熱帯幾何学

熱帯の三次曲線

数学において、熱帯幾何学は、加算を最小化に、乗算を通常の加算に置き換えた ときの多項式とその幾何学的特性を研究する学問です。

×⊕y＝分{×、y}{\displaystyle x\oplus y=\min\{x,y\}}、
×⊗y＝×+y{\displaystyle x\otimes y=x+y}。

例えば、古典的な多項式はとなります。このような多項式とその解は、列車ネットワークの出発時刻を最適化する問題など、最適化問題において重要な応用があります。 ×3+×y+y4{\displaystyle x^{3}+xy+y^{4}}分{×+×+×、×+y、y+y+y+y}{\displaystyle \min\{x+x+x,\;x+y,\;y+y+y+y\}}

熱帯幾何学は代数幾何学の変種であり、多項式グラフは区分線形メッシュに似ており、数は体ではなく熱帯半環に属する。古典幾何学と熱帯幾何学は密接に関連しているため、結果と手法を相互に変換することができる。代数多様体は熱帯多様体に写像することができ、この過程では元の多様体に関する幾何学的情報がいくらか保持されるため、熱帯幾何学のツールを用いて、ブリル・ノイザー定理やグロモフ・ウィッテン不変量の計算といった代数幾何学の古典的な結果を証明し一般化するのに役立てることができる。[ 1 ]

歴史

熱帯解析の基本的な考え方は、様々な分野の数学者により、同じ表記法を用いて独立に発展させられた。[ 2 ]熱帯幾何学の中心的な考え方は、多くの初期の研究で異なる形で現れた。例えば、ヴィクトル・パブロビッチ・マスロフは、積分過程の熱帯バージョンを導入した。彼はまた、ルジャンドル変換とハミルトン・ヤコビ方程式の解が熱帯的な意味での線型演算であることに注目した。[ 3 ]しかし、理論の基本的な定義を統合する努力がなされたのは、1990年代後半になってからである。これは、マクシム・コンツェヴィチ[ 4 ]のアイデアやグリゴリー・ミハルキン[ 5 ]らの研究など による、列挙代数幾何学への応用がきっかけとなった。

形容詞「トロピカル」は、ハンガリー生まれのブラジル人コンピュータ科学者で、この分野の著作を残したイムレ・シモンに敬意を表して、フランスの数学者によって造語された。ジャン＝エリック・パンは、この造語をドミニク・ペラン[ 6 ]によるものとしているが、シモン自身はクリスチャン・ショフル[ 7 ]によるものとしている。

代数学の背景

熱帯幾何学は熱帯半環に基づいています。これは、最大値または最小値の規則に応じて2つの方法で定義されます。

最小熱帯半環は半環であり、次の演算が成り立ちます。 T{\displaystyle \mathbb {T} }T＝（R∪{+∞}、⊕、⊗）{\displaystyle \mathbb {T} =(\mathbb {R} \cup \{+\infty \},\oplus ,\otimes )}

×⊕y＝分{×、y}{\displaystyle x\oplus y=\min\{x,y\}}、
×⊗y＝×+y{\displaystyle x\otimes y=x+y}。

と の演算はそれぞれトロピカル加算とトロピカル乗算と呼ばれます。の単位元は であり、 の単位元は0 です。 ⊕{\displaystyle \oplus}⊗{\displaystyle \otimes }⊕{\displaystyle \oplus}+∞{\displaystyle +\infty}⊗{\displaystyle \otimes }

同様に、最大熱帯半環は 半環 であり、次の演算が成り立ちます。 T{\displaystyle \mathbb {T} }T＝（R∪{−∞}、⊕、⊗）{\displaystyle \mathbb {T} =(\mathbb {R} \cup \{-\infty \},\oplus ,\otimes )}

×⊕y＝最大{×、y}{\displaystyle x\oplus y=\max\{x,y\}}、
×⊗y＝×+y{\displaystyle x\otimes y=x+y}。

の単位元はであり、 の単位元は0 です。 ⊕{\displaystyle \oplus}−∞{\displaystyle -\infty}⊗{\displaystyle \otimes }

これらの半環は否定に関して同型であり、一般的にはそのうちの1つが選択され、単にトロピカル半環と呼ばれます。慣習は著者や分野によって異なり、最小慣習を用いるものもあれば、最大慣習を用いるものもあります。 ×↦−×{\displaystyle x\mapsto -x}

