位相ベクトル空間

数学において、位相ベクトル空間（線型位相空間とも呼ばれ、一般にTVSまたはtvsと略される）は、関数解析で研究される基本構造の 1 つです。位相ベクトル空間はベクトル空間であり、ベクトル空間演算（ベクトルの加算とスカラー乗算）も連続関数であるという特性を持つ位相空間でもあります。このような位相はベクトル位相と呼ばれ、すべての位相ベクトル空間は均一な位相構造を持ち、均一収束と完全性の概念が可能になります。著者によっては、空間がハウスドルフ空間であることも要求されますが、この記事では要求しません。最も広く研究されている TVS のカテゴリの 1 つは、局所凸位相ベクトル空間です。この記事では、必ずしも局所凸ではない TVS に焦点を当てます。その他のよく知られた TVS の例には、バナッハ空間、ヒルベルト空間、ソボレフ空間などがあります。

多くの位相ベクトル空間は関数の空間、または位相ベクトル空間に作用する線型作用素であり、位相は関数の列の 収束という特定の概念を捉えるように定義されることが多い。

この記事では、特に明記しない限り 、位相ベクトル空間のスカラー体は複素数 または実数のいずれかであると仮定します。${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

モチベーション

ノルム空間

ノルム付きベクトル空間はすべて自然な位相構造を持つ。ノルムは計量を導き、計量は位相を導く。これは以下の理由から位相ベクトル空間である。

1. によって定義されるベクトル加法写像は、この位相に関して（共変）連続である。これは、ノルムが従う三角不等式から直接導かれる。${\displaystyle \cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y}$
2. によって定義されるスカラー乗法写像（ただし、 は の基底スカラー体）は（共）連続である。これは三角不等式とノルムの同次性から導かれる。${\displaystyle \cdot :\mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle (s,x)\mapsto s\cdot x,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X,}$

したがって、すべてのバナッハ空間とヒルベルト空間は位相ベクトル空間の例です。

非正規空間

位相がノルムによって誘導されない位相ベクトル空間が存在するが、解析においては依然として興味深い。そのような空間の例としては、開領域上の正則関数の空間、無限微分可能関数の空間、シュワルツ空間、テスト関数の空間、それらの上の超関数の空間などが挙げられる。 ^{[ 1 ]}これらはすべてモンテル空間の例である。無限次元モンテル空間は決してノルム可能ではない。与えられた位相ベクトル空間に対するノルムの存在は、コルモゴロフのノルム可能性基準によって特徴付けられる。

位相体とは、その各部分体上の位相ベクトル空間です。

意味

上記の2つの性質を満たす原点の近傍族は、位相ベクトル空間を一意に決定する。ベクトル空間内の他の任意の点の近傍系は、並進によって得られる。

位相ベクトル空間（TVS）は、位相体（多くの場合、実数または複素数とその標準位相）上のベクトル空間であり、ベクトルの加算とスカラー乗算が連続関数となるような位相（これらの関数の定義域には積位相が与えられる）が与えられる。このような位相は${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X}$ ${\displaystyle \cdot :\mathbb {K} \times X\to X}$ ベクトルトポロジーまたはTVSトポロジー${\displaystyle X.}$

すべての位相ベクトル空間は、加法に関して可換な位相群でもある。

ハウスドルフの仮定

多くの著者（例えばウォルター・ルディン）は、このページではそうではないが、 上の位相がT ₁であることを要求している。すると、空間はハウスドルフ、さらにはティコノフであることが分かる。位相ベクトル空間は${\displaystyle X}$ ハウスドルフであれば分離されます。重要なのは、「分離されている」ということは分離可能であるという意味ではないということです。位相的構造と線形代数的構造は、追加の仮定を加えることでさらに密接に結びつくことができます。最も一般的な仮定を以下に。

カテゴリーと射

与えられた位相体上の位相ベクトル空間のカテゴリは、一般的にまたは と表記されます。オブジェクトは上の位相ベクトル空間であり、射は1 つのオブジェクトから別のオブジェクトへの連続-線型写像です。 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathrm {TVS} _{\mathbb {K} }}$ ${\displaystyle \mathrm {TVect} _{\mathbb {K} }.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

あ位相ベクトル空間準同型（略してTVS準同型（TVS 準同型とも呼ばれる）位相準同型写像[^{2 ] [ 3 ]}は、連続線型写像、誘導写像は、によって誘導される部分空間位相が与えられたとき開写像となる^。${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u:X\to \operatorname {Im} u}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} u:=u(X),}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle Y.}$

あ位相ベクトル空間埋め込み（略称TVS埋め込み（TVSembling）とも呼ばれる位相単射は、入射的な位相準同型である。同様に、TVS埋め込みは線形写像であり、位相埋め込み。 ^{[ 2 ]}

あ位相ベクトル空間同型性（略称TVS同型性（TVS isomorphism）とも呼ばれる位相ベクトル同型性^{[ 4 ]}またはTVSのカテゴリにおける同型は、全単射な線型同相写像。同値に、これは全射なTVS埋め込みで^{ある[ 2 ]。}

研究されている TVS の多くの特性、例えば局所凸性、計量化可能性、完全性、規範可能性などは、TVS 同型性の下では不変です。

ベクトル位相の必要条件

ベクトル空間の部分集合の集合は加法的である^{[ 5 ]}といい、任意のベクトル空間に対して、${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}},}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle U+U\subseteq N.}$

^{[ 5 ]}における加法の連続性の特徴付け${\displaystyle 0}$ —が群（すべてのベクトル空間がそうであるように）であり、が上の位相であり、が積位相を呈している場合、加法写像（ によって定義される）が の原点で連続であるためには、における原点の近傍集合が加法的である必要がある。この記述は、「近傍」という語を「開近傍」に置き換えても成り立つ。 ${\displaystyle (X,+)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

したがって、上記の条件はすべて、トポロジがベクトル トポロジを形成するために必要となります。

原点の近傍を使用してトポロジを定義する

すべてのベクトル位相は変換不変であるため（つまり、によって定義されるすべてのマップに対して は同相写像である）、ベクトル位相を定義するには、原点でその近傍基底（または部分基底）を定義するだけで十分です。 ${\displaystyle x_{0}\in X,}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto x_{0}+x}$

定理^{[ 6 ]} （原点の近傍フィルタ）—が実ベクトル空間または複素ベクトル空間であるとする。がのバランスのとれた吸収部分集合の非空加法的な集合である場合、 は 上のベクトル位相に対して における近傍基数となる。つまり、 が以下の条件を満たす フィルタ基数であるという仮定が成り立つ。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. すべてがバランスが取れていて魅力的です。${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ は加法的である：任意のに対して、${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle U+U\subseteq B,}$

が上記の2つの条件を満たしているがフィルタ基底でない場合は、ベクトル位相の近傍基底ではなく近傍部分基底を形成する。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$

一般に、ベクトル空間の平衡部分集合と吸収部分集合全体の成す集合はこの定理の条件を満たさず、いかなるベクトル位相に対しても原点における近傍基底を形成しない。^{[ 5 ]}

文字列を使用してトポロジを定義する

をベクトル空間とし、をの部分集合の列とする。列の各集合は${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$ のとすべての添え字に対する結び目はの- 番目のと呼ばれます集合は の始まりと呼ばれます。数列は/です: ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}${\displaystyle U_{\bullet }}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle U_{\bullet }.}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle U_{\bullet }.}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$

