積分線形演算子

数学的解析において、積分線形演算子とは、積分によって与えられる線形演算子Tである。すなわち、

${\displaystyle (Tf)(x)=\int f(y)K(x,y)\,dy}$

ここで、は統合カーネルと呼ばれます。 ${\displaystyle K(x,y)}$

より一般的には、積分双線型形式とは、局所凸位相ベクトル空間（TVS）XとYの単射テンソル積である の連続双対空間に属する双線型関数である。積分線型作用素とは、積分双線型形式から標準的な方法で生じる連続線型作用素である。 ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$

これらの写像は、核空間と核写像の理論において重要な役割を果たします。

定義 - 単射テンソル積の双対としての整式

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参照:単射テンソル積および射影テンソル積

XとY を局所凸 TVSとし、 を射影テンソル積、をその完備化、を入射テンソル積、 をその完備化とします。 をその完備化への TVS 埋め込みとし、をその転置とします。これはベクトル空間同型です。これにより、 の連続双対空間は の連続双対空間と同一であることが示されます。 ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$ ${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$ ${\displaystyle \operatorname {In} :X\otimes _{\epsilon }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$ ${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :\left(X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$

を恒等写像、をその転置写像とします。これは連続的な単射です。は 上の連続双線型写像の空間である と正準的に同一視されることを思い出してください。このように、 の連続双対空間はのベクトル部分空間 と正準的に同一視でき、 と表記されます。 の元は上の整形式（双線型）と呼ばれます。次の定理は「積分」という言葉の正当性を証明しています。 ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\otimes _{\pi }Y\to X\otimes _{\epsilon }Y}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {Id} :\left(X\otimes _{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\pi }Y\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X\otimes _{\pi }Y\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle J(X,Y)}$ ${\displaystyle J(X,Y)}$ ${\displaystyle X\times Y}$

定理^{[ 1 ] [ 2 ]} —の双対J ( X , Y )は、次の形式の 連続双線型形式uのちょうど 2 倍である。${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$

${\displaystyle u(x,y)=\int _{S\times T}\langle x,x'\rangle \langle y,y'\rangle \;d\mu \!\left(x',y'\right),}$

ここで、SとTはそれぞれ、双対と の弱閉かつ等連続な（したがって弱コンパクト）部分集合であり、は（コンパクト）集合 上の（必然的に有界な）正のラドン測度です。 ${\displaystyle X^{\prime}}$ ${\displaystyle Y^{\prime}}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle S\times T}$

また、上記の定理には密接に関連した定式化^{[ 3 ]}もあり、これは積分双線型形式という用語の説明にも使用できる。局所凸空間の積上の連続双線型形式が積分であるための 必要十分条件は、（必然的に有界な）正のラドン測度とバナッハ空間との間の連続線型写像を備えたコンパクト位相空間が存在し、${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ,\mu )}$

${\displaystyle u(x,y)=\langle \alpha (x),\beta (y)\rangle =\int _{\Omega }\alpha (x)\beta (y)\;d\mu }$ 、

つまり、この形式は、コンパクト空間上の（本質的に有界な）関数を積分することによって実現できます。 ${\displaystyle u}$

積分線形写像

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連続線型写像は、それに対応する双線型形式が整双線型形式である場合に積分写像と呼ばれる。ここで、この形式は によって定義される。^{[ 4 ]}従って、積分写像は次の形式となる。^{[ 4 ]}${\displaystyle \kappa :X\to Y'}$ ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y\mapsto (\kappa x)(y)}$ ${\displaystyle \kappa :X\to Y'}$

${\displaystyle x\in X\mapsto \kappa (x)=\int _{S\times T}\left\langle x',x\right\rangle y'\mathrm {d} \mu \!\left(x',y'\right)}$

およびの適切な弱閉部分集合Sおよび等連続部分集合Tと、全質量 ≤ 1 の何らかの正のラドン測度に対して、等式が成り立ちます。上記の積分は弱積分であるため、任意の に対して の場合のみ、等式が成り立ちます。 ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle Y'}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\textstyle \left\langle \kappa (x),y\right\rangle =\int _{S\times T}\left\langle x',x\right\rangle \left\langle y',y\right\rangle \mathrm {d} \mu \!\left(x',y'\right)}$

