ロンビルタイル
ロンビルタイル
タイプラベスタイル
コクセター図
壁紙グループp6m、[6,3]、*632 p3m1、[3 [3] ]、*333
回転グループp6, [6,3] + , (632) p3, [3 [3] ] + , (333)
デュアル三角形のタイル張り
顔の構成バージョン3.6.3.6
プロパティエッジ推移、面推移

幾何学において、ロンビル・タイリング（英: rhombille tiling）[ 1 ]、タンブリング・ブロック[ 2 ] 、リバーシブル・キューブ、あるいはダイス・ラティスとも呼ばれる菱形格子は、ユークリッド平面上における同一の60°菱形のモザイク状配列である。各菱形には2つの60°角と2つの120°角があり、この形状の菱形はダイヤモンドと呼ばれることもある。3つの菱形が120°角で交わり、6つの菱形が60°角で交わる。

プロパティ

単位長さの三角六角形タイリングにデュアルされた菱形タイリング用の菱形ユニット。
菱形タイルの中に赤と青の縁を持つ2 つの六角形タイル
菱形タイルの中に赤、緑、青、マゼンタの縁を持つ4つの六角形タイル[ 3 ]

ロンビルタイルは、六角形タイルを3つの菱形に分割し、それぞれの六角形の中心点で交わる形で分割したものと見ることができます。この分割は、正六角形タイルの複合タイルを表しています。また、 4つの六角形タイルを12の菱形に分割したものと見なすこともできます。

各菱形の対角線の比は1: √3である。これは三六角形タイリング、あるいはカゴメ格子の双対タイリングである。一様タイリングの双対として、これは11通りのラーベスタイリングのうちの1つであり、単面体タイリングの面配置では[3.6.3.6]と表記される。[ 4 ]

これは、四辺形による56通りの等面体タイル張りの1つであり、 [ 5 ]、すべての辺がタイル張りの対称線上にある平面のタイル張りの8通りのうちの1つでもあります。[ 6 ]

菱形タイリングを、| x  +  y  +  z | ≤ 1を満たす点 ( x , y , z )からなる3次元整数格子のサブセットに埋め込むことができ、その際、2つの頂点が隣接するためには対応する格子点が互いに単位距離にあることが必要であり、さらに強く、タイリングの任意の2つの頂点間の最短経路の辺の数が、対応する格子点間のマンハッタン距離と同じになるようにすることができる。したがって、菱形タイリングは無限単位距離グラフおよび部分立方体の例として見ることができる。[ 7 ]

芸術的および装飾的な用途

ロンビル・タイリングは、立方体の集合を2つの異なる方法で等角投影した図として解釈することができ、ネッカー立方体に関連する反転可能な図形を形成する。この文脈では、「反転可能な立方体」錯視として知られている。[ 8 ]

MC エッシャーの作品「変身 I」「変身 II」「変身 III」では、このタイリングの解釈を二次元と三次元の形をモーフィングする方法として用いている。[ 9 ]エッシャーの別の作品「サイクル」（1938 年）では、このタイリングの二次元性と三次元性の間の緊張関係を利用して遊んでいる。この中で彼は、等角投影で描かれた大きな立方体のブロックを建築要素として持つ建物と、菱形のタイルで覆われた二階のパティオを描いている。人物がパティオから立方体を通り過ぎて降りてくるが、その過程で人物はより様式化され二次元的になっている。[ 10 ]これらの作品ではタイリングの単一の三次元的解釈しか含まれていないが、「凸凹」ではエッシャーはより一般的に可逆的な人物像の実験を行い、場面内の旗に可逆的な立方体の錯覚の描写を含めている。[ 11 ]

