L pスペース

数学において、L ^p空間は有限次元ベクトル空間のpノルムの自然な一般化を用いて定義される関数空間である。アンリ・ルベーグ( Dunford & Schwartz 1958 , III.3)にちなんでルベーグ空間と呼ばれることもあるが、ブルバキ群 ( Bourbaki 1987 )によれば、最初に導入されたのはフリジェス・リース( Riesz 1910 )である。

L ^p空間は、関数解析におけるバナッハ空間、および位相ベクトル空間の重要なクラスを形成します。測度空間と確率空間の数学的解析における重要な役割のため、ルベーグ空間は物理学、統計学、経済学、金融、工学、その他の分野における問題の理論的議論にも用いられます。

予選

有限次元におけるpノルム

異なる -ノルムに基づくの単位円の図(超楕円も参照) (原点から単位円へのすべてのベクトルの長さは 1 で、その長さは対応する の長さの式で計算されます)。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

次元実ベクトル空間におけるベクトルのユークリッド長さはユークリッドノルムで与えられる。 ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \|x\|_{2}=\left({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dotsb +{x_{n}}^{2}\right)^{1/2}.}$$

2点間のユークリッド距離は、2点間の直線の長さです。多くの場合、ユークリッド距離は特定の空間における実際の距離を捉えるのに適しています。一方、格子状の街路図を走るタクシー運転手は、目的地までの直線の長さではなく、道路が互いに直交しているか平行であるかを考慮した直線距離で距離を測る必要があります。-ノルムのクラスはこれら2つの例を一般化し、数学、物理学、コンピュータサイエンスの多くの分野で豊富な応用があります。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \|xy\|_{2}}$ ${\displaystyle p}$

実数 の場合、 の -ノルムまたは- ノルムはによって定義されます。 が約分された形式で分子が偶数である有理数であり、実数の集合またはそのサブセットの 1 つから抽出される 場合、絶対値バーは省略できます。 ${\displaystyle p\geq 1,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$

上記のユークリッドノルムはこのクラスに分類され、-ノルムです。また、 -ノルムは直線距離に対応するノルムです。 ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1}$

-ノルムまたは最大ノルム（または均一ノルム）は、次のように定義されるに対する -ノルムの極限です。 ${\displaystyle L^{\infty}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\to \infty }$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|\right\}}$$

すべての-ノルムと最大ノルムは「長さ関数」（またはノルム）の特性を満たします。つまり、 ${\displaystyle p\geq 1,}$ ${\displaystyle p}$

• ゼロベクトルのみが長さゼロであり、
• ベクトルの長さはスカラーの乗算に関して正同次であり（正同次性）、
• 2つのベクトルの和の長さは、ベクトルの長さの和以下です（三角不等式）。

抽象的に言えば、これは-ノルムと合わせてノルムベクトル空間となることを意味します。さらに、この空間は完備 であり、したがってバナッハ空間となります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$

pノルム間の関係

2点間のグリッド距離または直線距離（「マンハッタン距離」と呼ばれることもある）は、それらの間の線分の長さ（ユークリッド距離または直線距離）よりも短くなることはありません。正式には、これは任意のベクトルのユークリッドノルムがその1次ノルムによって制限されることを意味します。 $${\displaystyle \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}.}$$

この事実は-ノルムにも一般化され、任意のベクトルの-ノルムは とともに増加しません。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|x\|_{p}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \|x\|_{p+a}\leq \|x\|_{p}}$ 任意のベクトルおよび実数およびに対して(実際、これはおよびに対しても成り立ちます。)${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle a\geq 0.}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle a\geq 0}$

反対方向については、- ノルムと- ノルムの間に次の関係があることが分かっています。 ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ $${\displaystyle \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}~.}$$

この不等式は、基礎となるベクトル空間の次元に依存し、コーシー・シュワルツの不等式から直接導かれます。 ${\displaystyle n}$

一般に、ベクトルが${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle 0<r<p:}$ $${\displaystyle \|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p}}}\|x\|_{p}~.}$$

これはヘルダーの不等式の結果です。

0 < p < 1の場合

小惑星、メートル法の単位円${\displaystyle p={\tfrac {2}{3}}}$

において、この式は の 絶対同次関数を定義しますが、結果として得られる関数は劣加法ではないため、ノルムを定義しません。一方、この式は 絶対同次性を失う代償として劣加法関数を定義します。ただし、次数 の同次であるFノルムを定義します。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n>1,}$ $${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$$ ${\displaystyle 0<p<1;}$ $${\displaystyle |x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}}$$ ${\displaystyle p.}$

したがって、関数は 計量 を定義する。計量空間は次のように表される。$${\displaystyle d_{p}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}}$$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d_{p})}$ ${\displaystyle \ell_{n}^{p}.}$

この計量における原点周りの-単位球は「凹」であるが、計量によって上に定義される位相は通常のベクトル空間の位相であり、したがっては局所的に凸な位相ベクトル空間である。この定性的な記述に加えて、 の凸性の欠如を定量的に測定する方法は、を のスカラー倍が の凸包を含むような最小の定数で表すことである。この凸包は となる。 を固定したに対して となるという事実は、以下で定義される 無限次元列空間がもはや局所的に凸ではないことを示している 。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle B_{n}^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle B_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \ell_{n}^{p}}$ ${\displaystyle \ell_{n}^{p}}$ ${\displaystyle C_{p}(n)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\,B_{n}^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle B_{n}^{p},}$ ${\displaystyle B_{n}^{1}.}$ ${\displaystyle p<1}$ $${\displaystyle C_{p}(n)=n^{{\tfrac {1}{p}}-1}\to \infty ,\quad {\text{as }}n\to \infty }$$ ${\displaystyle \ell^{p}}$

p = 0のとき

ノルムが1 つあり、もう 1 つは「ノルム」(引用符付き) と呼ばれる関数です。${\displaystyle \ell_{0}}$ ${\displaystyle \ell_{0}}$

ノルムの数学的定義は、バナッハの線型演算理論によって確立されました。数列の空間は、積計量上のFノルムによって提供される完全な計量位相を持ちます。 この-ノルム空間は、関数解析、確率論、調和解析において研究されています。 ${\displaystyle \ell_{0}}$ $${\displaystyle (x_{n})\mapsto \|x\|:=d(0,x)=\sum _{n}2^{-n}{\frac {|x_{n}|}{1+|x_{n}|}}.}$$ ${\displaystyle \ell_{0}}$