線型写像 が与えられれば、によって上の付随双線型形式と呼ばれる標準双線型形式 を定義できる。連続写像は、その付随双線型形式が整双線型形式であるとき、整写と呼ばれる。 ^{[ 5 ]}整写は、任意のおよびに対して、 の形式である。 ${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$ ${\displaystyle B_{\Lambda }\in Bi\left(X,Y'\right)}$ ${\displaystyle X\times Y'}$ ${\displaystyle B_{\Lambda }\left(x,y'\right):=\left(y'\circ \Lambda \right)\left(x\right)}$ ${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$ ${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y'\in Y'}$

${\displaystyle \left\langle y',\Lambda (x)\right\rangle =\int _{A'\times B''}\left\langle x',x\right\rangle \left\langle y'',y'\right\rangle \mathrm {d} \mu \!\left(x',y''\right)}$

および の適切な弱閉部分集合および等連続部分集合、および全質量の何らかの正のラドン測度に対して。 ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle B''}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle Y''}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \leq 1}$

ヒルベルト空間との関係

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次の結果は、積分写像がヒルベルト空間を「因数分解する」ことを示しています。

命題: ^{[ 6 ]}がYハウスドルフの局所凸TVSと完備な写像である とする。ヒルベルト空間Hと2つの連続線型写像とが存在し、となる。 ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle \alpha :X\to H}$ ${\displaystyle \beta :H\to Y}$ ${\displaystyle u=\beta \circ \alpha }$

さらに、2つのヒルベルト空間間のすべての積分作用素は核作用素である。^{[ 6 ]}したがって、2つのヒルベルト空間間の連続線型作用素は、それが積分である場合に限り 核作用素である。

十分な条件

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すべての核写像は積分である。^{[ 5 ]} 重要な部分逆は、2つのヒルベルト空間間のすべての積分作用素は核であるということである。^{[ 6 ]}

A、B、C、Dがハウスドルフ局所凸TVSであり、、 、 がすべて連続線型作用素であるとする。が積分作用素であれば、合成 も積分作用素である。^{[ 6 ]}${\displaystyle \alpha :A\to B}$ ${\displaystyle \beta :B\to C}$ ${\displaystyle \gamma :C\to D}$ ${\displaystyle \beta :B\to C}$ ${\displaystyle \gamma \circ \beta \circ \alpha :A\to D}$

が2つのノルム空間間の連続線型作用素である場合、 が整数であるとき、かつその場合に限り、が整数である。^{[ 7 ]}${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{t}u:Y'\to X'}$

が局所凸TVS間の連続線型写像であるとする。が整列しているならば、その転置も整列している。^{[ 5 ]}ここで、連続線型写像の 転置が 整列しているとしよう。すると、（ xにおける値で定義される）標準射影とがTVS埋め込みであるならば（例えば、とが樽型または計量化可能であるならば）、は整列している。^{[ 5 ]}${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{t}u:Y_{b}^{\prime }\to X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle {}^{t}u:Y_{b}^{\prime }\to X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{X}:X\to X''}$ ${\displaystyle x\mapsto }$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{Y}:Y\to Y''}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y_{b}^{\prime }}$

プロパティ

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A , B , C , Dがハウスドルフ局所凸TVSで、BとDが 完全であるとする。もし、、、がすべて整線型写像であれば、それらの合成は核写像となる。^{[ 6 ]} したがって、特に、Xが無限次元フレシェ空間であれば、連続線型射影は積分作用素にはなり得ない。 ${\displaystyle \alpha :A\to B}$ ${\displaystyle \beta :B\to C}$ ${\displaystyle \gamma :C\to D}$ ${\displaystyle \gamma \circ \beta \circ \alpha :A\to D}$ ${\displaystyle u:X\to X}$

参照

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• 補助規範空間
• 最終トポロジー
• 入射テンソル積
• 原子力事業者
• 核空間
• 射影テンソル積
• 位相テンソル積

参考文献

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2. Treves 2006、500–502 ページ。
3. グロタンディーク 1955、124–126頁。
4. シェーファー＆ウォルフ 1999、169ページ。
5. Treves 2006、502–505 ページ。
6. Treves 2006、506–508 ページ。
7. Trèves 2006、505頁。

参考文献

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外部リンク

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• ncatlabの核空間