W代数

共形体理論と表現論 において、W-代数はヴィラソロ代数を一般化した結合代数である。W-代数はアレクサンダー・ザモロドチコフによって導入された^[ 1 ] ^。「 W-代数」という名称は、ザモロドチコフが自身の例の一つの元に文字Wを用いたことに由来する^{[ 2 ] 。}

意味

W代数は、エネルギー運動量テンソルを含む有限個の有理型体 のモードによって生成される結合代数である。は共形次元 の一次体である。^{[ 3 ]}代数の生成元は、モード展開によって有理型体と関連付けられる。 ${\displaystyle W^{(h)}(z)}$ ${\displaystyle T(z)=W^{(2)}(z)}$ ${\displaystyle h\neq 2}$ ${\displaystyle W^{(h)}(z)}$ ${\displaystyle h\in {\frac {1}{2}}\mathbb {N} ^{*}}$ ${\displaystyle (W_{n}^{(h)})_{n\in \mathbb {Z} }}$

${\displaystyle W^{(h)}(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }W_{n}^{(h)}z^{-nh}}$

の交換関係はヴィラソロ代数によって与えられ、ヴィラソロ代数は中心電荷によってパラメータ化される。この数はW代数の 中心電荷とも呼ばれる。交換関係は${\displaystyle L_{n}=W_{n}^{(2)}}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle [L_{m},W_{n}^{(h)}]=((h-1)mn)W_{m+n}^{(h)}}$

は、次元 の一次体であるという仮定と同値である。残りの交換関係は、原理的にはヤコビ恒等式を解くことで決定できる。 ${\displaystyle W^{(h)}(z)}$ ${\displaystyle h}$

有限個の共形次元集合（必ずしもすべてが異なるとは限らない）が与えられた場合、 によって生成されるW-代数の数は0、1、またはそれ以上となる。結果として得られるW-代数は、すべての に対して存在する場合もあれば、中心電荷の特定の値に対してのみ存在する場合もある。^{[ 3 ]}${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (W^{(h)})_{h\in H}}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$

W-代数は、その生成元が交換関係以外の関係に従わない場合、自由生成と呼ばれる。最も一般的に研究されているW-代数の多くは自由生成であり、W(N)代数もその例外ではない。 ^{[ 4 ]}本稿では、表現論と相関関数に関する節は自由生成W-代数に適用される。

建設

多数の有理型体の存在を仮定し、ヤコビ恒等式を解くことによって W 代数を構成することは可能であるが、W 代数の族の体系的な構成も存在する。 ${\displaystyle W^{(h)}(z)}$

ドリンフェルト・ソコロフ還元

有限次元リー代数と埋め込みから、BRST構成の一種によってアフィンリー代数の普遍包絡代数からW代数を構成することができる。^{[ 3 ]} このとき、W代数の中心電荷はアフィンリー代数のレベルの関数となる。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$

コセット構成

有限次元リー代数と部分代数 が与えられた場合、対応するアフィンリー代数 からW-代数を構成することができる。 を生成する体は、のカレント内の多項式と、 のカレントと可換なそれらの導関数である。^{[ 3 ] の}セントラルチャージは、とのセントラルチャージの差であり、これらは菅原構成によってそれらのレベルに関して与えられる。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle W({\hat {\mathfrak {g}}}/{\hat {\mathfrak {h}}})}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {h}}}\hookrightarrow {\hat {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle W({\hat {\mathfrak {g}}}/{\hat {\mathfrak {h}}})}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {h}}}}$ ${\displaystyle W({\hat {\mathfrak {g}}}/{\hat {\mathfrak {h}}})}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {h}}}}$

スクリーニングセットの整流子

に値を持つ正則体とベクトルの集合が与えられたとき、W-代数は、遮蔽電荷と可換なリー代数とその導関数の多項式の集合として定義できる。ベクトルがリー代数の単根である場合、結果として得られるW-代数は、ドリンフェルト・ソコロフ還元によって から得られる代数と一致する。^{[ 5 ]}${\displaystyle \phi (z)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \oint e^{(a_{i},\phi (z))}dz}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

W(N)代数

任意の整数 に対して、W(N)代数は次元の有理型体によって生成されるW代数である。W(2)代数はヴィラソロ代数と一致する。 ${\displaystyle N\geq 2}$ ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle 2,3,\dots ,N}$