デビッド・ドノホによって「ノルム」と名付けられた別の関数（引用符はこの関数が適切なノルムではないことを警告している）は、ベクトルの非ゼロ要素の数である。多くの著者は引用符を省略することで用語を乱用している。ゼロの「ノルム」を定義すると、次のようになる。 ${\displaystyle \ell_{0}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle 0^{0}=0,}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle |x_{1}|^{0}+|x_{2}|^{0}+\cdots +|x_{n}|^{0}.}$$

p ノルム 0.1 から 2 までを 0.05 ずつ変化させたアニメーション GIF。

これは同次ではないため、ノルムではありません。例えば、ベクトルを正の定数でスケーリングしても「ノルム」は変化しません。数学的なノルムとしてはこれらの欠陥があるにもかかわらず、非ゼロ計数「ノルム」は科学計算、情報理論、統計学、特に信号処理における圧縮センシングや計算調和解析において用いられています。ノルムではないものの、距離には同次性は必要ないため、 ハミング距離として知られる関連する指標は有効な距離です。${\displaystyle x}$

ℓ ^p空間とシーケンス空間

-ノルムは、無限個の要素（シーケンス）を持つベクトルに拡張することができ、空間が生成されます。これには、特殊なケースとして以下が含まれます。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}.}$

• ${\displaystyle \ell ^{1},}$ 級数が絶対収束する数列の空間、
• ${\displaystyle \ell ^{2},}$ 平方和可能列の空間はヒルベルト空間であり、
• ${\displaystyle \ell ^{\infty },}$ 有界シーケンスの空間。

スカラーの加法と乗法を適用することで、数列空間は自然なベクトル空間構造を持つ。明示的には、実数（または複素数）の無限数列のベクトル和とスカラー作用は次のように与えられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots )+(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},y_{n+1},\ldots )\\={}&(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n},x_{n+1}+y_{n+1},\ldots ),\\[6pt]&\lambda \cdot \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\\={}&(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n},\lambda x_{n+1},\ldots ).\end{aligned}}}$$

-ノルムを定義します。 ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\cdots \right)^{1/p}}$$

ここで、右側の級数が必ずしも収束するとは限らないという複雑な問題が発生します。そのため、たとえば、1 のみで構成される数列は、に対して無限の -ノルムを持ちます。この場合、空間は、 -ノルムが有限であるような実数 (または複素数) のすべての無限数列の集合として定義されます。 ${\displaystyle (1,1,1,\ldots ),}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty .}$ ${\displaystyle \ell^{p}}$ ${\displaystyle p}$

が増加するにつれて、集合は大きくなることが確認できます。例えば、数列は には入りませんが、 の場合は に入ります。これは、の級数が （調和級数） に対して発散するためですが、 の場合は収束します。${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell^{p}}$ $${\displaystyle \left(1,{\frac {1}{2}},\ldots ,{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n+1}},\ldots \right)}$$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle \ell^{p}}$ ${\displaystyle p>1,}$ $${\displaystyle 1^{p}+{\frac {1}{2^{p}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{p}}}+{\frac {1}{(n+1)^{p}}}+\cdots ,}$$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle p>1.}$

また、上限: と、それに対応するすべての有界列の 空間を用いて -ノルムを定義する。 ^{[ 1 ]} 右辺が有限、または左辺が無限大の場合には、${\displaystyle \infty }$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup(|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|,|x_{n+1}|,\ldots )}$$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|x\|_{p}}$$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}$

このように定義された -ノルムは確かにノルムであり、このノルムと一緒にバナッハ空間が存在します。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

一般的なℓ ^p空間

前の定義と完全に類似して、一般添字集合（および） 上の空間を と定義することができる。 ここで、右辺収束は可算個数の被加数のみが非零であることを必要とする（集合 上の絶対収束も参照）。 ノルムを用いると、 空間はバナッハ空間となる。が有限で元を持つ場合、この構成は上で定義した -ノルムを満たす。が可算無限の場合、これは上で定義した数列空間とまったく同じである。非可算集合の場合、これは 非可分バナッハ空間であり、 -数列空間の局所凸直接極限と見なすことができる。^{[ 2 ]}${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ $${\displaystyle \ell ^{p}(I)=\left\{(x_{i})_{i\in I}\in \mathbb {K} ^{I}:\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}<+\infty \right\},}$$ $${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}}$$ ${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

ノルムは、​​${\displaystyle p=2,}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}$ ユークリッド内積は、すべてのベクトルに対して成り立つことを意味する。分極恒等式を用いてノルムで表すことができる。この上でように定義できる ^{。ここで、すべての[ 3 ]​​ [注2 ]} に対して^{[注1 ]}を定義する 場合を考える${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} .}$ ${\displaystyle \ell ^{2},}$ $${\displaystyle \langle \left(x_{i}\right)_{i},\left(y_{n}\right)_{i}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{i}x_{i}{\overline {y_{i}}}.}$$ ${\displaystyle p=\infty .}$ $${\displaystyle \ell ^{\infty }(I)=\{x\in \mathbb {K} ^{I}:\sup \operatorname {range} |x|<+\infty \},}$$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }\equiv \inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|x_{i}|\leq C{\text{ for all }}i\in I\}={\begin{cases}\sup \operatorname {range} |x|&{\text{if }}X\neq \varnothing ,\\0&{\text{if }}X=\varnothing .\end{cases}}}$$

指数集合は、離散σ-代数と計数測度を与えることで測度空間に変換できます。この場合、この空間はより一般的な -空間（以下で定義）の特殊なケースとなります。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$ ${\displaystyle L^{p}}$

L ^p空間とルベーグ積分

空間は、絶対値の 乗がルベーグ積分可能な測度空間 として定義され、ほぼすべての点で一致する関数は同一視される。より一般的には、 を測度空間とし、 ^{[注 3 ]}とする。 のとき、から までのすべての測度空間、またはの絶対値の乗が有限積分を持つすべての測度空間の集合を考える。記号で表すと、 ^{[ 4 ]となる。}${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}$ ${\displaystyle p\neq \infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\int _{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}<\infty .}$$

の集合を定義するには、集合が測定可能で測度がゼロであれば、で定義された2つの関数と は、のほぼすべての場所で等しく、ae と表記される、という点を思い出してください。同様に、測定可能な関数（およびその絶対値）は、（必然的に）測定可能な集合が測度がゼロであれば、 のほぼすべての場所で実数aeによって有界（または支配）されます。 空間は、ほぼすべての場所で（何らかの実数 によって）有界となるすべての測定可能な関数の集合であり、これらの境界の 最小値として定義されます。 の とき、これはの絶対値の本質的な上限と同じです。^{[注 4 ]}${\displaystyle p=\infty ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle \{s\in S:f(s)\neq g(s)\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle |f|\leq C}$ ${\displaystyle \{s\in S:|f(s)|>C\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \|f\|_{\infty }}$ $${\displaystyle \|f\|_{\infty }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|f(s)|\leq C{\text{ for almost every }}s\}.}$$ ${\displaystyle \mu (S)\neq 0}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \|f\|_{\infty }~=~{\begin{cases}\operatorname {esssup} |f|&{\text{if }}\mu (S)>0,\\0&{\text{if }}\mu (S)=0.\end{cases}}}$$