• すべてのインデックスについて${\displaystyle U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}}$ ${\displaystyle i.}$
• バランスが取れている（それぞれ吸収型、閉じた型、 ^{[注1 ]}凸型、開いた型、対称型、樽型、絶対凸型/円盤型など）${\displaystyle U_{i}.}$
• 文字列は、総括的、吸収的、バランスが取れています。${\displaystyle U_{\bullet }}$
• 位相的な文字列またはTVSにおける近傍文字列とは、文字列であり、その結び目のそれぞれが原点の近傍である${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$ ${\displaystyle X.}$

がベクトル空間内の吸収円板である場合、 によって定義される数列はで始まる文字列を形成します。これは^{[ 7 ]}の自然文字列と呼ばれます。さらに、ベクトル空間が可算次元である場合、すべての文字列には絶対凸文字列が含まれます。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}:=2^{1-i}U}$ ${\displaystyle U_{1}=U.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

集合の加法列は、非負連続実数値劣加法関数を定義するという特に優れた性質を持つ。これらの関数は、位相ベクトル空間の多くの基本的な性質を証明するために用いることができる。

定理 （文字列によって誘導される -値関数）${\displaystyle \mathbb {R} }$ -をベクトル空間の部分集合の集合とし、すべての に対してとなる。すべての に対して となる。${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0\in U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}}$ ${\displaystyle i\geq 0.}$ ${\displaystyle u\in U_{0},}$ $${\displaystyle \mathbb {S} (u):=\left\{n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)~:~k\geq 1,n_{i}\geq 0{\text{ for all }}i,{\text{ and }}u\in U_{n_{1}}+\cdots +U_{n_{k}}\right\}.}$$

ifと それ以外の場合は letで定義します${\displaystyle f:X\to [0,1]}$ ${\displaystyle f(x)=1}$ ${\displaystyle x\not \in U_{0}}$ $${\displaystyle f(x):=\inf _{}\left\{2^{-n_{1}}+\cdots 2^{-n_{k}}~:~n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)\in \mathbb {S} (x)\right\}.}$$

するとは劣加法的（つまりすべて に対して）であり、上で となるので特に、がすべて対称集合であれば となり、 がすべて釣り合っているならとなるすべてのスカラーに対してとなり、がすべてとなる。 が位相ベクトル空間であり、 がすべて原点の近傍であればは連続となる。ここで がさらにハウスドルフでありがにおける原点の釣り合い近傍の基底を形成するならはベクトル位相を定義する計量となる。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\textstyle \bigcap _{i\geq 0}U_{i};}$ ${\displaystyle f(0)=0.}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f(sx)\leq f(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |s|\leq 1}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,y):=f(x-y)}$ ${\displaystyle X.}$

上記の定理の証明は、計量化可能な位相ベクトル空間に関する記事に記載されています。

とがベクトル空間の部分集合の2つの集合であり、がスカラーである場合、定義により^{[ 7 ]}${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle V_{\bullet }=\left(V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s}$

• ${\displaystyle V_{\bullet }}$ 含む :すべてのインデックスに対して${\displaystyle U_{\bullet }}$ ${\displaystyle \ U_{\bullet }\subseteq V_{\bullet }}$ ${\displaystyle U_{i}\subseteq V_{i}}$ ${\displaystyle i.}$
• 結び目のセット：${\displaystyle \ \operatorname {Knots} U_{\bullet }:=\left\{U_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}.}$
• カーネル:${\textstyle \ \ker U_{\bullet }:=\bigcap _{i\in \mathbb {N} }U_{i}.}$
• スカラー倍数:${\displaystyle \ sU_{\bullet }:=\left(sU_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$
• 合計：${\displaystyle \ U_{\bullet }+V_{\bullet }:=\left(U_{i}+V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$
• 交差点：${\displaystyle \ U_{\bullet }\cap V_{\bullet }:=\left(U_{i}\cap V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$

がのサブセットのシーケンスのコレクションである場合、 は包含に関して（下向きに）向いていると言われます。または、が空でなく、すべてに対してが存在し、 である場合は、単に下向きに向いていると言われます（言い換えると、 が上記で定義した包含に関してプレフィルタである場合に限ります）。 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle U_{\bullet },V_{\bullet }\in \mathbb {S} ,}$ ${\displaystyle W_{\bullet }\in \mathbb {S} }$ ${\displaystyle W_{\bullet }\subseteq U_{\bullet }}$ ${\displaystyle W_{\bullet }\subseteq V_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$

表記法：をすべての文字列のすべての結び目の集合とする${\textstyle \operatorname {Knots} \mathbb {S} :=\bigcup _{U_{\bullet }\in \mathbb {S} }\operatorname {Knots} U_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {S} .}$

文字列のコレクションを使用してベクトル トポロジを定義することは、必ずしも局所的に凸ではない TVS クラスを定義する場合に特に便利です。

定理^{[ 7 ]}  (弦によって誘導される位相) —が位相ベクトル空間である場合、下向きの近傍弦の集合^{[証明 1 ]}が存在し、 内のすべての弦のすべての結び目の集合は、の原点における近傍基底となります。このような弦の集合は基本的であるという。 ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle \tau }$

逆に、がベクトル空間でが下向きの弦の集合である場合、 におけるすべての弦のすべての結び目の集合は、上のベクトル位相の原点における近傍基底を形成する。この場合、この位相は で表され、によって生成される位相と呼ばれる。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Knots} \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau _{\mathbb {S} }}$ ${\displaystyle \mathbb {S} .}$

がTVS内のすべての位相文字列の集合である場合、^{[ 7 ]}ハウスドルフTVSが計量化可能であるのは、その位相が単一の位相文字列によって誘導される場合に限ります。^{[ 10 ]}${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau _{\mathbb {S} }=\tau .}$

位相構造

ベクトル空間は加法に関してアーベル群であり、位相ベクトル空間では逆演算は常に連続である（ による乗算と同じであるため）。したがって、任意の位相ベクトル空間はアーベル位相群である。すべてのTVSは完全に正則であるが、TVSは必ずしも正規 である必要はない。^{[ 11 ]}${\displaystyle -1}$

を位相ベクトル空間とする。部分空間が与えられたとき、通常の商位相を持つ商空間は、閉じている場合に限りハウスドルフ位相ベクトル空間となる。^{[注 2 ]}これにより、次のような構成が可能になる。位相ベクトル空間（おそらくハウスドルフではない）が与えられたとき、商空間を形成する。ここで、 はの閉包である。すると、 はハウスドルフ位相ベクトル空間となり、 の代わりに研究することができる。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\subseteq X,}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{0\}.}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X.}$

ベクトル位相の不変性

ベクトル位相の最もよく使われる特性の一つは、すべてのベクトル位相が翻訳不変量:

によって定義されるすべての写像は同相写像であるが、の場合、それは線形ではなく、したがって TVS 同型ではない。${\displaystyle x_{0}\in X,}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto x_{0}+x}$ ${\displaystyle x_{0}\neq 0}$

非零スカラーによるスカラー乗算はTVS同型である。これは、ならばで定義される線型写像が同相写像であることを意味する。 を使用すると で定義される否定写像が生成され、これは結果的に線型同相写像であり、したがってTVS同型である。 ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto sx}$ ${\displaystyle s=-1}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto -x,}$

および任意の部分集合であれば^{[ 6 ]}であり、さらに、であれば、における近傍（それぞれ開近傍、閉近傍）であり、かつ原点において におけるの近傍が真である場合に限ります。${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(x+S)=x+\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle 0\in S}$ ${\displaystyle x+S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$

