熱方程式

数学および物理学（特に熱力学）において、熱方程式は放物型偏微分方程式です。熱方程式の理論は、熱などの量が特定の領域をどのように拡散するかをモデル化する目的で、1822年にジョセフ・フーリエによって初めて提唱されました。それ以来、熱方程式とその変種は、純粋数学と応用数学の両方の多くの分野において基礎的なものであることが明らかになっています。

意味

$R$ $n$ の開集合 $Uと$ $R$ の部分区間 $I$ が与えられたとき、関数 $u$ $:$ $U$ $\times$ $I$ $\to$ $R$ が熱方程式の解であるとは、

{\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}},

ここで $、(x 1, ..., x n, t)$ は定義域の一般的な点を表す。^{[ 1 ]} $抽象的な文脈では、これらの表現が直感的な意味を持たない場合でも、 t を$ 時間、 $x 1, ..., x n を$ 空間変数と呼ぶのが一般的である。空間変数の集合は、単に $xと呼ばれることが多い。$ $t$ の任意の値に対して、方程式の右辺は関数 $u$ $(\cdot,$ $t$ $) :$ $U$ $\to$ $R$ のラプラシアンである。そのため、熱方程式はより簡潔に次のように書かれることが多い。

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u$

物理学や工学の分野、特に媒体を通じた拡散の分野では、直交座標系を固定し、 3つの空間変数 $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $)$ と時間変数 $tからなる$ 関数 $u (x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $,$ $t$ $)$ の具体的なケースを考えるのが一般的です。u $が$ 熱方程式の解であるとは、次の式で表されます。

{\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)

ここで、 $α$ は媒体の熱拡散率と呼ばれる正の係数です。他の物理現象に加えて、この式は均質かつ等方性の媒体における熱の流れを記述します。u $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $,$ $t$ $)$ $は$ $点($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $)$ と時間 $t$ における温度です。媒体が均質かつ等方性でない場合、 $α は固定係数ではなく、$ $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $)$ に依存し、式の形も若干異なります。物理学および工学の文献では、ラプラシアンを表すのに $∆$ ではなく $\nabla$ $2$ を使用するのが一般的です。

数学だけでなく物理学や工学でも、時間微分にはニュートンの表記法が一般的に使われており、それは次のように表される $。$ ${\dot {u}}$ $\partialu / \partialt ⁠$ なので、この式は次のように書ける。

${\dot {u}}=\デルタ u$

また、空間変数を明示的に参照することなく、ラプラシアンを $∆$ または $\nabla 2$ のいずれかで表すことができる点は、ラプラシアンが座標系の選択に依存しないという事実を反映していることにも留意してください。数学的に言えば、ラプラシアンは並進不変および回転不変であると言えます。実際、ラプラシアンは（大まかに言えば）これらの対称性を持つ最も単純な微分演算子です。これは、熱拡散が代表例である均質かつ等方的な物理現象をモデル化する際に、ラプラシアンと熱方程式を用いることの重要な（そして純粋に数学的な）正当性を示すものと考えられます。

拡散定数

拡散定数 $α$ は熱方程式の数学的研究ではしばしば考慮されませんが、その値は工学において非常に重要になることがあります。これは大きな違いではありません。以下の理由からです。u $を$ 次の関数とします。

{\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \Delta u.

新しい関数を定義する。すると、連鎖律によれば、 $v(t,x)=u(t/\alpha,x)$

{\frac {\partial }{\partial t}}v(t,x)={\frac {\partial }{\partial t}}u(t/\alpha ,x)=\alpha ^{-1}{\frac {\partial u}{\partial t}}(t/\alpha ,x)=\Delta u(t/\alpha ,x)=\Delta v(t,x)

⁎

$このように、 α$ の一般的な値を持つ熱方程式の解と、 $α = 1$ を持つ熱方程式の解との間では、直接的な変換が可能です。そのため、数学的解析においては、 $α = 1$ の場合のみを考えれば十分な場合が多くあります。

を満たすを定義する別の方法として、を設定する方法があります。ここで議論されている新しい関数を定義する2つの方法は、物理的な意味では、時間の測定単位または長さの測定単位を変更することに相当することに注意してください。 $\alpha >0$ $v$ ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}v=\Delta v}$ $v(t,x)=u(t,\alpha ^{1/2}x)$ $v$

非均質熱方程式

非均質熱方程式は

{\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u+f

与えられた関数は $x$ と $t$ の両方に依存することが許されている。^[¹^]不均質熱方程式は、 $f$ でモデル化された熱源がオンになっている熱問題をモデル化する。例えば、ヒーターがオンになっている部屋全体の温度をモデル化するのに使用できる。がヒーターが設置されている部屋の領域であり、ヒーターが単位体積あたり $q単位の熱を常に発生している場合、$ $f$ はで与えられる。 $f=f(x,t)$ $S\subset U$ $f(x,t)=q1_{S}(x)$

定常状態方程式

熱方程式の解は、時間に対して変化しない場合、定常解と呼ばれます。 $\partial u/\partial t=\Delta u$

0={\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u.

$熱方程式にuを$ 流すと、時間の経過とともに定常解に近づきます。非常に長い時間では、 $uは$ 定常解によって近似されます。熱方程式の定常解は、ラプラス方程式の解と等価です。

同様に、非均質熱方程式の解は、時間に対して変化しない場合、定常解と呼ばれます。 $\partial u/\partial t=\Delta u+f$

0={\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u+f.