例えば、が測定可能な関数で、ほぼどこでも等しい場合^{[注5 ]} 、すべての場合、したがってすべての場合${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p.}$

任意の正の に対して、測定可能な関数のにおける値とその絶対値は常に同じです（つまり、すべての に対して）。したがって、測定可能な関数が に属する場合、かつその絶対値が に属する場合に限ります。このため、-ノルムを含む多くの式は、非負の実数値関数に対してのみ述べられます。例えば、が測定可能、が実数、（ここでのとき）のときはいつでも成立する恒等式を考えてみましょう。非負性要件は、を に代入することで削除でき、次の式が得られます。 特に、が有限のとき、式は-ノルムを -ノルムに関連付けることに留意してください。 ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{p}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|:S\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=\||f|\|_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}^{r}=\|f^{r}\|_{p/r},}$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle 0<p\leq \infty }$ ${\displaystyle \infty /r\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\infty }$ ${\displaystyle p=\infty }$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \|\,|f|\,\|_{p}^{r}=\|\,|f|^{r}\,\|_{p/r}.}$ ${\displaystyle p=r}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\||f|^{p}\|_{1}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1}$

べき乗可積分関数の半ノルム空間${\displaystyle p}$

関数の各集合は、加法とスカラー乗法が点ごとに定義されるとき、ベクトル空間を形成する。 ^{[注 6 ]} 2つの 乗積分可能な関数との 和が再び乗積分可能であることは、 ^{[証明 1 ]}から導かれる が、これはミンコフスキーの不等式からも導かれる。この不等式は、 が に対して三角不等式を満たすこと を示している（に対しては三角不等式は成立しない）。 がスカラー乗法で閉じているのは、 が絶対同次であることによる。つまり、任意のスカラーと任意の関数に対して${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle p}$ ${\textstyle \|f+g\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right),}$ $${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle \|sf\|_{p}=|s|\|f\|_{p}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f.}$

絶対同次性、三角不等式、非負性は、半ノルムの定義特性です。したがって、は半ノルムであり、乗可積分関数の集合と は、半ノルムベクトル空間を定義します。一般に、を満たすが と完全に等しくない測定可能な関数が存在する可能性があるため、半ノルムはノルムではありません。 ^{[注 5 ]}（がノルムとなるのは、そのような関数が存在しないときのみです）。 ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle f}$

-半ノルムの零集合${\displaystyle p}$

が測定可能でaeに等しい 場合、すべての正の関数に対して成り立ちます 。一方、が測定可能な関数で、そのような関数が存在する場合、ほぼすべての場所で成り立ちます。が有限の場合、これは上記の ケースと式から導き出されます。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle p\leq \infty .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0<p\leq \infty }$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\||f|^{p}\|_{1}}$

したがって、が正で が任意の測定可能な関数である場合、ほぼどこでもが成り立つことと同値である。右辺( ae)は について言及していないので、すべてが同じ零点集合を持つ（ に依存しない）ことになる。したがって、この共通集合を で表す。この集合は、任意の正の零点集合に対して のベクトル部分空間である。${\displaystyle p\leq \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f:f=0\ \mu {\text{-almost everywhere}}\}=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}\qquad \forall \ p.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p\leq \infty .}$

商ベクトル空間

あらゆる半ノルムと同様に、半ノルムはの標準商ベクトル空間上に、そのベクトル部分空間によって ノルム（簡単に定義）を誘導します 。このノルム付き商空間はルベーグ空間と呼ばれ、本稿の主題です。まず、商ベクトル空間を定義することから始めます。 ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\textstyle {\mathcal {N}}=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}.}$

任意の が与えられたとき、剰余類はほぼどこでもと等しいすべての測定可能な関数から構成される。すべての剰余類の集合は、通常 で表され、 ベクトルの加算とスカラー乗算が および で定義されているとき、 を原点とするベクトル空間を形成する 。この特定の商ベクトル空間は で表され 、 2つの剰余類が（または同値として）である場合に限り等しく、これはほぼどこでも である場合に限り成立する。この場合、 と は商空間で同一視される。したがって、厳密に言えば は関数の同値類から構成される。^{[ 5 ]}${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~~\{f+{\mathcal {N}}:f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )\},}$$ ${\displaystyle 0+{\mathcal {N}}={\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle (f+{\mathcal {N}})+(g+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(f+g)+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle s(f+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(sf)+{\mathcal {N}}.}$ $${\displaystyle L^{p}(S,\,\mu )~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}.}$$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}=g+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle g\in f+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle f-g\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\,\mu )}$

商ベクトル空間上の -ノルム${\displaystyle p}$

任意の剰余類上の半ノルムの値が定数で、この唯一の値を で表すと等しいとすると、次のようになります。 この割り当ては、商ベクトル空間上の で表す写像を定義します。 この写像はと呼ばれる のノルムです。${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}=\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}}$ ${\displaystyle \|f\|_{p};}$ ${\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p},}$ $${\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\|f\|_{p}.}$$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}\mapsto \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p},}$ $${\displaystyle L^{p}(S,\mu )~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~~{\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}~=~\{f+{\mathcal {N}}:f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )\}.}$$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle p}$ -ノルム。剰余類の値は特定の関数に依存しません。つまり、 が任意の剰余類であれば、任意の に対して（任意の に対して）。 ${\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}}$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\in L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle \|{\mathcal {C}}\|_{p}=\|f\|_{p}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}=f+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}}$

ルベーグ空間${\displaystyle L^{p}}$

ノルムベクトル空間は 、- 乗積分可能関数の空間またはルベーグ空間と呼ばれ、任意の に対してバナッハ空間である（つまり、完備計量空間であり、この結果はリース・フィッシャー定理と呼ばれることもある）。基礎となる測度空間が理解されている場合、 はしばしば と略記されるか、単に と表記される。 著者によっては、添え字の表記はまたは のいずれかを表す場合がある。${\displaystyle \left(L^{p}(S,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu ),}$ ${\displaystyle L^{p}.}$ ${\displaystyle L_{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle L^{1/p}(S,\mu ).}$

上の半ノルムがノルムである場合（ の場合にのみ起こる）、ノルム空間は標準写像を介してノルム商空間に線型等長同型になる（ であるため）。言い換えると、線型等長写像 を除いて、それらは同じノルム空間になるため、両方とも「空間」と呼ぶことができる。 ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=\{0\}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}$ ${\displaystyle \left(L^{p}(S,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )\mapsto \{g\}}$ ${\displaystyle g+{\mathcal {N}}=\{g\}}$ ${\displaystyle L^{p}}$