ローカルな概念

ベクトル空間の部分集合は ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

• 吸収（）の場合：任意のスカラーに対してを満たす実数が存在する^{場合、 [ 12 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle cx\in E}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |c|\leq r.}$
• バランスが取れている、または丸で囲まれている：すべてのスカラーに対して^{[ 12 ]}${\displaystyle tE\subseteq E}$ ${\displaystyle |t|\leq 1.}$
• 凸：^{任意の実数[ 12 ]}に対して${\displaystyle tE+(1-t)E\subseteq E}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1.}$
• 円板または絶対凸:凸かつバランスが取れている場合。${\displaystyle E}$
• 対称的：または同等に、${\displaystyle -E\subseteq E,}$ ${\displaystyle -E=E.}$

原点のあらゆる近傍は吸収集合であり、 ^{[ 6 ]}の開平衡近傍を含むので、あらゆる位相ベクトル空間は吸収集合と平衡集合の局所基底を持つ。原点には の閉平衡近傍からなる近傍基底さえあり、空間が局所凸であるならば、原点の閉凸平衡近傍からなる近傍基底も存在する。 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0;}$

有界部分集合

位相ベクトル空間の部分集合が有界であるとは^{[ 13 ]、}原点の任意の近傍に対して、が存在することを意味する。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle E\subseteq tV}$

有界性の定義は少し緩和できる。有界であるのは、そのすべての可算部分集合が有界である場合に限る。集合が有界であるのは、そのすべての部分列が有界集合である場合に限る。^{[ 14 ]}また、有界であるのは、原点のすべての均衡近傍に対して、${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle E\subseteq tV.}$

さらに、が局所凸であるとき、有界性は半ノルムによって特徴付けられる。すなわち、部分集合が有界であるためには、すべての連続半ノルムが^{[ 15 ]}で有界となる必要がある。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E.}$

全ての全有界集合は有界である。^{[ 14 ]}がTVSのベクトル部分空間である場合、その部分集合が有界となるのは、それが有界となるときのみである。^{[ 14 ]}${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$

計量化可能性

バーコフ・角谷定理—が位相ベクトル空間である場合^{、次の4つの条件は同値である: [ 16 ] [注 3 ]}${\displaystyle (X,\tau )}$

1. 原点は閉じており、原点には可算な近傍基が存在する。${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. ${\displaystyle (X,\tau )}$ は計量化可能である（位相空間として）。
3. 上の変換不変計量が存在し、それが与えられた位相上の位相を誘導する。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle (X,\tau )}$ は計量化可能な位相ベクトル空間である。^{[注 4 ]}

バーコフ・角谷定理によれば、並進不変な 同等の計量が存在することになる。

TVS が擬計量化可能であるのは、原点に可算な近傍基底を持つ場合、またはそれと同等の位相がF -半正規分布によって生成される場合のみです。TVS が計量化可能であるのは、ハウスドルフかつ擬計量化可能である場合のみです。

より強く言うと、位相ベクトル空間は、その位相がノルムによって誘導されるとき、ノルム可能であると言われる。位相ベクトル空間がノルム可能であることは、それがハウスドルフであり、かつ原点の凸有界近傍を持つときのみである。^{[ 17 ]}

を非離散的局所コンパクト位相体、例えば実数体や複素数体とする。上のハウスドルフ位相ベクトル空間が局所コンパクトとなるのは、有限次元、すなわちある自然数 に対してと同型となる場合と同値である^{[ 18 ]}${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle n.}$

完全性と均一な構造

TVS上の標準的一様性^{[ 19 ]}は、TVS上の位相を誘導する唯一の並進不変一様性である。${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$

すべての TVS はこの標準的な一様性を備えていると仮定され、すべての TVS は一様空間になります。したがって、完全性、一様収束、コーシーネット、一様連続性など、この一様性に関して常にそうであると仮定される関連概念に意味を成します(他に指示がない限り)。これは、すべてのハウスドルフ位相ベクトル空間がティコノフであることを意味します。^{[ 20 ]} TVS のサブセットがコンパクトであるための必要条件は、それが完全かつ完全に有界である場合です(ハウスドルフ TVS の場合、セットが完全に有界であることは、プレコンパクトであることと同値です)。しかし、TVS がハウスドルフでない場合は、閉じていないコンパクト サブセットが存在します。ただし、非ハウスドルフ TVS のコンパクト サブセットの閉包は、やはりコンパクトです (したがって、コンパクト サブセットは相対的にコンパクトです)。

この均一性に関して、ネット（またはシーケンス）がコーシーであるための必要十分条件は、のすべての近傍に対して、と が成り立つようなインデックスが存在することである。${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in V}$ ${\displaystyle i\geq n}$ ${\displaystyle j\geq n.}$

すべてのコーシー列は有界であるが、コーシーネットとコーシーフィルタは有界ではない場合がある。すべてのコーシー列が収束する位相ベクトル空間は、逐次完全と呼ばれる。一般に、それは（すべてのコーシーフィルタが収束するという意味で）完全ではない場合がある。

ベクトル空間における加法演算は一様連続であり、開写像である。スカラー乗法はコーシー連続であるが、一般に一様連続になることはほとんどない。このため、任意の位相ベクトル空間は完備化可能であり、したがって完備位相ベクトル空間の稠密線型部分空間となる。

• すべてのTVSには完備化があり、すべてのハウスドルフTVSにはハウスドルフ完備化がある。^{[ 6 ]}すべてのTVS（ハウスドルフや完備なものも含む）には、同型でない非ハウスドルフ完備化が無限に存在する。
• TVSのコンパクト部分集合（必ずしもハウスドルフではない）は完全である。^{[ 21 ]}ハウスドルフTVSの完全部分集合は閉じている。^{[ 21 ]}
• がTVSの完全部分集合である場合、そのTVSに閉じた任意の部分集合は完全である。^{[ 21 ]}${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$
• ハウスドルフ TVS の Cauchy 列は必ずしも相対的にコンパクトではありません(つまり、 における閉包は必ずしもコンパクトではありません)。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• TVSのコーシーフィルタに集積点 がある場合、それは次のように収束する。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
• 級数が^TVSで収束する場合^{[注5 ]}、^[ 22 ^]${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle X.}$

例

最も細かいベクトルトポロジと最も粗いベクトルトポロジ

を実ベクトル空間または複素ベクトル空間とします 。${\displaystyle X}$

自明な位相幾何学

自明位相あるいは非離散位相は 、任意のベクトル空間上では常にTVS位相であり、最も粗いTVS位相である。この重要な帰結として、任意のTVS位相の集合の交わりには必ずTVS位相が含まれる。自明位相を持つ任意のベクトル空間（無限次元のものも含む）は、コンパクト（したがって局所コンパクト）な完全擬距離化可能半ノルム可能局所凸位相ベクトル空間である。それがハウスドルフであることと、${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \dim X=0.}$

最高級のベクトルトポロジー

と呼ばれるTVSトポロジーが存在する。${\displaystyle \tau _{f}}$ ${\displaystyle X,}$ 上の最も細かいベクトル位相は、上の他のすべてのTVS位相よりも細かい（つまり、上の任意のTVS位相は必ず の部分集合となる）。 ^{[ 23 ] [ 24 ]}から他のTVSへのすべての線型写像は必ず連続である。 が非可算なハメル基底、 は局所凸ではなく、計量化可能でもない。 ^{[ 24 ]}${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{f}}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{f}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{f}}$