工事

W(N)代数はアフィンリー代数 のドリンフェルト-ソコロフ還元によって得られる。 ${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {sl}}}_{N}}$

埋め込みはの整数分割によってパラメータ化され、 の基本表現をの表現に分解したものとして解釈される。結果として得られるW-代数の生成元の次元の集合はとなる。ここで は の-次元既約表現である。^{[ 6 ]}${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\hookrightarrow {\mathfrak {sl}}_{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{N}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F\otimes F=R_{1}\oplus \bigoplus _{h\in H}R_{2h-1}}$ ${\displaystyle R_{d}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$

自明な分割はW(N)代数に対応し、 はそれ自身に対応する。 の場合、分割は ベルシャツキー・ポリヤコフ代数につながり、その生成体は 次元を持つ。 ${\displaystyle N=N}$ ${\displaystyle N=1+1+\dots +1}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {sl}}}_{N}}$ ${\displaystyle N=3}$ ${\displaystyle 3=2+1}$ ${\displaystyle 2,{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}},1}$

プロパティ

W(N)代数のセントラルチャージは、アフィンリー代数の レベルで次のように与えられる。${\displaystyle k}$

${\displaystyle c_{W(N)}=(N-1)\left(1-N(N+1)\left({\frac {1}{k+N}}+k+N-2\right)\right)}$

アフィンリー代数の中心電荷が

${\displaystyle c_{{\widehat {\mathfrak {sl}}}_{N}}=(N-1)(N+1)-{\frac {N(N-1)(N+1)}{k+N}}}$

交換関係が の下で不変となるような基底を選択することが可能です。 ${\displaystyle W^{(h)}\to (-1)^{h}W^{(h)}}$

ヴィラソロ代数は の普遍包絡代数の部分代数であるが、 の W(N) 代数はの普遍包絡代数の部分代数ではない。^{[ 7 ]}${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {sl}}}_{2}}$ ${\displaystyle N\geq 3}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {sl}}}_{N}}$

W(3)代数の例

W(3)代数は、ヴィラソロ代数 の生成元と、別の無限の生成元族によって生成される。交換関係は^{[ 8 ]である。}${\displaystyle (L_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle (W_{n})_{n\in \mathbb {Z} }=(W_{n}^{(3)})_{n\in \mathbb {Z} }}$

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}m(m^{2}-1)\delta _{m+n,0}}$

${\displaystyle [L_{m},W_{n}]=(2m-n)W_{m+n}}$

${\displaystyle [W_{m},W_{n}]={\frac {c}{360}}m(m^{2}-1)(m^{2}-4)\delta _{m+n,0}+{\frac {16(m-n)}{22+5c}}\Lambda _{m+n}+{\frac {(m-n)(2m^{2}-mn+2n^{2}-8)}{30}}L_{m+n}}$

ここで中心電荷は、次のように定義される。 ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle \Lambda _{n}=\sum _{m=-\infty }^{-2}L_{m}L_{n-m}+\sum _{m=-1}^{\infty }L_{n-m}L_{m}-{\frac {3}{10}}(n+2)(n+3)L_{n}}$

フィールドは次のようになります。 ${\displaystyle \Lambda (z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\Lambda _{n}z^{-n-4}}$ ${\displaystyle \Lambda =(TT)-{\frac {3}{10}}T''}$

表現論

最も重みのある表現

W代数の最高重み表現は、一次状態によって生成される表現である。つまり、 ${\displaystyle v}$

${\displaystyle W_{n>0}^{(h)}v=0\quad ,\quad W_{0}^{(h)}v=q^{(h)}v}$

電荷と呼ばれるいくつかの数値（共形次元を含む）に対して。 ${\displaystyle q^{(h)}}$ ${\displaystyle q^{(2)}=\Delta }$

電荷の集合が与えられたとき、対応するVerma加群は、これらの電荷を持つ一次状態によって生成される最大の最高重み表現である。Verma加群の基底は ${\displaystyle {\vec {q}}=(q^{(h)})_{h\in H}}$

${\displaystyle \left\{\prod _{h\in H}W_{-{\vec {N}}_{h}}^{(h)}v\right\}_{{\vec {N}}_{h}\in {\mathcal {V}}}}$

