デュアルシステム

数学において、体上の双対系、双対対、または双対性は、2 つのベクトル空間、および、および非退化双線型写像からなる3 つ組です。 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }$

数学において、双対性は双対系の研究であり、関数解析において重要です。また、量子力学においても、ヒルベルト空間理論への広範な応用があるため、重要な役割を果たします。

定義、表記法、および規則

ペアリング

あ体上のペアリングまたはペアは、体上の2つのベクトル空間と、ペアリングに関連付けられた双線型写像と呼ばれる双線型写像[ ^{1 ]}、あるいは単にペアリングの写像またはその双線型形式と呼ばれる双線型写像からなる³つ組であり、 とも表記される。ここでの例は、が実数または複素数が、数学理論は一般論である。 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle (X,Y,b),}$ ${\displaystyle b(X,Y),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

任意の に対してを定義し 、任意の に対して を定義し ます。 任意の は上の線型汎関数であり、任意の は上の線型汎関数です。したがって、どちらも 線型汎関数 のベクトル空間を形成します。 ${\displaystyle x\in X}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(x,\,\cdot \,):\,&Y&&\to &&\,\mathbb {K} \\&y&&\mapsto &&\,b(x,y)\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle y\in Y,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(\,\cdot \,,y):\,&X&&\to &&\,\mathbb {K} \\&x&&\mapsto &&\,b(x,y).\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle b(x,\,\cdot \,)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle b(X,\,\cdot \,):=\{b(x,\,\cdot \,):x\in X\}\qquad {\text{ および }}\qquad b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\},}$$

の代わりに と表記するのが一般的ですが、場合によってはではなく と表記されることもあります。しかし、この記事では、この主題に馴染みのない読者の混乱を避けるため、 を標準的な評価マップ（以下で定義）のみに使用します。${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle b(x,y)}$ ${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }$ ${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

デュアルペアリング

ペアリングは${\displaystyle (X,Y,b)}$ デュアルシステム、デュアルペア、 ^{[ 2 ]}または双線形形式が非退化である場合、 は双対性を持ち、次の 2 つの分離公理を満たすことを意味します。 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle b}$

1. ${\displaystyle Y}$ は の点を分離（区別）します 。が となるような場合、となります。または同等に、すべての非ゼロ に対して、マップはとは同一ではありません（つまり、各 に対して となるような が存在します）。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle b(x,\,\cdot \,)=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle b(x,y)\neq 0}$ ${\displaystyle x\in X}$
2. ${\displaystyle X}$ は の点を分離 (区別) します 。が となる場合 となります。または同等に、すべての 以外の に対して はマップは同一ではありません(つまり、各 に対して となる が存在します)。${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle b(\,\cdot \,,y)=0}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle b(x,y)\neq 0}$ ${\displaystyle y\in Y}$

この場合は非退化であり、と を双対性（あるいは、冗長だが明示的に分離した双対性）に配置することができ、 は三つ組 の双対性ペアリングと呼ばれる。^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$

合計サブセット

のサブセットは${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y}$ あらゆる に対して が成り立つ場合、がことを意味します の全体的部分集合は同様に定義されます (脚注を参照)。 ^{[注 1 ]}したがって、が の全体的部分集合である場合に限り、の点が分離されます。 についても同様です。 ${\displaystyle x\in X}$ $${\displaystyle b(x,s)=0\quad {\text{S内のすべてのsに対して}$$ ${\displaystyle x=0.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

直交性

ベクトルと は直交し、と表記される。 のとき、2つの部分集合と は直交し、 と表記される。つまり、すべての および に対してとなる。部分集合がベクトルに直交するという定義も同様に と定義される。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\perp y}$ ${\displaystyle b(x,y)=0}$ ${\displaystyle R\subseteq X}$ ${\displaystyle S\subseteq Y}$ ${\displaystyle R\perp S}$ ${\displaystyle b(R,S)=\{0\}}$ ${\displaystyle b(r,s)=0}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle s\in S}$

部分集合の直交補集合または相殺集合は です。 したがって、が の全部分集合である場合、かつ が に等しい場合に限ります。 ${\displaystyle R\subseteq X}$ $${\displaystyle R^{\perp }:=\{y\in Y:R\perp y\}:=\{y\in Y:b(R,y)=\{0\}\}}$$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R^{\perp}}$ ${\displaystyle \{0\}}$

極座標

上のペアリングを定義する三つ組が与えられたとき、の絶対極集合または部分集合の極集合は次の集合である。対称的に、の絶対極集合または部分集合の極集合は で表され、 で定義される。 ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle A^{\circ}:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B^{\circ}}$ $${\displaystyle B^{\circ}:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$$

双対性の両側の反対称性を記録するのに役立つ記帳法を使うと、の部分集合の絶対極はの絶対前極または前極とも呼ばれ、と表記されることもある。^{[ 3 ]}${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle ^{\circ }B}$

極座標は必然的にを含む凸集合である。 が釣り合っているならも釣り合っている。が のベクトル部分空間ならも のベクトル部分空間である。 ^{[ 4 ]}${\displaystyle B^{\circ}}$ ${\displaystyle 0\in Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{\circ}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B^{\circ}}$ ${\displaystyle Y.}$

がのベクトル部分空間である場合、これはの実極とも等しくなります。の場合、の双極子（ と表記）は の直交補集合の極子、つまり集合 になります。同様に、の場合、 の双極子は${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A^{\circ}=A^{\perp}}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\circ \circ}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\perp }\right).}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }.}$

二重の定義と結果

ペアリングが与えられたとき、すべてのおよびに対してとなる新しいペアリングを定義する。^{[ 1 ]}${\displaystyle (X,Y,b),}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$ ${\displaystyle d(y,x):=b(x,y)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in Y}$

双対性理論には、ペアリングの定義には必ずそのペアリングの双対定義が存在するという一貫したテーマがある。${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (Y,X,d).}$

規約と定義: ペアリングに対する任意の定義が与えられた場合、それをペアリングに適用することで双対定義が得られます。これらの規約は定理にも適用されます。${\displaystyle (X,Y,b),}$ ${\displaystyle (Y,X,d).}$