デカルト積

位相ベクトル空間の族の直積は、積位相 を備えているとき、位相ベクトル空間である。たとえば、が通常のユークリッド位相 を持つすべての関数の集合を考えてみよう。この集合は実ベクトル空間（通常どおり加算とスカラー乗算が点ごとに定義される）であり、自然積位相を持つ直積と同一視できる（実際、しばしばそのように定義される）ものである。この積位相により、は位相ベクトル空間となり、その位相は における点ごとの収束の位相と呼ばれる。この名前の理由は以下のとおりである。 がの要素の列（またはより一般的にはネット ）であり、がでに収束する場合、かつその場合に限り、任意の実数 に対して がでに収束する 。この TVS は完全、ハウスドルフ、局所的に凸であるが、計量化可能ではなく、したがって は正規化可能ではない。実際、積位相における原点のすべての近傍には直線（つまり、 の形式の部分集合である 1 次元ベクトル部分空間）が含まれます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} },,}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\in X}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} f:=\{rf:r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle f\neq 0}$

有限次元空間

F. リースの定理によれば、ハウスドルフ位相ベクトル空間が有限次元であるためには局所的にコンパクトである必要があり、これは原点の コンパクト近傍を持つ場合にのみ当てはまります。

または を表し、に通常のハウスドルフノルムユークリッド位相が備わっているものとします。を 上の有限次元のベクトル空間とし、 はベクトル空間 と同型であるとします（明示的には、ベクトル空間との間に線型同型が存在することを意味します）。この有限次元ベクトル空間は常に一意のハウスドルフベクトル位相を持ち、これにより と TVS 同型になります。ここで、 には通常のユークリッド位相（積位相と同じ）が備わっているものとします。このハウスドルフベクトル位相は、上の（一意の）最細ベクトル位相でもあり、 が一意のベクトル位相を持つ場合、かつその場合のみ、 となります。の場合、 は一意のベクトル位相を持たないものの、 は一意のハウスドルフベクトル位相を持ちます。 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle n:=\dim X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \dim X=0.}$ ${\displaystyle \dim X\neq 0}$ ${\displaystyle X}$

• のとき、ベクトル位相はちょうど1つ、すなわち自明位相を持ち、この場合（そしてこの場合に限って）ハウスドルフ位相となる。ベクトル空間上の自明位相がハウスドルフ位相となるのは、ベクトル空間が次元${\displaystyle \dim X=0}$ ${\displaystyle X=\{0\}}$ ${\displaystyle 0.}$
• の場合、通常のユークリッド位相と（非ハウスドルフ）自明位相という 2 つのベクトル位相が存在します。 ${\displaystyle \dim X=1}$ ${\displaystyle X}$
  • 体自体は上の - 次元位相ベクトル空間であり、位相ベクトル空間の定義で重要な役割を果たすため、この二分法は吸収集合の定義で重要な役割を果たし、関数解析全体に影響を及ぼす。${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

証明の概要

この二分法（つまり、ベクトル位相が に自明であるか同型であるか）の証明は簡単なので、重要な観察事項の概要のみを示します。いつものように、は（ノルム）ユークリッド位相を持つと仮定します。すべてのに対してを次元ベクトル空間とし、 がを中心とする球体である場合、 が「非有界列」を含むときはいつでも、つまりの形の列を含み、が（通常の意味で）ノルム空間で非有界であるとき、 上の任意のベクトル位相は並進不変かつ非零のスカラー乗算に対して不変であり、任意の に対して で与えられる写像は連続線型一対一です。なぜなら、の任意のそのような部分集合に対して、は何らかの一意の部分集合に対してと書けるからです。そして、 上のこのベクトル位相が の全体に等しくない原点の近傍を持つ場合、原点でのスカラー倍の連続性により、 を中心とする開球とにおける原点の開近傍が存在することが保証され、には「無限列」が含まれないことを意味します。これは、任意のに対して となる正の整数が存在することを意味します。このことから、 が自明な位相を持たない場合、 が自明な位相を持たない場合、が 0 を中心とする任意の球に対して、における原点の開近傍が含まれる場合、が線型同相写像であることが証明されます。QED${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle B_{r}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|<r\}}$ ${\displaystyle r>0.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B\cdot S=X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(a_{i}x\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0\neq x\in X}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\neq x\in X,}$ ${\displaystyle M_{x}:\mathbb {K} \to X}$ ${\displaystyle M_{x}(a):=ax}$ ${\displaystyle X=\mathbb {K} x}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Fx=M_{x}(F)}$ ${\displaystyle F\subseteq \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle B_{r}\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{r}\cdot S\subseteq W\neq X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0\neq x\in X,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S\subseteq B_{n}x.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\neq x\in X,}$ ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle M_{x}(B)=Bx}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M_{x}}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

• の場合、無限に多くの異なるベクトル位相が 存在します。${\displaystyle \dim X=n\geq 2}$ ${\displaystyle X}$
  • これらの位相のいくつかをここで説明する。上の任意の線形関数がベクトル空間に同型である場合、によって定義される半ノルムが誘導される。ここで、任意の半ノルムは上に（擬似計量化可能な局所凸）ベクトル位相を誘導し、異なる核を持つ半ノルムは異なる位相を誘導するため、特に、異なる核を持つ線形関数によって誘導される 上の半ノルムは、 上に異なるベクトル位相を誘導する。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n},}$ ${\displaystyle |f|:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |f|(x)=|f(x)|}$ ${\displaystyle \ker f=\ker |f|.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
  • しかし、 のとき、 上にはベクトル位相が無限に存在するのに対し、TVS 同型を除いて 上にはベクトル位相がのみ存在します。例えば、 の場合、上のベクトル位相は自明位相、ハウスドルフユークリッド位相で構成され、 上の残りの無限個の非自明な非ユークリッドベクトル位相はすべて互いに TVS 同型です。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \dim X\geq 2,}$ ${\displaystyle 1+\dim X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle n:=\dim X=2}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

非ベクトルトポロジ

離散位相と余有限位相

が非自明なベクトル空間（つまり、非零次元）である場合、上の離散位相（常に計量化可能）はTVS位相ではない。なぜなら、 は加法と否定を連続にする（加法に関して位相群となる）にもかかわらず、スカラー乗法を連続にできないからである。上の余有限位相（部分集合が開集合となる場合、かつその補集合が有限となる場合のみ）もまた、上のTVS位相ではない。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

線形マップ

2つの位相ベクトル空間の間の線型作用素が一点で連続である場合、その線型作用素は領域全体でも連続である。さらに、線型作用素が連続であるとは、原点の ある近傍に対して（以下で定義するように）有界であることを意味する。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle X}$

位相ベクトル空間上の超平面は、稠密か閉のいずれかである。位相ベクトル空間上の線型汎関数は、稠密核か閉核のいずれかを持つ。さらに、が連続であるためには、その核が閉じている必要がある。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

種類

応用分野に応じて、空間の位相構造に追加の制約が課されることが多い。実際、関数解析におけるいくつかの主要な結果は、位相ベクトル空間では一般には成立しない。例えば、閉グラフ定理、開写像定理、そして空間の双対空間が空間内の点を分離するという事実などである。