これはポアソン方程式の解と同等です。

定常状態の場合、非ゼロの空間温度勾配が存在する場合（または存在しない場合もあります）がありますが、存在する場合は時間の経過とともに変化しません。定常状態方程式は、すべての熱問題における最終結果を記述します。その最終結果は、熱源がオンになり（たとえば、自動車のエンジンが始動した）、すべての永久温度勾配が空間に確立するのに十分な時間が経過し、その後、これらの空間勾配が時間とともに変化しなくなる場合です（エンジンが十分長く作動している自動車の場合も同様です）。もう 1 つの（自明な）解決法は、すべての空間温度勾配も消えることです。この場合は、温度も空間的に均一になります。定常状態方程式はより単純であり、熱輸送のダイナミクスに焦点を当てることなく、材料の物理的性質をよりよく理解するのに役立ちます。これは、温度場と熱輸送が時間とともに平衡状態にあると仮定する単純な工学問題に広く使用されています。 $\nabla u$

解釈

非公式には、ラプラシアン演算子 $∆ は$ 、ある点の近傍における関数の平均値とその点における関数の値の差を表します。したがって、 $u を$ 温度とすると、 $∆u は$ 、各点の周囲の物質が平均してその点の物質よりも高温か低温か（そしてどの程度高温か低温か）を表します。

熱力学第二法則によれば、熱は、高温の物体から隣接する低温の物体へと、それらの間の温度差と物質の熱伝導率に比例して流れます。熱が物質に流入（または流出）すると、その物質の温度は上昇（または低下）します。これは、熱量を物質の量（質量）で割った値に比例し、この比例係数は物質の比熱容量と呼ばれます。

これらの観察結果を組み合わせると、熱方程式は、ある点における物質の加熱（または冷却）速度が、周囲の物質の温度（または冷たさ）に比例することを示唆しています。この方程式の係数 $αは$ 、物質の熱伝導率、比熱、密度を考慮に入れています。 ${\dot {u}}$

方程式の解釈

上記の物理的な考え方の前半は数学的に表現できる。鍵となるのは、任意の固定された $x$ に対して、

{\begin{aligned}u_{(x)}(0)&=u(x)\\u_{(x)}'(0)&=0\\u_{(x)}''(0)&={\frac {1}{n}}\Delta u(x)\end{aligned}}

ここで $u (x) (r)は、$ $x$ を中心とする半径 $r$ の球面上の $u$ の平均値を表す1変数関数であり、次のように定義される。

u_{(x)}(r)={\frac {1}{\omega _{n-1}r^{n-1}}}\int _{\{y:|xy|=r\}}u\,d{\mathcal {H}}^{n-1},

ここで $、 ω n - 1 は$ $n$ 次元ユークリッド空間における単位球の表面積を表す。これは、点 $xにおける$ $∆$ $u$ の値が、 $u$ $($ $x$ $)$ の値と $x$ 近傍の点における $u$ の値との差を測るという上記の記述を形式化するものであり、後者は $r$ が小さな正の値である場合の $u$ $($ $x$ $)$ $($ $r$ $)$ の値によって符号化されるという意味である。

この観察に従うと、熱方程式は関数の無限小平均化を課すものとして解釈できる。熱方程式の解が与えられた場合、 $τ$ が小さな正の値であるときの $u (x, t + τ)$ の値は次のように近似できる $。$ $1 / 2 n ⁠$ $x$ を中心とする非常に小さな半径の球面上の $関数u (\cdot, t)$ の平均値を倍します。

ソリューションの特徴

1次元熱偏微分方程式の解。温度( )は、最初は1次元の1単位長区間( x = [0,1])上に分布し、両端は絶縁されている。この分布は時間の経過とともに平衡状態に近づく。 $u$

{\displaystyle u} — 1次元熱偏微分方程式の解。温度( )は、最初は1次元の1単位長区間( x = [0,1])上に分布し、両端は絶縁されている。この分布は時間の経過とともに平衡状態に近づく。 $u$

熱方程式は、の山（極大値）は徐々に削られ、谷（極小値）は埋められることを示唆しています。ある点における値は、その近傍の平均値と等しい限り安定します。特に、近傍の値が線形関数に非常に近い場合、その時点では近傍の中心の値は変化しません（つまり、導関数はゼロになります）。 $u$ $Ax+By+Cz+D$ ${\dot {u}}$

より微妙な帰結として、最大値原理が挙げられます。これは、媒質のどの領域においても、の最大値は、の境界上でない限り、において以前に発生した最大値を超えることはないというものです。つまり、ある領域における最高温度は、の外部から熱が流入した場合にのみ上昇します。これは放物型偏微分方程式の性質であり、数学的に証明するのは難しくありません（下記参照）。 $u$ $R$ $R$ $R$ $R$ $R$

もう一つの興味深い特性は、媒質内部のある表面において、最初は値が急激に上昇（不連続）したとしても、その表面を流れる瞬間的な、ごく短時間だが無限大の熱流速によって、その上昇はすぐに平滑化されるという点です。例えば、最初は均一だが異なる温度とにある2つの孤立した物体を接触させると、接触点の温度はすぐに中間値を取り、その点の周囲にとの間で徐々に変化する領域が形成されます。 $u$ $u_{0}$ $u_{1}$ $u$ $u_{0}$ $u_{1}$

媒体中のある点に一定量の熱が突然加えられると、その熱は拡散波としてあらゆる方向に広がります。弾性波や電磁波とは異なり、拡散波の速度は時間とともに低下します。拡散波が広い領域に広がるにつれて温度勾配が減少し、熱流も減少します。

具体的な例

均一な棒内の熱の流れ

熱の流れについては、熱伝導とエネルギー保存の物理法則から熱方程式が導き出されます（Cannon 1984）。

等方性媒体のフーリエの法則によれば、表面を通る単位面積あたりの熱エネルギーの流量は、その表面全体の負の温度勾配に比例します。

\mathbf {q} =-k\,\nabla u

ここで、は物質の熱伝導率、は温度、は空間と時間の点における熱流の大きさと方向を表すベクトル場です。 $k$ $u=u(\mathbf {x} ,t)$ $\mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {x} ,t)$ $\mathbf {x}$ $t$

媒質が均一な断面と材質の細い棒である場合、位置xは単一の座標であり、熱流はスカラー場となる。方程式は $q=q(t,x)$ $x$

q=-k\,{\frac {\partial u}{\partial x}}

各点および各時刻における棒の単位体積あたりの内部エネルギー（熱）をとする。物質の単位体積あたりの熱の変化率は、その温度の変化率に比例する。つまり、 $Q=Q(x,t)$ $\partial Q/\partial t$ $\partial u/\partial t$

