内接円と外接円

三角形の内接円と外接円。

  三角形△ ABCの延長された辺

  内接円（内心はI）

  外円（J _A、J _B、J _Cに外心がある）

  内角の二等分線

  外角の二等分線（外心三角形を形成）

幾何学において、三角形の内接円（内接円）とは、三角形に内包される最大の円であり、3辺に接する（接する）円である。内接円の中心は三角形の中心であり、三角形の内心と呼ばれる。^{[ 1 ]}

三角形の外接円または内接円^{[ 2 ]}とは、三角形の外側にあり、三角形の1辺に接し、他の2辺の延長線にも接する円である。すべての三角形には3つの異なる外接円があり、それぞれが三角形の1辺に接する。^{[ 3 ]}

内接円の中心は内心と呼ばれ、3つの内角二等分線の交点として求められます。^{[ 3 ] [ 4 ]}外接円の中心は、1つの角度（たとえば頂点A ）の内二等分線と他の2つの角度の外二等分線との交点です。この外接円の中心は、頂点Aに対する外心、またはAの外心と呼ばれます。^{[ 3 ]}角度の内二等分線はその外二等分線に垂直であるため、内接円の中心と3つの外円の中心は直交系を形成します。^{[ 5 ]}

内接円と内心

が半径、中心 の内接円を持つとします。の長さを、の長さを、の長さを とします。 ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$

また、、、を内接円が、、、に接する接点とします。 ${\displaystyle T_{A}}$ ${\displaystyle T_{B}}$ ${\displaystyle T_{C}}$ ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$

中心に

内心は、内角の二等分線が交わる点です。 ${\displaystyle \angle ABC,\angle BCA,{\text{ and }}\angle BAC}$

三線座標

三角形内の点の三線座標は、三角形の各辺に対するすべての距離の比である。内心は三角形のすべての辺から同じ距離にあるため、内心の三線座標は^{[ 6 ]となる。}

$${\displaystyle \ 1:1:1.}$$

重心座標

三角形の点の重心座標は、その点が三角形の頂点位置の加重平均となるような重みを与える。内心の重心座標は次のように与えられる。

$${\displaystyle a:b:c}$$

ここで、、、は三角形の辺の長さ、または（正弦定理を用いて） ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle \sin A:\sin B:\sin C}$$

ここで、、、は3つの頂点における角度です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

直交座標

内心の直交座標は、三角形の辺の長さを周囲長に対する相対値（つまり、上記の重心座標を1に正規化したもの）で重み付けした、3つの頂点の座標の加重平均です。重みは正なので、内心は上記のように三角形の内側にあります。3つの頂点が、、、に位置し、これらの頂点の反対側の辺の長さがそれぞれ、、、、である場合、内心は ${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$ ${\displaystyle (x_{b},y_{b})}$ ${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle \left({\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)={\frac {a\left(x_{a},y_{a}\right)+b\left(x_{b},y_{b}\right)+c\left(x_{c},y_{c}\right)}{a+b+c}}.}$$

半径

辺の長さが の三角形の内接円の内接半径は[ ^{7 ]で}与えられる。${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}},}$$

ここで、半周長です（ヘロンの公式を参照）。 ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$

内接円の接点は、辺を から、から、からの長さの線分に分割します（円の接線を参照）。^{[ 8 ]}${\displaystyle s-a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle s-b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle s-c}$ ${\displaystyle C}$

頂点までの距離

の内心を と表します。 ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle I}$

頂点から内心までの距離は次のとおりです。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle {\overline {AI}}=d(A,I)=c\,{\frac {\sin {\frac {B}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}=b\,{\frac {\sin {\frac {C}{2}}}{\cos {\frac {B}{2}}}}.}$$

上記の式の導出

三角形で正弦定理を使用します。 ${\displaystyle \triangle IAB}$

我々はそれを手に入れました。我々はそれを持っています。 ${\displaystyle {\frac {\overline {AI}}{\sin {\frac {B}{2}}}}={\frac {c}{\sin \angle AIB}}}$ ${\displaystyle \angle AIB=\pi -{\frac {A}{2}}-{\frac {B}{2}}={\frac {\pi }{2}}+{\frac {C}{2}}}$

