ヤコビ恒等式

数学において、ヤコビ恒等式は二項演算の性質であり、評価順序、すなわち多重積における括弧の配置が演算結果にどのような影響を与えるかを記述する。対照的に、結合法則を持つ演算では、どのような評価順序でも同じ結果が得られる（多重積における括弧は不要）。この恒等式はドイツの数学者カール・グスタフ・ヤコビにちなんで名付けられた。彼は1862年の微分方程式に関する論文の中で、ポアソン括弧のヤコビ恒等式を導出した。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

外積とリー括弧演算はどちらもヤコビ恒等式を満たす。^{[ 3 ]}解析力学では、ヤコビ恒等式はポアソン括弧によって満たされる。量子力学では、ヒルベルト空間上の作用素交換子によって満たされ、量子力学の位相空間定式化ではモヤル括弧によって同様に満たされる。 ${\displaystyle a\times b}$ ${\displaystyle [a,b]}$

意味

を二項演算とし、 を反可換二項演算とし、をの単位元とする。${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle +}$ ヤコビ恒等式は

${\displaystyle x\times (y\times z)\ +\ y\times (z\times x)\ +\ z\times (x\times y)\ =\ 0.}$

この恒等式の左辺の変数のパターンに注目してください。 という形式の各式において、変数、 、は循環 に従って並べ替えられています。あるいは、順序付き三つ組、、 は、順序付き三つ組 の偶数順列であるとも言えます。 ${\displaystyle a\times (b\times c)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x\mapsto z\mapsto y\mapsto x}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (y,z,x)}$ ${\displaystyle (z,x,y)}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

回転参照フレーム

ヤコビ恒等式は、回転する座標系に対して固定された2つのベクトルの外積が、その座標系とともに回転するという事実から生じます。具体的には、座標系とともに回転する2つのベクトルを と とし、を座標系の相対微分作用素、 を角速度ベクトルとします。 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle D(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )-{\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$

また、

${\displaystyle D\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times D\mathbf {b} =\left({\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\times \mathbf {b} -({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} )\times \mathbf {b} \right)+\left(\mathbf {a} \times {\frac {d\mathbf {b} }{dt}}-\mathbf {a} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {b} )\right)}$

これらの式は両方とも零ベクトルとなる。なぜならである。外積の 双線型性と反可換性を用いると、${\displaystyle D(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=D\mathbf {a} =D\mathbf {b} =\mathbf {0} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )+\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times {\boldsymbol {\omega }})+\mathbf {b} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} )=\mathbf {0} }$

整流子ブラケット形式

リー代数の最も単純で分かりやすい例は、行列の（結合的）環から構成される。これはn次元ベクトル空間の無限小運動と考えることができる。× 演算は交換子であり、行列の乗算における交換性の破れを測るものである。 の代わりに、リー括弧記法が用いられる。 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle X\times Y}$

${\displaystyle [X,Y]=XY-YX.}$

この表記法では、ヤコビ恒等式は次のようになります。

${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]\ =\ 0}$

それは計算によって簡単に確認できます。

より一般的には、Aが結合代数で、VがAの部分空間で括弧演算 : がすべての に対してVに属する場合、ヤコビ恒等式はV上でも成立し続けます。^{[ 4 ]}したがって、二項演算がヤコビ恒等式を満たす場合、実際にはそのように定義されていなくても、ある結合代数で によって与えられたかのように動作すると言えます。 ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ ${\displaystyle X,Y\in V}$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle XY-YX}$

反対称性の性質 を用いると、ヤコビ恒等式は結合法則の修正として書き直すことができる。 ${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$

${\displaystyle [[X,Y],Z]=[X,[Y,Z]]-[Y,[X,Z]]~.}$

が無限小運動XのZに対する作用である場合、次のように述べることができます。 ${\displaystyle [X,Z]}$

Yの後にX (演算子) が続く動作から、 Xの後にY (演算子) が続く動作を引くと、 、 (演算子)の動作と等しくなります。 ${\displaystyle [X,[Y,\cdot \ ]]}$ ${\displaystyle ([Y,[X,\cdot \ ]]}$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle [[X,Y],\cdot \ ]}$