{\frac {\partial Q}{\partial t}}=c\,\rho \,{\frac {\partial u}{\partial t}}

ここで、は比熱容量（気体の場合は定圧時）、は物質の密度（単位体積あたりの質量）です。この導出では、物質の質量密度と熱容量は空間的にも時間的にも一定であると仮定しています。 $c$ $\rho$

を中心とする媒質の微小要素にエネルギー保存の法則を適用すると、ある点における熱変化率は、その点における熱流の微分（粒子の両側の熱流の差）に等しいという結論が導き出される。つまり、 $x$ $x$

{\frac {\partial Q}{\partial t}}=-{\frac {\partial q}{\partial x}}

上記の式から、

{\frac {\partial u}{\partial t}}\;=\;-{\frac {1}{c\rho }}{\frac {\partial q}{\partial x}}\;=\;-{\frac {1}{c\rho }}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(-k\,{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\;=\;{\frac {k}{c\rho }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}

これは拡散係数を持つ1次元の熱方程式である

\alpha ={\frac {k}{c\rho }}

この量は媒体の熱拡散率と呼ばれます。

放射損失を考慮する

放射による熱損失を考慮するために、式に追加の項を導入することができる。ステファン・ボルツマンの法則によれば、この項はであり、は周囲の温度、はステファン・ボルツマン定数、物質の放射率、および形状に依存する係数である。内部エネルギーの変化率は $\mu \left(u^{4}-v^{4}\right)$ $v=v(x,t)$ $\mu$

{\frac {\partial Q}{\partial t}}=-{\frac {\partial q}{\partial x}}-\mu \left(u^{4}-v^{4}\right)

そして進化の方程式は $u$

{\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {k}{c\rho }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {\mu }{c\rho }}\left(u^{4}-v^{4}\right).

不均一等方性媒体

熱力学第一法則（すなわちエネルギー保存則）によって与えられる状態方程式は、以下の形式で表されます（質量移動や放射は考慮しません）。この形式はより一般的なため、どの特性（例えばc _pや）がどの項に影響を与えるかを認識するのに特に役立ちます。 $\rho$

\rho c_{p}{\frac {\partial T}{\partial t}}-\nabla \cdot \left(k\nabla T\right)={\dot {q}}_{V}

体積熱源はどこですか。 ${\dot {q}}_{V}$

非均質異方性媒体における熱流

一般的に、熱伝導の研究はいくつかの原理に基づいています。熱流はエネルギーの流れの一種であるため、空間領域への熱の流入速度の時間変化について論じることは意味があります。

領域Vへの熱流入速度は時間依存量q _t ( V )で与えられる。qの密度をQとすると、 $q_{t}(V)=\int _{V}Q(x,t)\,dx\quad$
熱流は、時間依存のベクトル関数H ( x ) で、次のように特徴付けられます。面積dSで単位法線ベクトルnを持つ微小表面要素を流れる熱の時間速度は、したがって、 Vへの熱流入速度も表面積分で与えられます。ここで、n ( x ) はxにおける外向きの法線ベクトルです。 $\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS.$ $q_{t}(V)=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS$
フーリエの法則によれば、熱エネルギーの流れは温度勾配に対して次のような線形依存性を持ちます。ここで、A ( x )は対称かつ正定値の3×3実数行列です。 $\mathbf {H} (x)=-\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)$
発散定理により、 Vへの熱流に対する前述の面積分は体積積分に変換できる。 ${\begin{aligned}q_{t}(V)&=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS\\&=\int _{\partial V}\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS\\&=\int _{V}\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}{\bigl (}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x,t){\bigr )}\,dx\end{aligned}}$
xにおける温度変化の時間率は、微小体積要素に流入する熱量に比例し、比例定数は定数κに依存する。 $\partial _{t}u(x,t)=\kappa (x)Q(x,t)$

これらの方程式をまとめると、熱の流れの一般的な方程式が得られます。

\partial _{t}u(x,t)=\kappa (x)\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}{\bigl (}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x,t){\bigr )}

備考

係数κ ( x ) は、xにおける物質の比熱× xにおける物質の密度の逆数です。 $\kappa =1/(\rho c_{p})$
等方性媒体の場合、行列Aは熱伝導率kに等しいスカラー行列です。
異方性の場合、係数行列Aがスカラーでない場合やxに依存する場合は、熱方程式の解の明示的な式を書き下すことはほとんどできませんが、関連する抽象的なコーシー問題を考えて、それが適切問題であることを示すことや、何らかの質的特性（正の初期データの保存、無限の伝播速度、平衡への収束、平滑化特性など）を示すことは通常可能です。これは通常、1パラメータ半群理論によって行われます。たとえば、A が対称行列の場合、によって定義される楕円演算子は自己随伴かつ散逸的であるため、スペクトル定理により 1 パラメータ半群が生成されます。 $Au(x):=\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x)$

3次元の問題

3次元空間における等方性かつ均質な媒体における熱の伝播の特殊なケースでは、この式は

{\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \nabla ^{2}u=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)

=\alpha \left(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}\right)

どこ：

$u=u(x,y,z,t)$ 温度は空間と時間の関数として表されます。
${\tfrac {\partial u}{\partial t}}$ ある点における時間の経過に伴う温度の変化率です。
$u_{xx}$ 、、はそれぞれ、、、方向における温度の2次空間微分（熱伝導）です。 $u_{yy}$ $u_{zz}$ $x$ $y$ $z$
$\alpha \equiv {\tfrac {k}{c_{p}\rho }}$ は熱拡散率であり、熱伝導率 、比熱容量、質量密度に依存する材料固有の量です。 $k$ $c_{p}$ $\rho$

熱方程式はフーリエの伝導の法則の結果です (熱伝導を参照)。

媒質が空間全体ではない場合、熱方程式を一意に解くためには、uの境界条件も指定する必要がある。空間全体における解の一意性を決定するには、解の増加に関する指数的境界^[²^]や符号条件（ David Widderの結果により、非負の解は一意である）など、追加の条件を仮定する必要がある。^[³^]