ということになります。 ${\displaystyle {\overline {AI}}=c\ {\frac {\sin {\frac {B}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}}$

2 番目の式との等式も同様の方法で得られます。

内心から頂点までの距離と三角形の辺の長さを合わせると次の式が成り立つ^{[ 9 ]。}

$${\displaystyle {\frac {{\overline {IA}}\cdot {\overline {IA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {IB}}\cdot {\overline {IB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {IC}}\cdot {\overline {IC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$$

さらに、^{[ 10 ]}

$${\displaystyle {\overline {IA}}\cdot {\overline {IB}}\cdot {\overline {IC}}=4Rr^{2},}$$

ここで、 とはそれぞれ三角形の外接半径と内接半径です。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$

その他の特性

三角形の中心の集合は、三線座標の座標乗法の下で群の構造を与えることができる。この群では、内心は単位元を形成する。^{[ 6 ]}

内接円とその半径の特性

頂点と最も近いタッチポイント間の距離

頂点から最も近い2つのタッチポイントまでの距離は等しい。例えば：^{[ 11 ]}

$${\displaystyle d\left(A,T_{B}\right)=d\left(A,T_{C}\right)={\tfrac {1}{2}}(b+c-a)=s-a.}$$

その他の特性

長さ、、の辺からの高度が、、 である場合、内接円の半径はこれらの高度の調和平均の3 分の 1 である。つまり、^{[ 12 ]}${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle h_{a}}$ ${\displaystyle h_{b}}$ ${\displaystyle h_{c}}$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle r={\frac {1}{{\dfrac {1}{h_{a}}}+{\dfrac {1}{h_{b}}}+{\dfrac {1}{h_{c}}}}}.}$$

辺が、、である三角形の内接円の半径と外接円の半径の積は^{[ 13 ]}である。${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}$$

辺、内接円の半径、外接円の半径の関係は以下の通りである。^{[ 14 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r,\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=2s^{2}-2(4R+r)r.\end{aligned}}}$$

三角形の面積と周長を半分に分ける直線は、三角形の内心（内接円の中心）を通ります。三角形には、このような内心は1つ、2つ、または3つあります。^{[ 15 ]}

内接円の半径は高度の合計の9分の1以下である。^{[ 16 ]：289}

内心から外心までの二乗距離は^{[ 17 ]：232} で与えられる。${\displaystyle I}$ ${\displaystyle O}$

$${\displaystyle {\overline {OI}}^{2}=R(R-2r)={\frac {a\,b\,c\,}{a+b+c}}\left[{\frac {a\,b\,c\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]}$$

9点円の内心から中心までの距離は^{[ 17 ]：232} である。${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\overline {IN}}={\tfrac {1}{2}}(R-2r)<{\tfrac {1}{2}}R.}$$

内心は中点三角形（その頂点は辺の中点）内にある。^{[ 17 ]：233、補題1}

三角形の面積との関係

内接円の半径は三角形の面積と関係がある。 ^{[ 18 ]}内接円の面積と三角形の面積の比は以下であり、等式は正三角形の場合にのみ成立する。^{[ 19 ]}${\displaystyle \pi {\big /}3{\sqrt {3}}}$

が半径、中心 の内接円を持つとします。の長さを、の長さを、の長さを とします。 ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$

ここで、内接円は点 で接しており、したがって直角です。したがって、半径はの高さです。 ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle T_{C}}$ ${\displaystyle \angle AT_{C}I}$ ${\displaystyle T_{C}I}$ ${\displaystyle \triangle IAB}$

したがって、の底辺の長さと高さは であり、面積も です。 ${\displaystyle \triangle IAB}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr}$

三角形の面積は内接円と半周の積に等しいことを言葉なしで証明する

同様に、の面積は であり、の面積は です。 ${\displaystyle \triangle IAC}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br}$ ${\displaystyle \triangle IBC}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar}$

