基底（位相幾何学）

数学において、位相空間( X , τ )の位相τの基底（または基底、複数形:基数）は、位相Xの開部分集合の族であり、その位相のすべての開集合がの何らかの部分族の和集合に等しい。たとえば、実数直線上のすべての開区間の集合は上のユークリッド位相の基底である。なぜなら、すべての開区間は開集合であり、 のすべての開部分集合は何らかの開区間族の和集合として表すことができるからである。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

基底は位相幾何学において普遍的に用いられます。位相の基底に含まれる集合は基本開集合と呼ばれ、任意の開集合よりも記述や使用が容易な場合が多くあります。^{[ 1 ]}連続性や収束性といった多くの重要な位相定義は、任意の開集合ではなく基本開集合のみを用いて検証できます。一部の位相には、特定の有用な性質を持つ開集合の基底があり、それによって位相定義の検証が容易になる場合があります。

集合の部分集合族のすべてが上の位相の基底を形成するわけではありません。以下に詳述するいくつかの条件下では、部分集合族は 上の（唯一の）位相の基底を形成します。この基底は、部分族のすべての可能な和をとることで得られます。このような集合族は、位相を定義する際に非常に頻繁に用いられます。基底に関連するより弱い概念は、位相の部分基底です。位相の基底は、近傍基底とも密接に関連しています。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

定義と基本的な性質

位相空間 が与えられたとき、位相の基底^{[ 2 ]} (または基底^{[ 3 ]} ) (位相が理解されていればの基底とも呼ばれる) は、位相のすべての開集合が の何らかの部分族の和集合として表せるような開集合の族である。^{[注 1 ]} の元は基本開集合と呼ばれる。同様に、の部分集合の族が位相の基底となることと、およびの任意の開集合に対して となる何らかの基本開集合が存在することは同値である。 ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in B\subseteq U}$

例えば、実数直線上のすべての開区間の集合は、実数上の標準位相の基底を形成します。より一般的には、計量空間において、点の周りのすべての開球の集合は、位相の基底を形成します。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

一般に位相空間は多数の基底を持つことができます。位相空間全体は常にそれ自身の基底となります（つまり、は の基底です）。実数直線の場合、すべての開区間の集合は位相の基底となります。例えば、有理端点を持つすべての開区間の集合や無理端点を持つすべての開区間の集合も同様です。2 つの異なる基底が共通の基本開集合を持つ必要はないことに注意してください。空間の位相的性質の 1 つは、その位相の基底の最小濃度であり、の重みと呼ばれ、 と表記されます。上記の例から、実数直線は可算な重みを持ちます。 ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle w(X)}$

が空間の位相の基底である場合、それは以下の性質を満たす: ^{[ 4 ]}${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$

(B1)被覆の要素、すなわち、すべての点は の何らかの要素に属します。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

(B2) あらゆる点 とあらゆる点に対して、となるような が存在する。${\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in B_{1}\cap B_{2}}$ ${\displaystyle B_{3}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}}$

特性（B1）は開集合であるという事実に対応し、特性（B2）は開集合である という事実に対応します。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{1}\cap B_{2}}$

逆に、 は位相を持たない単なる集合であり、は特性 (B1) と (B2) を満たす の部分集合の族であるとする。このときは が生成する位相の基底となる。より正確には、の部分族の和集合であるのすべての部分集合の族を とすると、 は上の位相であり、は の基底となる。^{[ 5 ]} (概略:は、構成により任意の和集合に対して安定であり、(B2) により有限交差に対して安定であり、(B1) により を含み、 の空部分族の和集合として空集合を含むため、位相を定義する。この族は構成によりの基底となる。) このような集合の族は、位相を定義する非常に一般的な方法である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$

一般に、が集合で がの任意の部分集合の集合である場合、上に（一意の）最小の位相が存在します。（この位相はを含む 上のすべての位相の共通部分です。）この位相はによって生成される位相と呼ばれ、のサブベースと呼ばれます。この位相はの元の有限共通部分の任意の和集合すべてとともに から構成されます（サブベースの記事を参照してください）。ここで、 が特性 (B1) と (B2) も満たす場合、 によって生成される位相は、共通部分をとらずに、より簡単な方法で記述できます。は の元のすべての和集合の集合です（そしてその場合 は のベースです）。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$

