山辺不変量

数学、微分幾何学の分野において、山辺不変量（やまべふへんか、シグマ定数とも呼ばれる）は、微分同相写像によって保存される滑らかな多様体に関連付けられた実数不変量である。これは、O. KobayashiとR. Schoenによって独立に初めて記述され、 H. Yamabeにちなんで名付けられた。Vincent MoncriefとArthur Fischerは、アインシュタイン方程式の 簡約ハミルトニアンを研究するために用いた。

意味

次元 のコンパクトで滑らかな多様体（境界なし）をとする。正規化されたアインシュタイン・ヒルベルト汎関数は、実数 上の各リーマン計量に以下のように割り当てられる。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(g)={\frac {\int _{M}R_{g}\,dV_{g}}{\left(\int _{M}\,dV_{g}\right)^{\frac {n-2}{n}}}},}$

ここで、は のスカラー曲率、は計量 に関連付けられた体積密度です。分母の指数は、汎関数がスケール不変となるように選択されます。つまり、すべての正の実定数 に対して、 が成り立ちます。は におけるの平均スカラー曲率を測定しているものと考えることができます。山辺は、すべての共形計量クラスには定数スカラー曲率の計量が含まれると予想しました (いわゆる山辺問題)。山辺、トゥルーディンガー、オービン、およびショーエンは、 の最小値が各共形計量クラスで達成され、特にこの最小値は定数スカラー曲率の計量によって達成される ことを証明しました。${\displaystyle R_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle dV_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(cg)={\mathcal {E}}(g)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(g)}$

定義する

${\displaystyle Y(g)=\inf _{f}{\mathcal {E}}(e^{2f}g),}$

ここで、最小値は上の滑らかな実数値関数に取られる。この最小値は有限である（ ではない）：ヘルダーの不等式より が成り立つ。この数は の共形山辺エネルギーと呼ばれることもある（そして は共形類では定数である）。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle -\infty}$ ${\displaystyle Y(g)\geq -\left(\textstyle \int _{M}|R_{g}|^{n/2}\,dV_{g}\right)^{2/n}}$ ${\displaystyle Y(g)}$ ${\displaystyle g}$

オービンの比較論によれば、任意の計量 に対して、 は（ は-球面上の標準計量）によって上界が定められる。したがって、 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Y(g)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(g_{0})}$ ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$

${\displaystyle \sigma (M)=\sup _{g}Y(g),}$

ここで、 上のすべての計量について上限が取られている場合、となる（特に有限）。実数はの山部不変量と呼ばれる。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \sigma (M)\leq {\mathcal {E}}(g_{0})}$ ${\displaystyle \sigma (M)}$ ${\displaystyle M}$

2次元における山部不変量

の場合（つまりMが閉曲面の場合）、アインシュタイン・ヒルベルト汎関数は次のように与えられる。 ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(g)=\int _{M}R_{g}\,dV_{g}=\int _{M}2K_{g}\,dV_{g},}$

ここではgのガウス曲率である。しかし、ガウス・ボネ定理により、ガウス曲率の積分は で与えられる。ここではMのオイラー特性である。特に、この数は計量の選択に依存しない。したがって、曲面については、 ${\displaystyle K_{g}}$ ${\displaystyle 2\pi \chi (M)}$ ${\displaystyle \chi (M)}$

${\displaystyle \sigma (M)=4\pi \chi (M).}$

たとえば、2 次元球面の山部不変量は に等しく、2 次元トーラスの山部不変量は 0 に等しくなります。 ${\displaystyle 8\pi }$

例

1990年代後半、クロード・ルブランとその共同研究者らは、4次元多様体の多くのクラスに対して山辺不変量を計算した。特に、ほとんどのコンパクト複素曲面は負の、正確に計算可能な山辺不変量を持つこと、そして負のスカラー曲率を持つ任意のケーラー・アインシュタイン計量は4次元において山辺不変量を実現することが示された。また、山辺不変量はフビニ・スタディ計量によって実現されるため、4次元球面の不変量よりも小さいことも示された。これらの議論のほとんどはザイバーグ・ウィッテン理論に関係しており、したがって4次元に特有である。 ${\displaystyle CP^{2}}$