熱帯半環演算は、値体での加算と乗算において評価がどのように動作するかをモデル化します。

熱帯幾何学でよく見られる値フィールド（最小規則付き）は次のとおりです。

  • 質問{\displaystyle \mathbb {Q} }または、すべての に対して、自明な評価で表されます。C{\displaystyle \mathbb {C} }v（1つの）＝0{\displaystyle v(a)=0}1つの≠0{\displaystyle a\neq 0}
  • 質問{\displaystyle \mathbb {Q} }または、 aとb がpと互いに素であるとして、p 進評価値を持つその拡張。vp（pn1つの/b）＝n{\displaystyle v_{p}(p^{n}a/b)=n}
  • ローラン級数 （整数べき乗）の体、または（複素）ピュイズー級数の体。評価値は級数に現れるtの最小の指数を返します。C（（t））{\displaystyle \mathbb {C} (\!(t)\!)}C{{t}}{\displaystyle \mathbb {C} \{\!\{t\}\!\}}

熱帯多項式

熱帯多項式は、有限個の単項式項の熱帯和として表される関数です。単項式項は、定数と の変数の熱帯積（および/または商）です。したがって、熱帯多項式は、変数が整数係数を持つアフィン線形関数の有限集合の最小値であり、凹、連続、区分線形です。[ 8 ]F:Rn→R{\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }X1、…、Xn{\displaystyle X_{1},\ldots,X_{n}}F{\displaystyle F}

F（X1、…、Xn）＝（C1⊗X1⊗1つの11⊗⋯⊗Xn⊗1つのn1）⊕⋯⊕（Cs⊗X1⊗1つの1s⊗⋯⊗Xn⊗1つのns）＝分{C1+1つの11X1+⋯+1つのn1Xn、…、Cs+1つの1sX1+⋯+1つのnsXn}{\displaystyle {\begin{aligned}F(X_{1},\ldots ,X_{n})&=\left(C_{1}\otimes X_{1}^{\otimes a_{11}}\otimes \cdots \otimes X_{n}^{\otimes a_{n1}}\right)\oplus \cdots \oplus \left(C_{s}\otimes X_{1}^{\otimes a_{1s}}\otimes \cdots \otimes X_{n}^{\otimes a_{ns}}\right)\\&=\min\{C_{1}+a_{11}X_{1}+\cdots +a_{n1}X_{n},\;\ldots ,\;C_{s}+a_{1s}X_{1}+\cdots +a_{ns}X_{n}\}\end{aligned}}}

ローラン多項式環上の多項式（ここでは値体）が与えられたとき、の熱帯化（と表記）は、乗算と加算をそれぞれの熱帯化に置き換え、 の各定数をその値に置き換えることによって得られる熱帯多項式である。つまり、 f{\displaystyle f}K[x1±1,…,xn±1]{\displaystyle K[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}]}K{\displaystyle K}f{\displaystyle f}Trop⁡(f){\displaystyle \operatorname {Trop} (f)}f{\displaystyle f}K{\displaystyle K}

f=∑i=1scixAiwith A1,…,As∈Zn{\displaystyle f=\sum _{i=1}^{s}c_{i}x^{A_{i}}\quad {\text{with }}A_{1},\ldots ,A_{s}\in \mathbb {Z} ^{n}}、

それから

Trop⁡(f)=⨁i=1sv(ci)⊗X⊗Ai{\displaystyle \operatorname {Trop} (f)=\bigoplus _{i=1}^{s}v(c_{i})\otimes X^{\otimes A_{i}}}。

熱帯多項式が微分不可能となる点の集合は、それに対応する熱帯超曲面と呼ばれ、（多項式の消失点集合に類似して） と表記される。同様に、 は の項の最小値が少なくとも2回達成される点の集合である。ローラン多項式 のとき、 のこの後者の特徴付けは、の任意の解において、 の項の最小値が少なくとも2回達成されなければ、それらすべてが打ち消されないという事実を反映している。[ 9 ]F{\displaystyle F}V(F){\displaystyle \mathrm {V} (F)}V(F){\displaystyle \mathrm {V} (F)}F{\displaystyle F}F=Trop⁡(f){\displaystyle F=\operatorname {Trop} (f)}f{\displaystyle f}V(F){\displaystyle \mathrm {V} (F)}f=0{\displaystyle f=0}f{\displaystyle f}

