アクセスできない枢機卿

集合論 において、基数が非可算で、正則で、かつ強極限基数である場合、その基数は強不可算基数と呼ばれます。基数が非可算で、正則で、かつ弱極限基数である場合、その基数は弱不可算基数と呼ばれます。

1950年頃から、「近づきにくい基数」は一般的に「強く近づきにくい基数」を意味するようになったが、それ以前は「弱く近づきにくい基数」を意味していた。弱く近づきにくい基数はハウスドルフ（1908）によって導入された。強く近づきにくい基数はシェルピンスキ＆タルスキ（1930）とツェルメロ（1930）によって導入された。後者では、これらはグレンツァーレン（英語の「極限数」）とともに呼ばれていた。^{[ 1 ]}${\displaystyle \aleph_{0}}$

あらゆる強到達不可能基数は弱到達不可能基数である。一般化連続体仮説は、あらゆる弱到達不可能基数は強到達不可能基数でもあることを意味する。

到達不能基数という2つの概念は、基数が 未満の集合のみを含む典型的な集合論的演算の結果として得られる基数ではない基数を記述します。これが「到達不能」という用語の由来です。到達不能基数を非可算とすることで、その基数は非常に大きくなります。 ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

特に、到達不可能な基数はそもそも存在する必要がない。つまり、選択公理（ZFC）を用いた場合であっても、到達不可能な基数が存在しないツェルメロ＝フランケル集合論のモデルが存在すると考えられている。 ^{[ 2 ]}一方、強到達不可能な基数が存在するZFCのモデルも存在すると考えられている。ZFCはこれらの大規模集合を収容できるが、必ずしもそうである必要はないという事実は、大規模基数公理への導入となる。モデルと一貫性も参照のこと。

強不可アクセス基数の存在は、グロタンディーク宇宙の存在と同値である。が強不可アクセス基数であるならば、フォン・ノイマン段階はグロタンディーク宇宙である。逆に、 がグロタンディーク宇宙であるならば、となる強不可アクセス基数が存在する。強不可アクセス基数との対応から予想されるように、グロタンディーク宇宙は集合論的操作に対して非常によく閉じている。 ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle V_{\kappa}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle V_{\kappa}=U}$

順序数は、それが正規順序数であり、正規順序数の極限である場合に限り、弱到達不可能基数となります。(0、1、および は正規順序数ですが、正規順序数の極限ではありません。) ${\displaystyle \omega }$

ある観点から見ると、弱到達不能基数または強到達不能基数が不可算基数であるという要件は不自然または不必要である。は可算基数であるにもかかわらず、正則基数であり、強極限基数である。 はまた、最小の弱極限正則基数でもある。選択公理を仮定すると、他のすべての無限基数は正則基数または弱極限基数のいずれかである。しかし、両方を兼ねることができるのは、かなり大きな基数だけである。より大きい基数は必然的に不可算であるため、も正則基数であり弱極限基数である場合、は弱到達不能基数でなければならない。 ${\displaystyle \aleph_{0}}$ ${\displaystyle \aleph_{0}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \aleph_{0}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

モデルと一貫性

が基数であると仮定する。選択付きツェルメロ・フランケル集合論（ZFC）によれば、フォン・ノイマン宇宙の 番目のレベルは、が強アクセス不可能な場合、ZFC のモデルとなる。さらに、ZF によれば、ゲーデル宇宙は、 が弱アクセス不可能な場合、ZFC のモデルとなる。したがって、ZF と「弱アクセス不可能な基数が存在する」という表現を合わせると、ZFC は整合的である。したがって、アクセス不可能な基数は、大きな基数の一種である。 ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle V_{\kappa}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle L_{\kappa}}$ ${\displaystyle \kappa }$

がZFCの標準モデルであり、が においてアクセス不可能な場合、 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle V}$