ロンビルタイルは寄木細工のデザインとしても使われ[ 12 ]、床や壁のタイル張りにも使われ、その菱形のバリエーションが使われることもあります。[ 13 ]デロス島の古代ギリシャの床モザイク[ 14 ]や11世紀のイタリアの床タイル[ 15 ]にも見られますが、シエナ大聖堂のこの模様のタイルは比較的新しい時代のものです。[ 16 ]キルティングでは、1850年代から「タンブリングブロック」パターンとして知られており、3次元の解釈が2倍になることで生じる視覚的な不協和音を指しています。[ 2 ] [ 15 ] [ 17 ]キルティングパターンとしては、キューブワーク、天国の階段、パンドラの箱など、他にも多くの名前があります。[ 17 ]タンブリングブロックのキルト模様は、地下鉄道では合図として使われていたとされています。奴隷たちは、柵にこの模様がかかっているのを見ると、持ち物を箱に詰めて逃げなければなりませんでした。地下鉄道のキルトを参照してください。[ 18 ]これらの装飾では、菱形は複数の色で表されますが、通常は3段階の濃淡が付けられ、水平の長い対角線の菱形が最も明るく、他の2つの方向の菱形が最も暗く、立体感を強調しています。イギリスの紋章学では、ロンビルと三角形のタイル模様が暗黙的に用いられた例が1つだけ知られています。それは、ゲール語の紋章です。[ 19 ]

その他のアプリケーション

菱形タイリングは、2つの異なる六角形タイリングを重ね合わせた結果と見なすことができます。一方のタイリングの頂点のいくつかが、もう一方のタイリングの六角形の中心に重なるように配置されています。したがって、このタイリングを用いて、オートマトンの各セルが菱形タイリングの菱形であり、オートマトンの各ステップのブロックが、重ね合わせた2つの六角形タイリングの六角形であるブロックセルオートマトンを定義できます。この文脈では、立方体のピラミッドを等角投影したゲーム「Q *bert 」にちなんで、「Q*bert近傍」と呼ばれています。Q*bert近傍は、ビリヤードボールコンピュータのシミュレーションを通じて、汎用計算をサポートするために使用できます。[ 20 ]

凝縮系物理学において、ロンビルタイリングはサイコロ格子、ダイス格子、あるいは双対カゴメ格子として知られている。これは、イジング模型や二原子結晶におけるスピン相互作用の関連系を研究するために用いられるいくつかの繰り返し構造の一つであり、[ 21 ]パーコレーション理論でも研究されている。[ 22 ]

平行四辺形による組み合わせ的に同等なタイリング

ロンビル・タイリングは、三六角形タイリングの双対です。これは、合同な菱形で平面をタイリングする様々な方法の一つです。他には、正方形タイリングを対角線状に平坦化したバリエーション（菱形の4辺全てが並進対称性を持つ）、ミウラ折りのパターンで使用されるタイリング（並進対称性と鏡映対称性が交互に現れる）、そして鋭角36°と72°の2種類の菱形を非周期的に用いるペンローズ・タイリングなどがあります。複数の種類の菱形を許容する場合、ロンビル・タイリングと位相的に等価でありながら対称性が低いものなど、追加のタイリングが可能です。

菱形タイリングと組み合わせ的に等価なタイリングは平行四辺形によって実現することもでき、3 次元立方ステップの 軸測投影として解釈できます。

平面上のタイル張りで、任意のタイルをそのいずれかのエッジで反射すると別のタイルが生成されるという性質を持つものは、エッジ・テッセレーション（辺のタイル張り）が8つしかありません。そのうちの1つが菱形タイル張りです。[ 6 ]

