半格子

推移的な二項関係

	対称的	反対称	接続	根拠がしっかりしている	結合あり	会う	反射的	非反射的	非対称
			トータル、セミコネックス					反反射的
同値関係	はい	✗	✗	✗	✗	✗	はい	✗	✗
予約注文（準注文）	✗	✗	✗	✗	✗	✗	はい	✗	✗
半順序	✗	はい	✗	✗	✗	✗	はい	✗	✗
合計予約数	✗	✗	はい	✗	✗	✗	はい	✗	✗
合計注文	✗	はい	はい	✗	✗	✗	はい	✗	✗
プレウェルオーダーリング	✗	✗	はい	はい	✗	✗	はい	✗	✗
準秩序性	✗	✗	✗	はい	✗	✗	はい	✗	✗
整然とした秩序	✗	はい	はい	はい	✗	✗	はい	✗	✗
格子	✗	はい	✗	✗	はい	はい	はい	✗	✗
半格子結合	✗	はい	✗	✗	はい	✗	はい	✗	✗
ミートセミラティス	✗	はい	✗	✗	✗	はい	はい	✗	✗
厳密な半順序	✗	はい	✗	✗	✗	✗	✗	はい	はい
厳密な弱い順序	✗	はい	✗	✗	✗	✗	✗	はい	はい
厳密な全順序	✗	はい	はい	✗	✗	✗	✗	はい	はい
	対称的	反対称	接続	根拠がしっかりしている	結合あり	会う	反射的	非反射的	非対称
定義、すべての $a,b$ $S\neq \varnothing :$	${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$	${\begin{aligned}aRb{\text{ と }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ または }}&bRa\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\min S\\{\text{存在する}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{存在する}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$	$aRa$	${\text{not }}aRa$	${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$

はい列の特性が行の項（一番左）に対して常に真であることを示します。一方、 ✗は、その特性が一般的には保証されていない（成り立つかどうかはわからない）ことを示します。例えば、すべての同値関係は対称的であるが、必ずしも反対称的であるとは限らないことは、「対称」列では、また「反対称」列では ✗で示されます。緑のチェックマーク

はい

すべての定義では、同次関係が推移的であることが暗黙的に要求されます。つまり、すべての条件が満たされ、条件が満たされると、用語の定義には、この表に記載されていない追加のプロパティが必要になる場合があります。 $R$ $a,b,c,$ $aRb$ $bRc$ $aRc.$

数学において、結合半格子（または上半格子）とは、任意の空でない有限部分集合に対して結合（最小上限）を持つ半順序集合である。双対的に、会合半格子（または下半格子）とは、任意の空でない有限部分集合に対して会合（または最大下限）を持つ半順序集合である。すべての結合半格子は逆順序の会合半格子であり、その逆もまた同様である。

半格子は代数的に定義することもできます。join と meet は結合的、可換的、べき等的な二項演算であり、このような演算は部分順序 (およびそれぞれの逆順序) を誘導し、任意の 2 つの要素に対する演算の結果は、この部分順序に関して要素の最小の上限 (または最大の下限) になります。

格子とは、同一の半順序に関して、交わり半格子と結合半格子の両方である半順序集合である。代数的には、格子とは、対応する吸収則によって結び付けられた、結合性、可換性、冪等性を持つ2つの二項演算を持つ集合である。

順序理論的定義

集合 $Sが$ 二項関係 $\leq$ によって部分的に順序付けられている場合、それはmeet-semilatticeである。

S

のすべての要素

x

と

y

に対して、集合

{

x

,

y

}の

最大の下限が存在します。

集合 ${x, y}の最大の下限は$ $x$ と $y$ の交わりと呼ばれ $、$ $x$ $\land$ $y$ と表記されます $。$

「最大下限」を「最小上限」に置き換えると、結合半束（join-semilattice）の双対概念が得られる。 ${x, y}$ の最小上限は、 $x$ と $y$ の結合と呼ばれ、 $x$ $\lor$ $y$ と表記される。meet と join は $S$ 上の二項演算である $。$ 単純な帰納的議論から、定義に従って、すべての可能な対の上限（最小値）が存在するということは、すべての空でない有限の上限（最小値）が存在することを意味する。

結合準格子は、最小元（空集合の結合）を持つ場合、有界となります。同様に、会合準格子は、最大元（空集合の会合）を持つ場合、有界となります。

他の性質も仮定できます。このテーマに関する詳しい議論は、順序理論における完全性に関する記事を参照してください。その記事では、関連する半順序集合間の適切なガロア接続の存在という観点から上記の定義をどのように言い換えることができるかについても議論されています。これは、この概念の圏論的研究において特に興味深いアプローチです。