ここで、は、、およびを満たす型の真に正の整数の順序付き組の集合です。この基底の要素は、それ自体を除いて子孫状態と呼ばれ、それらの線形結合も子孫状態と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle {\vec {N}}=(n_{1},n_{2},\dots ,n_{p})}$ ${\displaystyle 0<n_{1}\leq n_{2}\leq \dots \leq n_{p}}$ ${\displaystyle W_{-{\vec {N}}}=W_{-n_{1}}W_{-n_{2}}\dots W_{-n_{p}}}$ ${\displaystyle v}$

電荷の一般的な値については、Verma 加群が唯一の最高重み表現です。代数の中心電荷に依存する電荷の特殊な値については、退化表現と呼ばれる他の最高重み表現が存在します。退化表現は、Verma 加群が可約である場合に存在し、Verma 加群をその非自明な部分加群で割った値です。

退化した表現

ヴェルマ加群が可約である場合、任意の不可分部分加群はそれ自体が最高重み表現であり、子孫かつ主である状態（ヌル状態またはヌルベクトルと呼ばれる）によって生成される。退化した表現は、1つまたは複数のヌルベクトルをゼロに設定することで得られる。すべてのヌルベクトルをゼロに設定すると、既約表現となる。

既約表現の構造と特性は、アフィンリー代数の表現からドリンフェルト・ソコロフ還元によって演繹することができる。^{[ 9 ]}

ヌルベクトルの存在は、電荷に対する - 依存制約の下でのみ可能である。Verma加群は、他のヌルベクトルの子孫ではないヌルベクトルを有限個しか持つことができない。ヌルベクトルの数が最大となるVerma加群から出発し、これらのヌルベクトルをすべてゼロに設定すると、完全退化表現と呼ばれる既約表現が得られる。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\vec {q}}}$

例えば、代数W(3)の場合、ゼロ電荷を持つVerma加群は、レベル1、2、3に3つのヌルベクトルを持つ。これらのヌルベクトルをゼロにすると、真空加群と呼ばれる完全に退化した表現が得られる。W(3)の最も単純で非自明な完全に退化した表現は、レベル1、2、3にゼロ電荷を持つヌルベクトルを持ち、その表現式は明示的に既知である。^{[ 10 ]}${\displaystyle q^{(2)}=q^{(3)}=0}$ ${\displaystyle L_{-1}v,W_{-1}v,W_{-2}v}$

完全に退化した表現の別の特徴付けは、任意のVermaモジュールとの融合積が有限個の分解不可能な表現の和であるということである。^{[ 10 ]}

W(N)の場合

最高重み表現を電荷の集合ではなく、運動量と呼ばれる 重み空間の要素でパラメータ化すると便利です。${\displaystyle {\vec {q}}=(q^{(2)},\dots ,q^{(N)})}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{N}}$

を の単根とし、そのスカラー積は のカルタン行列によって与えられ、その非零要素は である。正の単根は、連続する任意の数の単根の和であり、ワイルベクトルはそれらの半和 であり、 に従う。基本重みは によって定義される。すると、運動量はベクトルとなる。 ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{N-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{N}}$ ${\displaystyle K_{ij}=(e_{i},e_{j})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{N}}$ ${\displaystyle K_{ii}=2,K_{i,i+1}=K_{i,i-1}=-1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}N(N-1)}$ ${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\sum _{e>0}e}$ ${\displaystyle (\rho ,\rho )={\frac {1}{12}}N(N^{2}-1)}$ ${\displaystyle \omega _{1},\dots ,\omega _{N-1}}$ ${\displaystyle (\omega _{i},e_{j})=\delta _{ij}}$

${\displaystyle P=\sum _{i=1}^{N-1}P_{i}\omega _{i}\quad i.e.\quad (e_{i},P)=P_{i}}$

電荷は運動量と中心電荷の関数であり、ワイル群の作用に対して不変である。特に、は次数 の運動量の多項式であり、ディンキン図の下では自己同型性は のように振舞う。共形次元は^{[ 11 ]である。}${\displaystyle q^{(h)}}$ ${\displaystyle q^{(h)}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle e_{i}^{*}=e_{N-i}}$ ${\displaystyle q^{(h)}(P^{*})=(-1)^{h}q^{(h)}(P)}$