次のような、 反交換子を含む次数付きヤコビ恒等式も多数存在します。${\displaystyle \{X,Y\}}$

${\displaystyle [\{X,Y\},Z]+[\{Y,Z\},X]+[\{Z,X\},Y]=0,\qquad [\{X,Y\},Z]+\{[Z,Y],X\}+\{[Z,X],Y\}=0.}$

随伴形式

ヤコビ恒等式の最も一般的な例は、リー環とリー環上の括弧乗算から得られます。ヤコビ恒等式は次のように表されます。 ${\displaystyle [x,y]}$

${\displaystyle [x,[y,z]]+[z,[x,y]]+[y,[z,x]]=0.}$

括弧内の乗算は反対称なので、ヤコビ恒等式は2つの同値な再定式化が可能である。随伴演算子 を定義すると、恒等式は次のようになる。 ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}:y\mapsto [x,y]}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}[y,z]=[\operatorname {ad} _{x}y,z]+[y,\operatorname {ad} _{x}z].}$

したがって、リー代数のヤコビ恒等式は、代数への任意の元の作用は微分であるということを述べています。この形式のヤコビ恒等式は、ライプニッツ代数の概念を定義するためにも用いられます。

別の並べ替えにより、ヤコビ恒等式は、随伴表現の演算子間の次の恒等式と同等であることが示されます。

${\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}].}$

ここで、左側の括弧は元の代数の演算、右側の括弧は演算子の合成の交換子であり、恒等式は各要素をその随伴作用に送る写像がリー代数準同型であることを示しています。 ${\displaystyle \mathrm {ad} }$

関連するアイデンティティ

• ホール・ウィットの恒等式は、群における交換子演算の類似した恒等式です。

• 任意のリー代数において、次の高階ヤコビ恒等式が成り立つ: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle [[[x_{1},x_{2}],x_{3}],x_{4}]+[[[x_{2},x_{1}],x_{4}],x_{3}]+[[[x_{3},x_{4}],x_{1}],x_{2}]+[[[x_{4},x_{3}],x_{2}],x_{1}]=0.}$

• ヤコビ恒等式は積の法則と等価であり、リー括弧 は積と微分の両方として作用します 。がベクトル場である場合、 は文字通り に作用する微分演算子、すなわちリー微分です。${\displaystyle [X,[Y,Z]]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}$

参照

• 構造定数
• スーパーヤコビ恒等式
• 3つの部分群の補題（ホール・ウィット恒等式）
• 5つの製品アイデンティティ

参考文献

1. CGJ Jacobi (1862)、§26、定理 V.
2. T.ホーキンス（1991）
3. Weisstein, Eric W. 「Jacobi 恒等式」 . mathworld.wolfram.com . 2025年1月31日閲覧.リー代数の元はこの恒等式を満たす。
4. ホール 2015例 3.3
5. Alekseev, Ilya; Ivanov, Sergei O. (2016年4月18日). 「高次ヤコビ恒等式」. arXiv : 1604.05281 [ math.GR ].

• ホール、ブライアン・C.（2015）「リー群、リー代数、表現：初等入門」、大学院数学テキスト第222巻（第2版）、シュプリンガー、ISBN 978-3319134666。
• ジャコビ、CGJ (1862)。「新手法、部分的微分方程式、内部数的変動、完全な提案」。数学に関するジャーナル。60 : 1-181.
• ホーキンス、トーマス(1991). 「ヤコビとリーの群論の誕生」.考古学史. Exact Sci . 42 (3): 187-278. doi : 10.1007/BF00375135 .

外部リンク

• ワイスタイン、エリック W. 「ヤコビのアイデンティティ」。マスワールド。