上記の定義はボッホナー空間に一般化されます。

一般に、このプロセスは元に戻すことはできません。 の各剰余類の「標準的な」代表値を定義する一貫した方法はありません。ただし、そのような回復を可能にするリフトの理論はあります。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle L^{p}.}$ ${\displaystyle L^{\infty },}$

特殊なケース

空間は空間の特殊なケースであり、は自然数、は計数測度である。より一般的には、計数測度 を持つ任意の集合を考えるとき、結果として得られる空間は と表記される。例えば、は整数で添え字付けされたすべての列の空間であり、そのような空間の -ノルムを定義するときは、すべての整数について和をとる。 が元を持つ集合である空間は、 は上で定義した -ノルムを持つ。 ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}(S).}$ ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}(n),}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$

空間と同様に、 は空間の中で唯一のヒルベルト空間です。複素数の場合、 の内積は で定義されます。 の関数は、平方積分可能関数、二次積分可能関数、平方和可能関数と呼ばれることもありますが、これらの用語は、リーマン積分などの他の意味で平方積分可能な関数にのみ使用されることもあります（Titchmarsh 1976）。 ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{S}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} \mu (x).}$$ ${\displaystyle L^{2}}$

任意のヒルベルト空間と同様に、すべての空間は適切な空間に線型等長であり、その集合の濃度はこの特定の空間の任意の基底の濃度である。${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(I),}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle L^{2}.}$

複素数値関数を用いると、空間は各点の乗算と共役を含む可換C*-代数となる。多くの測度空間（すべてのシグマ有限測度空間を含む）では、実際には可換フォン・ノイマン代数となる。の元は、任意の空間上で乗算によって有界作用素を定義する。 ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{p}}$

（0 < p < 1）の場合

ならば、 は上記のように定義できる。つまり、 である。 しかし、この場合、-ノルムは三角不等式を満たさず、擬似ノルムのみを定義する。に対して成立する不等式はを意味する ので、関数は 上の計量となる。結果として得られる計量空間は完備 である。^{[ 6 ]}${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ $${\displaystyle N_{p}(f)=\int _{S}|f|^{p}\,d\mu <\infty .}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=N_{p}(f)^{1/p}}$ ${\displaystyle (a+b)^{p}\leq a^{p}+b^{p},}$ ${\displaystyle a,b\geq 0,}$ $${\displaystyle N_{p}(f+g)\leq N_{p}(f)+N_{p}(g)}$$ $${\displaystyle d_{p}(f,g)=N_{p}(f-g)=\|f-g\|_{p}^{p}}$$ ${\displaystyle L^{p}(\mu ).}$

この設定では逆ミンコフスキー不等式が満たされ、${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle u,v\in L^{p}}$ $${\displaystyle {\Big \|}|u|+|v|{\Big \|}_{p}\geq \|u\|_{p}+\|v\|_{p}}$$

この結果はクラークソンの不等式を証明するために使用でき、クラークソンの不等式はの空間の一様凸性を証明するために使用されます( Adams & Fournier 2003 )。 ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$

の空間はF空間である。つまり、ベクトル空間演算が連続となる完全な並進不変計量を許容する。これは、ほとんどの合理的な測度空間において局所凸ではないF空間の典型的な例である。つまり、関数を含む開凸集合は、-準ノルムに対して非有界である。したがって、ベクトルは凸近傍の基本系を持たない。具体的には、測度空間が有限の正測度の互いに素な可測集合の無限族を含む 場合、これは真である。${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1]),}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S}$

における唯一の空でない凸開集合は空間全体である。したがって、連続双対空間である零空間には非零連続線型汎関数は存在しない。自然数（すなわち ）上の計数測度の場合、 上の有界線型汎関数は上で有界となるものと全く同じである。すなわち、 における数列によって与えられるものである。 には非自明な凸開集合が含まれるが、位相の基底を与えるにはその数が足りない。 ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1]);}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )=\ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

線型関数が存在しないことは、解析を行う上で極めて望ましくない。 上のルベーグ測度の場合、についてではなく、可能な限りハーディ空間H ^pで扱うのが一般的である。これは、線型関数がかなり多く、点同士を区別するのに十分な数であるためである。しかしながら、についてH ^pではハーン・バナッハの定理は依然として成立しない（Duren 1970 , §7.5）。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle p<1}$

プロパティ

ヘルダーの不等式

が成り立つと仮定する。そして^{[ 7 ]}${\displaystyle p,q,r\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle g\in L^{q}(S,\mu )}$ ${\displaystyle fg\in L^{r}(S,\mu )}$ $${\displaystyle \|fg\|_{r}~\leq ~\|f\|_{p}\,\|g\|_{q}.}$$

この不等式はヘルダーの不等式と呼ばれ、ある意味では最適である。なぜなら、 と が測定可能な関数であって、 その上限がの閉単位球面上に取られている場合、 ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \sup _{\|g\|_{q}\leq 1}\,\int _{S}|fg|\,\mathrm {d} \mu ~<~\infty }$$ ${\displaystyle L^{q}(S,\mu ),}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}~=~\sup _{\|g\|_{q}\leq 1}\,\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu .}$$

一般化ミンコフスキー不等式

ミンコフスキー不等式は、三角不等式を満たすことを述べており、一般化できる。測定可能な関数が非負であれば（ここで、およびは測定空間）、すべての^{[ 8 ]}に対して${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle F:M\times N\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (M,\mu )}$ ${\displaystyle (N,\nu )}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq q\leq \infty ,}$ $${\displaystyle \left\|\left\|F(\,\cdot ,n)\right\|_{L^{p}(M,\mu )}\right\|_{L^{q}(N,\nu )}~\leq ~\left\|\left\|F(m,\cdot )\right\|_{L^{q}(N,\nu )}\right\|_{L^{p}(M,\mu )}\ .}$$

原子分解

ならば、すべての非負数は原子分解を持つ、^{[ 9 ] 、}つまり、非負実数の列と、原子と呼ばれる非負関数の列が存在する。これらの列の台は、すべての整数 および に対して および となるような、 互いに素な測度の集合である。 さらに、関数の列はのみに依存する（ とは独立である）。^{[ 9 ]} これらの不等式は、すべての整数に対して となることを保証するが、 の台が互いに素であることから、 ^{[ 9 ]となる。}${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle f\in L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {Z} },}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {supp} f_{n}\right)_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \mu \left(\operatorname {supp} f_{n}\right)\leq 2^{n+1},}$ $${\displaystyle f~=~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}\,f_{n}\,,}$$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$ $${\displaystyle \|f_{n}\|_{\infty }~\leq ~2^{-{\tfrac {n}{p}}}\,,}$$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\|f\|_{p}^{p}~\leq ~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}^{p}~\leq ~2\|f\|_{p}^{p}\,,}$$ ${\displaystyle (r_{n}f_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|f_{n}\|_{p}^{p}\leq 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}~=~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}^{p}\,\|f_{n}\|_{p}^{p}\,.}$$