${\displaystyle q^{(2)}={\frac {c+1-N}{24}}-(P,P)}$

中心電荷を次のような 数でパラメータ化するとしよう。${\displaystyle b}$

${\displaystyle c=(N-1){\big (}1+N(N+1)\left(b+b^{-1}\right)^{2}{\big )}}$

正の根と2つの整数が存在し、^{[ 11 ]}${\displaystyle e>0}$ ${\displaystyle r,s\in \mathbb {N} ^{*}}$

${\displaystyle (e,P)=rb+sb^{-1}}$

とすると、運動量のヴェルマ加群はレベル にヌルベクトルを持ちます。このヌルベクトルはそれ自体が運動量の主状態、あるいは（ワイル反射によって） と等価です。独立ヌルベクトルの数は 、（ワイル反射を除いて） となる正の根の数です 。${\displaystyle P}$ ${\displaystyle rs}$ ${\displaystyle P-rbe}$ ${\displaystyle P-sb^{-1}e}$ ${\displaystyle (e,P)\in \mathbb {N} ^{*}b+\mathbb {N} ^{*}b^{-1}}$

ヌルベクトルの最大数は正根の数である。対応する運動量は^{[ 11 ]}型である。${\displaystyle {\frac {1}{2}}N(N-1)}$

${\displaystyle P=(b+b^{-1})\rho +b\Omega ^{+}+b^{-1}\Omega ^{-}}$

ここで、は整数支配的な重み、つまり の元であり、 の既約な有限次元表現の最大の重みである。これに対応する W(N) 代数の完全退化表現 を と呼ぶことにする。${\displaystyle \Omega ^{+},\Omega ^{-}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N-1}\mathbb {N} \omega _{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{N}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\Omega _{+},\Omega _{-}}}$

最高重みの の既約有限次元表現は、の有限集合の重み を持つ。その重みのVerma 加群とのテンソル積はである。W(N) の完全退化表現と運動量のVerma 加群との融合積はである 。${\displaystyle R_{\Omega }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{N}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Lambda _{\Omega }}$ ${\displaystyle |\Lambda _{\Omega }|=\dim(R_{\Omega })}$ ${\displaystyle V_{p}}$ ${\displaystyle p\in \sum _{i=1}^{N-1}\mathbb {R} \omega _{i}}$ ${\displaystyle R_{\Omega }\otimes V_{p}=\bigoplus _{\lambda \in \Lambda _{\Omega }}V_{p+\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\Omega _{+},\Omega _{-}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{P}}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\Omega _{+},\Omega _{-}}\times {\mathcal {V}}_{P}=\sum _{\lambda _{+}\in \Lambda _{\Omega _{+}}}\sum _{\lambda _{-}\in \Lambda _{\Omega _{-}}}{\mathcal {V}}_{P+b\lambda _{+}+b^{-1}\lambda _{-}}}$

相関関数

主要分野

電荷の一次状態に対して、状態-場対応は一次場を関連付け、その作用素積展開は場と ${\displaystyle {\vec {q}}=(q^{(h)})_{h\in H}}$ ${\displaystyle V_{\vec {q}}(z)}$ ${\displaystyle W^{(h)}(z)}$

${\displaystyle W^{(h)}(y)V_{\vec {q}}(z)=\left({\frac {q^{(h)}}{(y-z)^{h}}}+\sum _{n=1}^{h-1}{\frac {W_{-n}^{(h)}}{(y-z)^{h-n}}}\right)V_{\vec {q}}(z)+O(1)}$

任意の場において、エネルギー運動量テンソルのモードは微分として作用します。 ${\displaystyle V(z)}$ ${\displaystyle L_{-1}}$ ${\displaystyle L_{-1}V(z)={\frac {\partial }{\partial z}}V(z)}$

病棟のアイデンティティ

リーマン球面において、無限遠に場が存在しない場合、 が成り立ちます 。 の場合、この恒等式は任意の相関関数に挿入できます。したがって、 は大域的なウォード恒等 式を生じます。${\displaystyle W^{(h)}(y){\underset {y\to \infty }{=}}O\left(y^{-2h}\right)}$ ${\displaystyle n=0,1,\dots ,2h-2}$ ${\displaystyle \oint _{\infty }dy\ y^{n}W^{(h)}(y)=0}$ ${\displaystyle W^{(h)}(y)}$ ${\displaystyle 2h-1}$