例

参照

ウィキメディア コモンズには、ロンビル タイル張りに関連するメディアがあります。

参考文献

  1. ^コンウェイ、ジョン、バーギエル、ハイディ、グッドマン＝シュトラウス、チャイム（2008年）「第21章 アルキメデスとカタランの多面体とタイリングの命名」『対称性』AKピーターズ、288ページ、ISBN 978-1-56881-220-5。
  2. ^ a bスミス、バーバラ（2002）、タンブリングブロック：オールドフェイバリットからの新しいキルト、コレクターズブックス、ISBN 9781574327892。
  3. ^リチャード・K・ガイ & ロバート・E・ウッドロー「数学の明るい側面：レクリエーション数学とその歴史に関するウジェーヌ・ストレンズ記念会議議事録」、1996年、p.79、図10
  4. ^グリュンバウム、ブランコ；シェパード、GC（1987）、タイルとパターン、ニューヨーク：WHフリーマン、ISBN 0-7167-1193-1セクション2.7「正規の頂点を持つタイリング」、95～98ページ。
  5. ^ Grünbaum & Shephard (1987)図9.1.2、タイリングP4-42 、 p.477。
  6. ^ a bカービー, マシュー; アンブル, ロナルド (2011)、「エッジテッセレーションとスタンプフォールディングパズル」、数学マガジン、84 (4): 283– 289、arXiv : 0908.3257、doi : 10.4169/math.mag.84.4.283、MR 2843659 。
  7. ^ Deza, Michel ; Grishukhin, Viatcheslav ; Shtogrin, Mikhail (2004) 「Scale-isometric polytopal graphs in hypercubes and cubic lattices: Polytopes in hypercubes and 」、ロンドン：インペリアル・カレッジ・プレス、p. 150、doi：10.1142/9781860945489、ISBNZn{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}} 1-86094-421-3、MR  2051396。
  8. ^ウォーレン、ハワード・クロスビー（1919年）、人間心理学、ホートン・ミフリン、p.262。
  9. ^ Kaplan, Craig S. (2008)、「エッシャーの芸術における変容」、Bridges 2008: Mathematical Connections in Art, Music and Science (PDF)、pp.  39– 46、2014年12月22日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ、2012年5月23日取得。
  10. ^ Escher、Maurits Cornelis (2001)、MC Escher、The Graphic Work、Taschen、pp.  29–30、ISBN 9783822858646。
  11. ^ De May, Jos (2003)、「M.C.エッシャーの絵画」、Schattschneider, D. ; Emmer, M. (編)、M.C.エッシャーの遺産：生誕100周年記念、Springer、pp.  130– 141。
  12. ^シュライニング、ロン、オルーク、ランディ（2003年）「タンブリングブロックで目を欺く」『宝箱：特別な箱の遺産』トーントン・プレス、58ページ、ISBN 9781561586516。
  13. ^ Tessellation Tango、The Mathematical Tourist、ドレクセル大学、2012年5月23日閲覧。
  14. ^ダンバビン、キャサリンMD（1999）、ギリシャ・ローマ世界のモザイク、ケンブリッジ大学出版局、p.32、ISBN 9780521002301。
  15. ^ a bテイテム、メアリー（2010年）「タンブリングブロック」、キルト・オブ・ジョイ：パッチワークライフからの希望の物語、レベル、p.115、ISBN 9780800733643。
  16. ^ウォリス、ヘンリー（1902）、イタリア陶芸芸術、バーナード・クォリッチ、p. xxv。
  17. ^ a b Fowler、Earlene (2008)、Tumbles Blocks、Benni Harper Mysteries、ペンギン、ISBN 9780425221235これはミステリー小説ですが、前書きにタンブリングブロックキルトのパターンについての簡単な説明も含まれています。
  18. ^トビン、ジャクリーン・L.、ドバード、レイモンド・G.（2000年）、Hidden in Plain View: A Secret Story of Quilts and the Underground Railroad、ランダムハウスデジタル社、p.  81、ISBN 9780385497671。
  19. ^ Aux armes: symbolism , Symbolism in arms, Pleiade、2013年4月17日閲覧。
  20. ^ The Q*Bert neighbourhood、Tim Tyler、2012年5月23日にアクセス。
  21. ^フィッシャー、マイケル E. (1959)、「イジングモデルの変換」、フィジカルレビュー、113 (4): 969– 981、Bibcode : 1959PhRv..113..969F、doi : 10.1103/PhysRev.113.969。
  22. ^米沢 富美子; 坂本 正一; 堀 元夫 (1989)「二次元格子におけるパーコレーション I. 閾値推定のための手法」, Phys. Rev. B , 40 (1): 636– 649, Bibcode : 1989PhRvB..40..636Y , doi : 10.1103/PhysRevB.40.636。

さらに読む

  • キース・クリッチロー著『空間の秩序：デザインソースブック』 1970年、77～76ページ、パターン1
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