これら 3 つの三角形を分解すると、面積は次のようになります。 ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle \Delta {\text{ of}}\triangle ABC}$

$${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)r=sr,}$$

    そして    ${\displaystyle r={\frac {\Delta }{s}},}$

ここでは の面積であり、はその半周長です。 ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$

別の公式として、 を考えてみましょう。これは、一辺が に等しく、もう一辺が に等しい直角三角形です。 についても同様です。大きな三角形は、このような三角形を6つ組み合わせたものであり、その面積は次のようになります。 ${\displaystyle \triangle IT_{C}A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r\cot {\tfrac {A}{2}}}$ ${\displaystyle \triangle IB'A}$

$${\displaystyle \Delta =r^{2}\left(\cot {\tfrac {A}{2}}+\cot {\tfrac {B}{2}}+\cot {\tfrac {C}{2}}\right).}$$

ジェルゴンヌの三角形と点

  三角形△ ABC

  内接円（内心はI）

  接触三角形△ T _A T _B T _C

 △ ABCと△ T _A T _B T _C の対角頂点間の直線（ジェルゴンヌ点G _eで一致する）

ジェルゴンヌ三角形（）は、内接円の3辺上の3つの接点を結ぶことによって定義されます。対角の接点は、などと 表記されます。${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T_{A}}$

このジェルゴンヌ三角形は、の接触三角形または の非接触三角形としても知られています。その面積は ${\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$

$${\displaystyle K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}}$$

ここで、、、は元の三角形の面積、内接円の半径、半周長であり、、、、は元の三角形の辺の長さである。これは、外接三角形の面積と同じである。^{[ 20 ]}${\displaystyle K}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

3直線、、 はジェルゴンヌ点と呼ばれる一点で交差し、（または三角形の中心X ₇）と表記される。ジェルゴンヌ点は、自身の中心で穿孔された開直交重心円上にあり、その中の任意の点となり得る。^{[ 21 ]}${\displaystyle AT_{A}}$ ${\displaystyle BT_{B}}$ ${\displaystyle CT_{C}}$ ${\displaystyle G_{e}}$

三角形のジェルゴンヌ点は、ジェルゴンヌ三角形の対称点であることを含め、いくつかの性質を持っています。 ^{[ 22 ]}

非接触三角形の頂点の 三線座標は次のように与えられる。

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}T_{A}&=&0&:&\sec ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\sec ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{B}&=&\sec ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\sec ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{C}&=&\sec ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\sec ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0.\end{array}}}$$

ジェルゴンヌ点の三線座標は次のように与えられる。

$${\displaystyle \sec ^{2}{\tfrac {A}{2}}:\sec ^{2}{\tfrac {B}{2}}:\sec ^{2}{\tfrac {C}{2}},}$$

あるいは、余弦定理によって、

$${\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}.}$$

外円と外心

  △ ABCの延長辺

  内接円（内心はI）

  外円（J _A、J _B、J _Cに外心がある）

  内角の二等分線

  外角の二等分線（外心三角形を形成）

三角形の外接円または内接円^{[ 2 ]}とは、三角形の外側にあり、三角形の1辺に接し、他の2辺の延長線にも接する円である。すべての三角形には3つの異なる外接円があり、それぞれが三角形の1辺に接する。^{[ 3 ]}

外円の中心は、ある角（例えば頂点 ）の内二等分線と他の2つの角の外二等分線との交点である。この外円の中心は、頂点 に対する外心、またはの外心と呼ばれる。^{[ 3 ]}角の内二等分線はその外二等分線に垂直であるため、内円の中心と3つの外円の中心は直交系を形成する。^{[ 5 ]}${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

偏心の三線座標

の内心は三線座標を持ちますが、外心は三線座標を持ちます。 ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle 1:1:1}$

$${\displaystyle {\begin{array}{rrcrcr}J_{A}=&-1&:&1&:&1\\J_{B}=&1&:&-1&:&1\\J_{C}=&1&:&1&:&-1\end{array}}}$$

