分離可能な拡張機能

代数学の一分野である体論において、代数体拡大は、任意の に対してF上の の最小多項式が可分多項式である（すなわち、その形式的導関数が零多項式ではない、あるいは同値であり、どの拡大体にも重根を持たない）とき、可分拡大と呼ばれる。 ^{[ 1 ]} Eが必ずしもF上で代数的ではない 場合に適用される、より一般的な定義もある。可分ではない拡大は不可分であるという。 ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \alpha \in E}$ ${\displaystyle \alpha}$

特性ゼロの体のすべての代数的拡大は可分であり、有限体のすべての代数的拡大も可分である。^{[ 2 ]} したがって、数学で扱われる拡大のほとんどは可分である。しかしながら、不可分拡大の存在は、特性ゼロで証明された多くの定理を非零特性に拡張する際の主な障害となるため、可分性の概念は重要である。例えば、ガロア理論の基本定理は正規拡大に関する定理であり、非零特性においても、その拡大が可分であると仮定した場合にのみ成立する。^{[ 3 ]}

反対の概念である純粋に不可分な拡大も自然に生じる。なぜなら、すべての代数的拡大は、可分拡大の純粋に不可分な拡大として一意に分解できるからである。非零特性pの体の代数的拡大が純粋に不可分な拡大であるための必要十分条件は、すべてのに対して、 F上のの最小多項式が可分多項式ではないこと、または、同値として、 Eのすべての元xに対して、となる正の整数kが存在することである。^{[ 4 ]}${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \alpha \in E\setminus F}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle x^{p^{k}}\in F}$

（純粋に）分離不可能な拡大の最も単純で非自明な例は、有限体に係数を持つ不定元xの有理関数の体 である。元 は最小多項式 を持ち、とp重重根を持つ（ ）。これはp次 の単純な代数拡大（）であるが、ガロア群が自明であるため、正規拡大ではない。 ${\displaystyle E=\mathbb {F} _{p}(x)\supseteq F=\mathbb {F} _{p}(x^{p})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /(p)}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle f(X)=X^{p}-x^{p}\in F[X]}$ ${\displaystyle f'(X)=0}$ ${\displaystyle f(X)=(Xx)^{p}\in E[X]}$ ${\displaystyle E=F[x]}$ ${\displaystyle {\text{Gal}}(E/F)}$

非公式な議論

ある体Fに係数を持つ任意の多項式f は、ある拡大体にdeg f個の根を持つ場合、異なる根を持つ、または平方根を持たないと言われます。たとえば、多項式g ( X ) = X ² − 1は複素平面に正確にdeg g = 2 個の根、つまり1と−1を持つため、異なる根を持ちます。一方、非定数多項式の平方である多項式h ( X ) = ( X − 2) ²は次数が 2 で根が2のみであるため、異なる根を持ちません。 ${\displaystyle E\supseteq F}$

あらゆる多項式は、その係数の体上の代数閉包上の線型因子に分解できる。したがって、多項式が正の次数の多項式の平方で割り切れる場合、かつその場合に限り、その多項式は異なる根を持たない。これは、多項式とその導関数の最大公約数が定数でない場合、かつその場合に限り成立する。したがって、多項式が平方根を持たないかどうかを判定するために、明示的に体拡大を考慮したり、根を計算したりする必要はない。

この文脈では、既約多項式の場合は注意が必要である。演繹的には、既約多項式 はそれ自身以外に定数でない約数を持たないため、平方で割り切れることは不可能であると思われる。しかし、既約性は周囲体に依存し、多項式はF上で既約であり、 Fの何らかの拡大上で既約である可能性がある。同様に、平方で割り切れるかどうかは周囲体に依存する。F上の既約多項式f がある拡大体の平方で割り切れる場合、（上記の議論により） fとその導関数f ′の最大公約数は定数ではない。f ′の係数はfの係数と同じ体に属し、2つの多項式の最大公約数は周囲体に依存しないため、 fとf ′の最大公約数はFに係数を持つことに注意してください。fはFで既約なので、この最大公約数は必然的にf自身です。f ′の次数はfの次数より厳密に小さいので、 fの導関数はゼロとなり、体の特性は素数pとなり、f は次のように書ける。