たとえば、「は の点を区別します」（それぞれ、「は の完全なサブセットです」）が上記のように定義されている場合、この規則により、「は の点を区別します」（それぞれ、「は の完全なサブセットです」）の双対定義が直ちに生成されます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

この表記法はほぼ普遍的であり、記号を割り当てる必要がないため、${\displaystyle d.}$

規則と表記法: ペアリングに対する定義とその表記法が と の順序に依存する場合(たとえば、上のMackey 位相幾何学の定義)、 と の順序を入れ替えると、定義が に適用されることを意味します(同じ例を続けると、位相幾何学は実際には位相幾何学 を表します)。${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \tau (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$ ${\displaystyle \tau (Y,X,b)}$ ${\displaystyle \tau (Y,X,d)}$

別の例として、 上の弱い位相が と定義され、 と表記されると、この双対定義は自動的にペアリングに適用され、 上の弱い位相の定義が得られ、この位相は ではなく と表記されます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,d)}$

の識別${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle (Y,X)}$

技術的には正しくなく、表記法の乱用ではありますが、この記事では、ペアリングを と互換的に扱い、で表記するという、ほぼ普遍的な慣習に従います。${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$ ${\displaystyle (Y,X,b).}$

例

ペアリングの制限

がペアリング、がのベクトル部分空間、がのベクトル部分空間であると仮定します。このとき、から への制約はペアリング です。 が双対性である場合、制約が双対性にならない可能性があります（例えば、 およびの場合）。 ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle M\times N}$ ${\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right).}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle Y\neq \{0\}}$ ${\displaystyle N=\{0\}}$

この記事では、制限を次のように表記する一般的な慣例を使用します。${\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)}$ ${\displaystyle (M,N,b).}$

ベクトル空間上の正準双対性

がベクトル空間であり、が の代数的双対空間（つまり 上のすべての線型関数の空間）を表すと仮定する。には標準的な双対性があり、 は評価写像、あるいは 上の自然あるいは標準的な双線型関数と呼ばれる。 特に、任意の に対して はを表す別の方法であることに注意する。すなわち、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$ ${\displaystyle c\left(x,x^{\prime }\right)=\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x),}$ ${\displaystyle X\times X^{\#}.}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\#},}$ ${\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)=x^{\prime }(\,\cdot \,)=x^{\prime }.}$

が のベクトル部分空間である場合、から への制限は標準対合と呼ばれます。ここで、この対合が双対性である場合は、標準双対性と呼ばれます。明らかに、は常に の点を区別するため、が の点を区別する場合に限り、標準対合は双対系です 。以下の表記法は、現在、双対性理論においてほぼ普遍的に使用されています。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$ ${\displaystyle X\times N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X.}$

評価マップは（ではなく）で表され、ではなく と表記されます。${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \langle X,N\rangle }$ ${\displaystyle (X,N,c).}$

仮定: 慣例通り、がベクトル空間でが上の線型関数のベクトル空間である場合、特に断りのない限り、それらは標準的なペアリングに関連付けられていると仮定する。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \langle X,N\rangle .}$

が のベクトル部分空間である場合、の点を区別する場合（または同値で、は双対性である）、かつその場合に限り、の点を区別する場合、または同値で、 が全 である場合（つまり、すべて に対して はを意味する）である。^{[ 1 ]}${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (X,N,c)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n(x)=0}$ ${\displaystyle n\in N}$ ${\displaystyle x=0}$

位相ベクトル空間上の標準双対性

が連続双対空間を持つ位相ベクトル空間（TVS）であると仮定すると、標準双対性の×へ の制限は、の点を隔てる対を定義します。がの点を隔てる 場合（これは、たとえば、がハウスドルフ局所凸空間である場合に当てはまります）、この対は双対を形成します。^{[ 2 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\prime },c{\big \vert }_{X\times X^{\prime }}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

仮定: 一般的に行われているように、TVSの場合は、特に明記しない限り、コメントなしで標準的なペアリングに関連付けられていると想定されます。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}$

TVSの極性と双対性

次の結果は、 TVS 上の連続線形関数が、まさに原点の近傍で制限される線形関数であることを示しています。

定理^{[ 1 ]} —を代数的双対を持つTVSとし 、を原点におけるの近傍の基底とする。標準双対性のもとで、の連続双対空間は、上の範囲となるすべてのものの和集合である（ただし、極座標は にとられる ）。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N^{\circ }}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X^{\#}}$

内積空間と複素共役空間

プレヒルベルト空間 が双対となるのは、ベクトル空間が 上にあるか次元を持つ場合のみです。ここでは、セスクイリニア形式が第 2 座標で共役同次であり、第 1 座標で同次であると仮定します。 ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

• が実ヒルベルト空間である場合、双対系を形成します。${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$
• が複素ヒルベルト空間である場合、双対系を形成するのは の場合のみであり、が非自明である場合、内積は双線型ではなく二線型であるため、対形成すら形成しない。 ^{[ 1 ]}${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \operatorname {dim} H=0.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$

が複素プレヒルベルト空間であり、スカラー乗法が通常どおり並置またはドットで表されていると仮定します。 右辺が のスカラー乗法を使用する マップを定義します。 が の複素共役ベクトル空間を表すものとします 。ここではの加法群を表します(したがって、 でのベクトル加算はでのベクトル加算と同じです)。ただし、 でのスカラー乗法はマップとなります( に備わっているスカラー乗法の代わりに)。 ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \cdot .}$ $${\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,:\mathbb {C} \times H\to H\quad {\text{ by }}\quad c\perp x:={\overline {c}}x,}$$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle (H,+)}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,}$ ${\displaystyle H}$

によって定義されるマップは両方の座標で線形であるため^{[注 2 ]} 、双対を形成します。 ${\displaystyle b:H\times {\overline {H}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle b(x,y):=\langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \left(H,{\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$

