山辺問題

山辺問題（やまべじん）は、1980年代に解決された微分幾何学の数学分野における予想を指す。これは、リーマン多様体のスカラー曲率に関する命題である。

( M , g )を滑らかな閉リーマン多様体とする。すると、 M上に正で滑らかな関数fが存在し、リーマン計量fg は定数スカラー曲率を持つ。

fgのスカラー曲率がgのスカラー曲率とどのように関係するかを表す式を計算すると、このステートメントは次の形式に言い換えることができます。

( M , g )を滑らかな閉リーマン多様体とする。すると、 M上には正の滑らかな関数φと、次の 数cが存在する。

${\displaystyle {\frac {4(n-1)}{n-2}}\Delta ^{g}\varphi +R^{g}\varphi +c\varphi ^{(n+2)/(n-2)}=0.}$

ここでnはMの次元、R ^gはgのスカラー曲率、∆ ^gはgのラプラス・ベルトラミ演算子を表します。

数学者山辺英彦は、論文「山辺 (1960)」において、上記の命題を定理として提示し、証明を与えた。しかし、トゥルーディンガー (1968) は彼の証明に誤りを発見した。上記の命題が真か偽かを判断する問題は、山辺問題として知られるようになった。山辺、トゥルーディンガー、ティエリー・オーバン、リチャード・シェーンの共同研究により、1984年にこの問題は肯定的に解決された。

これは現在、幾何学解析における古典的な問題とみなされており、その証明には微分幾何学と偏微分方程式の分野における新たな手法が求められています。シェーンによるこの問題の最終的な解決において決定的な役割を果たしたのは、一般相対性理論の正のエネルギー定理の適用でした。この定理は純粋に微分幾何学的な数学定理であり、1979年にシェーンとシン・トン・ヤウによって（暫定的な設定で）初めて証明されました。

Simon Brendle、Marcus Khuri、Fernando Codá Marques、Schoenによる最近の研究では、与えられたリーマン多様体( M , g )に対して計量fgが定数スカラー曲率を持つような、すべての正で滑らかな関数fの集合が扱われている。さらに、完全非コンパクトリーマン多様体など、同様の設定で提起される山辺問題は、まだ完全には理解されていない。

特殊な場合の山辺問題

ここで、リーマン多様体上の「山辺問題の解」を、 M上のリーマン計量gであって、${\displaystyle (M,{\overline {g}})}$ ${\displaystyle \varphi :M\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle g=\varphi ^{-2}{\overline {g}}.}$

閉じたアインシュタイン多様体上

を滑らかなリーマン多様体とする。が滑らかな共形類の任意の元となるような正の滑らかな関数を考える。標準的な計算により、 ${\displaystyle (M,{\overline {g}})}$ ${\displaystyle \varphi :M\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle g=\varphi ^{-2}{\overline {g}}}$ ${\displaystyle {\overline {g}}.}$

${\displaystyle {\overline {R}}_{ij}-{\frac {1}{n}}{\overline {R}}{\overline {g}}_{ij}=R_{ij}-{\frac {1}{n}}Rg_{ij}+{\frac {n-2}{\varphi }}{\Big (}\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi +{\frac {1}{n}}g_{ij}\Delta \varphi {\Big )}.}$

gと内積をとると、 ${\displaystyle \textstyle \varphi (\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg)}$

${\displaystyle \varphi \left\langle {\overline {\operatorname {Ric} }}-{\frac {1}{n}}{\overline {R}}{\overline {g}},\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg\right\rangle _{g}=\varphi {\Big |}\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg{\Big |}_{g}^{2}+(n-2){\Big (}{\big \langle }\operatorname {Ric} ,\operatorname {Hess} \varphi {\big \rangle }_{g}-{\frac {1}{n}}R\Delta \varphi {\Big )}.}$

がアインシュタインであると仮定すると、左辺は消える。が閉じていると仮定すると、ビアンキ恒等式を思い出しながら部分 積分を行うことができる。${\displaystyle {\overline {g}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {div} \operatorname {Ric} ={\frac {1}{2}}\nabla R,}$