以下に、一般的な位相ベクトル空間を、おおよそ「良さ」が増す順に示します。

• F空間は、並進不変計量を持つ完備位相ベクトル空間である。 ^{[ 25 ]}これには、すべての${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p>0.}$
• 局所凸位相ベクトル空間：ここでは各点が凸集合からなる局所基底を持つ。^{[ 25 ]}ミンコフスキー汎関数として知られる手法により、空間が局所凸であるための必要十分条件は、その位相が半ノルムの族によって定義できることである。^{[ 26 ]}局所凸性は、ハーン・バナッハの定理のような「幾何学的」議論の最低要件である。これらの空間は、すべての場合において局所凸（実際にはバナッハ空間）であるが、${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1,}$ ${\displaystyle 0<p<1.}$
• 樽型空間:バナッハ-シュタインハウスの定理が成り立つ局所凸空間。
• ボルノロジー空間:任意の局所凸空間への連続線型作用素がまさに有界線型作用素となるような局所凸空間。
• ステレオタイプ空間:反射条件の変形を満たす局所凸空間。この双対空間には、全有界集合上の一様収束の位相が備わっている。
• モンテル空間：すべての閉有界集合がコンパクトである樽型空間
• フレシェ空間：これらは、位相が並進不変計量、あるいは同値な半ノルムの可算族から導かれる、完全な局所凸空間である。多くの興味深い関数空間がこのクラスに属する。例えば、半ノルムの下でフレシェ空間である。局所凸F空間はフレシェ空間である。^{[ 25 ]}${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\textstyle \|f\|_{k,\ell }=\sup _{x\in [-k,k]}|f^{(\ell )}(x)|.}$
• LF-空間はフレシェ空間の極限です。ILH空間はヒルベルト空間の逆極限です。
• 核空間: 核空間から任意のバナッハ空間へのすべての有界写像が核演算子であるという性質を持つ局所凸空間です。
• ノルム空間と半ノルム空間：位相が単一のノルムまたは半ノルムで記述できる局所凸空間。ノルム空間において、線型作用素が連続となるのは、それが有界となる場合のみである。
• バナッハ空間：完備ノルムベクトル空間。関数解析の大部分はバナッハ空間に対して定式化される。このクラスには、有界変分関数の空間や、特定の測度の空間が含まれる。${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty ,}$ ${\displaystyle BV}$
• 反射的バナッハ空間：バナッハ空間は、その二重双対と自然に同型であり（下記参照）、これによりいくつかの幾何学的議論が実行可能であることが保証される。反射的ではない重要な例としては、その双対はであるが、厳密には の双対に含まれる が挙げられる。${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }.}$
• ヒルベルト空間：これらは内積を持ちます。これらの空間は無限次元であっても、有限次元でよく知られているほとんどの幾何学的推論をこれらの空間で行うことができます。これには、ソボレフ空間とハーディ空間が含まれます。${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle W^{2,k},}$
• ユークリッド空間：あるいは標準的な内積によって誘導される位相を持つ。前の節で指摘したように、与えられた有限に対しては、同型性を除いて1次元位相ベクトル空間しか存在しない。このことから、TVS の任意の有限次元部分空間は閉じていることがわかる。有限次元性の特徴は、ハウスドルフ TVS が局所コンパクトであるための必要十分条件は、それが有限次元である（したがって、何らかのユークリッド空間と同型である）ということである。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n}$

デュアルスペース

すべての位相ベクトル空間には連続双対空間、つまり空間から基底体への連続線型写像のすべての連続線型関数の集合が存在する。 双対上の位相は、双対の各点の評価が連続するような最も粗い位相として定義できる。これにより、双対は局所凸位相ベクトル空間になる。この位相は弱*位相と呼ばれる。^{[ 27 ]}これは、双対空間上の唯一の自然な位相ではないかもしれない。たとえば、ノルム空間の双対には、自然なノルムが定義されている。しかし、これはコンパクト性の性質があるため、応用において非常に重要である（バナッハ–アラオグルの定理を参照）。 注意： がノルム不可能な局所凸空間であるときはいつでも、上でどのベクトル空間位相を選択しても、ペアリング写像は決して連続にならない。位相ベクトル空間が非自明な連続双対空間を持つ必要十分条件は、原点の適切な凸近傍を持つ場合である。^{[ 28 ]}${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle X'\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'\times X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X'.}$

プロパティ

任意の TVSについて、の凸包(それぞれ、平衡、円板、閉凸包、閉平衡、閉円板)は、この特性を持ち、 を含むの最小のサブセットです。集合の閉包 (それぞれ、内部、凸包、平衡包、円板包) は、(それぞれ、 )と表記されることもあります。 ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S,}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S,}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$

部分集合の凸包は、 の形の有限線型結合である要素のすべての凸結合の集合に等しい。ここでは整数であり、和は である。 ^{[ 29 ]}凸集合の族の共通部分は凸であり、部分集合の凸包はそれを含むすべての凸集合の共通部分に等しい。^{[ 29 ]}${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle t_{1}s_{1}+\cdots +t_{n}s_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in S}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in [0,1]}$ ${\displaystyle 1.}$

近傍とオープンセット

近傍と開集合の性質

任意のTVSは連結^{[ 6 ]}かつ局所連結^{[ 30 ]}であり、TVSの連結開部分集合は弧連結である。とがの開部分集合であれば、は^{[ 6 ]}の開集合であり、が空でない内部構造を持つ場合、は原点の近傍である。^{[ 6 ]}${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S+U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S-S}$

TVSの開凸部分集合（必ずしもハウスドルフ凸または局所凸である必要はない）は、ある正連続部分線型関数に対しての形をとるものと全く同じである^{[ 28 ]}${\displaystyle X}$ $${\displaystyle z+\{x\in X:p(x)<1\}~=~\{x\in X:p(x-z)<1\}}$$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

がTVS 内の吸収ディスクであり、が のミンコフスキー汎関数である場合、[ 31 ]となります^。ここで重要なのは、が位相的な性質を持っておらず、 が連続であるとも仮定されていないことです(連続であることは、が原点の近傍である場合に限ります)。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:=p_{K}}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}K~\subseteq ~\{x\in X:p(x)<1\}~\subseteq ~K~\subseteq ~\{x\in X:p(x)\leq 1\}~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}K}$$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K}$

とを上の2つのベクトル位相とするとき、のネットがで収束するときはいつでも で収束するとき、であるとき、であるとき、^{[ 32 ]}${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau \subseteq \nu }$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

を における原点の近傍基数とし、とするとき、 （ でインデックス付けされた）にネットが存在し、 ^{[ 33 ]}となる場合のみ、となる。 これは特に、任意の有向集合上のネットではなく、原点の近傍基数でインデックス付けされたネットを考慮すれば十分であることが多いことを示している。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X.}$

がそれ自身で第2のカテゴリに属する​​TVS （つまり、非貧弱空間）である場合、 の任意の閉凸吸収部分集合は原点の近傍である。^{[ 34 ]}集合が凸でない場合（ にも反例が存在する）、または がそれ自身で第2のカテゴリに属さない場合は、これは保証されなくなる。^{[ 34 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle X}$

インテリア

およびの内部が空でない 場合、 および ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S~=~\operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)~{\text{ and }}~\operatorname {cl} _{X}S~=~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}S\right)}$$ $${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}(R)+\operatorname {Int} _{X}(S)~\subseteq ~R+\operatorname {Int} _{X}S\subseteq \operatorname {Int} _{X}(R+S).}$$

円板の位相的内部が空でない場合、かつその内部に原点が含まれる場合に限ります。^{[ 35 ]} より一般的には、TVS において が内部が空でない均衡集合である場合、 は必然的に均衡となります。^{[ 6 ]}したがって、が均衡となる場合、かつその内部に原点が含まれる場合に限ります。^{[証明 2 ]}この (すなわち) が真であるためには、も凸でなければなりません (均衡であり、内部が空でない)。^{[ 6 ]} 結論は、 も凸でない場合、偽になる可能性があります。 ^{[ 35 ]}例えば、閉じた均衡集合の内部では${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S\neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}\cup \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle S:=\{(x,y):xy\geq 0\}}$ ${\displaystyle \{(x,y):xy>0\}.}$

