒、3 番目のマスには 4 粒というように (以降の各マスの小麦の数は 2 倍になる) 配置した場合、最終的にチェス盤上には小麦の粒がいくつあるでしょうか。

この問題は単純な加算で解くことができます。チェス盤に64個のマス目があり、連続するマス目でグレインの数が2倍になると、64個すべてのマス目のグレインの和は1 + 2 + 4 + 8 + ...となり、64個のマス目についても同様です。グレインの数は合計で2 ⁶⁴ −1、つまり18,446,744,073,709,551,615（18京、446京、744兆、730億、7億955万、51615）と表すことができます。

この演習は、指数列がどれだけ速く増加するかを示すだけでなく、指数、ゼロ乗、大文字シグマ記法、幾何級数についても紹介するために使用できます。現代に合わせてペニー硬貨と「1日目に100万ドルを得るか、それとも1ペニー硬貨を30日目まで毎日2倍に増やしていくか、どちらが良いですか？」といった仮説的な質問を用いて更新されたこの式は、複利を説明するために使用されています。（2倍にすると10億7300万ペニー硬貨、つまり1000万ドル以上になります：2 ³⁰ −1 = 1,073,741,823）。^{[ 1 ] [ 2 ]}

起源

この問題はチェスの発明に関する様々な物語に登場する。その一つに等比数列問題が含まれる。この物語は1256年にイブン・ハリカンによって初めて記録されたことが知られている。^{[ 3 ]}別のバージョンでは、チェスの発明者（いくつかの伝承では古代インドの大臣セッサ）が、小麦とチェス盤の問題に応じて君主に小麦を与えるよう要求する。君主はそれを素晴らしい発明に対するわずかな賞として一笑に付すが、宮廷の会計係は小麦の予想外の膨大な量が君主の資源を上回ってしまうと報告する。発明者が高位の顧問になるか処刑されるかについてはバージョンによって異なる。^{[ 4 ]}

マクドネルはまた、このテーマの初期の発展についても調査している。^{[ 5 ]}

[アル＝マスーディーによるインド初期の歴史によると]、シャトランジ、つまりチェスは、バックギャモンよりもこのゲームを好むと述べたインド王の時代に発明されました。[...] 彼はさらに、インド人はチェス盤のマス目を使って等差数列を計算していたと述べています。[...] インド人が膨大な計算を好んでいたことは、数学を学ぶ人々にはよく知られており、偉大な天文学者アーリヤバタ（紀元476年生まれ）の著作にもその好例が見られます。[ ... ] この計算がインド起源であるというさらなる根拠として、チェス盤のマス目を表すアラビア語の名称（بيت、「ベイト」、つまり「家」）が挙げられます。 [...] これは間違いなく、インドでの呼称であるkoṣṭhāgāra（「倉庫」、「穀倉」）と歴史的なつながりがある [...]。

ソリューション

ゼロから与えられた正の整数乗までの2の累乗の合計は、次の2の累乗（つまり、次のメルセンヌ数）より1小さい。

単純な強引な解決策は、一連の各ステップを手動で 2 倍にして追加することです。

${\displaystyle T_{64}}$ = 1 + 2 + 4 + ..... + 9,223,372,036,854,775,808 = 18,446,744,073,709,551,615

ここで、グレインの総数です。${\displaystyle T_{64}}$

この級数は指数を使って表現できます。

${\displaystyle T_{64}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}}$

これを大文字シグマ表記で表すと次のようになります。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{63}2^{k}.\,}$

これは、次のものを使用してさらに簡単に解決することもできます。

${\displaystyle T_{64}=2^{64}-1.\,}$

その証明は次のとおりです。

${\displaystyle s=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}.}$

各辺を2倍します。

${\displaystyle 2s=2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots +2^{63}+2^{64}.}$

各辺から元の数列を引きます。

${\displaystyle {\begin{aligned}2s-s&=\qquad \quad {\cancel {2^{1}}}+{\cancel {2^{2}}}+\cdots +{\cancel {2^{63}}}+2^{64}\\&\quad -2^{0}-{\cancel {2^{1}}}-{\cancel {2^{2}}}-\cdots -{\cancel {2^{63}}}\\&=2^{64}-2^{0}\\\therefore s&=2^{64}-1.\end{aligned}}}$

上記の解は、次式で表される等比級数の和の特殊なケースである。

${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}=a\,{\frac {1-r^{n}}{1-r}},}$

ここで、 は級数の最初の項、は公比、は項の数です。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n}$

この問題では 、および。 ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle r=2}$ ${\displaystyle n=64}$

したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n-1}2^{k}&=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{n-1}\\&=2^{n}-1\end{aligned}}}$