代数的定義

meet -semilatticeは、 meetと呼ばれる二項演算 $\land$ を持つ集合 $S$ で構成される代数構造であり $、$ $S$ のすべてのメンバー $x$ $、$ $y$ $、$ $z$ に対して次の恒等式が成り立ちます。 $\langle S,\land \rangle$

結合性: $x \land (y \land z) = (x \land y) \land z$
可換性: $x \land y = y \land x$
べき等性: $x \land x = x$

ミートセミラティスは、 $S$ に単位元1が含まれており、 $S$ 内のすべての $x$ に対して $x$ $\land 1 =$ $x$ が成り立つ場合、有界です $。$ $\langle S,\land \rangle$

先ほど定義した $\landを$ joinと呼ばれる記号 $\lor$ で置き換えると、その構造はjoin-semilatticeと呼ばれます。この操作にどの記号を選択するかについては曖昧な意見もあり、単にsemilatticesと呼ぶこともあります。

半格子は可換かつ冪等な半群、すなわち可換帯である。有界半格子は冪等な可換モノイドである。

半順序は、 $x$ $\land$ $y$ $=$ $x$ のときは必ず $x \leq y$ とすることで、meet-semilattice 上に誘導されます。半順序は、 $x$ $\lor$ $y$ $=$ $y$ のときは必ず $x$ $\leq$ $y$ とすることで誘導されます。境界付き半順序では、単位元 1 は $S$ $の最大元です。$ 同様に、半順序では、単位元は最小元です。

2つの定義の関連性

順序論的なmeet-semilattice $⟨ S, \leq⟩は、$ $⟨$ $S$ $, \land⟩$ が代数的なmeet-semilatticeとなるような二項演算 $\land$ を生じます。逆に、meet-semilattice $⟨$ $S$ $, \land⟩は、$ $S を$ 以下のように部分的に順序付ける二項関係 $\leq$ を生じます。Sのすべての要素 $x$ と $y$ $について、$ $x$ $=$ $x$ $\land$ $y$ のときのみ、 $x$ $\leq$ $y が$ $成り立ち$ $ます。$

このようにして導入された関係 $\leq は、二項演算$ $\land$ を復元できる半順序を定義します。逆に、代数的に定義された半格子 $⟨ S, \land⟩$ によって誘導される順序は、 ≤によって誘導される順序と一致します $。$

したがって、特定の目的に応じて、2つの定義はどちらがより便利かに応じて互換的に使用できます。同様の結論は、結合半格子と双対順序≥にも当てはまります。

例

半格子は、他の順序構造を構築するために、または他の完全性プロパティと組み合わせて使用されます。

格子は、接合半格子と会合半格子の両方の性質を持ちます。吸収則を介したこれら2つの半格子の相互作用こそが、格子と半格子を真に区別するものです。
代数格子のコンパクト要素は、誘導された半順序付けの下で、境界付き結合半格子を形成します。
要素の数に関する帰納法によれば、空でない有限なmeet半格子は最小の要素を持ち、空でない有限なjoin半格子は最大の要素を持つ。（どちらの場合も、半格子は必ずしも有界ではない。）
完全に順序付けられた集合は分配格子であり、したがって特に、meet-semilattice および join-semilattice です。つまり、任意の 2 つの異なる要素には、より大きい要素とより小さい要素があり、これらは meet と join です。
- 整列集合はさらに有界な結合準格子であり、集合全体としては最小の要素を持つため有界です。
  - 自然数は、通常の順序 $\leq を持ち、$ 最大元を持たないものの、最小元が 0 である有界結合半格子です。つまり、最小の無限順序集合です。 $\mathbb {N}$
高さの単根木（最小元が単根である木）は、（一般には無限）meet-semilatice である。例えば、接頭辞 orderで順序付けられた、あるアルファベット上の有限語の集合を考えてみよう。この集合には、meet 演算の消滅元となる最小元（空語）が存在するが、最大元（恒等元）は存在しない。 $\leq \omega$
スコットドメインは、meet-semilattice です。
任意の集合 $Lへの所属は、基底集合$ $L$ を持つ半束のモデルとして捉えることができる $。なぜなら、半束は集合の$ 外延性の本質を捉えているからである。a $\land$ $b$ $を$ $a$ $\in$ $L$ と $b$ $\in$ $L$ と表記する $。$ 以下のどちらか一方または両方においてのみ異なる2つの集合:

