ルモワーヌ点
幾何学において、ルモワーヌ点、グレブ点、あるいは対称中点（そうしょうち）とは、三角形の3つの対称中線（対応する角の二等分線で反射した中線）の交点である。言い換えれば、三角形の 重心の等角共役である。
ロス・ホンスバーガーはその存在を「現代幾何学の至宝の一つ」と呼んだ。[ 1 ]
三角形の中心百科事典では、対称点は6番目の点X(6)として記載されています。[ 2 ]正三角形でない三角形の場合、対称点はその三角形の中心で穿孔された開直重心円上にあり、その中の任意の点を取ることができます。[ 3 ]
作図
辺の長さがa、b、cの三角形の対称中点は、同次三線座標[ a : b : c ]を持ちます。[ 2 ]
代数的に対称点を求める方法は、三角形を、対応する直線のヘッセ正規形によって与えられる2つの未知数を持つ3つの線形方程式で表すことです。この過剰決定系の解を最小二乗法で求めると、対称点の座標が得られます。また、この解は、各辺からの距離の二乗和が最小となる点を求める最適化問題も解いています。
三角形ABCの対称中点は、次のように作図できます。ABCの外接円の接線がBとCを通ってA'で交わるようにし、同様にB'とC'を定義します。すると、A'B'C'はABCの接三角形となり、線AA'、BB'、CC'はABCの対称中点で交差します。[ a ]ブリアンションの定理を使用すると、これら 3 本の線が 1 点で交わることが示されます。線AA'は対称中線であり、中心がA'でBとCを通る円を描いてみればわかります。
他の三角形の中心との関係
三角形のジェルゴンヌ点は接触三角形の対称点と同じである。[ 4 ]三角形のミッテンポイントは外心三角形の対称点と 同じである。
対称点のペダル三角形の重心は対称点である。 [ 1 ]対称点の反ペダル三角形の重心は外心である。[ 5 ]
四面体
不規則四面体への拡張については、 対称線を参照してください
歴史
フランスの数学者エミール・ルモワーヌは1873年に対称点の存在を証明し、エルンスト・ヴィルヘルム・グレーベは1847年にその論文を発表しました。シモン・アントワーヌ・ジャン・ルイリエも1809年にこの点に気づいていました。[ 1 ]
注
- ^ ABCがAを直角とする直角三角形である場合、点A'は存在しないため、この記述はAA'への参照を削除して修正する必要があります
参考文献
- ^ a b cホンスバーガー、ロス（1995年）「第7章 対称点」『19世紀および20世紀ユークリッド幾何学のエピソード』ワシントンD.C.：アメリカ数学協会。
- ^ a b三角形の中心百科事典、2014年11月6日アクセス
- ^ Bradley, Christopher J.; Smith, Geoff C. (2006), "The locations of triangle centers" , Forum Geometricorum , 6 : 57– 70, 2016年3月4日時点のオリジナルよりアーカイブ, 2016年10月18日閲覧。
- ^ Beban-Brkić, J.; Volenec, V.; Kolar-Begović, Z.; Kolar-Šuper, R. (2013)「等方面における三角形のジェルゴンヌ点について」、Rad Hrvatske Akademije Znanosti i Umjetnosti、17 : 95–106、MR 3100227 。
- ^ Humenberger, Hans. 「与えられた円周正三角形から三角形を見つける」(PDF) .ホームページ Hans HUMENBERGER . 2025年6月27日閲覧。
外部リンク
- ワイスタイン、エリック・W. 「対称点」。MathWorld