が凸集合である場合、[ 36 ^]明示的 には、がTVSの凸部分集合（必ずしもハウスドルフ凸集合や局所凸集合である必要はない）である場合、とを結ぶ開線分はの内部に属し、つまり、^{[ 37 ] [ 38 ] [証明3 ]}${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0<t\leq 1,}$ ${\displaystyle t\operatorname {Int} C+(1-t)\operatorname {cl} C~\subseteq ~\operatorname {Int} C.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {int} _{X}C,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C;}$ ${\displaystyle \{tx+(1-t)y:0<t<1\}\subseteq \operatorname {int} _{X}C.}$

が原点の任意のバランスのとれた近傍である場合、すべてのスカラーの集合はどこにあるでしょうか？${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \operatorname {Int} _{X}N\subseteq B_{1}N=\bigcup _{0<|a|<1}aN\subseteq N}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|<1.}$

が凸集合の内部に属し、半開線分と^{[ 37 ]}がにおける均衡近傍である 場合、（実TVSにおける凸対称近傍である）形式の交点を考慮すると、次の式が成り立ちます。さらに、そして、そして、${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {cl} _{X}S,}$ $${\displaystyle [x,y):=\{tx+(1-t)y:0<t\leq 1\}\subseteq \operatorname {Int} _{X}{\text{ if }}x\neq y}$$ $${\displaystyle [x,x)=\varnothing {\text{ if }}x=y.}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{1}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|<1\},}$ ${\displaystyle N\cap \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} N=[0,1)\operatorname {Int} N=(-1,1)N=B_{1}N,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {Int} N{\text{ and }}r:=\sup\{r>0:[0,r)x\subseteq N\}}$ ${\displaystyle r>1{\text{ and }}[0,r)x\subseteq \operatorname {Int} N,}$ ${\displaystyle r\neq \infty }$ ${\displaystyle rx\in \operatorname {cl} N\setminus \operatorname {Int} N.}$

非ハウスドルフ空間と原点の閉包

位相ベクトル空間がハウスドルフである場合と、が の閉部分集合である場合とで同値であり、または が である場合と同値である。は のベクトル部分空間であるため、の閉包についても同様であり、これはにおける原点の閉包と呼ばれる。このベクトル空間は を満たすので、特に における原点のすべての近傍には、ベクトル空間が部分集合として含まれる。上の部分空間位相は常に自明位相であり、これは特に、位相ベクトル空間がコンパクト空間であることを意味し（その次元がゼロでなくても、または無限大であっても）、したがっての有界部分集合でもある。実際、TVS のベクトル部分空間が有界である場合と、それが の閉包に含まれる場合とで同値である^{[ 14 ]} のすべての部分集合は自明位相でもあるため、 はコンパクトであり、したがって完全な部分空間でもある（証明については脚注を参照）。^{[証明 4 ]}特に、 がハウスドルフでない場合、において閉じていない、コンパクトかつ完全な部分集合が存在する。^{[ 39 ]}例えば、これは任意の空でない真部分集合に対して当てはまる。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{0\}=\operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\},}$ ${\displaystyle X.}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}=\bigcap _{N\in {\mathcal {N}}(0)}N}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \{0\}.}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$

がコンパクトならば、この集合はコンパクトである。したがって、TVSのコンパクト部分集合の閉包はコンパクトである（言い換えれば、すべてのコンパクト集合は相対的にコンパクトである）^{[ 40 ]} 。これは任意の非ハウスドルフ位相空間では保証されない。^{[注 6 ]}${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$

任意の部分集合 に対して、したがって、 が において開または閉である場合、[証明^{5 ]と}なる（したがって、この任意の開または閉部分集合は、垂直辺がベクトル空間 である「管」として記述できる）。この TVS の任意の部分集合に対して、以下は同値である。 ${\displaystyle S\subseteq X,}$ $${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}$$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$

• ${\displaystyle S}$ 完全に有界です。
• ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ 完全に制限されている。^{[ 41 ]}
• ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ 完全に制限されている。^{[ 42 ] [ 43 ]}
• 正準商写像の下の像は完全に有界である。^{[ 41 ]}${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\to X/\operatorname {cl} _{X}(\{0\})}$

がTVSのベクトル部分空間である場合、がハウスドルフであることと、が閉じていることは同値である 。さらに、商写像は常に（必然的に）ハウスドルフTVSへの閉写像である。 ^{[ 44 ]}${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle q:X\to X/\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$

の代数的補集合（つまり、かつを満たすベクトル部分空間）であるベクトル部分空間はすべて、の位相的補集合である。したがって、がにおけるの代数的補集合である 場合、によって定義される加法写像はTVS同型であり、は必然的にハウスドルフであり、離散位相を持つ。^{[ 45 ]}さらに、がのハウスドルフ完備化である場合、はの完備化である^{[ 41 ]。}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{0\}=H\cap \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X=H+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}\to X,}$ ${\displaystyle (h,n)\mapsto h+n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X\cong H\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$

閉じた集合とコンパクトな集合

コンパクト集合と全有界集合

TVS の部分集合がコンパクトであるための必要十分条件は、それが完備かつ全有界である場合である。^{[ 39 ]}したがって、完備位相ベクトル空間では、閉じた全有界部分集合はコンパクトである。^{[ 39 ]} TVS の 部分集合が全有界であるための必要十分条件は、が全有界である場合である。 ^{[ 42 ] [ 43 ]}正準商写像によるその像が全有界である場合である。^{[ 41 ]}${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ $${\displaystyle X\to X/\operatorname {cl} _{X}(\{0\})}$$

相対的にコンパクトな集合はすべて全有界であり^{[ 39 ]}、全有界集合の閉包も全有界である。^{[ 39 ]} 全有界集合の一様連続写像（例えば連続線型写像）による像は全有界である。^{[ 39 ]}が TVS の部分集合で、内のすべてのシーケンスに1 つのクラスター点がある 場合、 は全有界である。^{[ 41 ]}${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

がTVSのコンパクト部分集合であり、がを含む開部分集合である場合、 0の近傍が存在し、 ^{[ 46 ]}${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K+N\subseteq U.}$

閉包と閉集合

任意のTVSの任意の凸部分集合（それぞれ、任意の平衡部分集合、任意の吸収部分集合）の閉包は、この同じ性質を持つ。特に、任意の凸部分集合、平衡部分集合、吸収部分集合の閉包は樽型である。

TVS のベクトル部分空間の閉包はベクトル部分空間である。ハウスドルフ TVS のすべての有限次元ベクトル部分空間は閉じている。閉じたベクトル部分空間と有限次元ベクトル部分空間の和は閉じている。^{[ 6 ]}が のベクトル部分空間であり、がにおける原点の閉近傍で が で閉じている 場合、はで閉じている^{[ 46 ] 。} コンパクト集合と閉集合の和は閉じている。しかし、2 つの閉部分集合の和は閉じていないことがある^{[ 6 ]}（例についてはこの脚注^{[注 7 ]}を参照）。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\cap N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$

がスカラーであり、かつがハウスドルフであるとき、等式が成り立つ。特に、閉集合のゼロでないスカラー倍はすべて閉集合である。かつがスカラー集合であって、いずれもゼロを含まないとき、^{[ 47 ]}${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle a\operatorname {cl} _{X}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}(aS),}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\neq 0,{\text{ or }}S=\varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(aS)=a\operatorname {cl} _{X}S.}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S{\text{ nor }}\operatorname {cl} A}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {cl} A\right)\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)=\operatorname {cl} _{X}(AS).}$

ならば凸である。^{[ 47 ]}${\displaystyle S\subseteq X{\text{ and }}S+S\subseteq 2\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$