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{pi}.}$

このような形式導関数がゼロである多項式は、分離不可能であるといわれます。分離不可能でない多項式は、分離可能であるといわれます。分離可能拡大とは、分離可能元、つまり最小多項式が分離可能な元 によって生成される拡大です。

分離可能な多項式と分離不可能な多項式

F [ X ]の既約多項式f が分離可能であるのは、 Fの任意の拡大において異なる根を持つ場合のみである。つまり、 Fの何らかの代数閉包において、異なる線型因子X - aの積である場合である。^{[ 5 ]} F [ X ]のfを既約多項式とし、 f​​ 'をその形式導関数とする。すると、既約多項式f が分離可能であるための条件は以下の通りとなる。

• EがFの拡大でfが線型因数の積である場合、これらの因数の平方はE [ X ]においてfを割り切れない（つまりfはE上で平方自由である）。^{[ 6 ]}
• Fの拡大Eが存在し、 fはEにおいてdeg ( f )個の異なる対根を持つ。^{[ 6 ]}
• 定数1はfとf 'の多項式最大公約数である。^{[ 7 ]}
• fの形式微分f 'は零多項式ではない。^{[ 8 ]}
• Fの特性が ゼロであるか、特性がpであり、f が次の形式ではない。${\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{p_{i}}.}$

正次多項式の形式的導関数は、体が素特性を持つ場合にのみ 0 になるので、既約多項式が分離不可能であるためには、その係数が素特性の体になければなりません。より一般的には、F [ X ]の既約（非ゼロ）多項式f が分離不可能であるためには、Fの特性が（非ゼロ）素数pであり、F [ X ]の何らかの既約多項式gに対してf ( X )= g ( X ^p ) となる必要があります。^{[ 9 ]}この性質を繰り返し適用すると、実際には、F [ X ]の非負整数nと何らかの分離可能な既約多項式gに対して（Fは素特性pを持つと仮定）が成り立ちます。^{[ 10 ]}${\displaystyle f(X)=g(X^{p^{n}})}$

Fのフロベニウス自己準同型が 射影的でない場合、 Fの元のp乗ではない元が存在する。この場合、多項式は既約かつ分離不可能である。逆に、 F [ X ]に分離不可能な既約（非零）多項式が存在する場合、Fのフロベニウス自己準同型は自己同型にはなり得ない。なぜなら、そうでなければ、ある に対してとなり、多項式f は^{[ 11 ]}のように因数分解されるからである。${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$ ${\displaystyle a\in F}$ ${\displaystyle X^{p}-a}$ ${\displaystyle \textstyle f(X)=\sum a_{i}X^{ip}}$ ${\displaystyle a_{i}=b_{i}^{p}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum a_{i}X^{ip}=\left(\sum b_{i}X^{i}\right)^{p}.}$

K が素特性pの有限体で、X が不定体である場合、 K上の有理関数の体K ( X )は必然的に不完全であり、多項式f ( Y )= Y ^p − Xは分離不可能である（Yにおける形式的導関数は0 である）。^{[ 1 ]}より一般に、Fが（非ゼロの）素特性を持つ任意の体で、そのフロベニウス自己準同型が自己同型でない場合、Fは分離不可能な代数的拡大を持つ。^{[ 12 ]}

体Fが完全体となることと、すべての既約多項式が可分となることは同値である。したがって、Fが完全体となることと、F が（非零の）素数特性pを持ち、かつFのフロベニウス準同型が自己同型となることは同値である。これはすべての有限体を含む。

分離可能な要素と分離可能な拡張

を体拡大とする。ある元がF上で分離可能であるとは、それがF上で代数的であり、その最小多項式が分離可能であることを意味する（元の最小多項式は必ず既約である）。 ${\displaystyle E\supseteq F}$ ${\displaystyle \alpha \in E}$

がF上で分離可能な場合、、およびはF上で分離可能です。 ${\displaystyle \alpha,\beta\inE}$ ${\displaystyle \alpha +\beta }$ ${\displaystyle \alpha \beta }$ ${\displaystyle 1/\alpha }$

したがって、 Eの要素すべてがF上で分離可能な集合はEの部分体を形成し、これをEにおけるFの分離閉包と呼ぶ。^{[ 13 ]}

Fの代数的閉包におけるFの分離閉包は、単にFの分離閉包と呼ばれる。代数的閉包と同様に、これは同型を除いて一意であるが、一般にはこの同型は一意ではない。

体拡大が分離可能であるとは、E がFのEにおける分離閉包であることを意味する。これは、 E がF上に分離可能な元によって生成される場合のみ当てはまる。 ${\displaystyle E\supseteq F}$