その他の例

• 全ての点を区別するが、の点は区別しないペアリングである。さらに、${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{3},}$ ${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\in X{\text{ and }}\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\in Y,}$ $${\displaystyle b\left(\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\right):=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}.}$$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:X\perp y\}=\{(0,0,z):z\in \mathbb {R} \}.}$
• （ただし はとなるようなもの）とすると、は双対系になります。${\displaystyle 0<p<\infty ,}$ ${\displaystyle X:=L^{p}(\mu ),}$ ${\displaystyle Y:=L^{q}(\mu )}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$ ${\displaystyle b(f,g):=\int fg\,\mathrm {d} \mu .}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$
• とを同じ体上のベクトル空間とすると、双線型形式によりとが双対になる。^{[ 2 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle b\left(x\otimes y,x^{*}\otimes y^{*}\right)=\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime },y\right\rangle }$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X^{\#}\times Y^{\#}}$
• シーケンス空間 と、双線形写像が として定義されるそのベータ双対は、双対システムを形成します。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y:=X^{\beta }}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle :=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle y\in X^{\beta }}$

弱いトポロジー

が上のベクトル空間のペアであるとする。の場合、 （および）によって誘導される上の弱い位相は 上の最も弱い TVS 位相であり、によって表されるか、または単に各写像が の任意の に対して の関数として連続になる。[ 1 ^]が文脈から明らかでない場合は のすべてであると仮定するべきであり、その場合、それは（によって誘導される）上の弱い位相と呼ばれる。 または という表記は（混乱が生じない場合）単に が弱い位相を備えていることを表すために使用される。 重要なのは、弱い位相は上の通常の位相の関数とのベクトル空間構造に完全に依存するが、の代数構造には依存しないことである。${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle S\subseteq Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \sigma (X,S,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,S),}$ ${\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{\sigma (X,S,b)},}$ ${\displaystyle X_{\sigma (X,S)},}$ ${\displaystyle X_{\sigma }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,S,b).}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

同様に、 のとき、 （および）によって誘導される上の弱い位相の双対定義は となり、これはあるいは単に と表記される（詳細は脚注を参照）。^{[注 3 ]}${\displaystyle R\subseteq X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma (Y,R,b)}$ ${\displaystyle \sigma (Y,R)}$

定義と表記法：位相的な定義（例：-収束、-有界など）に「 」が付されている場合、それは最初の空間（つまり）が位相を持つときの定義を意味します。混乱が生じない限り、 や の記述は省略できます。したがって、例えば、内の数列が「-収束する」または「弱収束する」場合、それは 内で収束することを意味しますが、 内の数列の場合は 内で収束することを意味します。${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}(S),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$

位相は局所的に凸である。 なぜなら、が上に存在するとき、 によって定義される半ノルムの族によって決定されるからである。[ 1 ]^{とがにおける}ネットである場合、が においてに収束するとき、 は に収束する。 ^{[ 1 ]} ネットがに収束する場合、かつその場合に限り、すべて に対してが に収束する。がヒルベルト空間における直交ベクトルの列である 場合、 は0 に弱収束するが、 0 (または他のベクトル) にはノルム収束しない。^{[ 1 ]}${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle p_{y}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p_{y}(x):=|b(x,y)|,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle b\left(x_{i},y\right)}$ ${\displaystyle b(x,y).}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$

が対で、が の真ベクトル部分空間で が双対であるとき、 は^{[ 1 ]}よりも厳密に粗い。${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,N,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,N,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b).}$

有界部分集合

の部分集合が-有界であるのは 、${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ $${\displaystyle \sup _{}|b(S,y)|<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y,}$$ ${\displaystyle b(S,y):=\{b(s,y):s\in S\}.}$

ハウスドルフネス

がペアリングの場合、以下は同等です。 ${\displaystyle (X,Y,b)}$

1. ${\displaystyle X}$ の点を区別します。${\displaystyle Y}$
2. 写像はから の代数的双対空間への射影を定義する。^{[ 1 ]}${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$
3. ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ハウスドルフである。^{[ 1 ]}

弱表現定理

次の定理は、双対性理論にとって根本的に重要である。なぜなら、それは連続双対空間を完全に特徴づけるからである。${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$

弱表現定理^{[ 1 ]} —体上のペアリングをとれば、の連続双対空間は、さらに、 ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ $${\displaystyle b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}.}$$

1. が上の連続線型関数である場合、となるものが存在する。そのような が存在する場合、が の点を区別する場合に限り、 は一意である。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f=b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$
   • の点を区別するかどうかは、特定の選択に依存しないことに注意する。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y.}$
2. の連続双対空間は、商空間と同一視される。${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle Y/X^{\perp },}$ ${\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:b(x,y)=0{\text{ for all }}x\in X\}.}$
   • これは、ポイントを区別するかどうかに関係なく当てはまります。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$

その結果、連続双対空間 は${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ $${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))^{\prime }=b(\,\cdot \,,Y):=\left\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\right\}.}$$

標準的なペアリングに関して、が連続双対空間が上の点を分離するTVS である場合（つまり、 がハウスドルフであり、も必然的にハウスドルフであることを意味する）、 の連続双対空間は、上の範囲としての「点 における評価」写像のすべての集合（つまり、を に送る写像）に等しい。 これは通常、 と表記される。 この非常に重要な事実は、連続双対空間 上の極位相（たとえば上の強双対位相など）の結果が、元の TVS にもしばしば適用できる理由である。 たとえば、と同一視されるということは、上の位相を上の位相として考えることができることを意味する 。 さらに、がよりも細かい位相を備えている場合、の連続双対空間には必然的に が部分集合として含まれる。例えば、に強い双対位相が備わっている場合（したがって は と表記される）、 となり 、これにより（ とりわけ） に、例えば強い双対位相によって誘導される部分空間位相が備わっていることが許容されます（この位相は強い双対位相とも呼ばれ、反射空間の理論に登場します。ハウスドルフの局所凸 TVS は のとき半反射的であると言われ、さらに の強い双対位相がの元の（開始）位相に等しいとき反射的と呼ばれるようになります）。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }(x)}$ $${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)^{\prime }=X\qquad {\text{ or }}\qquad \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }=X.}$$ ${\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$ $${\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }~\supseteq ~\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }~=~X}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }=X}$ ${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