メンバーがリストされている順序。
1人以上のメンバーの多重性、

は実際には同じ集合である。∧ の可換性と結合性は

(

1)、冪等性、(2)を保証する。この半束は

L

上の自由半束である

。

集合はそれ自身の要素ではないため

、

L

によって有界とならない。

古典的な外延的メレオロジーは、結合を二項融合と読み替えた結合半格子を定義する。この半格子は世界個体によって上から境界付けられる。
集合 $S が与えられたとき、$ $S$ の分割の集合は結合半格子（join-semilattice）である。実際、となる場合、半順序はで与えられ、2つの分割の結合はで与えられる。この半格子は有界であり、最小の要素は単独分割である。 $\xi$ $\xi \leq \eta$ $\forall Q\in \eta ,\exists P\in \xi$ $Q\subset P$ $\xi \vee \eta =\{P\cap Q\mid P\in \xi \ \land \ Q\in \eta \}$ $\{S\}$

半格子射

上記の代数的半格子の定義は、 2つの半格子間の射の概念を示唆している。2つの結合半格子 $(S, \lor)$ と $(T, \lor)$ が与えられたとき、(結合)半格子の準同型写像は、関数 $f : S \to T$ であって、

f (x\lory) = f (x)\lorf (y) です。

したがって、 $fは$ 各半格子に付随する2つの半群の準同型写像に過ぎない。SとTの両方が最小元0を含む場合 $、$ $f$ はモノイド準同型写像でもある。つまり $、$ さらに次の式が成り立つ。

f (0) = 0です。

順序論的な定式化において、これらの条件は、結合半格子の準同型写像が、二項結合と最小元（もし存在するならば）を保存する関数であることを単に述べているに過ぎない。明らかな双対、 $すなわち\landを$ $\lor$ に、0を1に置き換えることは、この結合半格子準同型写像の定義を、それと等価なmeet半格子に変換させる。

任意の半格子準同型は、関連する順序関係に関して必然的に単調です。

代数格子との同値性

次に示すように、ゼロの結合半格子と -準同型写像のカテゴリと、コンパクト性- を保つ完全な結合準同型写像を持つ代数格子のカテゴリの間には、よく知られた同値関係があります。ゼロの結合半格子には、そのイデアル格子を関連付けます。 -半格子の-準同型には、の任意のイデアルにによって生成されたのイデアルを関連付ける写像を関連付けます。これにより、関数が定義されます。逆に、すべての代数格子にはのすべてのコンパクト元の-半格子を関連付け、代数格子間のコンパクト性を保つ完全な結合準同型写像には、制限を関連付けます。これにより、関数が定義されます。このペアは、との間のカテゴリ同値関係を定義します。 ${\mathcal {S}}$ $(\vee,0)$ ${\mathcal {A}}$ $S$ $\operatorname {Id} \ S$ $(\vee,0)$ $f\colon S\to T$ $(\vee,0)$ $\operatorname {Id} \ f\colon \operatorname {Id} \ S\to \operatorname {Id} \ T$ $I$ $S$ $T$ $f(I)$ $\operatorname {Id} \colon {\mathcal {S}}\to {\mathcal {A}}$ $A$ $(\vee,0)$ $K(A)$ $A$ $f\colon A\to B$ $K(f)\colon K(A)\to K(B)$ $K\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {S}}$ $(\operatorname {Id} ,K)$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {A}}$

分配的半格子

驚くべきことに、分配性は従来2つの二項演算の相互作用を必要とするにもかかわらず、半格子にも適用可能な「分配性」という概念が存在する。この概念は1つの演算のみを必要とし、格子の分配性条件を一般化する。結合半格子が分配的であるとは、 x ≤ a ∨ b を満たすすべての a 、 b 、 x に対して、 $x$ $=$ $a$ $'$ $\lor$ b $' となる a$ $'$ ≤ $a$ $かつ$ $b$ $'$ $\leq$ $b$ が存在 $する$ $場合$ $で$ $ある$ $。$ 分配 $的$ ミート半格子は双対的に定義される。これらの定義は、二項ミートが存在する分配的結合半格子はすべて分配格子であるという事実によって正当化される。分配性（順序理論）の項を参照のこと。

結合準格子が分配的となるのは、そのイデアルの格子（包含のもとで）が分配的である場合に限ります。

完全半格子

今日では、「完全半格子」という用語は一般的に受け入れられている意味を持たず、互いに矛盾する様々な定義が存在します。完全性が、有限のものだけでなく、すべての無限結合、またはすべての無限会合（いずれの場合も）の存在を必要とすると解釈すると、これは直ちに、実際には完全格子である半順序へと繋がります。すべての可能な無限結合の存在が、すべての可能な無限会合の存在を必然的に示す理由（およびその逆）については、「完全性（順序理論）」の項目を参照してください。