ペティアンの重要な結果は、が単連結で次元 を持つ場合、 となることを述べています。ポアンカレ予想に対するペレルマンの解に照らし合わせると、単連結-多様体が負の山辺不変量を持つことができるのは のときのみであることがわかります。一方、すでに示したように、単連結 -多様体は実際にはしばしば負の山辺不変量を持ちます。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n\geq 5}$ ${\displaystyle \sigma (M)\geq 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle 4}$

以下に、山部不変量が既知の3次元の滑らかな多様体をいくつか示します。3次元では、数はに等しく、しばしば と表記されます。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}(g_{0})}$ ${\displaystyle 6(2\pi ^{2})^{2/3}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}}$

${\displaystyle M}$	${\displaystyle \sigma (M)}$	メモ
${\displaystyle S^{3}}$	${\displaystyle \sigma _{1}}$	3次元球面
${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$	${\displaystyle \sigma _{1}}$	[ 1 ]上の自明な2球面束${\displaystyle S^{1}}$
${\displaystyle S^{2}{\stackrel {\sim}{\times}}S^{1}}$	${\displaystyle \sigma _{1}}$	唯一の向き付け不可能な2球面束${\displaystyle S^{1}}$
${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{3}}$	${\displaystyle \sigma _{1}/2^{2/3}}$	ブレイとネベスによって計算された
${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{2}\times S^{1}}$	${\displaystyle \sigma _{1}/2^{2/3}}$	ブレイとネベスによって計算された
${\displaystyle T^{3}}$	${\displaystyle 0}$	3次元トーラス

アンダーソンによる議論によれば、 リッチフローに関するペレルマンの結果は、任意の3次元双曲型多様体上の定曲率計量が山辺不変量を実現することを意味する。これは、不変量が負かつ正確に計算可能な3次元多様体の無限の例を与える。

位相的な意味

の山辺不変量の符号は重要な位相情報を保持している。例えば、が正となるのは、が正のスカラー曲率の計量を許容する場合に限る。^{[ 2 ]} この事実の重要性は、正のスカラー曲率の計量を持つ多様体の位相について多くのことが分かっているということである。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \sigma (M)}$ ${\displaystyle M}$

参照

• 山辺の流れ
• 山辺問題
• 小幡の定理

注記

1. ショーン、135ページ参照
2. 芥川他、73ページ

参考文献

• MTアンダーソン、「3次元多様体と4次元多様体上の標準計量」、Asian J. Math. 10 127–163 (2006)。
• K. Akutagawa, M. Ishida, C. LeBrun、「滑らかな多様体のペレルマン不変量、リッチフロー、および山辺不変量」、Arch. Math. 88、71–76 (2007)。
• H. BrayとA. Neves、「山辺不変量がより大きい素数3次元多様体の分類」、Ann. of Math. 159、407–424（2004）。${\displaystyle \mathbb {RP} ^{3}}$
• MJ GurskyとC. LeBrun、「山辺の不変量と構造」、Geom. Funct. Anal. 8 965–977 (1998)。${\displaystyle スピン^{c}}$
• 小林 修、「単位体積計量のスカラー曲率」、数学誌279、253–265、1987年。
• C. LeBrun, 「アインシュタイン計量を持たない4次元多様体」, Math. Res. Lett. 3 133–147 (1996).
• Ｃ．ルブラン、「小平次元とヤマベ問題」、 Ｃｏｍｍ．アナル。ゲム。7 133–156 (1999)。
• J. Petean, 「単純連結多様体の山辺不変量」, J. Reine Angew. Math. 523 225–231 (2000).
• R. Schoen、「リーマン計量のための全スカラー曲率汎関数の変分理論と関連トピック」、変分法のトピック、Lect. Notes Math. 1365、Springer、ベルリン、120–154、1989年。