直交行列、商、部分空間

がペアリングである場合、の任意の部分集合に対して次のようになります。 ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle S^{\perp }=(\operatorname {span} S)^{\perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\operatorname {span} S\right)^{\perp }=S^{\perp \perp \perp }}$ そしてこの集合は閉集合である。^{[ 1 ]}${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$
• ${\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}\operatorname {span} S\right)}$ ; ^{[ 1 ]}
  • したがって、がの閉ベクトル部分空間である場合、${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }.}$
• が の閉ベクトル部分空間の族である場合、^{[ 1 ]}${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\left(\operatorname {span} \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}^{\perp }\right)\right).}$$
• が の部分集合族である場合^{、[ 1 ]}${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\bigcap _{i\in I}S_{i}^{\perp }.}$

がノルム空間である場合、標準双対性のもとで、はノルム閉空間であり、はノルム閉空間である^{[ 1 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{\perp }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle S^{\perp \perp }}$ ${\displaystyle X.}$

部分空間

がのベクトル部分空間であるとし、 がへの制限を表すとする。上の 弱位相はから継承する部分空間位相と同一である。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (M,Y,b)}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle M\times Y.}$ ${\displaystyle \sigma (M,Y,b)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$

また、は対空間（ を意味する）であり、 は次のように定義される。 ${\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$ ${\displaystyle Y/M^{\perp }}$ ${\displaystyle Y/\left(M^{\perp }\right)}$ ${\displaystyle b{\big \vert }_{M}:M\times Y/M^{\perp }\to \mathbb {K} }$ $${\displaystyle \left(m,y+M^{\perp }\right)\mapsto b(m,y).}$$

この位相は^{[ 5 ]}から継承される部分空間位相と等しい。 さらに、が双対系であれば^{[ 5 ]も同様である。}${\displaystyle \sigma \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right).}$

商

がのベクトル部分空間であるとすると、 は次のように定義される 対空間である。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \left(X/M,M^{\perp },b/M\right)}$ ${\displaystyle b/M:X/M\times M^{\perp }\to \mathbb {K} }$ $${\displaystyle (x+M,y)\mapsto b(x,y).}$$

この位相は^{[ 5 ]}によって誘導される通常の商位相と同一である。${\displaystyle \sigma \left(X/M,M^{\perp }\right)}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle X/M.}$

極座標と弱い位相

が局所凸空間であり、が連続双対空間の部分集合である場合、が-有界であることは、^{[ 1 ]}におけるある樽に対して${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle H\subseteq B^{\circ }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$

次の結果は、極トポロジを定義する上で重要です。

がペアリングである場合：^{[ 1 ]}${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$

1. の極は、${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b)).}$
2. 次の集合の極座標は同一である: (a) ; (b) の凸包; (c)の平衡包; (d)の -閉包; (e)の凸平衡包の -閉包${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A.}$
3. 双極定理：で表される の双極定理は、 の凸均衡包の -閉包に等しい。${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{\circ \circ },}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A.}$
   • 特に双極定理は「双対性を扱う上で欠かせないツールである」[ ^{4 ] 。}
4. ${\displaystyle A}$ が有界であるとき、そしてそのときに限り、が吸収する${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle Y.}$
5. さらに がの点を区別する場合、はが完全に有界である場合にのみ有界となります。${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

が対で、が双対性と矛盾しない局所凸位相である場合、 の部分集合が の樽型であることと、が の有界部分集合の極であることは同値である^{[ 6 ]}${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y.}$

転置する

ペアリングに関する線形写像の転置

とを上のペアとし、 を線型写像とします。 ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle F:X\to W}$

すべての に対して、が定義される写像であるとします。次の条件が満たされる場合、 の転置または随伴写像は明確に定義されている と言えます。${\displaystyle z\in Z,}$ ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z):X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x\mapsto c(F(x),z).}$ ${\displaystyle F}$

1. ${\displaystyle X}$ の点を区別する（または同値として、から への代数的双対への写像は に単射である）。${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\#}}$
2. ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y),}$ ここで、および。${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z):=\{c(F(\,\cdot \,),z):z\in Z\}}$ ${\displaystyle b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}}$

この場合、任意の に対して、となる唯一の が存在する（条件 2 より）。ここで のこの要素はで表される。 これは線型写像を定義する。 ${\displaystyle z\in Z}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {}^{t}F(z).}$ $${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$$

および に関する の転置または随伴 と${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ 呼ばれる（これはエルミート随伴と混同してはならない）。上で述べた2つの条件（つまり「転置が明確に定義されている」）は、 が明確に定義されているためにも必要であることは容易に分かる。任意の に対して の定義条件は、 すべて      の に対して である。${\displaystyle {}^{t}F}$ ${\displaystyle z\in Z,}$ ${\displaystyle {}^{t}F(z)}$ $${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}F(z)\right),}$$ $${\displaystyle c(F(x),z)=b\left(x,{}^{t}F(z)\right)}$$ ${\displaystyle x\in X.}$

この記事の冒頭で述べた慣例によれば、これは^{[注 4 ] [注 5 ] [注 6 ] [注 7 ]}などの形式の線型写像の転置も定義します (脚注を参照)。 ${\displaystyle Z\to Y,}$ ${\displaystyle X\to Z,}$ ${\displaystyle W\to Y,}$ ${\displaystyle Y\to W,}$

転置の性質

全体を通じて、およびは 上のペアリングとなり、転置が明確に定義された 線形写像となります。${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$