エクスラディ

外接円の半径は外半径と呼ばれます。

反対側の外円（つまり に接し、 を中心とする）の外半径は^{[ 23 ] [ 24 ]}${\displaystyle A}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle J_{A}}$

$${\displaystyle r_{a}={\frac {rs}{s-a}}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}},}$$ どこ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c).}$

ヘロンの公式を参照してください。

外半径の公式の導出

出典: ^{[ 23 ]}

辺 の外接円がで延長された辺 に接し、この外接円の半径を、中心をとします。するとの高度は なので、面積は です。同様の議論により、の面積は で、の面積は です。したがって、三角形 の面積は ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r_{c}}$ ${\displaystyle J_{c}}$ ${\displaystyle J_{c}G}$ ${\displaystyle \triangle ACJ_{c}}$ ${\displaystyle \triangle ACJ_{c}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br_{c}}$ ${\displaystyle \triangle BCJ_{c}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar_{c}}$ ${\displaystyle \triangle ABJ_{c}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr_{c}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \triangle ABC}$

$${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(s-c)r_{c}}$$ 。

そこで対称性により、内接円の半径を ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle \Delta =sr=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}}$$ 。

余弦定理により、

$${\displaystyle \cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}$$

これをアイデンティティと組み合わせると、 ${\displaystyle \sin ^{2}\!A+\cos ^{2}\!A=1}$

$${\displaystyle \sin A={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}}$$

しかし、そして ${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin A}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[5mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},\end{aligned}}}$$

これはヘロンの公式です。

これを と組み合わせると、 ${\displaystyle sr=\Delta }$

$${\displaystyle r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{s^{2}}}={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.}$$

同様に 、${\displaystyle (s-a)r_{a}=\Delta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{a}^{2}={\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}\\[4pt]&\implies r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}.\end{aligned}}}$$

その他の特性

上記の式から、外接円は常に内接円よりも大きく、最大の外接円は最長辺に接し、最小の外接円は最短辺に接することがわかります。さらに、これらの式を組み合わせると、以下の式が得られます。^{[ 25 ]}

$${\displaystyle \Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}$$

その他の外接円特性

外接円の円殻は各外接円に内接しており、したがってアポロニウスの円となる。^{[ 26 ]}このアポロニウスの円の半径は、内接円の半径、三角形の半周である。^{[ 27 ]}${\displaystyle {\tfrac {r^{2}+s^{2}}{4r}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$

内接円半径、外接円半径、半周、外接円半径、の間には次のような関係が成り立つ：^{[ 14 ]}${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle r_{a}}$ ${\displaystyle r_{b}}$ ${\displaystyle r_{c}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}&=4R+r,\\r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}&=s^{2},\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}&=\left(4R+r\right)^{2}-2s^{2}.\end{aligned}}}$$

３つの外接円の中心を通る円の半径は である。^{[ 14 ]}${\displaystyle 2R}$

が の垂心である場合、^{[ 14 ]}${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}+r&={\overline {AH}}+{\overline {BH}}+{\overline {CH}}+2R,\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}&={\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}+(2R)^{2}.\end{aligned}}}$$

ナーゲル三角形とナーゲル点

  三角形△ ABCの延長された辺

 △ ABC の外接円（ T _A、T _B、T _Cにおける接線）

  ナーゲル/エクスタッチ三角形△ T _A T _B T _C

  分岐点： △ ABCと△ T _A T _B T _Cの反対の頂点を結ぶ線（ナーゲル点Nで一致する）

ナーゲル三角形、あるいはの外接三角形は、頂点、、で表されます。これらの頂点は、外接円が基準に接する3点であり、は の反対側に位置します。これはの外接三角形とも呼ばれます。外接円の外接円はマンダート円と呼ばれます （マンダート楕円 を参照）。 ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle T_{A}}$ ${\displaystyle T_{B}}$ ${\displaystyle T_{C}}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle T_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$

3つの線分、、は三角形の 分割線と呼ばれ、それぞれ三角形の周囲を二等分します。${\displaystyle {\overline {AT_{A}}}}$ ${\displaystyle {\overline {BT_{B}}}}$ ${\displaystyle {\overline {CT_{C}}}}$

$${\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {BT_{A}}}={\overline {AC}}+{\overline {CT_{A}}}={\frac {1}{2}}\left({\overline {AB}}+{\overline {BC}}+{\overline {AC}}\right).}$$