が体の拡大であるとき、 EがF上分離可能であることと、 E がL上分離可能であり、かつL がF上分離可能であることは同じである。^{[ 14 ]}${\displaystyle E\supseteq L\supseteq F}$

が有限拡大（つまり、Eが有限次元のFベクトル空間）である場合、以下は同値です。 ${\displaystyle E\supseteq F}$

1. EはF上で分離可能である。
2. ${\displaystyle E=F(a_{1},\ldots,a_{r})}$ ここで、はEの分離可能な要素です。${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$
3. ${\displaystyle E=F(a)}$ ここで、aはEの分離可能な要素です。
4. KがFの代数閉包である場合、 Fを固定するEのKへの体準同型が正確に存在します。${\displaystyle [E:F]}$
5. Eを含むF の任意の正規拡大Kに対して、 Fを固定するEからKへの体準同型が正確に存在します。${\displaystyle [E:F]}$

3. と 1. の同値性は、原始元定理または 原始元に関するアルティンの定理として知られています。4. と 5. の性質は、ガロア理論、特にガロア理論の基本定理の基礎となっています。

代数的拡大内の分離可能な拡大

を特性pの体の代数的拡大とする。EにおけるFの可分閉包は、任意の元に対して、となる正の整数kが存在し、したがってEはSの 純粋不可分拡大である。したがって、 S はF上で可分であり、かつEが純粋不可分である唯一の中間体である。^{[ 15 ]}${\displaystyle E\supseteq F}$ ${\displaystyle S=\{\alpha \in E\mid \alpha {\text{ は }}F\} 上で分離可能である。}$ ${\displaystyle x\in E\setminus S}$ ${\displaystyle x^{p^{k}}\in S,}$

が有限拡大である場合、その次数[ E  : F ]は次数[ S  : F ]と 次数[ E  : S ]の積である。前者はしばしば[ E  : F ] _sepと表記され、[ E  : F ]の 分離部分、あるいは${\displaystyle E\supseteq F}$ E / Fの分離可能な度合い。後者は、度合いの分離不可能な部分分離不可能な次数。 ^{[ 16 ]}分離不可能な次数は、特性0では1、特性p >0ではpのべき乗である。 ^{[ 17 ]}

一方で、任意の代数拡大は、F上で純粋に分離不可能で、かつEが分離可能な中間拡大K を持たない可能性がある。しかし、たとえば が有限次正規拡大である場合は、そのような中間拡大が存在する可能性がある（この場合、KはF上のEのガロア群の固定体である）。そのような中間拡大が存在し、[ E  : F ]が有限であるとすると、[ S  : F ] = [ E  : K ]となる。ここでSはEにおける Fの分離閉包である。^{[ 18 ]}この等式の既知の証明は、が純粋に分離不可能な拡大であり、f がF [ X ]内の分離可能既約多項式である場合、f はK [ X ]内で既約のままであるという事実を使用している^{[ 19 ]}。この等式は、[ E  : F ]が有限で、U がFとEの中間体である場合、[ E  : F ] _sep = [ E  : U ] _sep ⋅[ U  : F ] _sepとなることを意味する。^{[ 20 ]}${\displaystyle E\supseteq F}$ ${\displaystyle E\supseteq F}$ ${\displaystyle K\supseteq F}$

体Fの分離閉包F ^{sep は、} Fの代数閉包におけるFの分離閉包である。これはFの最大ガロア拡大である。定義により、Fが完全であるための必要十分条件は、その分離閉包と代数閉包が一致することである。

超越的拡張の分離可能性

超越的拡大を扱う際には、分離可能性の問題が生じる可能性がある。これは典型的には、素特性体上の代数幾何学において、代数多様体の関数体が基底体上の超越次数を持ち、その値が多様体の 次元に等しい場合に当てはまる。