1. ${\displaystyle V_{\kappa}}$ ツェルメロ-フランケル集合論の意図されたモデルの一つである。
2. ${\displaystyle Def(V_{\kappa })}$ これは、大域的選択を排除し、サイズの制限を置換と通常の選​​択に置き換える、メンデルソン版フォン・ノイマン・バーネイス・ゲーデル集合論の目的のモデルの一つである。
3. これは、モース・ケリー集合論の意図されたモデルの一つである。${\displaystyle V_{\kappa +1}}$

ここで、は の-定義可能部分集合の集合である（構成可能宇宙 を参照）。最初の主張は弱められる可能性があることを指摘しておく価値がある。つまり、 が ZF の標準モデルとなるためには、 がアクセス不可能である必要はなく、基数である必要もない（下記 を参照）。 ${\displaystyle 定義(X)}$ ${\displaystyle \Delta _{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle V_{\kappa}}$

がZFC のモデルであるとします。 は強不可アクセス要素を含まないか、を における最小の強不可アクセス要素とすると、は強不可アクセス要素を含まない ZFC の標準モデルです。したがって、ZFC の一貫性は、ZFC+「強不可アクセス要素は存在しない」の一貫性を意味します。同様に、 は弱不可アクセス要素を含まないか、を の任意の標準サブモデルに対して弱不可アクセス要素である最小の順序数とすると、 は弱不可アクセス要素を含まない ZFC の標準モデルです。したがって、ZFC の一貫性は、ZFC+「弱不可アクセス要素は存在しない」の一貫性を意味します。これは、ZFC が不可アクセス基数の存在を証明できないことを示しているため、ZFC は不可アクセス基数が存在しないことと矛盾しません。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{\kappa}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L_{\kappa}}$

ZFCが到達不可能な基数の存在と整合するかどうかという問題は、より微妙です。前段落で概説した、ZFCの整合がZFC + 「到達不可能な基数は存在しない」の整合を意味するという証明は、ZFCで形式化できます。しかし、ZFCが整合していると仮定すると、ZFCの整合がZFC + 「到達不可能な基数が存在する」の整合を意味するという証明は、ZFCで形式化できません。これはゲーデルの第二不完全性定理に由来します。この定理は、ZFC + 「到達不可能な基数が存在する」が整合している場合、それ自体の整合を証明できないことを示しています。ZFC + 「到達不可能な基数が存在する」はZFCの整合を証明するため、ZFCが自身の整合がZFC + 「到達不可能な基数が存在する」の整合を意味することを証明すれば、この後者の理論は自身の整合を証明できることになりますが、整合している場合、これは不可能です。

ZFCでは形式化できない到達不可能基数の存在を主張する議論がある。Hrbáček & Jech (1999 , p. 279) が提示した議論の一つは、の元の冪集合を拡張し保存するより大きな集合論モデルが存在するならば、特定の集合論モデルのすべての順序数のクラス自体が到達不可能基数になるというものである。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

アクセス不可能なものの適切なクラスの存在

集合論には、興味のある述語を満たす適切な基数クラスの存在を主張する重要な公理が多数あります。到達不可能性の場合には、対応する公理は、すべての基数 に対して、それより確実に大きい到達不可能な基数 が存在するという主張です。したがって、この公理は、到達不可能な基数の無限の塔の存在を保証します (到達不可能な基数公理と呼ばれることもあります)。到達不可能な基数の存在の場合と同様に、到達不可能な基数公理は ZFC の公理からは証明できません。ZFC を仮定すると、到達不可能な基数公理は、グロタンディークとヴェルディエの宇宙公理に相当します。つまり、すべての集合はグロタンディーク宇宙に含まれます。 ZFCの公理は、宇宙公理（あるいは同義の到達不可能基数公理）とともにZFCUと表記されます（ureelementsを持つZFCと混同しないでください）。この公理体系は、例えば、あらゆるカテゴリに適切なヨネダ埋め込み が存在することを証明するのに役立ちます。 ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \mu <\kappa }$

