フォン・ノイマンの双可換定理

数学、特に関数解析において、フォン・ノイマンの二可換定理は、特定の位相におけるヒルベルト空間上の有界作用素の集合の閉包と、その集合の二可換性を関連付けるものである。本質的には、これは作用素論の代数的側面と位相的側面を結びつけるものである。

定理の正式な記述は次のとおりです。

フォン・ノイマンの二可換定理。ヒルベルト空間

H

上の有界作用素からなる代数

M を

、恒等作用素を含み、随伴作用素を取ることについて閉じているとする。このとき、弱作用素位相と強作用素位相における

M

の閉包は等しく、さらに

M

の二可換

M

"

に等しい。

この代数は、 $M$ によって生成されるフォン・ノイマン代数と呼ばれます。

有界作用素の空間上には他にも位相がいくつか存在し、これらの位相において閉じた*-代数は何かという問いが浮かぶ。M $が$ ノルム位相において閉じている場合、それはC*-代数であるが、必ずしもフォン・ノイマン代数である必要はない。そのような例としては、（無限次元ヒルベルト空間上の）コンパクト作用素のC*-代数が挙げられる。他の一般的な位相のほとんどにおいて、1を含む閉じた*-代数はフォン・ノイマン代数である。これは特に、弱作用素、強作用素、*-強作用素、超弱、超強、*-超強位相に当てはまる。

これはヤコブソンの密度定理に関連しています。

証拠

$H を$ ヒルベルト空間とし、 $L (H)を$ $H$ 上の有界作用素とする。 $L$ $($ $H$ $)$ の自己随伴単位部分代数 $M$ を考える（これは $M が$ $その元の随伴作用素とH$ 上の恒等作用素を含むことを意味する）。

この定理は、次の 3 つのステートメントの組み合わせと同等です。

(i)

cl W (M) \subseteq M "

(ii)

cl S (M) \subseteq cl W (M)

(iii)

M'' \subseteq cl S (M)

ここで、添字の $W$ と $S はそれぞれ、$ 弱い演算子トポロジと強い演算子トポロジにおける閉包を表します。

(i) の証明

$H$ の任意の $x$ と $y$ に対して、その定義により、写像T → < Tx , y > は弱作用素位相において連続である。したがって、任意の固定作用素 $O$ に対しても、写像

T\to \langle (OT-TO)x,y\rangle =\langle Tx,O^{*}y\rangle -\langle TOx,y\rangle

S を $L (H)$ の任意の部分集合とし、S ′ をその可換項とする。 S ′の任意の演算子 $T$ に対して、この関数はSのすべてのOに対してゼロになる。S ′に含まれない任意の $T$ に対して、Sに含まれる何らかのOと $H$ に含まれる何らかのxとyに対して、この関数は非ゼロになる必要がある。その連続性により、この関数が非ゼロになる弱演算子位相に対して $T$ の開近傍が存在し、したがってこの位相はS ′ にも存在しない。したがって、任意の可換項S ′ は弱演算子位相において閉じている。特に、 $M$ $''$ も同様である。M を含むため、 $M$ の弱演算子閉包も含む。

(ii)の証明

これは、弱演算子位相が強演算子位相よりも粗いということから直接導かれます。つまり、 $cl$ $S$ $($ $M$ $)$ 内のすべての点 $xに対して、弱演算子位相における$ $x$ のすべての開近傍は強演算子位相でも開であり、したがって $M$ のメンバーを含みます。したがって、 $xは$ $cl$ $W$ $($ $M$ $)$ のメンバーでもあります。

(iii)の証明

$X \in M''$ を固定します。 $X \in cl S (M)$ 、つまり各h ∈ Hと任意の $ε > 0$ に対して、 $||$ $Xh$ $-$ $Th$ $|| <$ $ε$ を満たすT が $M$ に存在することを示さなければなりません。

$H$ のhを固定する。巡回部分空間 $M$ $h$ $= {$ $Mh$ $:$ $M$ $\in$ $M$ }は、 $M$ の任意のTの作用に対して不変である。Hのノルムにおけるその閉包 $cl($ $M$ $h$ $)$ は閉線型部分空間であり、対応する直交射影 $P$ : H → $cl($ $M$ $h$ $)が$ L ( H )に存在する。実際、このPは $M$ $'$ に含まれ、これは後述する。

補題

P \in M'

。

証明：

x \in H

を固定する。Px ∈ cl( M h ) であるので

、 これ は M に

O

n

が

含ま

れる列

O n h

の極限である。任意の

T

\in

M

について、

TO

n

hも

M

h

に含まれ、

T

の連続性により、この列は

TPx

に収束する。したがって

TPx

\in cl(

M

h

)

であり、したがってPTPx = TPx である。xは任意であるため、

M

に含まれる任意の

T

についてPTP = TPが成立する。

M

は随伴演算に関して閉じており、Pは自己随伴なので、任意の

x

、 y\inH に対して 、

\langle x,TPy\rangle =\langle x,PTPy\rangle =\langle (PTP)^{*}x,y\rangle =\langle PT^{*}Px,y\rangle =\langle T^{*}Px,y\rangle =\langle Px,Ty\rangle =\langle x,PTy\rangle

したがって、すべての

T

\in

M

についてTP = PT となり、P は

M

'

に含まれることを意味します。

二交換項の定義により、 XP = PXが成立する。M $は$ 単位元なので、 $h \in M h$ であり、 $h$ $=$ $Ph$ となる。したがって、 $Xh$ $=$ $XPh$ $=$ $PXh$ $\in cl($ $M$ $h$ $)$ となる。したがって、各 $ε$ $> 0に対して、$ $M$ に $||$ $Xh$ $-$ $Th$ $|| <$ $ε$ を満たすTが存在する。つまり、 $X は$ $M$ の強作用素閉包に含まれる。

非ユニタルケース

Hに作用するAC*-代数 $M$ が非退化的に作用するとは、 $H$ のhに対して、 $M$ $h$ $= {0}ならば$ $h$ $= 0$ となることを意味する。この場合、 $M$ の近似恒等式を用いて、恒等作用素Iが $M$ の強閉包に含まれることが示される。したがって、 $M$ に対して二交換定理の結論が成立する。

参考文献

WB Arveson, C*-代数への招待、Springer、ニューヨーク、1976年。
M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I , Springer, 2001, 1979年初版第2刷。

さらに読む

Jacob Lurie によるフォン・ノイマン代数に関する講義ノート(https://www.math.ias.edu/~lurie/261y.html)