条件(B2)を確認する簡単な方法がよくあります。 の任意の2つの要素の交差がそれ自体 の要素であるか、または空である場合、条件(B2)は自動的に満たされます（ をとることによって）。例えば、平面上のユークリッド位相は、水平および垂直の辺を持つすべての開長方形の集合を基底として持ち、そのような2つの基本開集合の空でない交差もまた基本開集合となります。しかし、同じ位相の別の基底はすべての開円板の集合であり、この場合、完全な(B2)条件が必要となります。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B_{3}=B_{1}\cap B_{2}}$

基底ではない開集合の集合の例としては、 と の形式における半無限区間全体の集合が挙げられる。によって生成される位相はすべての開区間 を含むため、実数直線上の標準位相を生成する。しかし、は位相の部分基底に過ぎず、基底ではない。有限開区間はの元を含まない（つまり、性質(B2)は成立しない）。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (-\infty ,a)}$ ${\displaystyle (a,\infty )}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle S}$

例

Γ上のすべての開区間の集合は、 Γ上のユークリッド位相の基底を形成します${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

集合Xの空でない部分集合の族で、2つ以上の集合の有限交差の下で閉じているものは、X上のπ -システムと呼ばれ、それがX を覆う場合のみ、必然的にX上の位相の基底となります。定義により、すべてのσ-代数、すべてのフィルタ（したがって特にすべての近傍フィルタ）、およびすべての位相は被覆π -システムであるため、位相の基底でもあります。実際、がX上のフィルタである場合、 { ∅ } ∪ ΓはX上の位相であり、Γはその基底です。位相の基底は有限交差の下で閉じている必要はなく、多くの基底は閉じていません。しかし、それでもなお、多くの位相は有限交差の下でも閉じている基底によって定義されます。たとえば、 の部分集合の次の族はそれぞれ有限交差の下で閉じているため、それぞれが上のある位相の基底を形成します。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• におけるすべての有界開区間の集合Γは、上の通常のユークリッド位相を生成します。${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• におけるすべての有界閉区間の集合Σは上の離散位相を生成するので、ユークリッド位相はこの位相の部分集合となる。これは、Γ がΣの部分集合ではないという事実にもかかわらずである。したがって、上のユークリッド位相であるΓによって生成される位相は、Σによって生成される位相よりも粗い。実際、Σ はユークリッド位相において決して開集合とならない空でないコンパクト集合を含むため、厳密に粗いと言える。${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Γ内の区間の両端が有理数であるようなすべての区間の集合Γは、 _{${\displaystyle \mathbb {Q} }$} Γと同じ位相を生成する。これは、記号Γの各インスタンスをΣに置き換えても成り立つ。
• Σ _∞ = { [ r , ∞) : r ∈ } は、 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ Σによって生成される位相よりも厳密に粗い位相を生成します。 Σ _∞の元は、 上のユークリッド位相において開位相ではありません。${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Γ _∞ = { ( r , ∞) : r ∈ } は${\displaystyle \mathbb {R} }$ 、ユークリッド位相とΣ _∞によって生成される位相の両方よりも厳密に粗い位相を生成します。集合Σ _∞とΓ _∞は互いに素ですが、それでもΓ _{∞ は}Σ _∞によって生成される位相の部分集合です。

基底によって定義されるオブジェクト

• 全順序集合上の順序位相は、開区間のような集合の集合を基底として許容します。
• 距離空間では、すべての開いたボールの集合が位相のベースを形成します。
• 離散トポロジは、すべてのシングルトンのコレクションをベースとしています。
• 第二可算空間とは、可算な基数を持つ空間です。

環のスペクトル上のザリスキー位相は、特定の有用な性質を持つ開集合からなる基底を持つ。この位相の通常の基底では、基本開集合の有限交差はすべて基本開集合となる。

• のザリスキー位相は、代数集合を閉集合として持つ位相である。その基底は代数超曲面の集合補集合によって形成される。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• 環のスペクトルのザリスキー位相（素イデアルの集合）には、環の特定の要素を含まないすべての素イデアルから各要素が構成されるような基底があります。

