3つの要素を持つ半群

抽象代数学において、3つの要素を持つ半群とは、3つの要素とそれらに定義された結合的な演算からなるオブジェクトです。基本的な例としては、0、1、-1の3つの整数と乗算の演算が挙げられます。整数の乗算は結合的であり、これら3つの整数の任意の2つの積は、再びこれら3つの整数のいずれかになります。

3つの要素に対する結合演算を定義する方法は18通りあります。定義できる二項演算は全部で3の9乗=19683通りありますが^{、そのうち結合的なのは113通りだけで、その多くは}同型または反同型であるため、本質的には18通りの可能性しかありません。^{[ 1 ] [ 2 ]}

これらの一つは、 3つの元を持つ巡回群である C ₃です。他の群はすべて、2つの元を部分半群として持つ半群を持ちます。上記の例では、乗法による集合 {−1,0,1} には、 {0,1} と {−1,1} の両方が部分半群として含まれています（後者は部分群C ₂です）。

これらのうち6つはバンドであり、3つの元すべてが冪等であり、任意の元とそれ自身の積は再びそれ自身となることを意味します。これらのバンドのうち2つは可換であり、したがって半格子です（1つは3元からなる全順序集合であり、もう1つは格子ではない3元からなる半格子です）。残りの4つは反同型のペアです。

これらの非可換帯の1つは、2つの元を持つ左零半群 LO 2 （あるいは、双対的に右零半群 RO 2 ）に恒等元を付加することで得られる。これは_、電子機器で_用いられるフリップフロップ回路にちなんで、フリップフロップモノイドと呼ばれることもある。3つの元はそれぞれ「セット」、「リセット」、「何もしない」と表現できる。この半群は、有限半群のクローン・ローズ分解に現れる。^{[ 3 ]}この分解における既約元は、有限単純群とこの3元半群、およびその部分半群である。

巡回半群は2つあり、1つは方程式x ⁴ = x ^{3で記述され、2つの元を持つ}零半群O ₂を部分半群として持ちます。もう1つはx ⁴ = x ²で記述され、2つの元を持つ群 C ₂を部分群として持ちます。（方程式x ⁴ = xは、既に述べた3つの元を持つ群 C _{3を記述します。）}

他に7つの非巡回非帯可換半群があり、これには最初の例である{−1, 0, 1}と、3つの元を持つ零半群であるO ₃が含まれます。また、他に2つの非可換非帯半群の反同型の対も存在します。

3つの要素を持つ半群のリスト（同型まで）

半群演算のための ケーリー表

1.環状基（C 3）  ×   y   z   ×    ×    y    z   y    y    z    ×   z    z    ×    y
2.一元半群（指数2、周期2）  ×   y   z   ×    y    z    y   y    z    y    z   z    y    z    y  部分半群: {y,z} ≈ C 2
3.非周期的一元半群（指数3）  ×   y   z   ×    y    z    z   y    z    z    z   z    z    z    z  部分半群: {y,z} ≈ O 2
4.可換モノイド（乗算のもとで{−1,0,1}）  ×   y   z   ×    z    y    ×   y    y    y    y   z    ×    y    z  部分半群: {x,z} ≈ C 2 . {y,z} ≈ CH 2
5. 可換モノイド  ×   y   z   ×    z    ×    ×   y    ×    y    z   z    ×    z    z  部分半群: {x,z} ≈ C 2 . {y,z} ≈ CH 2
6. 可換半群  ×   y   z   ×    z    ×    ×   y    ×    z    z   z    ×    z    z  部分半群: {x,z} ≈ C 2 . {y,z} ≈ O 2
7.ヌル半群 (O 3 )  ×   y   z   ×    z    z    z   y    z    z    z   z    z    z    z  部分半群: {x,z} ≈ {y,z} ≈ O 2
8. 可換非周期半群  ×   y   z   ×    z    z    z   y    z    y    z   z    z    z    z  部分半群: {x,z} ≈ O 2。 {y,z} ≈ CH 2
9. 可換非周期半群  ×   y   z   ×    z    y    z   y    y    y    y   z    z    y    z  部分半群: {x,z} ≈ O 2。 {y,z} ≈ CH 2
10. 可換非周期モノイド  ×   y   z   ×    z    ×    z   y    ×    y    z   z    z    z    z  部分半群: {x,z} ≈ O 2。 {y,z} ≈ CH 2
11A. 非周期半群  ×   y   z   ×    z    z    z   y    y    y    y   z    z    z    z  部分半群: {x,z} ≈ O 2 , {y,z} ≈ L 2	11B. その反対  ×   y   z   ×    z    y    z   y    z    y    z   z    z    y    z
12A. 非周期半群  ×   y   z   ×    z    z    z   y    ×    y    z   z    z    z    z  部分半群: {x,z} ≈ O 2 , {y,z} ≈ CH 2	12B. その反対  ×   y   z   ×    z    ×    z   y    z    y    z   z    z    z    z
13.半格子（鎖）  ×   y   z   ×    ×    y    z   y    y    y    z   z    z    z    z  サブセミグループ: {x,y} ≈ {x,z} ≈ {y,z} ≈ CH 2
14. 半格子  ×   y   z   ×    ×    z    z   y    z    y    z   z    z    z    z  部分半群: {x,z} ≈ {y,z} ≈ CH 2
15A.冪等半群  ×   y   z   ×    ×    ×    ×   y    y    y    y   z    ×    ×    z  サブセミグループ: {x,y} ≈ LO 2、{x,z} ≈ CH 2	15B. その反対  ×   y   z   ×    ×    y    ×   y    ×    y    ×   z    ×    y    z
16A. 冪等半群  ×   y   z   ×    ×    ×    z   y    y    y    z   z    z    z    z  サブセミグループ: {x,y} ≈ LO 2、{x,z} ≈ {y,z} ≈ CH 2	16B. その反対  ×   y   z   ×    ×    y    z   y    ×    y    z   z    z    z    z
17A.左零半群 (LO 3 )  ×   y   z   ×    ×    ×    ×   y    y    y    y   z    z    z    z  サブセミグループ: {x,y} ≈ {x,z} ≈ {y,z} ≈ LO 2	17B. その反対（RO 3）  ×   y   z   ×    ×    y    z   y    ×    y    z   z    ×    y    z
18A. 冪等半群（左フリップフロップモノイド）  ×   y   z   ×    ×    ×    ×   y    y    y    y   z    ×    y    z  サブセミグループ: {x,y} ≈ LO 2、{x,z} ≈ {y,z} ≈ CH 2	18B. その反対（右フリップフロップモノイド）  ×   y   z   ×    ×    y    ×   y    ×    y    y   z    ×    y    z
2 つの要素部分半群のインデックス: C 2 : 巡回群、O 2 : ヌル半群、CH 2 : 半格子 (鎖)、LO 2 /RO 2 : 左/右ゼロ半群。

参照

• 半群の特殊クラス
• 2つの元を持つ半群
• 1つの要素を持つ半群
• 空半群

参考文献

1. アンドレアス・ディスラー、「有限半群の分類と列挙」、Wayback Machineに2015年4月2日アーカイブ、セントアンドリュース大学博士論文
2. フリズリク・ディエゴ;クリスティン・ハラ・ヨンスドッティル（2008年7月）。「3 要素セットの結合演算」(PDF)。モンタナ州の数学愛好家。5 (2 & 3): 257–268 .土井: 10.54870/1551-3440.1106。S2CID  118704099 。2014 年2 月 6 日に取得。
3. 「この無害な 3 要素半群は、次に説明する内容で重要な役割を果たします...」 – John L. Rhodes著『オートマトン理論と代数の応用』。