これは、比較的弱い大基数公理です。なぜなら、次のセクションの言語では が 1 アクセス不可能であると言っているのと同じで、 はに含まれない最小の順序数、つまりモデル内のすべての順序数のクラスを表します。 ${\displaystyle \infty}$ ${\displaystyle \infty}$ ${\displaystyle V}$

α-近づきにくい基数と超近づきにくい基数

「 - 不可アクセス基数」という用語は曖昧であり、さまざまな著者が同等でない定義を使用しています。 1 つの定義では、任意の順序数 に対して、 が不可アクセスであり、すべての順序数 に対して、より小さい - 不可アクセス基数の集合がで無制限である(したがって、 が正則であるため、基数 である) 場合、基数は - 不可アクセスであるということになります。この場合、0-不可アクセス基数は、強く不可アクセス基数と同じです。もう 1 つの可能な定義では、 が正則であり、すべての順序数 に対して、より小さい - 弱不可アクセス基数の集合がで無制限である とき、基数は - 弱不可アクセスであるということになります。この場合、0-弱不可アクセス基数は正則基数であり、1-弱不可アクセス基数は弱不可アクセス基数です。 ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \beta <\alpha }$ ${\displaystyle \beta}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \beta <\alpha }$ ${\displaystyle \beta}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

-不可到達基数は、それより小さい不可到達基数を数える関数の不動点として記述することもできます。例えば、^を番目の不可到達基数で表すと、 の不動点は1-不可到達基数です。次に^{を 番目の}- 不可到達基数とすると、 の不動点は- 不可到達基数（値 ）です。が極限順序数である場合、 -不可到達基数は のあらゆるの不動点です（値は^そのような基数の 番目の です）。 連続的に大きな基数を生成する関数の不動点を取るこのプロセスは、大きな基数の研究でよく見られます。 ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \psi _{0}(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle \psi_{0}}$ ${\displaystyle \psi _{\beta }(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle \beta}$ ${\displaystyle \psi _{\beta }}$ ${\displaystyle (\beta +1)}$ ${\displaystyle \psi _{\beta +1}(\lambda )}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \psi _{\beta }}$ ${\displaystyle \beta <\alpha }$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda}$

「超近似不可能」という用語は曖昧であり、少なくとも3つの矛盾する意味を持ちます。多くの著者は、これを強近似不可能基数の正規極限（1近似不可能）の意味で用います。また、-近似不可能であるという意味で用いる著者もいます（-近似不可能であることは決してありません）。また、マロ基数 という意味で用いられることもあります。 ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa +1}$

-超アクセス不能という用語も曖昧です。一部の著者はこれを-アクセス不能の意味で使用しています。また、任意の順序数 に対して、基数が-超アクセス不能である場合と、が超アクセス不能である場合に限り、任意の順序数 に対して、より小さい -超アクセス不能の集合がにおいて無限であるという定義を用いる著者もいます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \beta <\alpha }$ ${\displaystyle \beta}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

超超アクセス不可能基数なども同様の方法で定義できますが、通常どおりこの用語は曖昧です。

「アクセス不能」の代わりに「弱アクセス不能」を使用すると、「弱-アクセス不能」、「弱超アクセス不能」、「弱-超アクセス不能」 に対して同様の定義を作成できます。${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \alpha}$

マホロ枢機卿は、アクセス不可能、超アクセス不可能、超超アクセス不可能、... などです。

アクセス不能性の2つのモデル理論的特徴

まず、基数が到達不可能な場合、かつその場合に限り、基数は次の反射特性を持つ：すべての部分集合 に対して、が の基本部分構造となるような基数が存在する。（実際、そのような基数の集合はにおいて無限に閉じている。）したがって、はすべての に対して記述不可能である。一方、となるような順序数は必ずしも存在しない。そして、これが成り立つならば、 は番目の到達不可能基数でなければならない。^{[ 3 ]}${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle U\subset V_{\kappa }}$ ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle (V_{\alpha },\in ,U\cap V_{\alpha })}$ ${\displaystyle (V_{\kappa },\in ,U)}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha >\kappa }$ ${\displaystyle V_{\kappa}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