スプリッターは、三角形のナーゲル点 (または三角形の中心X ₈ ) という 1 つの点で交差します。 ${\displaystyle N_{a}}$

外接三角形の頂点の三線座標は次のように与えられる。

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}T_{A}&=&0&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{B}&=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{C}&=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0\end{array}}}$$

ナーゲル点の三線座標は次のように与えられる。

$${\displaystyle \csc ^{2}{\tfrac {A}{2}}:\csc ^{2}{\tfrac {B}{2}}:\csc ^{2}{\tfrac {C}{2}},}$$

あるいは、正弦定理によって、

$${\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}.}$$

したがって、ナーゲル点の重心座標は

$${\displaystyle b+c-a:c+a-b:a+b-c,}$$

または同等

$${\displaystyle s-a:s-b:s-c.}$$

ナーゲル点はジェルゴンヌ点の 等尺共役点です。

関連する構成

九点円とフォイエルバッハ点

9点円は内接円と外接円に接する。

幾何学において、九点円は任意の三角形に対して作図できる円である。この円は、三角形から定義される9つの重要な共心点を通ることから、このように呼ばれる。これらの9つの点は以下の通りである。 ^{[ 28 ] [ 29 ]}

• 三角形の各辺の中点
• 各高度のフィート
• 三角形の各頂点から垂心（3 つの高度が交わる場所。これらの線分はそれぞれの高度上にあります）までの線分の中点。

1822年、カール・フォイエルバッハは、任意の三角形の9点円がその三角形の3つの外接円に外接し、内接円に内接することを発見しました。この結果はフォイエルバッハの定理として知られています。彼は以下のことを証明しました。^{[ 30 ]}

...三角形の頂点を通る円は、三角形の3辺に接する4つの円すべてに接する...（フォイエルバッハ 1822）

内接円と九点円が接する三角形の中心をフォイエルバッハ点といいます。

内接円は内心のペダル円として記述することができます。ペダル円が9点円に接する点の軌跡は、マッケイ三次曲線として知られています。

中心三角形と外心三角形

の内角二等分線と線分、、およびとの交点は、中心三角形の頂点である。中心三角形の頂点の三線座標は次のように与えられる。 ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle CA}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle \triangle A'B'C'}$

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}A'&=&0&:&1&:&1\\[2pt]B'&=&1&:&0&:&1\\[2pt]C'&=&1&:&1&:&0\end{array}}}$$

基準三角形の外心三角形は、基準三角形の外円の中心に頂点を持ちます。その辺は基準三角形の外角二等分線上にあります（ページ上部の図を参照）。外心三角形の頂点の三線座標は次のように与えられます 。${\displaystyle \triangle A'B'C'}$

$${\displaystyle {\begin{array}{ccrcrcr}A'&=&-1&:&1&:&1\\[2pt]B'&=&1&:&-1&:&1\\[2pt]C'&=&1&:&1&:&-1\end{array}}}$$

4つの円の方程式

を三線座標上の変数点とし、、、とする。上記の4つの円は、以下の2つの方程式のどちらによっても等価に与えられる：^{[ 31 ]：210–215} ${\displaystyle x:y:z}$ ${\displaystyle u=\cos ^{2}\left(A/2\right)}$ ${\displaystyle v=\cos ^{2}\left(B/2\right)}$ ${\displaystyle w=\cos ^{2}\left(C/2\right)}$

• 内接円:$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle A}$ -円で囲む:$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {-x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle B}$ -円で囲む:$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {-y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle C}$ -円で囲む:$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {-z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}$$

オイラーの定理

オイラーの定理によれば、三角形では次のようになります。

$${\displaystyle (R-r)^{2}=d^{2}+r^{2},}$$

ここで、 とはそれぞれ外接半径と内接半径であり、は外心と内心の 間の距離です。${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d}$