熱方程式の解は、物体の高温部から低温部への熱の流れによって、初期温度分布が徐々に平滑化されるという特徴があります。一般的に、多くの異なる状態や初期条件は、同じ安定平衡点に向かう傾向があります。したがって、解を逆にして、現在の熱分布から過去の時点や初期条件について何かを結論付けることは、ごく短い期間を除いて、非常に不正確です。

熱方程式は放物型偏微分方程式の典型的な例です。

ラプラス演算子を使用すると、熱方程式は簡略化され、任意の次元数の空間上の同様の方程式に一般化される。

u_{t}=\alpha \nabla ^{2}u=\alpha \Delta u,

ここで、ラプラス演算子はΔまたは∇2（勾配の発散）として表され^、空間変数に採用されます。

熱方程式は、熱拡散だけでなく、粒子拡散や神経細胞における活動電位の伝播といった他の拡散過程も支配します。量子力学の問題の中には、本質的に拡散的ではないものの、熱方程式の数学的類似物によって支配されるものもあります（下記参照）。また、ブラック・ショールズ過程やオルンシュタイン・ウーレンベック過程など、金融分野で生じるいくつかの現象をモデル化するためにも使用できます。この方程式、および様々な非線形類似物は、画像解析にも利用されています。

熱伝導方程式は、その解が擾乱の瞬間的な伝播を伴うため、技術的には特殊相対性理論に違反している。前方光円錐の外側の擾乱部分は通常無視できるが、熱伝達に適切な速度を求める必要がある場合は、代わりに双曲型問題、例えば2階の時間微分を含む偏微分方程式などを考慮する必要がある。非線形熱伝導モデル（放物型方程式でもある）の中には、有限の熱伝達速度を持つ解を持つものがある。^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

内部発熱

上記の関数uは物体の温度を表します。あるいは、単位を変えてuを媒体の熱密度として表す方が便利な場合もあります。均質媒体では熱密度は温度に比例するため、新しい単位でも熱方程式は成り立ちます。

ある物体が熱方程式に従い、さらに、空間と時間で変化する既知の関数qで与えられる速度で、単位体積あたりの熱（例えば、ワット/リットル - W/L）を生成すると仮定する。 ^{[ 6 ]}このとき、単位体積あたりの熱uは次の式を満たす。

{\frac {1}{\alpha }}{\frac {\partial u}{\partial t}}=\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{k}}q.

例えば、タングステン電球のフィラメントは熱を発生するため、点灯時にはqは正の値（非ゼロ）になります。電球が消灯しているときは、タングステンフィラメントの qはゼロになります。

フーリエ級数を用いた熱方程式の解法

熱方程式の次の解法は、ジョゼフ・フーリエが1822年に出版した論文『熱伝導の分析理論』の中で提案したものです。1つの空間変数に対する熱方程式を考えてみましょう。これは棒における熱伝導をモデル化するのに使用できます。方程式は

\displaystyle u_{t}=\alpha u_{xx}

1

ここでu = u ( x , t ) は2つの変数xとtの関数である。

xは空間変数なのでx∈ [0, L ]となり、Lは棒の長さです。
tは時間変数なので、t ≥ 0 となります。

初期条件を仮定する

u(x,0)=f(x)\quad \forall x\in [0,L]

2

ここで関数fは与えられており、境界条件は

u(0,t)=0=u(L,t)\quad \forall t>0

。

3

境界条件（3）を満たす、完全にゼロではないが、次の性質を持つ（ 1 ）の解を見つけようとします： uは、 uのx、tへの依存性が分離された積です。つまり、

u(x,t)=X(x)T(t).

4

この解法は変数分離法と呼ばれます。uを式( 1 )に代入すると、

{\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}.

右辺はxのみに依存し、左辺はtのみに依存するため、両辺は定数 − λに等しくなります。したがって、

T'(t)=-\lambda \alpha T(t)

5

そして

X''(x)=-\lambda X(x).

6

ここで、 λ≤0の値に対して（ 6 ）の非自明な解は発生しないことを示す。

λ < 0と仮定する。すると、実数B、Cが存在し、( 3 ) からX (0) = 0 = X ( L )となり、したがってB = 0 = Cとなり、uは0となる。 $X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}.$
λ = 0と仮定する。すると、 X ( x ) = Bx + Cを満たす実数B、Cが存在する。式( 3 )から、式1と同様にuが0であることが分かる。
したがって、 λ > 0でなければならない。すると、次の式を満たす実数A、B、Cが存在する。 ( 3 )から、 C = 0 となり、ある正の整数nに対して、 $T(t)=Ae^{-\lambda \alpha t}$ $X(x)=B\sin \left({\sqrt {\lambda }}\,x\right)+C\cos \left({\sqrt {\lambda }}\,x\right).$ ${\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}.$

これはuの依存性が特殊な形( 4 )を持つ特殊なケースの熱方程式を解きます。

一般に、境界条件( 3 )を満たす( 1 )の解の和は、( 1 )と( 3 )も満たす。( 1 )、( 2 )、( 3 ) の解は次のように与えられる。

u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}}

どこ

D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\,dx.

解決手法の一般化

上記で用いた解法は、他の多くの種類の方程式にも大きく拡張できます。その考え方は、零境界条件を持つ作用素u _xxをその固有関数で表せるというものです。これは、線形自己随伴作用素のスペクトル理論の基本的なアイデアの一つに自然につながります。

線型演算子Δ u = u _xxを考える。関数の無限列

e_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)

n ≥ 1はΔ の固有関数である。実際、

\Delta e_{n}=-{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}e_{n}.