• ${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$ が単射的（すなわち）である場合、かつ の範囲が^{[ 1 ]}において稠密である場合に限ります。${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=\{0\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \left(W,\sigma \left(W,Z,c\right)\right).}$
• が明確に定義されていることに加えて、転置も明確に定義されている場合、${\displaystyle {}^{t}F}$ ${\displaystyle {}^{t}F}$ ${\displaystyle {}^{tt}F=F.}$
• が上の対写像であり、が転置が明確に定義されている線型写像であるとする。すると、転置が明確に定義されているような線型写像は${\displaystyle (U,V,a)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle E:U\to X}$ ${\displaystyle {}^{t}E:Y\to V}$ ${\displaystyle F\circ E:U\to W,}$ ${\displaystyle {}^{t}(F\circ E):Z\to V,}$ ${\displaystyle {}^{t}(F\circ E)={}^{t}E\circ {}^{t}F.}$
• がベクトル空間同型ならば、は単射であり、その転置は明確に定義され、^{[ 1 ]}${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$ ${\displaystyle F^{-1}:W\to X,}$ ${\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right):Y\to Z,}$ ${\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right)=\left({}^{t}F\right)^{-1}}$
• とすると、 はの絶対極を表す。すると、次のようになる。^{[ 1 ]}${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S^{\circ }}$ ${\displaystyle A,}$
  1. ${\displaystyle [F(S)]^{\circ }=\left({}^{t}F\right)^{-1}\left(S^{\circ }\right)}$ ;
  2. もしある人にとってそうならば;${\displaystyle F(S)\subseteq T}$ ${\displaystyle T\subseteq W,}$ ${\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}$
  3. が成り立つ場合、 となる。${\displaystyle T\subseteq W}$ ${\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ },}$ ${\displaystyle F(S)\subseteq T^{\circ \circ }}$
  4. およびが弱閉円板である場合、のときのみ有効です。${\displaystyle T\subseteq W}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}$ ${\displaystyle F(S)\subseteq T}$
  5. ${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=[F(X)]^{\perp }.}$

これらの結果は、絶対極座標の代わりに実極座標を使用した場合に当てはまります。

とがそれらの標準双対性の下でノルム空間であり、が連続線型写像であるならば、^{[ 1 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|.}$

弱い連続性

が連続である場合、線型写像は弱連続です（およびに関して）。 ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))}$

次の結果は、転置写像の存在が弱位相と密接に結びついていることを示しています。

命題—の点を区別し、が線型写像であると 仮定する。このとき、以下の2つは同値である。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F:X\to W}$

1. ${\displaystyle F}$ 弱連続である（つまり、連続である）${\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))}$
2. ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y)}$ ;
3. の転置は明確に定義されています。${\displaystyle F}$

が弱連続なら ば${\displaystyle F}$

• ${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$ は弱連続であり、連続であることを意味します。${\displaystyle {}^{t}F:(Z,\sigma (Z,W,c))\to (Y,(Y,X,b))}$
• の転置が明確に定義されるのは、の点を と区別する場合のみであり、この場合${\displaystyle {}^{t}F}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle {}^{tt}F=F.}$

弱位相と標準双対性

がベクトル空間であり、 がその代数的双対であるとする。すると、の任意の -有界部分集合は有限次元ベクトル部分空間に含まれ、 の任意のベクトル部分空間は -閉である。^{[ 1 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}$

弱い完全性

が完備位相ベクトル空間である場合、は-完備、あるいは（曖昧さが生じない場合には）弱完備であるとする。ノルム位相において完備であるにもかかわらず、弱完備ではないバナッハ空間も存在する。 ^{[ 1 ]}${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

がベクトル空間である場合、標準双対性の下では、は完全である。^{[ 1 ]} 逆に、が連続双対空間を持つハウスドルフ局所凸TVSである場合、が完全であるのは の場合のみである。つまり、 を評価マップに送ることで定義されるマップ（すなわち）が全単射である場合のみである。^{[ 1 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z^{\prime },}$ ${\displaystyle \left(Z,\sigma \left(Z,Z^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle Z=\left(Z^{\prime }\right)^{\#}}$ ${\displaystyle Z\to \left(Z^{\prime }\right)^{\#}}$ ${\displaystyle z\in Z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{\prime }\mapsto z^{\prime }(z)}$

特に、正準双対性に関して、 が のベクトル部分空間であり、がの点を分離する場合、 が完全となるのは の場合に 限ります。言い換えれば、がハウスドルフであり、弱*位相（すなわち、点収束の位相）において完全となるようなの適切なベクトル部分空間は存在しません。したがって、ハウスドルフ局所凸TVSの連続双対空間に弱*位相 が備わっている場合、 が完全となるのは の場合に限ります（つまり、上のすべての線型汎関数が連続となる場合に限ります）。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X))}$ ${\displaystyle Y=X^{\#}.}$ ${\displaystyle Y\neq X^{\#}}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y))}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }=X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$

Yと代数的双対の部分空間との同一視

が の点を区別し、がの射影の値域を表す場合、 はの代数的双対空間のベクトル部分空間となり、対比は の標準対比（ここでは自然な評価写像）と標準的に同一視される。特に、この状況では、一般性を失うことなく、が の代数的双対のベクトル部分空間であり、が評価写像であると 仮定する。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \langle X,Z\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b}$

慣例：が単射であるときはいつでも（特に が双対を形成するとき）、一般性を失うことなく がの代数的双対空間のベクトル部分空間であると仮定するのが一般的であり、 は自然な評価写像であり、 と表記される。${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

全く同様に、が の点を区別する場合、を の代数的双対空間のベクトル部分空間として識別することが可能です。 ^{[ 2 ]}${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

代数的随伴関数

双対性が標準双対性であり、線型写像の転置が常に明確に定義されている特殊な場合、この転置はの代数的随伴写像と呼ばれ、 と表記される。つまり、 この場合、すべての^{[ 1 ] [ 7 ]}に対して となる。ただし、 の定義条件は以下の通りである。 あるいは、${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle W,W^{\#}\right\rangle ,}$ ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{\#}}$ ${\displaystyle F^{\#}={}^{t}F:W^{\#}\to X^{\#}.}$ ${\displaystyle w^{\prime }\in W^{\#},}$ ${\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)=w^{\prime }\circ F}$ ${\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)}$ $${\displaystyle \left\langle x,F^{\#}\left(w^{\prime }\right)\right\rangle =\left\langle F(x),w^{\prime }\right\rangle \quad {\text{ for all }}>x\in X,}$$ ${\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)(x)=w^{\prime }(F(x))\quad {\text{ for all }}x\in X.}$

