最大原則

微分方程式と幾何学解析といった数学の分野において、最大値原理は最も有用かつよく知られた研究ツールの一つである。領域Dにおける偏微分方程式（あるいはより一般的には微分不等式）の解は、 Dの境界で最大値に達するとき、最大値原理を満たすと言われる。調和関数、そしてより一般的には楕円型偏微分方程式の解は、最大値原理を満たす。

最大原理は、微分方程式の解そのものを明示的に知ることなしに、その解に関する情報を得ることを可能にする。特に、最大原理は常微分方程式および偏微分方程式の解の数値近似、およびそのような近似における誤差の境界値を決定する際に有用なツールである。^{[ 1 ]}

単純な2次元の場合、2つの変数 $u (x, y)$ の関数を考えます。

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.

この設定における弱い最大値原理は、 $u$ の定義域の任意の有界開部分集合 $Mに対して、$ $M$ の閉包上の $u$ の最大値は $M$ の境界上で達成される、というものである。強い最大値原理は、 $u が$ 定数関数でない限り、 $M自身の上ではどこでも最大値は達成されない、というものである。なお、これらの記述は$ $u$ の最小値についても成り立つ。なぜなら、 - $u は$ 同じ微分方程式を解くからである。

凸最適化の分野では、コンパクト凸集合上の凸関数の最大値は境界上で達成されると主張する類似の主張がある。^[²^]

直感

強最大原理の部分的な定式化

ここでは最も単純なケースを考えますが、同じ考え方をより一般的なシナリオに拡張することができます。M $を$ ユークリッド空間の開部分集合とし、 $uを$ $M上の$ $C 2$ 関数で、

\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}=0

ここで、 1から $n$ までの各 $i$ と $j$ に対して、 $a$ $ij$ $はM$ 上の関数であり、 $a$ $ij$ $=$ $a$ $ji$ となります。

$M$ における $x$ の適当な値を固定する。線型代数のスペクトル定理によれば、行列 $[$ $a$ $ij$ $($ $x$ $)]$ のすべての固有値は実数であり、 $ℝ$ $n$ には固有ベクトルからなる直交基底が存在する。iが 1 から $nまでで$ $ある$ とき、固有値を $λ$ $i$ 、対応する固有ベクトルを $v$ $i$ で表す。すると、点 $x$ における微分方程式は次のように書き直される。

\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\left.{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\right|_{t=0}{\big (}u(x+tv_{i}){\big )}=0.

最大値原理の本質は、各固有値が正の場合（これは微分方程式の「楕円性」の特定の定式化に相当します）、上記の式は解の方向2次微分に一定の釣り合いを課すという単純な観察にあります。特に、方向2次微分のうちの1つが負の場合、もう1つは必ず正になります。u $が$ 最大となる仮想的な点では、すべての方向2次微分は自動的に非正となり、上記の式で表される「釣り合い」には、すべての方向2次微分が0となることが必要です。

$この基本的な推論は、いくつかの追加の仮定 ( a$ の連続性など) の下で、 $u が最大化される$ $M$ の点がある場合、 $u は$ 一定でなければならないことを述べる、強い最大値原理の無限小定式化を表すと主張できます。

上記の推論は、より一般的な偏微分方程式を考えた場合にも影響されないことに注意されたい。

\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}=0,

追加された項は、任意の仮想的な最大点において自動的にゼロとなるためである。より一般的な条件を考慮しても、この推論は影響を受けない。

\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0,

$この条件において、仮想的な最大点において厳密な不等式（ \geq$ ではなく $>$ ）が存在する場合、完全な矛盾が生じるという追加の現象さえも指摘できる。この現象は、古典的な弱最大原理の形式的証明において重要である。