熱帯品種

定義

代数トーラス内の代数多様体Xに対して、Xの熱帯多様体、あるいはXの熱帯化はと表記され、いくつかの方法で定義できる の部分集合である。これらの定義の同値性は、熱帯幾何学の基本定理と呼ばれる。[ 9 ](K×)n{\displaystyle (K^{\times })^{n}}Trop⁡(X){\displaystyle \operatorname {Trop} (X)}Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

熱帯超曲面の交差

をX上でゼロとなるローラン多項式のイデアルとする。定義 I(X){\displaystyle \mathrm {I} (X)}K[x1±1,…,xn±1]{\displaystyle K[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}]}

Trop⁡(X)=⋂f∈I(X)V(Trop⁡(f))⊆Rn{\displaystyle \operatorname {Trop} (X)=\bigcap _{f\in \mathrm {I} (X)}\mathrm {V} (\operatorname {Trop} (f))\subseteq \mathbb {R} ^{n}}

Xが超曲面のとき、その消失イデアルはローラン多項式fによって生成される主イデアルであり、熱帯多様体はまさに熱帯超曲面である。 I(X){\displaystyle \mathrm {I} (X)}Trop⁡(X){\displaystyle \operatorname {Trop} (X)}V(Trop⁡(f)){\displaystyle \mathrm {V} (\operatorname {Trop} (f))}

あらゆる熱帯多様体は、有限個の熱帯超曲面の交点である。多項式の有限集合は、Xの熱帯基底と呼ばれる。これは、X がの熱帯超曲面の交点である場合である。一般に、X の生成集合は熱帯基底を形成するのに十分ではない。有限個の熱帯超曲面の交点は熱帯前多様体と呼ばれ、一般に熱帯多様体ではない。[ 9 ]{f1,…,fr}⊆I(X){\displaystyle \{f_{1},\ldots ,f_{r}\}\subseteq \mathrm {I} (X)}Trop⁡(X){\displaystyle \operatorname {Trop} (X)}Trop⁡(f1),…,Trop⁡(fr){\displaystyle \operatorname {Trop} (f_{1}),\ldots ,\operatorname {Trop} (f_{r})}I(X){\displaystyle \mathrm {I} (X)}

最初の理想

のベクトルを選択すると、項mを に送ることで、 の単項式項からへの写像が定義されます。ローラン多項式 の場合、fの初期形をの項の和で が最小となるように定義します。イデアル の場合、に関するその初期イデアルを として定義します。w{\displaystyle \mathbf {w} }Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}K[x1±1,…,xn±1]{\displaystyle K[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}]}R{\displaystyle \mathbb {R} }Trop⁡(m)(w){\displaystyle \operatorname {Trop} (m)(\mathbf {w} )}f=m1+⋯+ms{\displaystyle f=m_{1}+\cdots +m_{s}}mi{\displaystyle m_{i}}Trop⁡(mi)(w){\displaystyle \operatorname {Trop} (m_{i})(\mathbf {w} )}I(X){\displaystyle \mathrm {I} (X)}w{\displaystyle \mathbf {w} }

inw⁡I(X)=(inw⁡(f):f∈I(X)){\displaystyle \operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)=(\operatorname {in} _{\mathbf {w} }(f):f\in \mathrm {I} (X))}。

次に定義する

Trop⁡(X)={w∈Rn:inw⁡I(X)≠(1)}{\displaystyle \operatorname {Trop} (X)=\{\mathbf {w} \in \mathbb {R} ^{n}:\operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)\neq (1)\}}。

ローラン環で作業しているので、これは単項式を含まない 重みベクトルの集合と同じです。inw⁡I(X){\displaystyle \operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)}

K が自明な値を持つとき、は重みベクトル によって与えられた単項式順序に関するの初期イデアルと全く同じである。したがって、 はのグレブナーファンの部分ファンとなる。 inw⁡I(X){\displaystyle \operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)}I(X){\displaystyle \mathrm {I} (X)}w{\displaystyle \mathbf {w} }Trop⁡(X){\displaystyle \operatorname {Trop} (X)}I(X){\displaystyle \mathrm {I} (X)}

評価マップの画像

Xが体K上の多様体で、その像が（例えばピュイズー級数の体）稠密な値vを持つと仮定する。座標的に作用することにより、 vは代数的トーラスからへの写像を定義する。そして、 R{\displaystyle \mathbb {R} }(K×)n{\displaystyle (K^{\times })^{n}}Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

Trop⁡(X)={(v(x1),…,v(xn)):(x1,…,xn)∈X}¯{\displaystyle \operatorname {Trop} (X)={\overline {\{(v(x_{1}),\ldots ,v(x_{n})):(x_{1},\ldots ,x_{n})\in X\}}}}、