原子分解は、まずすべての整数^{[ 9 ] [注 7 ]}に対して定義し 、次に とすること で明示的に与えることができます。 ここで は集合の測度を表し、は集合の指示関数を表します。 数列は減少し、のときに に収束します^{[ 9 ]}その結果、のときにとなり、は と等しく等しくなります(特に、 で割っても問題は発生しません)。 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$ $${\displaystyle t_{n}=\inf\{t\in \mathbb {R} :\mu (f>t)<2^{n}\}}$$ $${\displaystyle r_{n}~=~2^{n/p}\,t_{n}~{\text{ and }}\quad f_{n}~=~{\frac {f}{r_{n}}}\,\mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}$$ ${\displaystyle \mu (f>t)=\mu (\{s:f(s)>t\})}$ ${\displaystyle (f>t):=\{s\in S:f(s)>t\}}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}$ ${\displaystyle (t_{n+1}<f\leq t_{n}):=\{s\in S:t_{n+1}<f(s)\leq t_{n}\}.}$ ${\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n\to \infty .}$ ${\displaystyle t_{n}=0}$ ${\displaystyle t_{n+1}=0}$ ${\displaystyle (t_{n+1}<f\leq t_{n})=\varnothing }$ ${\displaystyle f_{n}={\frac {1}{r_{n}}}\,f\,\mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r_{n}}}}$ ${\displaystyle r_{n}=0}$

を定義するために使用されたの補完累積分布関数 は、（以下に示す）弱 -ノルムの定義にも現れ、の -ノルム（ の場合）を積分^{[ 9 ]}として表すために使用できます。 ここで、積分は、 の通常のルベーグ測度に関するものです。${\displaystyle t\in \mathbb {R} \mapsto \mu (|f|>t)}$ ${\displaystyle |f|=f}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}~=~p\,\int _{0}^{\infty }t^{p-1}\mu (|f|>t)\,\mathrm {d} t\,,}$$ ${\displaystyle (0,\infty ).}$

二重空間

の双対空間は、となるようなと自然に同型である。この同型は、 任意のに対して で定義される 汎関数と関連付けられる。${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle L^{q}(\mu ),}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$ ${\displaystyle g\in L^{q}(\mu )}$ ${\displaystyle \kappa _{p}(g)\in L^{p}(\mu )^{*}}$ $${\displaystyle f\mapsto \kappa _{p}(g)(f)=\int fg\,\mathrm {d} \mu }$$ ${\displaystyle f\in L^{p}(\mu ).}$

${\displaystyle \kappa _{p}:L^{q}(\mu )\to L^{p}(\mu )^{*}}$ は、ヘルダー不等式の極限ケースによって等長写像となる、明確に定義された連続線型写像である。が有限測度空間であるとき、ラドン・ニコディムの定理を用いて、任意のがこのように表現できること、すなわち、がバナッハ空間の等長同型写像であることを示すことができる。^{[ 10 ]}したがって、単にがの連続双対空間であると述べるのが通例である。${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle G\in L^{p}(\mu )^{*}}$ ${\displaystyle \kappa _{p}}$ ${\displaystyle L^{q}(\mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu ).}$

空間 は反射的である。を上と同様にし、を対応する線型等長写像とする。の逆写像の転置（または随伴写像）と合成して得られるからへの写像を考える。${\displaystyle 1<p<\infty ,}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle \kappa _{p}}$ ${\displaystyle \kappa _{q}:L^{p}(\mu )\to L^{q}(\mu )^{*}}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )^{**},}$ ${\displaystyle \kappa _{q}}$ ${\displaystyle \kappa _{p}:}$

$${\displaystyle j_{p}:L^{p}(\mu )\mathrel {\overset {\kappa _{q}}{\longrightarrow }} L^{q}(\mu )^{*}\mathrel {\overset {\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}}{\longrightarrow }} L^{p}(\mu )^{**}}$$

この写像は、その双対へのの標準的な埋め込み と一致する。さらに、この写像は2つの全射等長写像の合成として全射であり、これは反射性を証明している。 ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle j_{p}}$

上の測度がシグマ有限であれば、 の双対はと等長同型である（より正確には、に対応する写像はからへの等長写像である）。${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle \kappa _{1}}$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )^{*}.}$

の双対はより微妙である。の元は、に対して絶対連続である有界符号有限加法測度と同一視できる。詳細はba空間を参照のこと。選択公理を仮定すると、この空間はいくつかの自明な場合を除いて、よりもはるかに大きくなる。しかし、サハロン・シェラーは、ツェルメロ・フランケル集合論（ZF + DC + 「実数のすべての部分集合はベールの性質を持つ」）の比較的整合的な拡張が存在し、その中での双対は^{[ 11 ]}であることを証明した。${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )^{*}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mu .}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$

埋め込み

口語的に言えば、の場合にはより局所的に特異な関数が含まれ、 の元はより広がりを持つ。半直線上のルベーグ測度を考えてみよう。 の連続関数は近傍で爆発する可能性があるが、無限大に向かって十分速く減衰する必要がある。一方、 の連続関数は全く減衰する必要はないが、爆発は許されない。より正式には：^{[ 12 ]}${\displaystyle 1\leq p<q\leq \infty ,}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle L^{q}(S,\mu )}$ ${\displaystyle (0,\infty ).}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$

1. の場合:に、有限だが任意に大きな測度の集合 (たとえば、任意の有限測度)が含まれない場合に限ります。${\displaystyle 0<p<q<\infty }$ ${\displaystyle L^{q}(S,\mu )\subseteq L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle S}$
2. の場合:に、ゼロではないが任意に小さい測度の集合 (たとえば、計数測度) が含まれない場合に限ります。${\displaystyle 0<p<q\leq \infty }$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )\subseteq L^{q}(S,\mu )}$ ${\displaystyle S}$

実数直線上のルベーグ測度についてはどちらの条件も成立しないが、任意の有限集合上の計数測度については両方の条件が成立する。閉グラフ定理の帰結として、埋め込みは連続である。すなわち、恒等作用素は、前者の場合は から へ、後者の場合は から への有界線型写像となる。実際、領域が有限測度を持つ場合、ヘルダーの不等式 を 用いて以下の明示的な計算を行うことができる。${\displaystyle L^{q}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{q}}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \ \|\mathbf {1} f^{p}\|_{1}\leq \|\mathbf {1} \|_{q/(q-p)}\|f^{p}\|_{q/p}}$$ $${\displaystyle \ \|f\|_{p}\leq \mu (S)^{1/p-1/q}\|f\|_{q}.}$$