さらに、境界条件f (0) = f ( L ) = 0 を満たす Δ の任意の固有関数fは、あるn ≥ 1に対してe _nの形をとる。関数e _n（n ≥ 1）は、[0, L ]上の実数値関数空間上の特定の内積に関して直交列を形成する。これは、

\langle e_{n},e_{m}\rangle =\int _{0}^{L}e_{n}(x)e_{m}^{*}(x)dx=\delta _{mn}

最後に、列 { e _n } _{n ∈ N}はL ² ((0, L ))の稠密な線型部分空間を張る。これは、実質的に演算子 Δ を対角化していることを示す。

平均値特性

熱方程式の解

(\partial _{t}-\Delta )u=0

調和関数の平均値特性に類似した平均値特性を満たす。

\Delta u=0,

少し複雑ですが、正確には、

(\partial _{t}-\Delta )u=0

そして

(x,t)+E_{\lambda }\subset \mathrm {dom} (u)

それから

u(x,t)={\frac {\lambda }{4}}\int _{E_{\lambda }}u(x-y,t-s){\frac {|y|^{2}}{s^{2}}}ds\,dy,

ここで、は熱球であり、熱方程式の基本解のスーパーレベルセットです。 $E_{\lambda }$

E_{\lambda }:=\{(y,s):\Phi (y,s)>\lambda \},

\Phi (x,t):=(4t\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{\frac {|x|^{2}}{4t}}\right).

注意してください

\mathrm {diam} (E_{\lambda })=o(1)

十分に大きい場合、上記の式は（開）集合内の任意のものに対して成立する。^[⁷^] $\lambda \to \infty$ $(x,t)$ $\mathrm {dom} (u)$ $\lambda$

根本的な解決策

熱方程式の基本解とは、既知の位置にある初期点熱源の初期条件に対応する解である。これは、特定の領域における熱方程式の一般解を求めるために用いることができる（例えば、Evans 2010 を参照）。

1変数の場合、グリーン関数は初期値問題の解である（デュアメルの原理によれば、グリーン関数の定義は、最初の方程式の解としてデルタ関数を持つものと同等である）。

{\begin{cases}u_{t}(x,t)-ku_{xx}(x,t)=0&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,\infty )\\u(x,0)=\delta (x)&\end{cases}}

ここで、はディラックのデルタ関数である。この問題の基本解は熱核によって与えられる。 $\delta$

\Phi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right).

畳み込みを適用することで、初期条件u ( x , 0) = g ( x )（−∞ < x < ∞、0 < t < ∞）を持つ1変数熱方程式の一般解を得ることができます。

u(x,t)=\int \Phi (x-y,t)g(y)dy.

複数の空間変数において、基本解は類似の問題を解く。

{\begin{cases}u_{t}(\mathbf {x} ,t)-k\sum _{i=1}^{n}u_{x_{i}x_{i}}(\mathbf {x} ,t)=0&(\mathbf {x} ,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times (0,\infty )\\u(\mathbf {x} ,0)=\delta (\mathbf {x} )\end{cases}}

n変数の基本解は各変数の基本解の積である。すなわち、

\Phi (\mathbf {x} ,t)=\Phi (x_{1},t)\Phi (x_{2},t)\cdots \Phi (x_{n},t)={\frac {1}{(4\pi kt)^{n/2}}}\exp \left(-{\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }{4kt}}\right).

R ⁿ上の熱方程式の一般解は畳み込みによって得られるので、u ( x , 0) = g ( x ) の初期値問題を解くには、

u(\mathbf {x} ,t)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (\mathbf {x} -\mathbf {y} ,t)g(\mathbf {y} )d\mathbf {y} .

R ⁿ内の領域 Ω 上の一般的な問題は

{\begin{cases}u_{t}(\mathbf {x} ,t)-k\sum _{i=1}^{n}u_{x_{i}x_{i}}(\mathbf {x} ,t)=0&(\mathbf {x} ,t)\in \Omega \times (0,\infty )\\u(\mathbf {x} ,0)=g(\mathbf {x} )&\mathbf {x} \in \Omega \end{cases}}

ディリクレ境界またはノイマン境界のデータを用いて。グリーン関数は常に存在するが、領域Ωを1変数問題に容易に分解できない限り（下記参照）、明示的に記述することができない可能性がある。グリーン関数を得るための他の方法としては、像法、変数分離、ラプラス変換などがある（Cole, 2011）。

1次元におけるグリーン関数の解

1次元における様々な基本的なグリーン関数解がここに記録されているが、他にも多くのものが他の文献で入手可能である。^{[ 8 ]}これらのいくつかでは、空間領域は(−∞,∞)である。他のいくつかでは、空間領域はノイマンまたはディリクレ境界条件のいずれかを伴う半無限区間(0,∞)である。さらにもう一つのバリエーションとして、これらのいくつかは、非同次方程式を解く。

u_{t}=ku_{xx}+f.

ここで、fはxとtの与えられた関数です。

均質熱方程式

(−∞,∞)の初期値問題: ${\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{Initial condition}}\end{cases}}$; $u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)g(y)\,dy$

{\displaystyle \Phi (x,t)} — 1次元熱方程式の基本解。赤：の時間経過。青：選択された2点（x ₀ = 0.2およびx ₀ = 1）におけるの時間経過。立ち上がり時間／遅延と振幅の違いに注意してください。インタラクティブバージョン。 $\Phi (x,t)$ $\Phi (x_{0},t)$

コメント。この解は、基本解の変数xに関する畳み込みである。

\Phi (x,t):={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right),

そして関数g ( x )。（基本解のグリーン関数数はX00である。）

したがって、畳み込みの微分に関する一般的な性質によれば、u = g ∗ Φは同じ熱方程式の解であり、

\left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)(\Phi *g)=\left[\left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)\Phi \right]*g=0.