ここで、上線はユークリッド位相における閉包を示す。K の値がにおいて稠密でない場合、上記の定義は、スカラーを稠密な値を持つより大きな体へと 拡張することで適応できる。R{\displaystyle \mathbb {R} }

この定義は、代数的に閉じた非アルキメデス体K上の非アルキメデスアメーバであることを示しています。[ 10 ]Trop⁡(X){\displaystyle \operatorname {Trop} (X)}

Xが 上の多様体である場合、対数写像の底tが無限大に向かうので、はアメーバの極限対象とみなすことができる。 [ 11 ]C{\displaystyle \mathbb {C} }Trop⁡(X){\displaystyle \operatorname {Trop} (X)}Logt⁡(X){\displaystyle \operatorname {Log} _{t}(X)}

多面体複合体

以下の特徴付けは、代数多様体や熱帯化とは関係なく、熱帯多様体を本質的に記述するものである。の集合Vが既約熱帯多様体であるとは、それがd次元の重み付き多面体複合体の台であり、零張力条件を満たし、余次元 1 で連結されている場合である。d が 1 のとき、零張力条件とは、各頂点の周りで、辺の出力方向の重み付き和が 0 になることを意味する。より高い次元の場合、セルのアフィンスパンを除いた後、次元の各セルの周りで和が取られる。[ 8 ] Vが余次元 1 で連結であるという性質は、次元のセル上にある任意の 2 点について、それらの点を結ぶパスが存在し、そのパスが d 次元未満のどのセルも通らないことを意味する。[ 12 ]Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}d−1{\displaystyle d-1}d−1{\displaystyle d-1}

熱帯曲線

トロピカル曲線（1次元トロピカル多様体）の研究は特に発展しており、グラフ理論と深く関連している。例えば、トロピカル曲線の因子理論は、トロピカル曲線に付随するグラフ上のチップ発射ゲームと関連している。[ 13 ]

代数幾何学の多くの古典的な定理には、熱帯幾何学に対応するものがあり、その中には次のようなものがあります。

オレグ・ヴィロは、平面上の7次実曲線を同位体クラスまで分類するために、熱帯曲線を用いた。彼のパッチワーク法は、熱帯曲線から与えられた同位体クラスの実曲線を構築する手順を与えている。

アプリケーション

2007年の金融危機の際にイングランド銀行が用いたオークションの設計において、ポール・クレンペラーは熱帯線を考案した。[ 17 ]塩沢良則は亜熱帯代数を（max-plusとmin-plusの代わりに）max-timesまたはmin-timesの半環として定義した。彼は、リカード貿易理論（投入貿易のない国際貿易）が亜熱帯凸代数として解釈できることを発見した。[ 18 ]熱帯幾何学はニューラルネットワークの解析にも用いられている。その一つの例として、 ReLU活性化を用いたフィードフォワードニューラルネットワークはまさに​​熱帯有理曲線であるという結果がある。[ 19 ]

さらに、例えばジョブスケジューリング、ロケーション分析、輸送ネットワーク、意思決定、離散事象力学システムなどにおいて生じるいくつかの最適化問題は、熱帯幾何学の枠組みで定式化し、解くことができます。[ 20 ]アベル・ヤコビ写像の熱帯版は結晶設計に適用できます。[ 21 ]重み付き有限状態トランスデューサの重みは、しばしば熱帯半環であることが要求されます。熱帯幾何学は自己組織化臨界性を示すことがあります。[ 22 ]

熱帯幾何学は、高エネルギー理論物理学の様々な分野にも応用されています。特に、熱帯幾何学は弦理論の振幅をその場の理論的極限まで劇的に単純化するために用いられており[ 23 ] 、アンプリチュヘドロン[ 24 ]やトロポロジー（位相的キャロル）シグマ模型[ 25 ]などの構成との関連性が見出されています。

熱帯幾何学は系統学にも応用されている。系統樹の空間は熱帯線形空間を形成し、[ 26 ]熱帯的に凸である。この関連性は、樹空間における統計的手法の研究を促進してきた。[ 27 ] [ 28 ]これには、熱帯最適化に基づくコンセンサス樹を求めるためのノンパラメトリックなアプローチも含まれる。[ 29 ] [ 30 ]

参照

注記

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参考文献

さらに読む

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  • 熱帯幾何学と鏡面対称性
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