ある整数がの基底であり、双対基底が線形演算子である場合、の行列表現がについてであるとき、 の転置はについてである行列表現である。${\displaystyle X=Y=\mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}=\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }=\left\{e_{1}^{\prime },\ldots ,e_{n}^{\prime }\right\},}$ ${\displaystyle F:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle M:=\left(f_{i,j}\right),}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }}$ ${\displaystyle F^{\#}.}$

継続性と開放性の弱さ

とが双対系である標準対（つまりと）であり、 が線型写像であるとする。するとが弱連続となるのは、以下の同値な条件のいずれかを満たす場合のみである。^{[ 1 ]}${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }$ ${\displaystyle \langle W,Z\rangle }$ ${\displaystyle Y\subseteq X^{\#}}$ ${\displaystyle Z\subseteq W^{\#}}$ ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle F:X\to W}$

1. ${\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))}$ 連続的です。
2. ${\displaystyle F^{\#}(Z)\subseteq Y}$
3. Fの転置、およびに関する転置は明確に定義されています。${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y,}$ ${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }$ ${\displaystyle \langle W,Z\rangle }$

が弱連続ならば連続となり、さらに^{[ 7 ]}${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))}$ ${\displaystyle {}^{tt}F=F}$

位相空間間の写像が相対的に開いているとは、が開写像であり、が^{[ 1 ]}の値域である場合である。${\displaystyle g:A\to B}$ ${\displaystyle g:A\to \operatorname {Im} g}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} g}$ ${\displaystyle g.}$

とが双対系であり、が弱連続線型写像であるとする。このとき、以下の写像は同値である。^{[ 1 ]}${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$ ${\displaystyle \langle W,Z\rangle }$ ${\displaystyle F:X\to W}$

1. ${\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))}$ 比較的オープンです。
2. の値域は で閉じています。${\displaystyle {}^{t}F}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ ${\displaystyle Y}$
3. ${\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F=(\operatorname {ker} F)^{\perp }}$

さらに、

• ${\displaystyle F:X\to W}$ が単射的（単射的）な場合、かつ が全射的（単射的）な場合のみ、単射的（単射的）である。${\displaystyle {}^{t}F}$
• ${\displaystyle F:X\to W}$ が相対的に開かつ単射である場合に限り、 は射影的である。${\displaystyle {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))}$

TVS間のマップの転置

2 つの TVS 間の写像の転置は、が弱連続である場合にのみ定義されます。 ${\displaystyle F}$

が2つのハウスドルフ局所凸位相ベクトル空間間の線型写像である場合、次式が成り立つ。 ^{[ 1 ]}${\displaystyle F:X\to Y}$

• が連続である場合、それは弱連続であり、Mackey 連続かつ強連続でもあります。${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {}^{t}F}$
• が弱連続である場合、それは Mackey 連続かつ強連続です (以下で定義)。${\displaystyle F}$
• が弱連続ならば、 の等連続部分集合を の等連続部分集合に写像する場合に限り連続である。${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {}^{t}F:^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$
• とがノルム空間であるとき、が連続であることは弱連続であることと同値であり、その場合${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|.}$
• が連続ならば、が相対的に開いていることと、が弱相対的に開いていること（すなわち、相対的に開いていること）が同値であり、 のすべての等連続部分集合が の等連続部分集合の像であることは同値である。${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F:\left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)\to \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F={}^{t}F\left(Y^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle Y^{\prime }.}$
• が連続注入である場合、 はTVS埋め込み（または同値な位相埋め込み）であるためには、 のすべての等連続部分集合がのいくつかの等連続部分集合の像となる必要がある。${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }.}$

計量化可能性と分離可能性

を連続双対空間を持つ局所凸空間とし、^{[ 1 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle K\subseteq X^{\prime }.}$

1. が等連続またはコンパクトであり、が に稠密である場合、 を継承する部分空間位相はを継承する部分空間位相と同一である。${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle D\subseteq X^{\prime }}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },D\right)\right)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right).}$
2. が分離可能で等連続である場合、 によって誘導される部分空間トポロジーが備わっているとき、は計量化可能です。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right),}$
3. が分離可能かつ計量化可能である場合、は分離可能です。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$
4. がノルム空間である場合、が分離可能であることと、 の閉単位が連続双対空間と呼ばれる場合、によって誘導される部分空間位相が与えられたときに計量化可能であることに限ります。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right).}$
5. がノルム空間であり、その連続双対空間が分離可能であれば（通常のノルム位相が与えられた場合）、は分離可能である。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

極性トポロジーとペアリングと互換性のあるトポロジー

弱位相のみから始めて、極集合を用いることで、局所凸位相の範囲を生成することができる。このような位相は極位相と呼ばれる。弱位相は、この範囲の中で最も弱い位相である。

全体を通して、は上のペアリングとなり、はの -有界部分集合の空でないコレクションとなる。${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X.}$

極性トポロジー

の部分集合の集合が与えられたとき、（および）によって決定される上の極位相、または上の-位相は 上の唯一の位相ベクトル空間（TVS）位相であり、 は 原点で近傍の部分基底 を形成する。 ^{[ 1 ]}にこの -位相が備わっている とき、それはYと表記される。すべての極位相は必然的に局所凸 である。^{[ 1 ]}が部分集合包含に関して有向集合である とき（すなわち、すべての に対して となるようなものが存在するとき）、0 におけるこの近傍部分基底は実際には0 における近傍基底を形成する。 ^{[ 1 ]}${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle \left\{rG^{\circ }:G\in {\mathcal {G}},r>0\right\}}$$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ _{${\displaystyle {\mathcal {G}}}$} ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G,K\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle K\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G\cup H\subseteq K}$