${\displaystyle \int _{M}\varphi {\Big |}\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg{\Big |}^{2}\,d\mu _{g}=(n-2){\Big (}{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{n}}{\Big )}\int _{M}\langle \nabla R,\nabla \varphi \rangle \,d\mu _{g}.}$

gが定数スカラー曲率を持つ場合、右辺はゼロとなる。左辺がゼロとなることから、Obata (1971) によれば、以下の事実が証明される。

閉じたアインシュタイン多様体上の山辺問題のすべての解はアインシュタインです。

その後、小幡は、通常の定断面曲率計量を持つ標準球面の場合を除いて、（閉多様体上の）アインシュタイン計量の共形類における定スカラー曲率計量のみが、与えられた計量の定数倍であることを証明した。証明は、共形因子の勾配が実際には共形キリング場であることを示すことによって進められる。共形因子が定数でない場合、共形因子の最小値から始めて、この勾配場の流れ線を辿ると、多様体が円筒 と共形に関係し、したがってワイル曲率がゼロであることを示すことができる。 ${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} }$

非コンパクトケース

密接に関連する問題は、いわゆる「非コンパクト山辺問題」であり、これは「コンパクトでないすべての滑らかな完備リーマン多様体( M , g )において、 gに共形であり、一定のスカラー曲率を持ち、かつ完備でもある計量が存在するというのは真か？」という問いである。答えは、Jin (1988)によって示された反例により「いいえ」である。非コンパクト多様体に対する山辺問題の解が存在することを示すための様々な追加基準が知られている (例えば、Aviles & McOwen (1988) )。しかし、非コンパクトな場合に問題がいつ解けるのかを完全に理解することは、依然として研究課題である。

参照

• 山辺の流れ
• 山辺不変量

参考文献

研究論文

• Aubin、Thierry (1976)、「Équations différentielles non linéaires et problème de Yamaha concerant la courbure scalaire」、J. Math. Pures Appl.、55 : 269–296​
• アビレス、P.; マコーウェン、RC (1988)、「非コンパクトリーマン多様体における負のスカラー曲率一定への共形変形」、J. Differ. Geom.、27 (2): 225– 239、doi : 10.4310/jdg/1214441781、MR  0925121
• 金志仁（1988）「完全非コンパクト多様体に対する山辺問題の反例」偏微分方程式（天津、1986年）、数学講義ノート、第1306巻、ベルリン：シュプリンガー、pp.  93-101、doi：10.1007/BFb0082927、ISBN 978-3-540-19097-4、MR  1032773
• Lee, John M.; Parker, Thomas H. (1987)、「山辺問題」、アメリカ数学会誌、17 : 37–81、doi : 10.1090/s0273-0979-1987-15514-5。
• 小幡守雄 (1971)、「リーマン多様体の共形変換に関する予想」、微分幾何学ジャーナル、6 (2): 247– 258、doi : 10.4310/jdg/1214430407、MR  0303464
• ショーン、リチャード（1984）「リーマン計量の定スカラー曲率への共形変形」、J. Differ. Geom.、20（2）：479-495、doi：10.4310/jdg/1214439291
• Trudinger, Neil S. (1968), 「コンパクト多様体上のリーマン構造の共形変形に関する考察」 Ann . Scuola Norm. Sup. Pisa (3) , 22 : 265– 274, MR  0240748
• 山辺英彦 (1960)、「コンパクト多様体上のリーマン構造の変形について」、大阪数学ジャーナル、12 : 21–37、ISSN  0030-6126、MR  0125546

教科書

• オーバン、ティエリー. リーマン幾何学における非線形問題. シュプリンガー数学モノグラフ. シュプリンガー出版, ベルリン, 1998. xviii+395 pp. ISBN 3-540-60752-8
• Schoen, R.; Yau, S.-T. 微分幾何学講義録。講義ノート作成：Wei Yue Ding、Kung Ching Chang [Gong Qing Zhang]、Jia Qing Zhong、Yi Chao Xu。中国語からの翻訳：DingおよびSY Cheng。中国語からの序文はKaising Tsoによる翻訳。Conference Proceedings and Lecture Notes in Geometry and Topology, I. International Press, Cambridge, MA, 1994. v+235 pp. ISBN 1-57146-012-8
• ストルーウェ、マイケル。変分法。非線形偏微分方程式とハミルトン系への応用。第 4 版。 Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 3.フォルゲ。数学における一連の現代調査 [数学および関連分野の結果。シリーズ第3弾。 「A Series of Modern Surveys in Mathematics」、34。Springer-Verlag、ベルリン、2008。xx+302 pp. ISBN 978-3-540-74012-4