ZF では、やや弱い反射性を持つ が証明可能であり、この場合、部分構造は有限の式集合に関して「基本的」であることのみが要求されます。最終的に、この弱められた理由は、モデル理論的充足関係は定義できるものの、タルスキの定理により、意味的真理そのもの（すなわち ）は定義できないためです。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (V_{\alpha },\in ,U\cap V_{\alpha })}$ ${\displaystyle \vダッシュ}$ ${\displaystyle \vダッシュ_{V}}$

第二に、ZFC のもとでは、が2 次ZFCモデルである場合に限り がアクセス不可能であることを述べる、ツェルメロの圏定理が示されます。 ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle (V_{\kappa },\in )}$

この場合、上記の鏡映特性により、 （ 1階）ZFCの標準モデルとなるようなものが存在する。したがって、ZFCの推移モデルの存在よりも、到達不可能基数の存在の方がより強い仮説となる。 ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle (V_{\alpha },\in )}$

の到達不能性は上の性質である。^{[ 4 ]}一方、基数が（を含む のある特定のモデルにおいて）到達不能であることは である。^{[ 5 ]}${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$ ${\displaystyle V_{\kappa}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathrm {ZF} }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \Pi _{1}}$

参照

• 世俗的な枢機卿、より弱い概念
• マロ枢機卿、より強い概念
• クラブセット
• 内部モデル
• フォン・ノイマン宇宙
• 構築可能な宇宙

引用文献

• Drake, FR (1974)、「集合論：大規模基数入門」、論理学と数学の基礎研究、第76巻、エルゼビア・サイエンス、ISBN 0-444-10535-2
• Hausdorff, Felix (1908)、「Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen」、Mathematische Annalen、65 (4): 435–505、doi : 10.1007/BF01451165、hdl : 10338.dmlcz/100813、ISSN  0025-5831、S2CID  119648544
• フルバーチェク, カレル州; Jech、Thomas (1999)、集合論入門(第 3 版)、ニューヨーク: Dekker、ISBN 978-0-8247-7915-3
• 金森明宏(2003)、The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings (2nd ed.)、Springer、ISBN 3-540-00384-3
• Sierpiński, ヴァツワフ; Tarski、Alfred (1930)、「Sur une propriété caractéristique des nombres inaccessibles」(PDF)、Fundamenta Mathematicae、15 : 292–300、doi : 10.4064/fm-15-1-292-300、ISSN  0016-2736
• Zermelo, Ernst (1930)、「Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre」(PDF)、Fundamenta Mathematicae、16 : 29–47、doi : 10.4064/fm-16-1-29-47、ISSN  0016-2736英語訳：エヴァルト、ウィリアム・B.（1996）「境界数と集合の領域について：集合論の基礎における新たな研究」『イマヌエル・カントからデイヴィッド・ヒルベルトまで：数学の基礎における情報源』オックスフォード大学出版局、  1208～ 1233頁、ISBN 978-0-19-853271-2。

参考文献

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3. A. Enayat, 「集合論におけるマクドウェル-スペッカー定理の類似」（2020年）、10ページ。2024年3月9日にアクセス。
4. K. Hauser, "Indescribable cardinals and elementary embeddings". Journal of Symbolic Logic vol. 56, iss. 2 (1991), pp.439--457.
5. KJ Devlin, "Indescribability Properties and Small Large Cardinals" (1974). ISILC Logic Conference: Proceedings of the International Summer Institute and Logic Colloquium, Kiel 1974 , Lecture Notes in Mathematics, vol. 499 (1974)${\displaystyle \vダッシュ}$