三角モーメント問題

数学において、三角モーメント問題は次のように定式化される。数列 が与えられたとき、区間 上に、次を満たす分布関数が存在するか？^{[ 1 ] [ 2 ]} （ただし ） の場合。この問題に対する肯定的な答えは、 分布関数としてにおける何らかの（したがって正の）一意のラドン測度のフーリエ・スティルチェス係数であることを意味する。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}${\displaystyle \{c_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ $${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-ik\theta }\,d\sigma (\theta ),}$$ ${\displaystyle c_{-k}={\overline {c}}_{k}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle \{c_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$

数列が有限の場合、すなわち、 は、切断三角モーメント問題と呼ばれる。^{[ 7 ]}${\displaystyle \{c_{k}\}_{k=0}^{n<\infty }}$

キャラクター設定

三角モーメント問題は、フーリエ係数の列が解ける問題、すなわち、に対する( n + 1) × ( n + 1)エルミート・テプリッツ行列が半正定値である場合に限ります。^{[ 6 ]}${\displaystyle \{c_{k}\}_{k=0}^{n}}$ $${\displaystyle T=\left({\begin{matrix}c_{0}&c_{1}&\cdots &c_{n}\\c_{-1}&c_{0}&\cdots &c_{n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{-n}&c_{-n+1}&\cdots &c_{0}\\\end{matrix}}\right)}$$ ${\displaystyle c_{-k}={\overline {c_{k}}}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$

主張の「もし～ならば」という部分は直接計算によって検証できる。逆の場合の議論を概説する。半正定値行列は上の二乗線型積を定義し、その結果、n + 1 次元以下のヒルベルト空間が生じる。 のテプリッツ構造は、「切断された」シフトが上の部分等長変換であることを意味する。より具体的には、を の標準基底とする。およびをそれぞれ同値類によって生成される部分空間とする。 によって 演算子を定義する。 は のすべてに作用する部分等長変換に拡張できるためである。の最小ユニタリ拡張を、おそらくより大きな空間（これは常に存在する）上に取る。スペクトル定理によれば、^{[ 8 ] [ 9 ]}単位円上にボレル測度が存在し、任意の整数kに対して となる。 に対して、左辺は となる。 したがって、上に-原子測度が存在し、 となる（すなわち集合は有限である）ので、^{[ 10 ]}となり、 これは次と等価である。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$ $${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \;,\;\rangle )}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \{e_{0},\dotsc ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \{[e_{0}],\dotsc ,[e_{n-1}]\}}$ ${\displaystyle \{[e_{1}],\dotsc ,[e_{n}]\}}$ $${\displaystyle V:{\mathcal {E}}\rightarrow {\mathcal {F}}}$$ $${\displaystyle V[e_{k}]=[e_{k+1}]\quad {\mbox{for}}\quad k=0\ldots n-1.}$$ $${\displaystyle \langle V[e_{j}],V[e_{k}]\rangle =\langle [e_{j+1}],[e_{k+1}]\rangle =T_{j+1,k+1}=T_{j,k}=\langle [e_{j}],[e_{k}]\rangle ,}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ $${\displaystyle \langle (U^{*})^{k}[e_{n+1}],[e_{n+1}]\rangle =\int _{\mathbb {T} }z^{k}dm.}$$ ${\displaystyle k=0,\dotsc,n}$ $${\displaystyle \langle (U^{*})^{k}[e_{n+1}],[e_{n+1}]\rangle =\langle (V^{*})^{k}[e_{n+1}],[e_{n+1}]\rangle =\langle [e_{n+1-k}],[e_{n+1}]\rangle =T_{n+1,n+1-k}=c_{-k}={\overline {c_{k}}}.}$$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle j\leq 2n+1<\infty }$ $${\displaystyle c_{k}=\int _{\mathbb {T} }z^{-k}dm=\int _{\mathbb {T} }{\bar {z}}^{k}dm,}$$ $${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-ik\theta }d\mu (\theta )。}$$

何らかの適切な対策を講じてください。 ${\displaystyle \mu}$

ソリューションのパラメータ化

以上の議論は、テプリッツ行列が逆行列である場合、切断三角モーメント問題には無限個の解が存在することを示している。 ^{[ 11 ] [ 12 ]}その場合、問題の解は部分等 長変換の最小ユニタリ拡張と全単射に対応する。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$

参照

• ボクナーの定理
• ハンバーガーモーメント問題
• モーメント問題
• 単位円上の直交多項式
• スペクトル測定
• シュール級
• セゲーの極限定理
• ウィーナーの補題

注記

1. ジェロニムス 1946 .
2. アキエザー 1965年、180～181頁。
3. エドワーズ 1982年、72～73頁。
4. ジグムンド 2002、11ページ。
5. カッツネルソン 2004、40ページ。
6. シュミュッゲン 2017、260頁。
7. シュミュッゲン 2017、257、261頁。
8. サイモン 2005、26、42ページ。
9. カッツネルソン 2004、38–45 ページ。
10. シュミュッゲン 2017、261頁。
11. Curto & Fialkow 1991、p. 634.
12. イオフヴィドフ 1982、97–98 ページ。

参考文献

• アキーザー, N.I. (1965). 『古典モーメント問題と解析学におけるいくつかの関連問題』 フィラデルフィア, ペンシルバニア州: 産業応用数学協会. doi : 10.1137/1.9781611976397 . ISBN 978-1-61197-638-0。
• アキーザー, NI; クレイン, MG (1962). 『モーメント理論におけるいくつかの疑問』 数学モノグラフの翻訳. アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-1552-6。
• Curto, Raúl E.; Fialkow, Lawrence A. (1991). 「再帰性、正値性、そして切断モーメント問題」(PDF) . Houston Journal of Mathematics . 17 (4): 603– 635. 2025年9月10日閲覧.
• Edwards, RE (1982).フーリエ級数. 第85巻. ニューヨーク: Springer New York. doi : 10.1007/978-1-4613-8156-3 . ISBN 978-1-4613-8158-7。
• ジェロニムス, J. (1946). 「三角関数のモーメント問題について」 . Annals of Mathematics . 47 (4): 742– 761. doi : 10.2307/1969232 . ISSN  0003-486X . JSTOR  1969232 .
• イオクヴィドフ、ヨシフ・セメノビッチ (1982).ハンケルとテプリッツの行列と形式. ボストン: ビルクハウザー. ISBN 978-3-7643-3090-3。
• カッツネルソン、イツハク(2004). 『調和解析入門』 ケンブリッジ大学出版局. doi : 10.1017/cbo9781139165372 . ISBN 978-0-521-83829-0。
• Schmüdgen, Konrad (2017).モーメント問題. 大学院数学テキスト. 第277巻. 出版社: Springer International Publishing. doi : 10.1007/978-3-319-64546-9 . ISBN 978-3-319-64545-2. ISSN  0072-5285 .
• サイモン、バリー(2005).単位円上の直交多項式 第1部 古典理論. アメリカ数学会コロキウム出版. 第54巻. プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-3446-6. MR  2105088 .
• ジグムンド, A. (2002).三角関数シリーズ（第3版）. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-89053-5。