ならば^{[ 6 ]}であり、したがって、が閉じているならば^{[ 47 ]も閉じている。}${\displaystyle R,S\subseteq X}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}(R+S)~{\text{ and }}~\operatorname {cl} _{X}\left[\operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S)\right]~=~\operatorname {cl} _{X}(R+S)}$$ ${\displaystyle R+S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S).}$

が実 TVS であり、左側が の位相に依存しない場合、さらに、が原点の凸近傍である場合、等式が成立します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ $${\displaystyle \bigcap _{r>1}rS\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}$$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle S}$

任意の部分集合に対して、が原点における任意の近傍基数である[ ^{48 ] 。} しかし、と は、この包含が適切である可能性がある^{[ 49 ]}（例えば、と が有理数の場合）。したがって、の原点の任意の近傍に対して、 が成り立つ^{[ 50 ] 。}${\displaystyle S\subseteq X,}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S~=~\bigcap _{N\in {\mathcal {N}}}(S+N)}$$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X.}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}U~\supseteq ~\bigcap \{U:S\subseteq U,U{\text{ is open in }}X\}}$$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}U\subseteq U+U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$

密閉型船体

局所凸空間では、有界集合の凸包は有界である。しかし、これは一般的なTVSには当てはまらない。^{[ 14 ]}

• 集合の閉じた凸包はその集合の凸包の閉包に等しい。つまり、^{[ 6 ]}${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S).}$
• 集合の閉じた均衡包は、その集合の均衡包の閉包に等しい。つまり、^{[ 6 ]}${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {bal} S).}$
• 集合の閉円板包はその集合の円板包の閉包に等しい。つまり、 ^{[ 51 ]に等しい。}${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {cobal} S).}$

と集合の一方の閉凸包がコンパクトである場合、^{[ 51 ]}それぞれがコンパクトな閉凸包を持つ場合（つまり、とがコンパクトである 場合）、^{[ 51 ]}${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} (R+S))~=~\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)+\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S).}$$ ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S)}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} (R\cup S))~=~\operatorname {co} \left[\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)\cup \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S)\right].}$$

船体とコンパクトさ

一般的なTVSでは、コンパクト集合の閉凸包はコンパクトでなくなる可能性がある。コンパクト（または、全有界）集合の平衡包も同じ性質を持つ。^{[ 6 ]}コンパクト凸集合 の有限和の凸包もまた、コンパクトかつ凸である。^{[ 6 ]}

その他の特性

貧弱で、密集していない、そしてベール

TVS内の円板が稠密でないのは、その閉包が原点の近傍である場合に限ります。^{[ 9 ]} TVSのベクトル部分空間が閉じているが開いていない場合は、稠密でないです。^{[ 9 ]}

が離散位相を持たないTVSであるとする。このとき、 がベール空間であることと、均衡吸収非稠密部分集合を持たないこととが同値である。^{[ 9 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

TVSがベール空間となる場合、かつその場合のみ は非乏しいとなり、それが成り立つのは、どこにも稠密でない集合が存在しない場合であり、[ ^{9 ]すべて} の非乏しい局所凸 TVS は樽型空間である。^{[ 9 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\textstyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }nD.}$

代数の重要な事実とよくある誤解

が凸ならば等式が成立します。等式が成立しない例として、 を非ゼロにして と設定する方法もあります。 ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle 2S\subseteq S+S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S=\{-x,x\};}$ ${\displaystyle S=\{x,2x\}}$

部分集合が凸集合となるのは、すべての正の実数に対して^{[ 29 ]}の場合に限ります。また、同様に、すべての正の実数に対して^{[ 52 ]の場合に限ります。}${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (s+t)C=sC+tC}$ ${\displaystyle s>0{\text{ and }}t>0,}$ ${\displaystyle tC+(1-t)C\subseteq C}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1.}$

集合の凸均衡包は、の均衡包の凸包に等しい。つまり、 は に等しい。しかし一般に、凸集合の均衡包は必ずしも凸である必要はないので、包含は厳密である可能性がある（ にも反例が存在する）。 ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S;}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (\operatorname {bal} S).}$ $${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)~\subseteq ~\operatorname {cobal} S~=~\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

とがスカラーならば^{[ 6 ]}が凸で空でない分離集合 ならばまたは${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle a(R+S)=aR+aS,~{\text{ and }}~\operatorname {co} (R+S)=\operatorname {co} R+\operatorname {co} S,~{\text{ and }}~\operatorname {co} (aS)=a\operatorname {co} S.}$$ ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle x\not \in R\cup S,}$ ${\displaystyle S\cap \operatorname {co} (R\cup \{x\})=\varnothing }$ ${\displaystyle R\cap \operatorname {co} (S\cup \{x\})=\varnothing .}$

任意の非自明なベクトル空間には、互いに素な空でない凸集合が二つ存在し、その和は${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

その他の特性

あらゆるTVS位相はF半正規分布の族によって生成できる。^{[ 53 ]}

が何らかの単項述語（ に依存する真または偽のステートメント）である場合、任意の について^{[証明 6 ]}となります。 したがって、たとえば、 が「 」を表す場合、任意の について となります。同様に、がスカラーである場合、これらのセットの要素は、単なるサブセットではなくベクトル空間（つまり、 上）にわたる必要があります。そうでない場合、これらの等式は保証されなくなります。同様に、 はこのベクトル空間（つまり、）に属している必要があります。 ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle z\in X,}$ ${\displaystyle z+\{x\in X:P(x)\}=\{x\in X:P(x-z)\}.}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle \|x\|<1}$ ${\displaystyle z\in X,}$ ${\displaystyle z+\{x\in X:\|x\|<1\}=\{x\in X:\|x-z\|<1\}.}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle s\{x\in X:P(x)\}=\left\{x\in X:P\left({\tfrac {1}{s}}x\right)\right\}.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z\in X}$

集合演算子によって保持される特性

• コンパクト集合（それぞれ、全有界集合、開集合）の平衡包は同じ性質を持つ。^{[ 6 ]}
• 2つのコンパクト集合（それぞれ、有界集合、バランス集合、凸集合）の（ミンコフスキー）和は同じ性質を持つ。^{[ 6 ]}しかし、2つの閉集合の和は必ずしも閉じている必要はない。
• 均衡集合（開集合）の凸包は均衡集合（開集合）である。しかし、閉集合の凸包は必ずしも閉じている必要はない。^{[ 6 ]}また、有界集合の凸包は有界である必要はない。

以下の表では、各セルの色は、列名（例えば「凸状」）で示される部分集合の特定のプロパティが、行名（例えば「閉包」）で示される集合演算子によって保持されるかどうかを示しています。すべてのTVSにおいて、指定された集合演算子によってプロパティが保持される場合、そのセルは緑色で表示され、そうでない場合は赤色で表示されます。 ${\displaystyle X}$

例えば、2つの吸収集合の和集合は再び吸収集合となるため、「」行の「吸収集合」列のセルは緑色に着色されます。しかし、吸収集合の任意の交差は必ずしも吸収集合である必要はないため、「任意の交差（少なくとも1つの集合）」行の「吸収集合」列のセルは赤色に着色されます。セルに色が表示されていない場合、その情報はまだ入力されていません。 ${\displaystyle R\cup S}$