強い最大値原理の適用不可

しかし、上記の推論は、条件を考慮すると当てはまらなくなる。

\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\leq 0,

$なぜなら、 u$ の仮想的な最大点で評価される「釣り合い」条件は、明らかに非正の量の加重平均が非正であるということを示しているに過ぎないからである。これは自明に真であり、したがって、そこから非自明な結論を導くことはできない。これは、例えば以下のような、数多くの具体的な例に反映されている。

{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\big (}{-x}^{2}-y^{2}{\big )}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}{\big (}{-x}^{2}-y^{2}{\big )}\leq 0,

そして原点を含む任意の開領域上では関数 $- x 2 - y 2$ は必ず最大値を持ちます。

線形楕円偏微分方程式の古典的な弱最大原理

本質的な考え方

$M$ をユークリッド空間の開集合とする。滑らかな関数が点 $p$ で最大化されるとき、以下の関係が成り立つ。 $u:M\to \mathbb {R}$

$(du)(p)=0$
$(\nabla ^{2}u)(p)\leq 0,$ 行列不等式として。

偏微分方程式は、関数の様々な導関数の間に代数的関係を課すものと見ることができます。したがって、 $u が$ 偏微分方程式の解である場合、 $u$ の1次および2次導関数に対する上記の条件は、この代数的関係に矛盾を生じる可能性があります。これが最大値原理の本質です。明らかに、この考え方の適用可能性は、問題となる特定の偏微分方程式に大きく依存します。

例えば、 $uが$ 微分方程式を解くとすると

\Delta u=|du|^{2}+2,

とが定義域のどの点においても成り立つことは明らかに不可能です。したがって、上記の観察に従えば、 $u が$ 最大値を取ることは不可能です。もし $u が$ 微分方程式を解けば、このような矛盾は生じず、これまでの分析からは何ら興味深い結果は得られません。もし $u が$ 微分方程式を解けば、同じ分析から $u が$ 最小値を取らないことが示されます。 $\Delta u\leq 0$ $du=0$ $\Delta u=|du|^{2}$ $\Delta u=|du|^{2}-2,$

このような解析の可能性は偏微分方程式に限らない。例えば、 $u:M\to \mathbb {R}$

\Delta u-|du|^{4}=\int _{M}e^{u(x)}\,dx,

これは一種の「非局所的」な微分方程式であるため、右辺の自動的な厳密な正値は、上記と同じ分析により、 $u が$ 最大値に到達できないことを示します。

この種の解析の適用範囲を様々な方法で拡張する方法は数多く存在する。例えば、 $u が$ 調和関数である場合、点 $p$ の存在はどこでも要求と矛盾しないため、上述のような矛盾は直接的には生じない。しかし、任意の実数 $s$ に対して、次のように定義される関数 $u$ $s$ を考えることもできる。 $\Delta u(p)\leq 0$ $\Delta u=0$

u_{s}(x)=u(x)+se^{x_{1}}.

それは一目瞭然だ

\Delta u_{s}=se^{x_{1}}.

上記の分析によれば、ならばu $s$ $は$ 最大値に到達できません。u も最大値に到達できないと結論付けるために、 s から 0 への極限を考えることも $でき$ ます。しかし、最大値を持たない関数列の点ごとの極限が最大値を持つ可能性はあります。 $と$ はいえ、 $M$ が境界を持ち、その境界と共に $M がコンパクトである場合、$ $u を$ その境界まで連続的に拡張できると仮定すると、 $u$ と $u$ $s の$ 両方がで最大値に到達することが直ちに示されます。M $上$ の関数としての $u$ $s は$ 最大値を持たないことを示したので、任意の $sに対して$ $u$ $s$ の最大値は上にあることが示されます。の逐次コンパクト性から、 $u$ の最大値はで達成されます。これは調和関数の弱い最大値原理です。これだけでは、 $uの最大値も$ $M$ 上のどこかで達成される可能性を排除するものではありません。これが「強い最大値原理」の内容であり、さらなる分析が必要です。 $s>0$ $M\cup \partial M.$ $\partial M.$ $\partial M,$ $\partial M.$

上記の特定の関数の使用は、本質的にはそれほど重要ではありません。重要なのは、境界まで連続的に拡張され、ラプラシアンが厳密に正となる関数を持つことです。したがって、例えば、 $e^{x_{1}}$

u_{s}(x)=u(x)+s|x|^{2}

同じ効果があります。

線形楕円偏微分方程式の古典的な強最大原理

証明の要約

$M$ をユークリッド空間の開集合とする。を二回微分可能な関数とし、その最大値 $C$ を得るものとする。 $u:M\to \mathbb {R}$

a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0.