上記の不等式に現れる定数は、ほぼすべての 場合において等式が正確に 達成される場合とまったく同じであるという意味で最適です。${\displaystyle I:L^{q}(S,\mu )\to L^{p}(S,\mu )}$ $${\displaystyle \|I\|_{q,p}=\mu (S)^{1/p-1/q}}$$ ${\displaystyle f=1}$ ${\displaystyle \mu }$

稠密部分空間

とを測度空間とし、によって与えられる積分可能な単純関数を考える。ここで、 は スカラーであり、有限測度を持ち、は集合の指示関数である。積分の構築により、積分可能な単純関数のベクトル空間は、${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle f=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}},}$$ ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle A_{j}\in \Sigma }$ ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A_{j}}}$ ${\displaystyle A_{j},}$ ${\displaystyle j=1,\dots ,n.}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\Sigma ,\mu ).}$

が通常の位相空間であり、そのボレル𝜎代数 である場合、さらに多くのことが言えます。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Sigma }$

がの開集合であるとする。するとに含まれる任意のボレル集合に対して、の閉集合と の開集合が存在し、 任意の に対して となる 。続いて上のウリゾーン関数が存在し、は上かつ上となり、となる 。${\displaystyle V\subseteq S}$ ${\displaystyle \mu (V)<\infty .}$ ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle F\subseteq A\subseteq U\subseteq V\quad {\text{and}}\quad \mu (U\setminus F)=\mu (U)-\mu (F)<\varepsilon ,}$$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle 0\leq \varphi \leq 1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S\setminus U,}$ $${\displaystyle \int _{S}|\mathbf {1} _{A}-\varphi |\,\mathrm {d} \mu <\varepsilon \,.}$$

が有限測度の開集合の増加列で覆われる場合、 -積分連続関数の空間は稠密である。より正確には、開集合のいずれかの外側で消える有界連続関数を使用することができる。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (V_{n})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\Sigma ,\mu ).}$ ${\displaystyle V_{n}.}$

これは特に、 がルベーグ測度であるとき、 に当てはまります。例えば、連続かつコンパクトに支えられた関数の空間、および積分可能な階段関数の空間は において稠密です。 ${\displaystyle S=\mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d})}$

閉じた部分空間

が任意の正の実数、が測定可能空間上の確率測度（したがって）、がベクトル部分空間である場合、 が の閉部分空間となるのは、が有限次元である場合に限ります^{[ 13 ]}（ はとは独立に選ばれました）。アレクサンダー・グロタンディークによるこの定理 [ 13 ] において、ベクトル^空間がの部分集合であることが極めて重要です。なぜなら^、の無限次元閉ベクトル部分空間（ の部分集合ですらある）を構成することが可能であるためです。ここで は単位円上のルベーグ測度であり、 はそれを質量で割った結果得られる確率測度です^{[ 13 ]}${\displaystyle 0<p<\infty }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (S,\Sigma )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )\subseteq L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle V\subseteq L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{1}\left(S^{1},{\tfrac {1}{2\pi }}\lambda \right)}$ ${\displaystyle L^{4}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2\pi }}\lambda }$ ${\displaystyle \lambda (S^{1})=2\pi .}$

アプリケーション

統計

統計学では、平均、中央値、標準偏差などの中心傾向と統計的分散の尺度は測定基準の観点から定義することができ、中心傾向の尺度は変分問題に対する解として特徴付けることができます。 ${\displaystyle L^{p}}$

ペナルティ付き回帰において、「L1ペナルティ」と「L2ペナルティ」は、解のパラメータ値ベクトルのノルム（つまり、その絶対値の合計）またはその二乗ノルム（そのユークリッド長さ）のいずれかにペナルティを課すことを指します。LASSOのようにL1ペナルティを使用する手法は、スパースな解（多くのパラメータがゼロである解）を推奨します。^{[ 14 ]}弾性ネット正則化では、パラメータベクトルの ノルムと二乗ノルムの組み合わせであるペナルティ項を使用します。${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

ハウスドルフ・ヤング不等式

実数直線 のフーリエ変換（周期関数 については、フーリエ級数を参照）は、それぞれ（または）に写像されます。ここで、およびこれは、リース・トーリン補間定理 の結果であり、ハウスドルフ・ヤングの不等式によって明確になります。 ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} )}$ ${\displaystyle \ell ^{q}}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq 2}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.}$

対照的に、フーリエ変換が${\displaystyle p>2,}$ ${\displaystyle L^{q}.}$

ヒルベルト空間

ヒルベルト空間は、量子力学から確率計算に至るまで、多くの応用において中心的な役割を果たしています。空間と はどちらもヒルベルト空間です。実際、ヒルベルト基底、すなわち または任意のヒルベルト空間の最大直交部分集合を選ぶことで、任意のヒルベルト空間が と等長同型であることがわかります（上記と同じ）。つまり、 型のヒルベルト空間です。${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \ell ^{2}.}$

一般化と拡張

弱いL ^p

を測度空間とし、 を実数値または複素数値の測定可能な関数とする。の分布関数は次のよう に定義される。${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ $${\displaystyle \lambda _{f}(t)=\mu \{x\in S:|f(x)|>t\}.}$$

がに対してである場合、マルコフの不等式より、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty ,}$ $${\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{t^{p}}}}$$

関数が弱空間にあると言われる場合、または、すべての${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle L^{p,w}(S,\mu ),}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle t>0,}$ $${\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {C^{p}}{t^{p}}}}$$

この不等式に対する最適な定数は の-ノルムであり、次のように表される。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle L^{p,w}}$ ${\displaystyle f,}$ $${\displaystyle \|f\|_{p,w}=\sup _{t>0}~t\lambda _{f}^{1/p}(t).}$$

弱空間はローレンツ空間と一致するため、この表記法はそれらを表すのにも使用されます。 ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p,\infty },}$

-ノルムは真のノルムではない。なぜなら三角不等式が成立しないからである。しかしながら 、特に${\displaystyle L^{p,w}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu ),}$ $${\displaystyle \|f\|_{p,w}\leq \|f\|_{p}}$$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )\subset L^{p,w}(S,\mu ).}$

実際、 権力を握って最高権力を握るということは、 $${\displaystyle \|f\|_{L^{p}}^{p}=\int |f(x)|^{p}d\mu (x)\geq \int _{\{|f(x)|>t\}}t^{p}+\int _{\{|f(x)|\leq t\}}|f|^{p}\geq t^{p}\mu (\{|f|>t\}),}$$ ${\displaystyle 1/p}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \|f\|_{L^{p}}\geq \sup _{t>0}t\;\mu (\{|f|>t\})^{1/p}=\|f\|_{L^{p,w}}.}$$