超越的拡大の分離可能性を定義するには、任意の体拡大が純粋超越的拡大の代数的拡大であるという事実を用いるのが自然である。これは以下の定義につながる。

拡大の分離超越基底とは、EがF ( T )の分離可能な代数拡大となるようなEの超越基底Tのことである。有限生成体拡大が分離可能となるのは、それが分離超越基底を持つ場合のみである。有限生成でない拡大が分離可能と呼ばれるのは、すべての有限生成部分拡大が分離超越基底を持つ場合である。^{[ 21 ]}${\displaystyle E\supseteq F}$

を特性指数pの体拡大とする（つまり、特性0においてp = 1であり、それ以外の場合にはpが特性である）。以下の性質は同値である。 ${\displaystyle E\supseteq F}$

• EはFの分離可能な拡張であり、
• ${\displaystyle E^{p}}$ とFは線形分離している${\displaystyle F^{p},}$
• ${\displaystyle F^{1/p}\otimes _{F}E}$ が削減され、
• ${\displaystyle L\otimes _{F}E}$ はEの体拡大Lごとに減少し、

ここで、は体 のテンソル積を表し、はFの元のp乗の体（任意の体Fに対して）、 はFにそのすべての元のp乗根を付加することによって得られる体です（詳細については、分離可能代数を参照してください）。 ${\displaystyle \otimes _{F}}$ ${\displaystyle F^{p}}$ ${\displaystyle F^{1/p}}$

差別基準

分離可能性は微分を用いて研究することができる。Eを体Fの有限生成体拡大とする。E のF線型微分からなるEベクトル空間を次のよう に表す。${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)}$

${\displaystyle \dim _{E}\operatorname {Der} _{F}(E,E)\geq \operatorname {tr.deg} _{F}E,}$

そして、この等式は、 EがF上で分離可能である場合にのみ成立します(ここで、「tr.deg」は超越度を表します)。

特に、が代数的拡大であるとき、が分離可能であるときのみ、となる。^{[ 22 ]}${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)=0}$ ${\displaystyle E/F}$

をおよびの基底とする。このとき、が 上で代数的に分離可能であることと、行列が逆行列である場合に限ります。特に、 のとき、この行列が逆行列となることと、が分離超越基底である 場合に限ります。${\displaystyle D_{1},\ldots,D_{m}}$ ${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}\in E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F(a_{1},\ldots,a_{m})}$ ${\displaystyle D_{i}(a_{j})}$ ${\displaystyle m=\operatorname {tr.deg} _{F}E}$ ${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{m}\}}$

注記

1. アイザックス、281ページ
2. アイザックス、定理 18.11、p. 281
3. アイザックス、定理 18.13、p. 282
4. アイザックス、298ページ
5. アイザックス、280ページ
6. アイザックス、補題 18.7、p. 280
7. アイザックス、定理 19.4、p. 295
8. アイザックス、系19.5、296ページ
9. アイザックス、系19.6、296ページ
10. アイザックス、系19.9、298ページ
11. アイザックス、定理 19.7、p. 297
12. アイザックス、299ページ
13. アイザックス、補題 19.15、300 ページ
14. アイザックス、系18.12、p. 281 および系19.17、p. 301
15. アイザックス、定理 19.14、p. 300
16. アイザックス、302ページ
17. Lang 2002、系V.6.2
18. アイザックス、定理 19.19、p. 302
19. アイザックス、補題 19.20、302 ページ
20. アイザックス、系 19.21、303 ページ
21. フリード＆ジャーデン（2008）p.38
22. フリード＆ジャーデン（2008）p.49

参考文献

• Borel, A.線形代数群、第 2 版。
• PM Cohn (2003). 基礎代数
• フリード、マイケル D.ジャーデン、モーシェ (2008)。フィールド演算。 Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 3.フォルゲ。 Vol. 11（第3版）。スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl  1145.12001 .
• I. マーティン・アイザックス(1993).大学院課程における代数学（第1版）. Brooks/Cole Publishing Company. ISBN 0-534-19002-2。
• カプランスキー、アーヴィング(1972).体と環. シカゴ数学講義（第2版）. シカゴ大学出版局. pp.  55– 59. ISBN 0-226-42451-0. Zbl  1001.16500 .
• ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95385-4、MR  1878556
• 永田正之(1985). 可換体論 新版, 裳華房. [1]
• シルバーマン、ジョセフ（1993）『楕円曲線の算術』シュプリンガー社、ISBN 0-387-96203-4。

外部リンク

• 「体kの可分拡大」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]