さらに、

\Phi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {t}}}\,\Phi \left({\frac {x}{\sqrt {t}}},1\right)

\int _{-\infty }^{\infty }\Phi (x,t)\,dx=1,

したがって、恒等式への近似に関する一般的な事実により、特定のgに応じて、さまざまな意味でt → 0のときにΦ(⋅, t ) ∗ g → gが成り立ちます。たとえば、gがR 上で有界かつ連続であると仮定すると、 t → 0のときにΦ (⋅, t ) ∗ g はgに一様収束します。つまり、u ( x , t ) はR × [0, ∞)上で連続であり、 u ( x , 0) = g ( x )となります。

同次ディリクレ境界条件を持つ(0,∞)上の初期値問題: ${\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{IC}}\\u(0,t)=0&{\text{BC}}\end{cases}}$; $u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right]g(y)\,dy$

注釈。この解は、前式をRに適切に拡張したデータg ( x )に適用することで得られ、奇関数となる。つまり、すべてのxに対してg (−x ) :=− g ( x )とおく。同様に、(−∞,∞)における初期値問題の解は、 tのすべての値に対して変数xに関する奇関数であり、特に同次ディリクレ境界条件u (0, t )=0を満たす。この解のグリーン関数数はX10である。

同次ノイマン境界条件を持つ(0,∞)上の初期値問題: ${\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{IC}}\\u_{x}(0,t)=0&{\text{BC}}\end{cases}}$; $u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right]g(y)\,dy$

コメント。この解は、最初の解の公式をRに適切に拡張したデータg ( x )に、偶関数となるように適用することで得られる。つまり、すべてのxに対してg (−x ) := g ( x )とおく。同様に、 R上の初期値問題の解は、t > 0のすべての値に対して変数xに関する偶関数であり、特に滑らかであるため、同次ノイマン境界条件ux ₍ 0, t )=0を満たす。この解のグリーン関数数はX20である。

同次初期条件と非同次ディリクレ境界条件を持つ(0,∞)上の問題: ${\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&{\text{IC}}\\u(0,t)=h(t)&{\text{BC}}\end{cases}}$; $u(x,t)=\int _{0}^{t}{\frac {x}{\sqrt {4\pi k(t-s)^{3}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4k(t-s)}}\right)h(s)\,ds,\qquad \forall x>0$

コメント。この解は、変数tに関する畳み込みである。

\psi (x,t):=-2k\partial _{x}\Phi (x,t)={\frac {x}{\sqrt {4\pi kt^{3}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right)

関数h ( t )についても同様である。Φ( x , t )は

\partial _{t}-k\partial _{x}^{2},

関数ψ ( x , t ) も同じ熱方程式の解であり、畳み込みの微分に関する一般的な性質により、 u := ψ ∗ hも同様である。さらに、

\psi (x,t)={\frac {1}{x^{2}}}\,\psi \left(1,{\frac {t}{x^{2}}}\right)

\int _{0}^{\infty }\psi (x,t)\,dt=1,

したがって、恒等式への近似に関する一般的な事実により、特定のhに応じて、さまざまな意味でx → 0のときにψ ( x , ⋅) ∗ h → hが成り立ちます。たとえば、h が[0, ∞) に台があってR上で連続であると仮定すると、ψ ( x , ⋅) ∗ h はx → 0のときにコンパクト上でhに一様収束します。つまり、u ( x , t ) は[0, ∞) × [0, ∞)上で連続で、u (0, t ) = h ( t )となります。

非均質熱方程式の数値解を示す。この方程式は、初期条件と境界条件を0とし、コンロのバーナーを表す熱源項を用いて解かれた。

不均質熱方程式

(-∞,∞)同次初期条件に関する問題

コメント。この解は、 R ^{2における、つまり変数}xとtの両方に関する基本解の畳み込みである。

\Phi (x,t):={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right)

関数f ( x , t )は、どちらもR ²全体で定義され、すべてのt → 0 に対して0であることを意味します。

\left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)(\Phi *f)=f,

これを分布の言語で表現すると

\left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)\Phi =\delta ,

ここで分布 δ はディラックのデルタ関数、つまり 0 における評価です。

同次ディリクレ境界条件と初期条件を持つ(0,∞)上の問題: ${\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f(x,t)&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&{\text{IC}}\\u(0,t)=0&{\text{BC}}\end{cases}}$; $u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)\right)f(y,s)\,dy\,ds$

コメント。この解は、変数xの奇関数となるように、つまりすべての x と t についてf ( − x , t ) := − f ( x , t ) とするように、 R × [0, ∞ )に適切に拡張されたデータf ( x , t )に前述の式を適用することで得られます。同様に、 (−∞,∞) 上の不同次問題の解は、 tのすべての値について変数xに関する奇関数であり、特に同次ディリクレ境界条件u (0, t ) = 0 を満たします。

同次ノイマン境界条件と初期条件を持つ(0,∞)上の問題: ${\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f(x,t)&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&{\text{IC}}\\u_{x}(0,t)=0&{\text{BC}}\end{cases}}$; $u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)\right)f(y,s)\,dy\,ds$

コメント。この解は、変数xの偶関数となるようにR × [0,∞)に適切に拡張されたデータf ( x , t ) に適用された最初の式から得られます。つまり、すべてのxとtについてf (− x , t ) := f ( x , t )とします。同様に、 (−∞,∞) 上の不同次問題の解は、tのすべての値について変数xに関する偶関数であり、特に滑らかな関数であるため、同次ノイマン境界条件u _x (0, t ) = 0 を満たします。

例

熱方程式は線形であるため、境界条件、不均質項、初期条件の他の組み合わせの解は、上記のグリーン関数の解の適切な線形結合を取ることによって見つけることができます。

例えば、

{\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{IC}}\end{cases}}

u = w + vとすると、wとvは問題を解く

{\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx}\,&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,\infty )\\v(x,0)=0,\,w(x,0)=g(x)\,&{\text{IC}}\end{cases}}

同様に、

{\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{IC}}\\u(0,t)=h(t)&{\text{BC}}\end{cases}}

u = w + v + rとすると、 w、v、rは問題を解く

{\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx},\,r_{t}=kr_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\v(x,0)=0,\;w(x,0)=g(x),\;r(x,0)=0&{\text{IC}}\\v(0,t)=0,\;w(0,t)=0,\;r(0,t)=h(t)&{\text{BC}}\end{cases}}