2 つの関数がほぼすべての点で等しい場合、それらの関数は等しいという規則に従うと、空間は完全です ( Grafakos 2004 )。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L^{p,w}}$

任意の に対して、式 は -ノルム に匹敵します。さらに、 の場合、この式は のときノルムを定義します。したがって、に対しては弱空間はバナッハ空間です( Grafakos 2004 )。 ${\displaystyle 0<r<p}$ $${\displaystyle \||f|\|_{L^{p,\infty }}=\sup _{0<\mu (E)<\infty }\mu (E)^{-1/r+1/p}\left(\int _{E}|f|^{r}\,d\mu \right)^{1/r}}$$ ${\displaystyle L^{p,w}}$ ${\displaystyle p>1,}$ ${\displaystyle r=1.}$ ${\displaystyle p>1}$ ${\displaystyle L^{p}}$

-空間を使用する主要な結果は、調和解析と特異積分の研究に広く応用されているマルチンキエヴィチの補間定理です。 ${\displaystyle L^{p,w}}$

重み付きL ^p空間

前回と同様に、測度空間 を考える。は測定可能な関数とする。-重み付き空間は次のように定義される。ここで、は次のように定義される 測度である。${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu ).}$ ${\displaystyle w:S\to [a,\infty ),a>0}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu ),}$ ${\displaystyle w\,\mathrm {d} \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ $${\displaystyle \nu (A)\equiv \int _{A}w(x)\,\mathrm {d} \mu (x),\qquad A\in \Sigma ,}$$

あるいは、ラドン・ニコディム微分に関して言えば、のノルムは明示的に ${\displaystyle w={\tfrac {\mathrm {d} \nu }{\mathrm {d} \mu }}}$ ${\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}$ $${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}\equiv \left(\int _{S}w(x)|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)\right)^{1/p}}$$

-空間と同様に、重み付き空間はと等しいので特別な意味を持たない。しかし、これらは調和解析におけるいくつかの結果に対する自然な枠組みである（Grafakos 2004）。これらは例えば、Muckenhouptの定理に現れる。古典的なヒルベルト変換はで定義される。ここで は単位円とルベーグ測度を表す。（非線形）ハーディ・リトルウッド最大作用素は で有界である。Muckenhouptの定理は、ヒルベルト変換が で有界であり、 で最大作用素が であるような重みを記述する。${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mathrm {d} \nu ).}$ ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} ,\lambda )}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n},\lambda ).}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} ,w\,\mathrm {d} \lambda )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n},w\,\mathrm {d} \lambda ).}$

多様体上のL ^p空間

密度を使用して、多様体の固有空間と呼ばれる多様体上の空間を定義することもできます。 ${\displaystyle L^{p}(M)}$ ${\displaystyle L^{p}}$

ベクトル値L ^p空間

測度空間と局所凸空間（ここでは完備と仮定）が与えられた場合、 上の-積分可能な-値関数の空間をいくつかの方法で定義することができます。一つの方法は、ボクナー積分可能関数とペティス積分可能関数の空間を定義し、それらに（それぞれ独自の方法で）通常の位相の自然な一般化となる局所凸TVS位相を与えることです。別の方法としては、との位相テンソル積があります。ベクトル空間の元は、各単純テンソルを を送る関数と同一視できる単純テンソルの有限和です。このテンソル積には、局所的に凸な位相が与えられ、位相テンソル積 になります。最も一般的なものは、 で表される射影テンソル積とで表される入射テンソル積です。一般に、これらの空間はどちらも完全ではないため、それぞれ および で表される完備化が構築されます(これは、上のスカラー値単純関数の空間が、任意の で半ノルム化されるときに完全でないため、 で割った後にバナッハ空間 と等長的に同型になる完備化が構築されるのと類似しています)。アレクサンダー・グロタンディークは、 が核空間(彼が導入した概念)のとき、これら 2 つの構成はそれぞれ、前述のボホナー積およびペティス積つまり、区別がつかないのです。 ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes E}$ ${\displaystyle f_{1}\otimes e_{1}+\cdots +f_{n}\otimes e_{n},}$ ${\displaystyle f\times e}$ ${\displaystyle \Omega \to E}$ ${\displaystyle x\mapsto ef(x).}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes E}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes _{\pi }E,}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes _{\varepsilon }E.}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu ){\widehat {\otimes }}_{\pi }E}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu ){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }E}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p},}$ ${\displaystyle \ker \|\cdot \|_{p},}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\mu )}$ ${\displaystyle E}$

測定可能な関数のL ⁰空間

上の測定可能関数（の同値類）のベクトル空間は（Kalton、Peck、Roberts 1984 ）と表記される。定義により、これは のすべてを含み、測度 における収束の位相を備えている。が確率測度（すなわち、）のとき、この収束モードは確率 における収束と呼ばれる。 空間は常に位相アーベル群であるが、の場合にのみ位相ベクトル空間となる。これは、スカラー乗法が の場合にのみ連続となるためである。が-有限のとき、測度 における局所収束のより弱い位相はF 空間、すなわち完全に計量化可能な位相ベクトル空間である。さらに、この位相は、適切な確率測度の選択に対して、測度 における大域収束と等長である。${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle L^{0}(S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle L^{p},}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (S)=1}$ ${\displaystyle L^{0}}$ ${\displaystyle \mu (S)<\infty .}$ ${\displaystyle \mu (S)<\infty .}$ ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (S,\Sigma ,\nu )}$ ${\displaystyle \nu .}$

が有限のとき、記述はより容易になる。が関数上の有限測度である場合、測度収束に対して次の近傍の基本系が許容される。${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (S,\Sigma ),}$ ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle V_{\varepsilon }={\Bigl \{}f:\mu {\bigl (}\{x:|f(x)|>\varepsilon \}{\bigr )}<\varepsilon {\Bigr \}},\qquad \varepsilon >0.}$$

位相は、の形式の 任意の計量で定義できます。 ここで、 は、およびのとき、で連続凹状かつ非減少です(たとえば、 )。このような計量は、 に対するレヴィ計量と呼ばれます。この計量の下では、空間は完備です。ただし、上で述べたように、スカラー乗算はこの計量に関して の場合にのみ連続です。これを確認するには、によって定義されるルベーグ測定可能な関数を考えます。このとき、明らかに です。空間は一般に局所的に有界ではなく、局所的に凸でもありません。 ${\displaystyle d}$ $${\displaystyle d(f,g)=\int _{S}\varphi {\bigl (}|f(x)-g(x)|{\bigr )}\,\mathrm {d} \mu (x)}$$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [0,\infty ),}$ ${\displaystyle \varphi (0)=0}$ ${\displaystyle \varphi (t)>0}$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle \varphi (t)=\min(t,1).}$ ${\displaystyle L^{0}.}$ ${\displaystyle L^{0}}$ ${\displaystyle \mu (S)<\infty }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle \lim _{c\rightarrow 0}d(cf,0)=\infty }$ ${\displaystyle L^{0}}$