以下のものを発見（または存在を証明）できると仮定します。

$M$ のコンパクト部分集合 $Ω$ で、内部が空でなく、 $Ω$ の内部にあるすべての $xに対して$ $u$ $($ $x$ $) <$ $C$ $が成り立ち、 Ω$ の境界上に $u$ $($ $x$ $0$ $) =$ $C$ となる $x$ $0$ が存在する。
$Ω$ の内部で2回微分可能で、 $h:\Omega\to\mathbb{R}$

a_{ij}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+b_{i}{\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}\geq 0,

そして、 Ω

の境界上でu

+ h \leq C が

成り立ち、

h

(

x

0

) = 0となる。

すると、 $Ω$ の境界上でu $+$ $h$ $-$ $C$ $\leq$ $0 となる$ $Ω$ 上で $L (u + h - C) \geq 0 となる。弱最大値原理によれば、$ $Ω$ 上で $u$ $+$ $h$ $-$ $C$ $\leq 0$ となる。これは次のように書き直すことができる。

-{\frac {u(x)-u(x_{0})}{|x-x_{0}|}}\geq {\frac {h(x)-h(x_{0})}{|x-x_{0}|}}

$Ω$ のすべての $x$ について。右辺が明らかに正の性質を持つように $h$ を選択できる場合、 $x$ $0$ $がM$ 上の $u$ の最大値であるという事実と矛盾し、その勾配は必ずゼロになる。

証拠

上記の「プログラム」は実行可能である。Ω $を$ 球面環状体とし、その中心 $x c を$ 閉集合 $u -1 (C)$ に近い点、つまり閉集合 $\partial M$ に近い点とする。そして、外半径 $Rをこの中心から$ $u -1 (C)$ までの距離とする。x $0$ $を$ 、この距離を実現する後者の集合上の点とする。内半径 $ρ$ は任意である。定義する。

h(x)=\varepsilon {\Big (}e^{-\alpha |x-x_{\text{c}}|^{2}}-e^{-\alpha R^{2}}{\Big )}.

$ここで、 Ω$ の境界は2 つの球面から構成されます。外側の球面では、 $h = 0です。$ $R$ の選択により、この球面では $u \leq C$ となり、したがって境界のこの部分では $u + h - C \leq 0が成立し、さらに$ $h (x 0) = 0$ という要件も満たされます。内側の球面では、 $u < C$ $です。 u$ の連続性と内側の球面のコンパクトさにより、 $u$ $+$ $δ$ $<$ $C$ となるように $δ > 0$ を選択できます。この内側の球面では $h$ は定数であるため、内側の球面、したがって $Ω$ の境界全体で $u$ $+$ $h$ $\leq$ $C$ となるように $ε$ $> 0$ を選択できます。

直接計算すると

\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}=\varepsilon \alpha e^{-\alpha |x-x_{\text{c}}|^{2}}\left(4\alpha \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x){\big (}x^{i}-x_{\text{c}}^{i}{\big )}{\big (}x^{j}-x_{\text{c}}^{j}{\big )}-2\sum _{i=1}^{n}a_{ii}-2\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\big (}x^{i}-x_{\text{c}}^{i}{\big )}\right).