次の表に、重要な極性トポロジの一部を示します。

表記: が 上の極位相を表す場合、この位相を備えた はまたは単にで表されます(例: の場合 となるため、となり、すべてはを備えた を表します)。${\displaystyle \Delta (X,Y,b)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y_{\Delta (Y,X,b)},}$ ${\displaystyle Y_{\Delta (Y,X)}}$ ${\displaystyle Y_{\Delta }}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle \Delta =\sigma }$ ${\displaystyle Y_{\sigma (Y,X,b)},}$ ${\displaystyle Y_{\sigma (Y,X)}}$ ${\displaystyle Y_{\sigma }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {P}}X}$ （「...上の一様収束の位相」）	表記	名前 ("...のトポロジ")	別名
の有限部分集合（または の有限部分集合の-閉円板包） ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$	${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle s(X,Y,b)}$	点収束/単純収束	弱い/弱い*トポロジー
${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ -コンパクトディスク	${\displaystyle \tau (X,Y,b)}$		マッキー位相幾何学
${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ -コンパクト凸集合	${\displaystyle \gamma (X,Y,b)}$	コンパクトな凸収束
${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ -コンパクト部分集合（またはバランスのとれた-コンパクト部分集合） ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$	${\displaystyle c(X,Y,b)}$	コンパクト収束
${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ -境界付き部分集合	${\displaystyle b(X,Y,b)}$ ${\displaystyle \beta (X,Y,b)}$	有界収束	強い位相最強の極性位相

極性位相に関する定義

連続

線型写像は、 が連続であるとき、（とに関して）マッキー連続である。^{[ 1 ]}${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle F:(X,\tau (X,Y,b))\to (W,\tau (W,Z,c))}$

線型写像は、 が連続であるとき（およびに関して）強連続である。^{[ 1 ]}${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle F:(X,\beta (X,Y,b))\to (W,\beta (W,Z,c))}$

有界部分集合

のサブセットが弱有界(それぞれMackey 有界、 は強く有界)であるとは、それが で有界(それぞれ で有界、 で有界) である場合です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle (X,\tau (X,Y,b)),}$ ${\displaystyle (X,\beta (X,Y,b))}$

ペアと互換性のあるトポロジ

が上のペアリングでが上のベクトル位相である場合、 はペアリングの位相であり、が局所的に凸であり の連続双対空間である場合、はペアリングと互換（または矛盾しない）である。 ^{[注 8 ]}がの点を区別する 場合、 を の代数的双対のベクトル部分空間として識別することにより、定義条件は次のようになる。^{[ 1 ]} 一部の著者（例えば [Trèves 2006] および [Schaefer 1999]）は、ペアの位相もハウスドルフであることを要求している。^{[ 2 ] [ 8 ]}が の点を区別する場合（これらの著者はこれを仮定している）。 ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)=b(\,\cdot \,,Y).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)^{\prime }=Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

弱位相は（弱表現定理で示されているように）対と両立し、実際そのような位相の中で最も弱い。この対と両立する最も強い位相はマッキー位相である。が反射的でないノルム空間である場合、その連続双対空間上の通常のノルム位相は双対性と両立しない^{[ 1 ]。}${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \left(N^{\prime },N\right).}$

マッキー・アレンズ定理

以下は双対理論における最も重要な定理の 1 つです。

マッキー・アレンズ定理I ^{[ 1 ]} —を の点を区別するペアリングとし、を（必ずしもハウスドルフである必要はない）上の局所凸位相とする場合、かつその場合のみ、を覆う-コンパクトディスクの集合によって決定される極位相となる^{[注 9 ]}${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y.}$

上のすべての -コンパクトディスクによって生成される極位相を想起すると、Mackey位相は、ペアリング と両立する上の最も強い局所凸位相となる。 与えられた位相がMackey位相と同一である局所凸空間は、Mackey空間と呼ばれる。上記のMackey-Arens定理から得られる以下の結果は、Mackey-Arens定理とも呼ばれる。 ${\displaystyle \tau (X,Y,b),}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,Y,b).}$

マッキー・アレンズ定理 II ^{[ 1 ]} —を の点を区別するペアリングとし、を 上の局所凸位相とすると、 がペアリングと両立する場合、かつその場合のみ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)\subseteq {\mathcal {T}}\subseteq \tau (X,Y,b).}$

マッキーの定理、樽、そして閉凸集合

がTVS（または）の場合、半空間は、ある実線型汎関数とある連続実線型汎関数の形の集合である。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$

定理—が局所凸空間（または上）であり、が の空でない閉凸部分集合である場合、はそれを含むすべての閉半空間の共通部分に等しい。^{[ 9 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$

上記の定理は、局所凸空間の閉部分集合と凸部分集合は、連続双対空間に完全に依存することを意味している。したがって、閉部分集合と凸部分集合は、双対性と両立する任意の位相において同じである。つまり、と が同じ連続双対空間を持つ 上の任意の局所凸位相である場合、 の凸部分集合が位相において閉じていることと、それが位相において閉じていることは同値である。これは、の任意の凸部分集合の -閉包がその -閉包に等しく、^{[ 1 ]}内の任意の -閉円板に対して が等しいことを意味する 。特に、がの部分集合である場合、 がの樽であることと、それが^{[ 1 ]}内の樽であることは同値である。${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A=A^{\circ \circ }.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {L}}).}$

次の定理は、樽型（つまり閉じた吸収円盤）が弱有界部分集合の極座標とまったく同じであることを示しています。

定理^{[ 1 ]} —を の点を区別するペアリングとし、をペアの位相とする。すると、 の部分集合が の樽型であることと、それが の-有界部分集合の極に等しいことは同値である。${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y.}$

が位相ベクトル空間である場合、次式が成り立つ: ^{[ 1 ] [ 10 ]}${\displaystyle X}$

1. の閉じた吸収平衡部分集合は、の各凸コンパクト部分集合を吸収します(つまり、その集合を含む実数が存在する)。${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle rB}$
2. がハウスドルフで局所凸ならば、すべてのバレルはすべての凸有界完全部分集合を吸収する。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

これらすべては、双対系理論における中心的な定理の一つであるマッキーの定理へと繋がります。簡単に言えば、同じ双対性と両立する任意の2つのハウスドルフ局所凸位相において、有界部分集合は同じであることを述べています。

マッキーの定理^{[ 10 ] [ 1 ]} —が連続双対空間を持つハウスドルフ局所凸空間であるとし、標準双対性を考える。が上の位相で 上の双対性と両立する位相であれ ば、 の有界部分集合はの有界部分集合と同じである。${\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {L}}).}$