局所ウォード恒等式は、 を挿入することによって得られる。ここで、は となる有理型関数である。一次体の相関関数において、局所ウォード恒等式は、との の作用に関して との の作用を決定する。 ${\displaystyle \oint _{\infty }dy\ \varphi (y)W^{(h)}(y)=0}$ ${\displaystyle \varphi (y)}$ ${\displaystyle \varphi (y){\underset {y\to \infty }{=}}O\left(y^{2h-2}\right)}$ ${\displaystyle W_{-n}^{(h)}}$ ${\displaystyle n\geq h}$ ${\displaystyle W_{-n}^{(h)}}$ ${\displaystyle n\leq h-1}$

例えば、 W(3)-一次体球面上の3点関数の場合、局所ウォード恒等式は、すべての子孫3点関数を、 のみを含む子孫3点関数の線形結合として決定します。大域ウォード恒等式は、問題をに対する型の3点関数を決定することにさらに簡約します。 ${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{3}V_{{\vec {q}}_{i}}(z_{i})\right\rangle }$ ${\displaystyle L_{-1},W_{-1},W_{-2}}$ ${\displaystyle \left\langle V_{{\vec {q}}_{1}}(z_{1})V_{{\vec {q}}_{2}}(z_{2})W_{-1}^{k}V_{{\vec {q}}_{3}}(z_{3})\right\rangle }$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

W(3)代数においては、一般W代数と同様に、ヴィラソロ代数の場合のように、ウォード恒等式を用いて主体の相関関数から子孫体の相関関数を演繹することはできない。AW(3)-ヴェルマ加群は、一般に無限の重複度を持つ他の2つのW(3)-ヴェルマ加群の融合積として現れる。

微分方程式

フィールドに十分な数の消失ヌルベクトルがある場合、 相関関数はBPZ 方程式を一般化する微分方程式に従うことがあります。

完全に退化した1つの場を持つ球面上のW(N)-一次場の4点関数は、 の場合には微分方程式に従うが、 の場合には従わない。後者の場合、微分方程式が存在するためには、他の場の1つが零のヌルベクトルを持たなければならない。例えば、 の2つの運動量場（完全に退化した）と の の（ほぼ完全に退化した） 4点関数は、の型の一般化超幾何関数を解とする微分方程式に従う。^{[ 12 ]}${\displaystyle N=2}$ ${\displaystyle N\geq 3}$ ${\displaystyle P_{1}=(b+b^{-1})\rho +b\omega _{1}}$ ${\displaystyle P_{2}=(b+b^{-1})\rho +x\omega _{N-1}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {}_{N}F_{N-1}}$

共形場理論への応用

W極小モデル

W極小モデルは、 W代数に基づくヴィラソロ極小モデルの一般化である。その状態空間は有限個の完全に退化した表現から構成される。中心電荷の特定の有理値に対して存在する。W(N)代数の場合、次のような型の値である。

${\displaystyle c_{p,q}^{(N)}=N-1-N(N^{2}-1){\frac {(p-q)^{2}}{pq}}\quad {\text{with}}\quad p,q\in \mathbb {N} ^{*}}$

中心電荷を持つAW(N)極小模型は、ウェス-ズミノ-ウィッテン模型の剰余類として構成できる。^{[ 13 ]}${\displaystyle c_{k+N,k+N+1}}$ ${\displaystyle {\frac {SU(N)_{k}\times SU(N)_{1}}{SU(N)_{k+1}}}}$

例えば、2次元臨界3状態ポッツ模型は中心電荷 を持つ。この模型のスピン観測量は、 を持つD系列非対角ビラソロ極小模型、または を持つ対角W(3)極小模型で記述できる。 ${\displaystyle c_{5,6}^{(2)}=c_{4,5}^{(3)}={\frac {4}{5}}}$ ${\displaystyle (p,q)=(5,6)}$ ${\displaystyle (p,q)=(4,5)}$

共形戸田理論

共形戸田理論は、W代数に基づくリウヴィル理論の一般化である。単純リー代数 が与えられたとき、ラグランジアンはのルート空間に属する体の汎関数であり、各単純ルートに対して1つの相互作用項を持つ。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle L[\phi ]={\frac {1}{2\pi }}(\partial \phi ,{\bar {\partial }}\phi )+\mu \sum _{e\in \{{\text{simple roots of }}{\mathfrak {g}}\}}\exp \left(b(e,\phi )\right)}$