しかしながら、文献では時折、完全な結合半格子または完全な会合半格子を完全な格子と見なすことがあります。この場合、「完全性」とは、準同型写像のスコープに対する制約を意味します。具体的には、完全な結合半格子は、準同型写像がすべての結合を保存することを要求しますが、完全性の性質の場合とは異なり、これは準同型写像がすべての会合を保存することを必要としません。一方、そのような写像はすべて、何らかのガロア接続の下随伴写像であると結論付けることができます。すると、対応する（唯一の）上随伴写像は、完全な会合半格子の準同型写像になります。これにより、すべての会合または結合を保存する射を持つすべての完全半格子のカテゴリ間に、いくつかの有用なカテゴリカル双対性が生じます。

「完全ミートセミラティス」の別の用法は、有界完全 CPOを指します。この意味での完全ミートセミラティスは、必ずしも完全束ではない「最も完全な」ミートセミラティスと言えるでしょう。実際、完全ミートセミラティスは、すべての空でないミート（これは有界完全であることと同等）とすべての有向結合を持ちます。このような構造が最大元（空集合のミート）も持つ場合、それは完全束でもあります。したがって、完全セミラティスは「おそらくトップを欠く完全束」となります。この定義は特に領域理論において興味深いもので、有界完全代数CPOはスコット領域として研究されています。そのため、スコット領域は代数的セミラティスと呼ばれています。

半格子の完全性に関する基数制限概念は文献ではほとんど考慮されていない。^{[ 1 ]}

自由半格子

このセクションでは、カテゴリー理論に関する知識を前提とします。さまざまな状況で、自由半格子が存在します。たとえば、結合半格子 (およびその準同型) のカテゴリーから集合 (および関数) のカテゴリーへの忘却関数は、左随伴関数を許容します。したがって、集合 $S$ 上の自由結合半格子 $F$ $($ $S$ $)は、部分集合の包含によって順序付けられた$ $、$ $S$ のすべての空でない有限部分集合のコレクションを取ることによって構築されます。明らかに、 $S は、$ $S$ 内の任意の要素 $s$ を単集合 ${$ $s$ } に取るマッピング $eによって$ $F$ $($ $S$ $)$ に埋め込むことができます $。すると、$ $S$ から結合半格子 $T (より正式には、$ $T$ の基礎集合) への任意の関数 $f$ は、結合半格子 $F$ $($ $S$ $)$ と $T$ $の間に、$ $f$ $=$ $f'$ $○$ $e$ となる一意の準同型 $f'$ $を誘導します。$ 明示的には、 $f'$ は次のように与えられる。f $'$ の明白な一意性は、必要な随伴関係を得るのに十分である。つまり、関手 $F$ の射部分は一般的な考察から導出できる（随伴関手を参照）。自由 meet-semilattices の場合は双対であり、反対の部分集合の包含を順序付けとして用いる。底を持つ join-semilattices の場合は、上記の部分集合の集合に空集合を追加するだけである。 ${\textstyle f'(A)=\bigvee \{f(s)|s\in A\}.}$

さらに、半束はしばしば他の圏における自由対象の生成元として働く。特に、フレームとフレーム準同型の圏、そして分配束と格子準同型の圏からの忘却関手は、どちらも左随伴を持つ。

参照

有向集合 - 上限を持つ数学的順序付け - 結合半格子の一般化
注文トピックのリスト
半環 – 加法的な負の元を持つ必要のない代数環

注記

^ EG Manes,代数理論, 大学院数学テキスト第26巻, Springer 1976, p. 57

参考文献

Davey, BA; Priestley, HA (2002). 『格子と秩序入門』（第2版）. Cambridge University Press . ISBN 0-521-78451-4。
ヴィッカース、スティーブン（1989年）『論理による位相幾何学』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-36062-5。

格子理論の標準的な解釈では、半格子が定義されるかどうかはさておき、それ以上は何も述べられていない、ということがよくあります。順序理論と格子理論の項にある参考文献を参照してください。さらに、半群に関する文献に匹敵する規模の半格子に関する文献は存在しません。

外部リンク

Jipsen の代数構造ページ:半格子。

[1] EG Manes,代数理論, 大学院数学テキスト第26巻, Springer 1976, p. 57

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