有限列の空間

を、十分に大きいすべての に対して となるスカラー列全体の空間とする と、によって 双線型写像が定義される^{[ 1 ]。} さらに 、部分集合が-有界 (または -有界) であるとは、すべてのインデックスに対して となる正の実数列が存在する場合のみである。^{[ 1 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle r_{i}=0}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle Y=X}$ ${\displaystyle b:X\times X\to \mathbb {K} }$ $${\displaystyle b\left(r_{\bullet },s_{\bullet }\right):=\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}.}$$ ${\displaystyle \sigma (X,X,b)=\tau (X,X,b).}$ ${\displaystyle T\subseteq X}$ ${\displaystyle \sigma (X,X,b)}$ ${\displaystyle \beta (X,X,b)}$ ${\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left|t_{i}\right|\leq m_{i}}$ ${\displaystyle t_{\bullet }=\left(t_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\in T}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m_{\bullet }\in X}$

したがって、 には強く有界ではない(つまり、有界ではない) 弱有界の (つまり、有界の) 部分集合が存在します。 ${\displaystyle \sigma (X,X,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta (X,X,b)}$

参照

• ベータ双対空間
• 双直交系 – ベクトル空間のペア
• 双対空間 – 数学において、線型形式のベクトル空間
• デュアルトポロジ
• 双対性（数学）  – 数学における一般的な概念と操作
• 内積 – 一般化された内積を持つベクトル空間Pages displaying short descriptions of redirect targets
• L-半内積 – すべてのノルム空間に適用できる内積の一般化
• ペアリング – 数学における双線形写像
• 極集合 – 双対の特定の点によって囲まれるすべての点の部分集合（双対の場合）
• 極位相 – 有界部分集合のある部分集合上の一様収束の双対空間位相
• 還元的双対
• 強双対空間 – 有界集合上の一様収束の位相を備えた連続双対空間
• 強位相（極位相）  - 有界集合上の一様収束の位相を備えた連続双対空間Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 線型写像空間上の位相
• 弱位相 – 数学用語

注記

1. のサブセット、すべての に対して が成り立ちます。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y\in Y}$ $${\displaystyle b(s,y)=0\quad {\text{ for all }}s\in S}$$ ${\displaystyle y=0}$
2. 最初の座標において線形であることはスカラーであると仮定します。すると、が 2 番目の座標において線形であることがわかります${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b(x,c\perp y)=b\left(x,{\overline {c}}y\right)=\langle x,{\overline {c}}y\rangle =c\langle x,y\rangle =cb(x,y),}$ ${\displaystyle b}$
3. 上の弱い位相は、 上の最も弱い TVS 位相であり、上に存在するため、すべての写像が連続にの双対表記は、単に が弱い位相を備えていることを表すためにも使用できる。が文脈から明らかでない場合上の弱い位相( により誘導されると呼ばれる。${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,R,b)),}$ ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,R)),}$ ${\displaystyle (Y,\sigma )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (Y,R,b).}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$
4. が線型写像である場合、 の転置は、が の点をと場合に限り明確に定義されます。この場合、 それぞれについて、の定義条件はのようになります。${\displaystyle G:Z\to Y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {}^{t}G:X\to W,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle b(X,G(\,\cdot \,))\subseteq c(W,\,\cdot \,).}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {}^{t}G(x)}$ ${\displaystyle c(x,G(\,\cdot \,))=c\left({}^{t}G(x),\,\cdot \,\right).}$
5. が線型写像である場合、 の転置は、が の点をと場合に限り明確に定義されます。この場合、 それぞれについて、の定義条件はのようになります。${\displaystyle H:X\to Z}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {}^{t}H:W\to Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle c(W,H(\,\cdot \,))\subseteq b(\,\cdot \,,Y).}$ ${\displaystyle w\in W,}$ ${\displaystyle {}^{t}H(w)}$ ${\displaystyle c(w,H(\,\cdot \,))=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}H(w)\right).}$
6. が線型写像である場合、 の転置は、が の点をと場合に限り明確に定義されます。この場合、 それぞれについて、の定義条件はのようになります。${\displaystyle H:W\to Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {}^{t}H:X\to Q,}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle b(X,H(\,\cdot \,))\subseteq c(\,\cdot \,,Z).}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {}^{t}H(x)}$ ${\displaystyle c(x,H(\,\cdot \,))=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}H(x)\right).}$
7. が線型写像である場合、 の転置は、が の点をと場合に限り明確に定義されます。この場合、 それぞれについて、の定義条件はのようになります。${\displaystyle H:Y\to W}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {}^{t}H:Z\to X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c(H(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(X,\,\cdot \,).}$ ${\displaystyle z\in Z,}$ ${\displaystyle {}^{t}H(z)}$ ${\displaystyle c(H(\,\cdot \,),z)=b\left({}^{t}H(z),\,\cdot \,\right)}$
8. もちろん、上の位相が「ペアリングと互換性がある」という類似の定義もあるが、この記事では上の位相についてのみ扱う。${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$
9. 集合の部分集合の集合は、その集合に属する何らかの集合にのすべての点が含まれている場合、その集合を覆うと言われる${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

参考文献

1. 2011、pp.
2. シェーファー＆ウォルフ 1999、122–128頁。
3. Trèves 2006、195ページ。
4. シェーファー＆ウォルフ 1999、123–128ページ。
5. ナリシ & ベッケンシュタイン 2011、260–264 ページ。
6. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、251–253頁。
7. シェーファー＆ウォルフ 1999、128～130頁。
8. Treves 2006、368–377 ページ。
9. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、200頁。
10. Treves 2006、371–372 ページ。

参考文献

• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• マイケル・リード、バリー・サイモン著『現代数理物理学の方法』第1巻、関数解析、第3.3節。アカデミック・プレス、サンディエゴ、1980年。ISBN 0-12-585050-6。
• ルディン、ウォルター(1991).関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Schmitt, Lothar M (1992). 「ハーン・バナッハの定理の同変版」 . Houston J. Of Math . 18 : 429–447 .
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .

外部リンク

• 二重性理論