アプリケーション

熱方程式は、典型的な放物型偏微分方程式として、純粋数学で最も広く研究されているトピックの 1 つであり、その解析は偏微分方程式というより広い分野の基礎と見なされています。熱方程式はリーマン多様体上でも考えられ、多くの幾何学的応用につながっています。 Subbaramiah MinakshisundaramとÅke Pleijelの研究に続いて、熱方程式はスペクトル幾何学と密接に関連しています。熱方程式の独創的な非線形変種は、1964 年に James EellsとJoseph Sampsonによって微分幾何学に導入され、 1982 年にRichard Hamiltonによるリッチフロー導入のきっかけとなり、2003 年にGrigori Perelmanによるポアンカレ予想の証明につながりました。熱核として知られる熱方程式の特定の解は、アティヤ–シンガーの指数定理への応用で例示されるように、それが定義されている領域に関する微妙な情報を提供します。^[⁹^]

熱方程式とその変種は、科学や応用数学の多くの分野でも重要です。確率論では、熱方程式はフォッカー・プランク方程式を介してランダムウォークやブラウン運動の研究に結び付けられています。金融数学のブラック・ショールズ方程式は熱方程式の小さな変種であり、量子力学のシュレーディンガー方程式は虚時間における熱方程式と見なすことができます。画像解析では、熱方程式はピクセル化を解決したり、エッジを識別するために使用されることがあります。ロバート・リヒトマイヤーとジョン・フォン・ノイマンによる人工粘性法の導入以降、熱方程式の解は流体衝撃波の数学的定式化に役立っています。熱方程式の解は、1950年代のジム・ダグラス、DWピースマン、ヘンリー・ラッチフォード・ジュニアの研究に始まり、数値解析の文献でも大きな注目を集めています。

粒子拡散

粒子の拡散は、次のいずれかの方程式によってモデル化できます。

多数の粒子が集団拡散する場合の粒子の体積濃度（ cと表記）または
単一粒子の位置に関連付けられた確率密度関数（Pと表記）。

どちらの場合も、熱方程式を使用する。

c_{t}=D\Delta c,

または

P_{t}=D\Delta P.

cとPはどちらも位置と時間の関数です。Dは拡散過程の速度を制御する拡散係数であり、通常はメートルの2乗/秒で表されます。拡散係数Dが一定ではなく、濃度c（後者の場合はP ）に依存する場合、非線形拡散方程式が得られます。

ブラウン運動

確率過程を確率微分方程式の解とする $X$

{\begin{cases}\mathrm {d} X_{t}={\sqrt {2k}}\;\mathrm {d} B_{t}\\X_{0}=0\end{cases}}

ここでウィーナー過程（標準ブラウン運動）である。確率密度関数は任意の時点で次のように与えられる。 $B$ $X$ $t$

{\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right)

これは初期値問題の解である

{\begin{cases}u_{t}(x,t)-ku_{xx}(x,t)=0,&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,+\infty )\\u(x,0)=\delta (x)\end{cases}}

ここで、はディラックのデルタ関数です。 $\delta$

自由粒子のシュレーディンガー方程式

単純な割り算により、力場が作用していない質量mの単一粒子に対するシュレーディンガー方程式は次のように書き直すことができます。

\psi _{t}={\frac {i\hbar }{2m}}\Delta \psi

、

ここで、 iは虚数単位、ħは換算プランク定数、ψは粒子の波動関数です。

この方程式は、次の変換によって得られる粒子拡散方程式と形式的には類似しています。

{\begin{aligned}c(\mathbf {R} ,t)&\to \psi (\mathbf {R} ,t)\\D&\to {\frac {i\hbar }{2m}}\end{aligned}}

この変換を粒子拡散の場合に決定されたグリーン関数の式に適用すると、シュレーディンガー方程式のグリーン関数が得られ、これを使用して、 t = 0での波動関数の積分を通じて任意の時点の波動関数を取得できます。

\psi (\mathbf {R} ,t)=\int \psi \left(\mathbf {R} ^{0},t=0\right)G\left(\mathbf {R} -\mathbf {R} ^{0},t\right)dR_{x}^{0}\,dR_{y}^{0}\,dR_{z}^{0},

と

G(\mathbf {R} ,t)=\left({\frac {m}{2\pi i\hbar t}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {\mathbf {R} ^{2}m}{2i\hbar t}}}.

注：量子力学と拡散の間のこの類似性は、純粋に形式的なものである。物理的には、シュレーディンガー方程式を満たす波動関数の発展は、拡散以外の起源を持つ可能性がある。

ポリマーの熱拡散率

熱方程式をフーリエ理論と組み合わせた球座標系での直接的な実用的応用として、熱伝達プロファイルの予測とポリマーの熱拡散率の測定が挙げられる（Unsworth and Duarte）。この理論と実験を融合した手法は、ゴム、実用上重要な様々なポリマー材料、そしてマイクロ流体に適用できる。これらの著者らは、球の中心温度 $T$ $Cを表す式を導出した。$

{\frac {T_{C}-T_{S}}{T_{0}-T_{S}}}=2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\exp \left({-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}}\right)

ここで、 $T 0$ は球体の初期温度、 $T S は$ $半径L$ の球体表面の温度です。この式は、タンパク質のエネルギー移動や生物物理学における熱モデリングにも応用されています。

金融数学

熱方程式は多くの現象に現れ、金融数学のオプションモデル化でよく使用されます。ブラック・ショールズ・オプション価格設定モデルの微分方程式は熱方程式に変換でき、使い慣れた数学体系から比較的簡単に解くことができます。単純なオプションモデルの拡張の多くは閉じた形の解を持たないため、モデル化されたオプション価格を得るには数値的に解く必要があります。多孔質媒体における圧力拡散を記述する方程式は、熱方程式と同じ形式です。ディリクレ、ノイマン、ロビン境界条件を扱う拡散問題には、閉じた形の解析解があります（Thambynayagam 2011）。