外接円の場合も方程式は同様です。

$${\displaystyle \left(R+r_{\text{ex}}\right)^{2}=d_{\text{ex}}^{2}+r_{\text{ex}}^{2},}$$

ここでは外接円の半径であり、 は外心とその外接円の中心間の距離である。^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]}${\displaystyle r_{\text{ex}}}$ ${\displaystyle d_{\text{ex}}}$

他のポリゴンへの一般化

一部の四辺形（すべてではない）には内接円があります。これらは接線四辺形と呼ばれます。接線四辺形の多くの性質の中で、おそらく最も重要なのは、2組の対辺の和が等しいことです。これはピトーの定理と呼ばれます。^{[ 35 ]}

より一般的には、内接円（つまり、各辺に接する円）を持つ任意の辺数の多角形を接線多角形と呼びます。

位相三角形への一般化

位相三角形を考慮した場合でも、内接円を定義することは可能です。位相三角形はどこでも微分可能とは限らないため、もはやすべての辺に接する円として定義されることはありません。むしろ、中心から各辺までの最小距離が等しい円として定義されます。すべての位相三角形には内接円が存在することが証明されています。^{[ 36 ]}

参照

• 外心 – 三角形の頂点を通る円Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 外接円 – 三角形の頂点を通る円
• 円錐曲線と非円錐 曲線 – 三角形の頂点を通る円錐曲線、または三角形の辺に接する円錐曲線
• 円周角 – 円に外接する幾何学図形
• 外接四辺形 - すべての辺が外円に接する凸四辺形
• ハーコートの定理 – 三角形の面積は、その辺と頂点からその内接円に接する任意の直線までの距離から求められる。
• 内心・外心の補題 – 内接円と外接円に関する定理
• 内接球面 – 多面体のすべての面に接する球面
• 点の力 – 円からの点の相対距離
• シュタイナーの内楕円 – 与えられた三角形の3辺の中点すべてに接する唯一の楕円
• 接線四辺形 - 4辺すべてが円に接する多角形
• 三角形の円錐

注記

1. ケイ（1969年、140ページ）
2. アルトシラー・コート（1925年、74ページ）
3. アルトシラー・コート（1925年、73ページ）
4. ケイ（1969年、117ページ）
5. ジョンソン 1929年、182ページ。
6. Encyclopedia of Triangle Centers Archived 2012-04-19 at the Wayback Machine、2014-10-28にアクセス。
7. ケイ（1969年、201ページ）
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9. Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; Yao, Haishen (2012年3月)「19世紀の楕円恒等式の証明」Mathematical Gazette、96 : 161–165、doi : 10.1017/S0025557200004277、S2CID 124176398 。
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参考文献

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• ジョンソン、ロジャー A. (1929)、「X. 内接円と内接円」、現代幾何学、ホートン・ミフリン、pp.  182– 194
• Josefsson, Martin (2011)、「接線四辺形のさらなる特徴づけ」（PDF）、Forum Geometricorum、11 : 65– 82、MR  2877281 、 2016年3月4日にオリジナル（PDF）からアーカイブ、 2023年3月14日取得
• ケイ、デイビッド C. (1969)、「カレッジジオメトリ」、ニューヨーク：ホルト、ライナーハート、ウィンストン、LCCN  69012075
• キンバーリング、クラーク（1998年）「三角形の中心と中心三角形」『コングレス・ヌメランティウム』（129）：i- xxv, 1-295。
• キス、サンドル (2006). 「インタッチの正三角形とインタッチの正三角形の三角形」.フォーラム・ジオメトリコルム(6): 171–177 .

外部リンク

• 三角形の内接円の半径の公式の導出、MATHalino
• ワイスタイン、エリック・W. 「インサークル」。マスワールド。

相互の作用

• 三角形の内心；三角形の内接円；正多角形の内接円（インタラクティブアニメーション付き）
• コンパスと定規を使って三角形の内心と内接円を描くインタラクティブなアニメーションデモンストレーション
• 結び目を切る際の等しい内接円定理
• 結び目を切る際の5つの内接円定理
• 結び目を切った四辺形の内接円のペア
• インセンター用のインタラクティブなJavaアプレット