右辺が非負であることが保証される条件はいくつかあります。以下の定理の説明を参照してください。

最後に、円環の内向きの放射状線に沿った $x$ $0$ における $h$ の方向微分は正であることに注意する。上記の要約で述べたように、これは $x$ $0$ における $u$ の方向微分が非ゼロとなることを保証するが、これは $x$ $0$ が開集合 $M上の$ $u$ の極大点であることと矛盾する。

定理の記述

以下は、ホップ (1927) の元の記述に従って、モーリーとスモラーの著書に記載されている定理の記述です。

$M をユークリッド空間$ $ℝ n$ の開部分集合とする。1から $n$ までの各 $i$ と $j$ に対し、 $a$ $ij$ と $b$ $i$ $をM$ 上の連続関数とし、 $a$ $ij$ $=$ $a$ $ji$ とする。Mの $任意の$ $x$ に対して、対称行列 $[$ $a$ $ij$ $]$ は正定値であるとする。u $が$ $M$ 上の非定数 $C$ $2$ 関数で、
$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0$
$M$ 上では、 $u は$ $M$ 上で最大値に達しません。

連続性仮定の要点は、連続関数がコンパクト集合上で有界であるという点であり、ここでの関連するコンパクト集合とは、証明に現れる球面環状体である。さらに、同じ原理により、環状体内のすべての $x$ に対して、行列 $[$ $a$ $ij$ $($ $x$ $)] のすべての固有値が$ $λ$ 以上となるような数 λ が存在する $。$ この場合、証明に現れる $αは、これらの境界に対して大きいと仮定する。Evans の著書では、やや弱い定式化が用いられており、$ $M$ 内のすべての $x$ に対して $[$ $a$ $ij$ $]$ の固有値の下限となる正の数 $λ$ が存在すると仮定している。

これらの連続性の仮定は、証明が成立するために考えられる最も一般的な仮定ではないことは明らかです。例えば、以下はギルバーグとトゥルーディンガーによる定理の記述であり、同じ証明に続いています。

$M を$ $ユークリッド空間$ $ℝ n$ の開集合とする。1から $n$ までの各 $i$ と $j$ に対し、 $a$ $ij$ と $b$ $i$ $をa$ $ij$ $=$ $a$ $ji$ を満たす $M$ 上の関数とする。Mのすべての $x$ に対し、対称行列 $[$ $a$ $ij$ $]$ は正定値であるとし、その最小の固有値を $λ(x)$ で表す。1から $n$ までの各 $i$ に対し、とは $M$ 上の有界関数であるとする。u $が$ $M$ 上の非定数 $C$ $2$ 関数で、 $\textstyle {\frac {a_{ii}}{\lambda }}$ $\textstyle {\frac {|b_{i}|}{\lambda }}$
$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0$
$M$ 上では、 $u は$ $M$ 上で最大値に達しません。

これらの記述を、1次元の場合で既に見られたように、一般的な2階線形楕円方程式に単純に拡張することはできません。例えば、常微分方程式 $y ″ + 2 y = 0$ は正弦波状の解を持ち、それらは必ず内部最大値を持ちます。これは高次元の場合にも当てはまり、高次元の場合、「固有関数」方程式 $Δ u + cu = 0の解も内部最大値を持つことがよくあります$ 。cの符号は、1次元の場合にも見られるように、重要です。例えば $、 y ″ - 2 y = 0$ の解は指数関数であり、そのような関数の最大値の性質は正弦関数のそれとは全く異なります。

参照

注記

^ Protter, Murray H.; Weinberger, Hans Felix (1984).微分方程式における最大原理. ニューヨーク・ベルリン・ハイデルベルク [他]: Springer. ISBN 978-3-540-96068-3。
^ Rockafellar（1970年）第32章

参考文献

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[1] Protter, Murray H.; Weinberger, Hans Felix (1984).微分方程式における最大原理. ニューヨーク・ベルリン・ハイデルベルク [他]: Springer. ISBN 978-3-540-96068-3。

[2] Rockafellar（1970年）第32章

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