集合演算子によって保持される特性

手術	のプロパティとその他のサブセットは、 ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle X}$
	吸収する	バランスの取れた	凸型	対称的	凸バランス	ベクトル部分空間	開ける	0の 近隣	閉鎖	クローズドバランス	閉じた凸面	クローズドコンベックスバランス	バレル	閉じたベクトル部分空間	完全に境界が	コンパクト	コンパクトコンベックス	比較的コンパクト	完了	順次完了	バナッハ円板	境界付き	肉食性	下食性	密集していない場所（） ${\displaystyle X}$	わずかな	分離可能	擬似子宮頸管造影検査可能	手術
${\displaystyle R\cup S}$																													${\displaystyle R\cup S}$
${\displaystyle \cup }$  増加する 空でない 連鎖																													${\displaystyle \cup }$  増加する 空でない 連鎖
任意の結合（少なくとも1セット）																													任意の結合（少なくとも1セット）
${\displaystyle R\cap S}$																													${\displaystyle R\cap S}$
${\displaystyle \cap }$  空で ない減少 連鎖																													${\displaystyle \cap }$  空で ない減少 連鎖
任意の交差（少なくとも1つの集合）																													任意の交差（少なくとも1つの集合）
${\displaystyle R+S}$																													${\displaystyle R+S}$
スカラー倍数																													スカラー倍数
0以外のスカラー倍数																													0以外のスカラー倍数
正のスカラー倍数																													正のスカラー倍数
閉鎖																													閉鎖
インテリア																													インテリア
バランスの取れたコア																													バランスの取れたコア
バランスの取れた船体																													バランスの取れた船体
凸包																													凸包
凸バランスハル																													凸バランスハル
密閉型バランス船体																													密閉型バランス船体
閉じた凸包																													閉じた凸包
閉じた凸バランス包																													閉じた凸バランス包
線形スパン																													線形スパン
連続線型写像の下の原像																													連続線型写像の下の原像
連続線形マップの下の画像																													連続線形マップの下の画像
連続線形射影下の画像																													連続線形射影下の画像
空でない部分集合${\displaystyle R}$																													空でない部分集合${\displaystyle R}$
手術	吸収する	バランスの取れた	凸型	対称的	凸バランス	ベクトル部分空間	開ける	0の 近隣	閉鎖	クローズドバランス	閉じた凸面	クローズドコンベックスバランス	バレル	閉じたベクトル部分空間	完全に境界が	コンパクト	コンパクトコンベックス	比較的コンパクト	完了	順次完了	バナッハ円板	境界付き	肉食性	下食性	密集していない場所（） ${\displaystyle X}$	わずかな	分離可能	擬似子宮頸管造影検査可能	手術

参照

• バナッハ空間 – 完備なノルムベクトル空間
• フィールドを完了する
• ヒルベルト空間 – 数学におけるベクトル空間の種類
• 液体ベクトル空間 – 凝縮集合を用いた数学の分野Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ノルム空間 – 距離が定義されるベクトル空間Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 局所コンパクト体
• 局所コンパクト群
• 局所コンパクト量子群
• 局所凸位相ベクトル空間 – 凸集合によって生成される位相を持つ空間
• 順序付き位相ベクトル空間
• 位相アーベル群
• 位相体 – 加算、乗算、除算を含む代数構造Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 位相群 – 連続的な群作用を持つ位相空間である群
• 位相モジュール
• 位相環
• 位相半群
• 位相ベクトル格子
• 位相ベクトル空間における測度論 – 数学の科目

注記

1. もちろん、位相特性によりTVS であることも必要になります。${\displaystyle X}$
2. 特に、集合が閉じている場合（つまり、がT ₁空間である）は、 がハウスドルフである。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$
3. 実際、証明ではスカラー乗算を使用していないため、これは位相群にも当てはまります。
4. 計量線形空間とも呼ばれ、加算とスカラー乗算が連続となる並進不変計量を備えた実ベクトル空間または複素ベクトル空間であることを意味します。
5. 部分和の列が収束する場合、その級数はTVS で収束すると言われます${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$ ${\displaystyle X}$
6. 一般位相幾何学では、非ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合の閉包はコンパクトでない場合がある（例えば、無限集合上の特定の点位相）。この結果は、非ハウスドルフTVSではこのようなことは起こらないことを示している。、連続加法写像の下でのコンパクト集合の像だからである。また、コンパクト集合（つまり）と閉集合の和は閉じているので、は において閉じている${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X.}$
7. 軸の和と、そのグラフがの補集合であるはで開いている。ミンコフスキー和はの可算な稠密部分集合であるため、 では閉じていない。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y={\frac {1}{x}},}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} +{\sqrt {2}}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

証明

1. この条件は、が のすべての位相文字列の集合を表す${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$
2. これは、空でないすべてのバランス集合は必ず原点を含まなければならないからであり、${\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S=\{0\}\cup \operatorname {Int} _{X}S.}$
3. を固定するが に属することを示すことが残ります。必要であればを に置き換えることが原点の近傍であることを示すことが残りますをによるスカラー乗法は線型同相写像な、および からため、 を満たすものが存在することが分かりますによってが同相写像であるため、定義され集合はの開集合でありさらに を含みますするとは凸集合であるため、が証明されます。したがって、は の開集合であり、 は原点を含み、 はQED${\displaystyle 0<r<1}$ ${\displaystyle w_{0}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~rx+(1-r)y}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}C.}$ ${\displaystyle C,x,y}$ ${\displaystyle C-w_{0},x-w_{0},y-w_{0}}$ ${\displaystyle rx+(1-r)y=0,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle s~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\tfrac {r}{r-1}}<0}$ ${\displaystyle y={\tfrac {r}{r-1}}x=sx.}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle X\to X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left({\tfrac {1}{s}}C\right)={\tfrac {1}{s}}\operatorname {cl} _{X}C.}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {cl} C,}$ ${\displaystyle x={\tfrac {1}{s}}y\in \operatorname {cl} \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle c_{0}\in \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C,}$ ${\displaystyle sc_{0}\in C.}$ ${\displaystyle h:X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto rx+(1-r)sc_{0}=rx-rc_{0},}$ ${\displaystyle 0<r<1.}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle h(c_{0})=rc_{0}-rc_{0}=0.}$ ${\displaystyle c\in \operatorname {int} C}$ ${\textstyle h(c)=rc+(1-r)sc_{0}\in C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0<r<1,}$ ${\displaystyle sc_{0},c\in C,}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)\subseteq C.}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C.}$
4. は自明位相を持つので${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$
5. ならば となる。なぜなら場合、等式が成立するからである。がベクトル空間であるという事実を用いることで、等式を満たす任意の集合のもこの等式を満たすことが容易に証明される（を に代入した）。${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle s+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=\operatorname {cl} _{X}(s+\{0\})=\operatorname {cl} _{X}\{s\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S.}$ ${\displaystyle S\subseteq S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=S}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle S}$
6. そしてこれとQEDに等しいという事実を用いると$${\displaystyle z+\{x\in X:P(x)\}=\{z+x:x\in X,P(x)\}=\{z+x:x\in X,P((z+x)-z)\}}$$ ${\displaystyle y=z+x}$ ${\displaystyle z+X=X,}$ $${\displaystyle \{y:y-z\in X,P(y-z)\}=\{y:y\in X,P(y-z)\}=\{y\in X:P(y-z)\}.}$$ ${\displaystyle \blacksquare }$

引用

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24. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、p.111。
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参考文献

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さらに読む

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• ヴァルディビア、マヌエル（1982年）。ナクビン、レオポルド（編）『局所凸空間の話題』第67巻。アムステルダム、ニューヨーク：エルゼビア・サイエンス・パブ社。ISBN 978-0-08-087178-3. OCLC  316568534 .
• Voigt, Jürgen (2020).位相ベクトル空間講座. コンパクト数学教科書. バーゼル・ビルクハウザー出版. ISBN 978-3-030-32945-7. OCLC  1145563701 .

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズの位相ベクトル空間に関連するメディア