定理

• 位相が位相よりも細かいとは、を含む の基本開集合のそれぞれに対して、と に含まれるの基本開集合が存在する場合、かつその場合に限ります${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B}$
• が位相の基底である場合、各基底を持つすべての集合積のコレクションは、積位相の基底になります。無限積の場合にも、これは当てはまりますが、有限個を除くすべての基底要素が空間全体でなければなりません。${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1},\ldots ,{\mathcal {B}}_{n}}$ ${\displaystyle \tau _{1},\ldots ,\tau _{n}}$ ${\displaystyle B_{1}\times \cdots \times B_{n}}$ ${\displaystyle B_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle \tau _{1}\times \cdots \times \tau _{n}.}$
• を の基底とし、を の部分空間とします。 の各要素を と交差させると、得られる集合の集合は部分空間 の基底となります。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$
• 関数が のすべての基本開集合を の開集合に写すとき、それは開写像である。同様に、 のすべての基本開集合の逆像がにおいて開いているとき、は連続である。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ が位相空間の基底となる場合、かつその基底の要素 を含む部分集合が任意の点 に対して局所基底を形成する場合に限られます。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in X}$

閉集合の基数

閉集合は空間の位相を記述するのに同様に適しており、したがって、位相空間の閉集合に対する基底という双対的な概念が存在する。位相空間が与えられたとき、閉集合の族が閉集合の基底となるのは、各閉集合と に含まれない各点に対してを含むが を含まない元が存在する場合であり、 族がの閉集合の基底となるのは、におけるその双対である の要素の補集合族がの開集合の基底となる場合であり、${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{X\setminus C:C\in {\mathcal {C}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X.}$

を閉集合の基底とすると、 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X.}$

1. ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {C}}=\varnothing }$
2. それぞれについて、和集合は の何らかのサブファミリーの共通部分です(つまり、に含まれない任意の について、 を含みを含まない が存在します)。${\displaystyle C_{1},C_{2}\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle C_{1}{\text{ or }}C_{2}}$ ${\displaystyle C_{3}\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$ ${\displaystyle x}$

これらの性質を満たす集合の部分集合の任意の集合は、位相の閉集合の基底となる。この位相の閉集合は、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

場合によっては、開集合の基底ではなく閉集合の基底を用いる方が便利なことがあります。例えば、空間が完全に正則であるためには、零集合が閉集合の基底となる必要があります。任意の位相空間において、零集合は 上の何らかの位相の閉集合の基底となります。この位相は、元の位相よりも粗い 上の最も細かい完全正則位相となります。同様に、A ⁿ上のザリスキー位相は、多項式関数の零集合を閉集合の基底として用いることで定義されます。 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

重みと特徴

（ Engelking 1989、p.12、pp.127-128） で確立された概念を用いて作業を進めます

位相空間を固定する。ここで、ネットワークとは集合の族であり、を含むすべての点と開近傍Uに対して、 が存在する。ただし、基底とは異なり、ネットワーク内の集合は必ずしも開集合である必要はない。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle x\in B\subseteq U.}$

重み、を基底の最小濃度と定義する。ネットワーク重み、をネットワークの最小濃度と定義する。点 の指標をにおける近傍基底の最小濃度と定義する。また、の指標を と定義する 。${\displaystyle w(X)}$ ${\displaystyle nw(X)}$ ${\displaystyle \chi (x,X),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \chi (X)\triangleq \sup\{\chi (x,X):x\in X\}.}$$

指標と重みを計算する目的は、どのような種類の基底と局所基底が存在し得るかを知ることです。以下の事実があります。

• ${\displaystyle nw(X)\leq w(X)}$ 。
• が離散的であれば、。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle w(X)=nw(X)=|X|}$
• がハウスドルフであれば、が有限離散的である場合に限り、 は有限である${\displaystyle X}$ ${\displaystyle nw(X)}$ ${\displaystyle X}$
• が基底であれば、大きさの基底が存在する。${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B'\subseteq B}$ ${\displaystyle |B'|\leq w(X).}$
• が の近傍基数である場合、大きさの近傍基数が存在する。${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N'\subseteq N}$ ${\displaystyle |N'|\leq \chi (x,X).}$
• が連続全射であれば、 となります。（の各基底について-ネットワークを単純に考えます。）${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle nw(Y)\leq w(X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle fB\triangleq \{f(U):U\in B\}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$
• がハウスドルフである場合、より弱いハウスドルフ位相が存在するので、 となる。したがって、 もコンパクトである場合はなおさら、そのような位相は一致するので、最初の事実と合わせて、 となる。${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau ')}$ ${\displaystyle w(X,\tau ')\leq nw(X,\tau ).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle nw(X)=w(X)}$
• コンパクト計量化可能空間からハウスドルフ空間への連続射影写像であれば、コンパクト計量化可能である。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$