無限ルベーグ測度については、近傍の基本システムの定義は次のように修正できる 。${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ $${\displaystyle W_{\varepsilon }=\left\{f:\lambda \left(\left\{x:|f(x)|>\varepsilon {\text{ and }}|x|<{\tfrac {1}{\varepsilon }}\right\}\right)<\varepsilon \right\}}$$

測度における局所収束の位相を持つ結果として得られる空間は、任意の正の可積分密度の空間と同型である。${\displaystyle L^{0}(\mathbb {R} ^{n},\lambda )}$ ${\displaystyle L^{0}(\mathbb {R} ^{n},g\,\lambda ),}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g.}$

参照

• 絶対積分可能関数 – 絶対値が有限積分できる関数
• ボッホナー空間 – 位相空間の種類
• オルリッチ空間 – 関数空間の種類
• ハーディ空間 – 複素解析における概念
• リース・トーリン定理 – 演算子補間に関する定理
• ヘルダー平均 – 与えられた数値のn乗の算術平均のN乗根Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ホルダー空間 – 複素数値関数の連続性のタイプPages displaying short descriptions of redirect targets
• 平均二乗根 – 平均二乗の平方根
• 最小絶対偏差 – 統計的最適性基準
• 局所的に積分可能な関数 – その定義域上で積分可能な関数${\displaystyle \left(L_{\text{loc}}^{1}\right)}$
• ${\displaystyle L^{p}(G)}$ 局所コンパクト群上の空間${\displaystyle G}$  – 局所コンパクトアーベル群の双対性
• 最小二乗スペクトル解析 - 周期性計算法
• バナッハ空間の一覧
• ミンコフスキー距離 – pth累乗を用いたベクトル距離
• L無限大 – 有界列の空間
• L ^p sum  – 関数解析における測定
• C ^mスペース

注記

1. マドックス、IJ（1988）、関数分析の要素（第2版）、ケンブリッジ：CUP、16ページ
2. ラファエル・ダーメン、ガボール・ルカーチ：「位相群の長余極限 I：連続写像と同相写像」『位相学とその応用』第270号、2020年。例2.14
3. Garling, DJH (2007).不等式：線型解析への旅. ケンブリッジ大学出版局. p. 54. ISBN 978-0-521-87624-7。
4. ルディン1987、65ページ。
5. スタイン & シャカルチ 2012、p. 2.
6. ルディン1991、37ページ。
7. Bahouri、Chemin & Danchin 2011、1–4ページ。
8. Bahouri、Chemin & Danchin 2011、p. 4.
9. Bahouri、Chemin & Danchin 2011、7–8ページ。
10. Rudin 1987、定理6.16。
11. Schechter, Eric (1997)、「Handbook of Analysis and its Foundations」、ロンドン: Academic Press Inc.14.77節および27.44～47節を参照
12. Villani, Alfonso (1985)、「包含関係L ^p ( μ ) ⊂ L ^q ( μ )に関するもう一つの注釈」、Amer. Math. Monthly、92 (7): 485– 487、doi : 10.2307/2322503、JSTOR 2322503、MR 0801221  
13. ルディン 1991、pp.117–119。
14. Hastie, TJ ; Tibshirani, R. ; Wainwright, MJ (2015).統計的学習とスパース性：Lassoと一般化. CRC Press. ISBN 978-1-4987-1216-3。

1. この条件と同義ではない。ただし、${\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|<+\infty .}$ ${\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|}$ ${\displaystyle X\neq \varnothing .}$
2. もしそうなら${\displaystyle X=\varnothing }$ ${\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|=-\infty .}$
3. との定義は( だけではなくすべてに拡張できますそれは がノルムであることが保証されている場合のみですすべての に対して準セミノルムです)。${\displaystyle \|\cdot \|_{p},}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle 0<p\leq \infty }$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle 0<p\leq \infty ,}$
4. もしそうなら${\displaystyle \mu (S)=0}$ ${\displaystyle \operatorname {esssup} |f|=-\infty .}$
5. 例えば、空でない測定可能な測度集合が存在する場合、その指示関数は${\displaystyle N\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \mu (N)=0}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{N}}$ ${\displaystyle \|\mathbf {1} _{N}\|_{p}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{N}\neq 0.}$
6. 明示的には、ベクトル空間演算は次のように定義されます。 スカラーとすべてのスカラー に対して、これらの演算によりベクトル空間が作成されます。なぜなら、が任意のスカラーであるおよびも属するからです。$${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x),\\(sf)(x)&=sf(x)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle s.}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle sf}$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ).}$
7. この最小値は、つまり、が成立することによって達成されます。${\displaystyle t_{n};}$ ${\displaystyle \mu (f>t_{n})<2^{n}}$

1. 不等式は、によって定義された関数が凸である。これは、定義の領域内のすべてのに対して成り立つおよびにと、なりますを証明します三角不等式が成り立ちます。 両辺を積分すると、目的の不等式が成り立ちます。${\displaystyle 1\leq p<\infty ,}$ ${\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right)}$ ${\displaystyle F:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F(t)=t^{p}}$ ${\displaystyle F(tx+(1-t)y)\leq tF(x)+(1-t)F(y)}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle |f|,|g|,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle x,y,}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}|f|+{\tfrac {1}{2}}|g|\right)^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|g|^{p},}$ ${\displaystyle (|f|+|g|)^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}$ ${\displaystyle |f+g|\leq |f|+|g|}$ ${\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

参考文献

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• カルトン、ナイジェル・J. ; ペック、N. テニー; ロバーツ、ジェームズ・W. (1984)、「F空間サンプラー」、ロンドン数学会講演録シリーズ、第89巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、doi：10.1017/CBO9780511662447、ISBN 0-521-27585-7、MR  0808777
• Riesz、Frigyes (1910)、「Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen」、Mathematische Annalen、69 (4): 449–497、doi : 10.1007/BF01457637、S2CID  120242933
• ルディン、ウォルター(1991).関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• ルディン、ウォルター（1987年）、実解析と複素解析（第3版）、ニューヨーク：マグロウヒル、ISBN 978-0-07-054234-1、MR  0924157
• スタイン、エリアス・M. ; シャカルチ、ラミ (2012). 『関数解析：解析のさらなるトピックスへの入門』 プリンストン大学出版局. doi : 10.1515/9781400840557 . ISBN 978-1-4008-4055-7。
• ティッチマーシュ, EC (1976), 『関数論』 , オックスフォード大学出版局, ISBN 978-0-19-853349-8

外部リンク

• 「ルベーグ空間」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• L ^p空間が完全であることの証明