これは、意味のある役割を果たさない宇宙定数と、中心電荷に関連するパラメータに依存する。結果として得られる場の理論は共形場の理論であり、そのカイラル対称代数はドリンフェルト・ソコロフ還元によって構成されるW代数である。量子論において共形対称性を保つためには、ベクトルの成分よりも多くの相互作用項が存在しないことが必要である。^{[ 5 ]}${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \phi }$

リウヴィル理論の解決法はW(N)共形戸田理論にも応用できるかもしれないが、それらの方法は特定のクラスの3点構造定数の解析的決定にしか役立たず、^{[ 12 ]} W(N)共形戸田理論は未解決である。 ${\displaystyle N\geq 3}$

対数共形場理論

中心電荷 において、ヴィラソロ代数は 次元 の生成元三重項によって拡張することができ、次元 の集合を持つ W-代数を形成する。すると、この W-代数に基づく有理共形場理論（これは対数的である）を構築することができる。^{[ 14 ]}最も単純なケースは で得られ、中心電荷 を持ち、境界の存在を含めて特によく研究されている。^{[ 15 ]}${\displaystyle c=c_{1,q}^{(2)}}$ ${\displaystyle 2q-1}$ ${\displaystyle H=\{2,2q-1,2q-1,2q-1\}}$ ${\displaystyle q=2}$ ${\displaystyle c=-2}$

関連概念

古典的なW代数

有限W代数

有限W-代数は、半単純リー代数の冪零元に関連付けられた特定の結合代数である。^{[ 16 ]}

アレクサンダー・プレメットによる元の定義は、複素数上の簡約リー代数と冪零元eからなる対から始まります。ヤコブソン・モロゾフの定理により、e はsl _{2 の}三重項 ( e , h , f )の一部です。 ad( h )の固有空間分解により、 に -gradingが導かれます。 ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},e)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\bigoplus {\mathfrak {g}}(i).}$

規則 によって指標 （すなわちから への準同型）を定義する。ここで はキリング形式を表す。これは、規則 によって −1 次数片上に 非退化反対称双線型形式を誘導する。${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \chi (x)=\kappa (e,x)}$ ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \omega _{\chi }(x,y)=\chi ([x,y]).}$

任意のラグランジアン部分空間 を選択した後、随伴作用によって普遍包絡代数に作用する次のべき零部分代数を定義できます。 ${\displaystyle l}$

${\displaystyle {\mathfrak {m}}=l+\bigoplus _{i\leq -2}{\mathfrak {g}}(i).}$

によって生成される普遍包絡代数の左イデアル は、この作用の下で不変である。簡単な計算から、ad の下での の不変量は から結合代数構造を継承することがわかる。不変部分空間はから構成される有限W-代数と呼ばれ、通常は と表記される。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \{x-\chi (x):x\in {\mathfrak {m}}\}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})/I}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {m}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle (U({\mathfrak {g}})/I)^{{\text{ad}}({\mathfrak {m}})}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},e)}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}},e)}$

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さらに読む

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• Bouwknegt, P.; Schoutens, K., eds. (1995), W-symmetry , Advanced Series in Mathematical Physics, vol. 22, River Edge, New Jersey: World Scientific Publishing Co., doi : 10.1142/2354 , ISBN 978-981021762-4、MR  1338864
• ブラウン、ジョナサン、「古典型有限 W 代数」 (PDF)
• Dickey、LA (1997)、「古典 W-代数に関する講義」、Acta Applicandae Mathematicae、47 (3): 243–321、doi : 10.1023/A:1017903416906、ISSN  0167-8019、S2CID  118573600
• Gan, Wee Liang; Ginzburg, Victor (2002)、「Slodowyスライスの量子化」、International Mathematics Research Notices、2002 (5): 243– 255、arXiv : math/0105225、doi : 10.1155/S107379280210609X、ISSN  1073-7928、MR  1876934、S2CID  13895488
• Losev, Ivan (2010)、「量子化されたシンプレクティック作用とW代数」、アメリカ数学会誌、23 (1): 35– 59、arXiv : 0707.3108、Bibcode : 2010JAMS...23...35L、doi : 10.1090/S0894-0347-09-00648-1、ISSN  0894-0347、MR  2552248、S2CID  16211165
• Pope, CN (1991) 「W代数とW重力に関する講義」、1991年8月トリエステ高エネルギー物理学サマースクールでの講義、arXiv : hep-th/9112076、Bibcode : 1991hep.th...12076P