最後の事実は、コンパクト・ハウスドルフであることから導かれ、したがって（コンパクト計量化可能空間は必然的に第二可算であるため）また、コンパクト・ハウスドルフ空間は第二可算である場合にのみ計量化可能であるという事実からも導かれる。（例えば、この応用として、ハウスドルフ空間内のあらゆるパスはコンパクト計量化可能である。） ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle nw(f(X))=w(f(X))\leq w(X)\leq \aleph _{0}}$

オープンセットの連鎖の増加

上記の表記法を用いて、ある無限基数を仮定する。すると、長さ の開集合の厳密増加列（閉集合の厳密減少列と同値）は存在しない。 ${\displaystyle w(X)\leq \kappa }$ ${\displaystyle \leq \kappa ^{+}\!}$

これを（選択公理を使わずに）確認するには、 を 開集合の基底として固定する。そして、 逆にが 開集合の厳密増加列であると仮定する。これはつまり $${\displaystyle \left\{U_{\xi }\right\}_{\xi \in \kappa },}$$ $${\displaystyle \left\{V_{\xi }\right\}_{\xi \in \kappa ^{+}}}$$ $${\displaystyle \forall \alpha <\kappa ^{+}\!:\qquad V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }\neq \varnothing .}$$

なぜなら、 の基底を使って の範囲内のを見つけることができるからです。このようにして、をと が満たす 最小の に写像することで、写像を明確に定義することができます。$${\displaystyle x\in V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi },}$$ ${\displaystyle U_{\gamma }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U_{\gamma }\subseteq V_{\alpha }}$ ${\displaystyle f:\kappa ^{+}\!\to \kappa }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle U_{\gamma }\subseteq V_{\alpha }}$ $${\displaystyle V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }.}$$

この写像は単射です。そうでなければ、 と が成り立ち、さらに が成り立ちますが、 も成り立ち、 これは矛盾です。しかし、これは が成り立つことを示し、矛盾です。 ${\displaystyle \alpha <\beta }$ ${\displaystyle f(\alpha )=f(\beta )=\gamma }$ ${\displaystyle U_{\gamma }\subseteq V_{\alpha }}$ $${\displaystyle V_{\beta }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }\subseteq V_{\beta }\setminus V_{\alpha },}$$ ${\displaystyle \kappa ^{+}\!\leq \kappa }$

参照

• エセーニン・ヴォルピンの定理
• 接着公理
• 近傍システム

注釈

1. 空集合は常に開集合であり、空族の和集合です

参考文献

1. Adams & Franzosa 2009、46～56ページ
2. Willard 2004、定義5.1; Engelking 1989、p. 12; Bourbaki 1989、定義6、p. 21; Arkhangel'skii & Ponomarev 1984、p. 40。
3. Dugundji 1966、定義2.1、64ページ。
4. Willard 2004、定理5.3; Engelking 1989、p.12。
5. Willard 2004、定理5.3; Engelking 1989、命題1.2.1。

参考文献

• コリン・アダムス著、ロバート・フランゾサ著（2009年）『位相幾何学入門：純粋と応用』ニューデリー：ピアソン・エデュケーション、ISBN 978-81-317-2692-1 OCLC  789880519
• Arkhangel'skii, AV; Ponomarev, VI (1984).一般位相幾何学の基礎：問題と演習．数学とその応用．第13巻．ロシア語からの翻訳： V.K .  Jain．ドルドレヒト：D. Reidel Publishing．Zbl 0568.54001．
• ブルバキ、ニコラス(1989) [1966]。一般的なトポロジー: 第 1 章から第 4 章[ Topologie Générale ]。数学的要素。ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-540-64241-1 OCLC  18588129
• ドゥガンジ、ジェームズ(1966).トポロジー.ボストン: アリン・アンド・ベーコン. ISBN 978-0-697-06889-7 OCLC  395340485
• エンゲルキング、リザード(1989).一般位相幾何学. ベルリン: ヘルダーマン出版. ISBN 3-88538-006-4。
• ウィラード、スティーブン (2004) [1970].一般位相幾何学.ミネオラ、ニューヨーク州:ドーバー出版. ISBN 978-0-486-43479-7 OCLC  115240