画像解析

熱方程式は画像解析（Perona & Malik 1990）や機械学習において、スケールスペース法やグラフラプラシアン法の駆動理論として広く用いられています。熱方程式は、（ Crank & Nicolson 1947 ）の暗黙的なクランク・ニコルソン法を用いて数値的に効率的に解くことができます。この方法は、閉形式解を持たない多くのモデルに拡張できます。例えば（Wilmott, Howison & Dewynne 1995）を参照してください。

リーマン幾何学

多様体上の熱方程式の抽象的な形は、アティヤ・シンガーの指数定理への主要なアプローチを提供し、リーマン幾何学における熱方程式に関するさらなる研究につながりました。

参照

注記

^ ^a ^bエヴァンス 2010、44ページ。
^ Stojanovic, Srdjan (2003)、「3.3.1.3 無限大における指数関数的増加を伴う熱偏微分方程式の一意性」、MATHEMATICAを用いた計算金融数学：株式およびオプションの最適取引、Springer、pp. 112– 114、ISBN 9780817641979
^ジョン・フリッツ (1991年11月20日).偏微分方程式. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. p. 222. ISBN 978-0-387-90609-6。
^ Mathworld : 多孔質媒体方程式およびその他の関連モデルには、有限の波動伝播速度を持つ解があります。
^ Juan Luis Vazquez (2006-12-28), 『多孔質媒体方程式：数学理論』オックスフォード大学出版局、米国、ISBN 978-0-19-856903-9
^ uの単位はqの単位と整合するように選択する必要があることに注意してください。したがって、 uの単位は熱力学温度（ケルビン- K）ではなくJ/L とする必要があります。
^逆に、 R ⁿ × Rの開領域上で上記の平均値特性を満たす任意の関数uは、熱方程式の解である。
^グリーン関数ライブラリには、熱方程式のさまざまな基本解が含まれています。
^ベルリネ、ニコール;ゲツラー、エズラ。ベルニュ、ミシェル。 Heat カーネルとディラックオペレーター。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、298。Springer-Verlag、ベルリン、1992。viii+369 pp. ISBN 3-540-53340-0

参考文献

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Crank, J.; Nicolson, P. (1947)、「熱伝導型偏微分方程式の解の数値的評価のための実用的手法」、ケンブリッジ哲学協会紀要、43 (1): 50– 67、Bibcode : 1947PCPS...43...50C、doi : 10.1017/S0305004100023197、S2CID 16676040
エヴァンス、ローレンス C. (2010) 『偏微分方程式』、大学院数学研究科、第19巻（第2版）、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-4974-3
Perona, P; Malik, J. (1990)、「異方性拡散を用いたスケール空間およびエッジ検出」（PDF）、IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence、12 (7): 629– 639、doi : 10.1109/34.56205、S2CID 14502908
Thambynayagam, RKM (2011)、「拡散ハンドブック：エンジニアのための応用ソリューション」、McGraw-Hill Professional、ISBN 978-0-07-175184-1
ウィルモット、ポール、ハウソン、ジェフ・デューイン（1995年）『金融デリバティブの数学：学生向け入門』ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-49699-3

さらに読む

Carslaw, HS ; Jaeger, JC (1988),固体の熱伝導、Oxford Science Publications (第2版)、ニューヨーク：The Clarendon Press、Oxford University Press、ISBN 978-0-19-853368-9
コール、ケビン・D.; ベック、ジェームズ・V.; ハジ・シェイク、A.; リトコウヒ、バハン (2011)、「グリーン関数を用いた熱伝導」、力学と熱科学における計算および物理プロセスシリーズ (第2版)、ボカラトン、フロリダ州: CRCプレス、ISBN 978-1-43-981354-6
アインシュタイン、アルバート(1905)、「分子動力学理論を理解するための理論」(PDF)、Annalen der Physik、322 (8): 549–560、Bibcode : 1905AnP...322..549E、土井：10.1002/andp.19053220806
フリードマン、アヴナー（1964）、放物型偏微分方程式、エングルウッドクリフス、ニュージャージー：プレンティスホール
アンスワース, J.;ドゥアルテ, FJ (1979)、「固体球における熱拡散とフーリエ理論」、Am. J. Phys.、47 (11): 891– 893、Bibcode : 1979AmJPh..47..981U、doi : 10.1119/1.11601
Jili, Latif M. (2009), Heat Conduction , Springer (第3版), Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-01266-2
Widder, DV (1975), 『熱方程式』 , Pure and Applied Mathematics, vol. 67, New York-London: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]

外部リンク

熱方程式の導出
線形熱方程式：特異解と境界値問題 - EqWorldより
「熱方程式」。PBSインフィニットシリーズ。2017年11月17日。2021年12月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。YouTube 経由。

[FOOTNOTEEvans201044-1] エヴァンス 2010、44ページ。

[2] Stojanovic, Srdjan (2003)、「3.3.1.3 無限大における指数関数的増加を伴う熱偏微分方程式の一意性」、MATHEMATICAを用いた計算金融数学：株式およびオプションの最適取引、Springer、pp. 112– 114、ISBN 9780817641979

[3] ジョン・フリッツ (1991年11月20日).偏微分方程式. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. p. 222. ISBN 978-0-387-90609-6。

[4] Mathworld : 多孔質媒体方程式およびその他の関連モデルには、有限の波動伝播速度を持つ解があります。

[pme-5] Juan Luis Vazquez (2006-12-28), 『多孔質媒体方程式：数学理論』オックスフォード大学出版局、米国、ISBN 978-0-19-856903-9

[6] uの単位はqの単位と整合するように選択する必要があることに注意してください。したがって、 uの単位は熱力学温度（ケルビン- K）ではなくJ/L とする必要があります。

[7] 逆に、 R ⁿ × Rの開領域上で上記の平均値特性を満たす任意の関数uは、熱方程式の解である。

[8] グリーン関数ライブラリには、熱方程式のさまざまな基本解が含まれています。

[9] ベルリネ、ニコール;ゲツラー、エズラ。ベルニュ、ミシェル。 Heat カーネルとディラックオペレーター。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、298。Springer-Verlag、ベルリン、1992。viii+369 pp. ISBN 3-540-53340-0

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