任意の正の整数になります。 ${\displaystyle n}$

この問題に取り組む練習は、指数や指数列および等比数列の急激な増加を説明したり、実演したりするために使えます。また、シグマ記法の説明にも使えます。指数で表すと、等比数列は2 ⁰  + 2 ¹  + 2 ²  + 2 ³  + ... となり、2 ⁶³まで続きます。各指数の底「2」は各マスにおける倍数を表し、指数は各マスの位置を表します（最初のマスは0、2番目のマスは1、など）。

粒子の数はメルセンヌ数64番目です。

チェス盤の後半

レイ・カーツワイルのチェス盤原理の後半部分の図解。文字はSIメートル法の接頭辞の略語です。

テクノロジー戦略において、「チェス盤の後半」とはレイ・カーツワイル[ ^{6 ]}が造語した言葉で、指数関数的に成長する要因が組織の全体的な事業戦略に大きな経済的影響を与え始める時点を指しています。チェス盤の前半にある粒子の数は多いですが、後半にある粒子の量ははるかに多く（2の32乗＞40億倍）、その差は^歴然としています。

チェス盤の前半にある小麦粒の数は1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2,147,483,648で、合計4,294,967,295 (2 ³²  − 1) 粒、つまり約279トンの小麦（小麦1粒の質量を65 mgと仮定）である。^{[ 7 ]}

チェス盤の後半にある小麦粒の数は、2 32 + 2 33 + 2 34 + ... + 2 63 で、合計は² 64 ⁻ 2 ³²粒^です。^これ は^、盤の前半にある小麦粒の数の2乗に、その数自身を加えた数に等しくなります。後半の最初のマス目だけでも、前半全体よりも1粒多くなっています。チェス盤の64番目のマス目だけでも、2 ⁶³ = 9,223,372,036,854,775,808 粒となり、チェス盤の前半の20億倍以上になります。

^{チェス盤全体には、2の64乗} - 1乗 = 18,446,744,073,709,551,615粒の小麦があり、その重量は約1,199,000,000,000トンです。これは、世界の小麦生産量（2014年は7億2,900万トン、2019年は7億8,080万トン）の1,600倍以上に相当します。 ^{[ 8 ]}

使用

カール・セーガンは最後の著書の第2章に「ペルシャのチェス盤」というタイトルを付け、バクテリアに言及して「指数関数は永遠に続くことはできない。なぜなら、彼らはすべてを飲み込んでしまうからだ」と記している。^{[ 9 ]}同様に、『成長の限界』ではこの話を用いて指数関数的成長の帰結を示唆している。「有限の空間と有限の資源の中で、指数関数的成長は決して長く続くことはできない。」^{[ 10 ]}

参照

• アンバラッパザ・パール・パヤサムの伝説
• マルサスの成長モデル
• ムーアの法則
• 桁数（データ）
• テクノロジー戦略
• 成長の限界

参考文献

1. 「1ペニーを30日間毎日2倍にすると、1,070万ドルになります」 – www.bloomberg.comより。
2. 「ペニーを倍にする」 Mathforum.org 2017年8月9日閲覧。
3. クリフォード・A・ピックオーバー（2009年）『数学の本：ピタゴラスから57次元まで』ニューヨーク：スターリング。ISBN 9781402757969102ページ
4. マルバ、タハン (1993)。数えた男: 数学的冒険のコレクション。ニューヨーク: WW Norton & Co.、  113 ～ 115ページ。ISBN 0393309347. 2015年4月5日閲覧。
5. マクドネル, AA (1898). 「チェスの起源と初期の歴史」.英国アイルランド王立アジア協会誌. 30 (1): 117– 141. doi : 10.1017/S0035869X00146246 . S2CID 163963500 . 
6. レイ・カーツワイル（1999年）『スピリチュアルマシンの時代：コンピュータが人間の知能を超えるとき』ニューヨーク：ペンギン社、37ページ。ISBN 0-670-88217-8. 2015年4月6日閲覧。
7. 「ブリタニカ百科事典：グレイン、重量の単位」 2004年4月29日。 2017年3月2日閲覧。
8. "FAOSTAT" . faostat3.fao.org . 2019年1月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。2017年3月2日閲覧。
9. セーガン、カール (1997). 『ビリオンズ・アンド・ビリオンズ：ミレニアムの瀬戸際における生と死についての考察』ニューヨーク：バランタイン・ブックス. p.  17. ISBN 0-345-37918-7。
10. Meadows, Donella H., Dennis L. Meadows, Jørgen Randers, William W. Behrens III (1972).『成長の限界』 p. 21, Google Books . ニューヨーク: University Books. ISBN 0-87663-165-0. 2015年4月5日閲覧。

外部リンク

• ワイスタイン、エリック W. 「小麦とチェス盤の問題」。MathWorld 。
• 塩とチェス盤の問題- 各マス目の寸法を測った小麦とチェス盤の問題のバリエーション。
• Wikiversityの数学アドベンチャー/小麦とチェス盤に関する学習教材