表現（数学）

方程式7x − 5 = 2では、方程式の両辺が式です。

数学において、式とは、文脈に依存する数学記法の構文規則に従った記号の配列です。記号は、数値、変数、演算、関数を表すことができます。[ 1 ]その他の記号には、句読点や括弧があり、演算の順序が明確に定義されていない場合にグループ化するために使用されます。

式は一般的に式と区別されます。式は通常、数学的対象を表しますが、式は数学的対象に関する文です。[ 2 ]これは自然言語に類似しており、名詞句は対象を指し、文全体は事実を指します。例えば、とはどちらも式ですが、不等式は式です。しかし、式は多くの場合、ブール値のtrueまたはfalseに評価できる式と見なされます。 8×−5{\displaystyle 8x-5}3{\displaystyle 3}8×−5≥3{\displaystyle 8x-5\geq 3}

式を評価するということは、その式と等価な数値を求めることを意味します。 [ 3 ] [ 4 ]式は、式中の演算をその結果に置き換えることで評価または簡略化できます。例えば、式は簡略化されて となり、次のように評価されます。8×2−5{\displaystyle 8\times 2-5}16−5{\displaystyle 16-5}11.{\displaystyle 11.}

式は関数を定義するためによく用いられます。関数の定義では、変数を関数の引数（入力）とし、出力を結果の式の評価値として割り当てます。 [ 5 ]例えば、と 式は、各数値の平方に1を加えた値を関数として定義します。変数を含まない式は定数関数を定義します。通常、2つの式が同じ関数を定義している場合、それらは等しい、つまり同等とみなされます。このような等式は「意味的等式」と呼ばれ、両方の式が「同じ意味を持つ」ことを意味します。 ×↦×2+1{\displaystyle x\mapsto x^{2}+1}f（×）＝×2+1{\displaystyle f(x)=x^{2}+1}

初等数学

変数と評価

初等代数学において、式中の変数とは、値が変化する可能性のある数値を表す文字です。変数を含む式を評価するということは、変数に与えられた数値を代入したときの式の値を求めることを意味します。式は、式中の演算をその結果に置き換えるか、同類項を組み合わせることで簡略化できます。式の評価は、最終的に単一の数値が得られるまで、簡略化の手順を繰り返すことで行われます。 [ 6 ]

たとえば、式 の場合、次の手順で x = 3を評価できます。4×2+8{\displaystyle 4x^{2}+8}

4⋅32+8{\textstyle 4\cdot 3^{2}+8}、（xを3に置き換えてください）

4⋅9+8{\displaystyle 4\cdot 9+8}（平方を評価する）

36+8{\displaystyle 36+8}（掛け算を評価する）

44{\displaystyle 44}（加算を評価する）

項とは、定数、または定数と1つ以上の変数の積です。例としては、積の定数は係数と呼ばれます。定数である項、または同じ変数を同じ乗じた項は同類項と呼ばれます。式に同類項がある場合、同類項を結合することで式を簡略化できます。係数を加算し、変数はそのままにします。 7、5×、13×2y、4b{\displaystyle 7,\;5x,\;13x^{2}y,\;4b}

4×+7×+2×＝13×{\displaystyle 4x+7x+2x=13x}

あらゆる変数は、自由変数と束縛変数のいずれかに分類できます。自由変数の値の組み合わせによっては、式を評価できますが、自由変数の値の組み合わせによっては、式の値が未定義になる場合があります。したがって、式は定数と自由変数に対する演算を表し、その出力は式の結果値となります。[ 7 ]

非形式化言語、すなわち数理論理学以外のほとんどの数学テキストにおいては、個々の式においてどの変数が自由で束縛されているかを必ずしも識別できるわけではない。例えば、では、文脈に応じて変数は自由かつ束縛されている場合もあれば、その逆の場合もあるが、両方が自由であることはない。どの値が自由であると想定されるかは、文脈と意味論に依存する。[ 8 ]∑私<け1つの私け{\textstyle \sum _{i<k}a_{ik}}私{\textstyle i}け{\textstyle k}

等価

式は関数を定義したり、関数の合成を表すためによく使われます。これは、変数を関数の引数または入力とし、出力を結果の式の評価値として割り当てることにより行われます。[ 9 ]例えば、とで各数値の平方 に1を加えたものを関連付ける関数を定義します。変数のない式は定数関数を定義します。このように、2つの式は、自由変数の値の各組み合わせに対して同じ出力を持つ場合、つまり同じ関数を表す場合、同等であると言われます。[ 10 ] [ 11 ] 2つの式が同値であることは恒等式と呼ばれ、次のように表記されることもあります。×↦×2+1{\displaystyle x\mapsto x^{2}+1}f（×）＝×2+1{\displaystyle f(x)=x^{2}+1}≡。{\displaystyle \equiv .}

例えば、式nは束縛され、変数xは自由である。この式はより単純な式12xと等価である。つまり、x = 3の値は36であり、次のように表される。∑n＝13（2n×）、{\textstyle \sum _{n=1}^{3}(2nx),}∑n＝13（2n×）≡12×。{\displaystyle \sum _{n=1}^{3}(2nx)\equiv 12x.}∑n＝13（2n×）|×＝3＝36.{\displaystyle \sum _{n=1}^{3}(2nx){\Big |}_{x=3}=36.}

明確に定義された表現

数学言語には、式の書き方に関する一種の文法（形式文法と呼ばれる）があります。数式の well-defined については、構文と意味論という 2 つの考慮事項があります。構文は、式の記号を構築または変換する際に使用される規則に関係しており、記号に与えられた解釈や意味には関係ありません。構文的に正しい式は、 well-formedと呼ばれます。意味論は、これらの well-formed 式の意味に関係しています。意味的に正しい式は、 well-definedと呼ばれます。

整形式

数式の構文は、次のように多少非公式に記述することができます。許可された演算子は、正しい場所に正しい数の入力を持つ必要があります（通常は中置記法で記述されます）、これらの入力を構成する部分式自体が整形式で、明確な演算順序を持っている必要があります。構文の規則に準拠した記号の文字列は整形式と呼ばれ、整形式でない文字列は不完全形式と呼ばれ、数式を構成しません。[ 12 ]

例えば算数では、 1 + 2 × 3という式は正しいが、

×4）×+、/y{\displaystyle \times 4)x+,/y}。

そうではありません。

しかし、整形式であるだけでは、well-defined であるとはみなされません。例えば算術において、式は整形式ですが、well-defined ではありません（ゼロ除算を参照）。このような式はundefinedと呼ばれます。 10{\textstyle {\frac {1}{0}}}

明確に定義された

意味論は意味を研究する学問です。形式意味論は式に意味を付与することについてです。一意の値や意味を定義する式は明確に定義されていると言われます。そうでない場合、その式は明確に定義されていない、あるいは曖昧であると言われます。[ 13 ]一般に式の意味は値を指定することに限定されません。例えば、式は条件や解くべき方程式を指定することもあれば、ある規則に従って操作できるそれ自体がオブジェクトとみなすこともできます。値を指定する特定の式は、それが成り立つと想定される条件を同時に表現します。例えば、内部の直和を指定する演算子を含む式などです。 ⊕{\displaystyle \oplus}

代数において、式は値を表すために使用されることがあります。値は、式内の変数に割り当てられた値に依存する場合があります。この値の決定は、式の記号に付随する意味論に依存します。意味論の選択は、式の文脈に依存します。同じ構文式1 + 2 × 3 は、文脈によって暗示される演算の順序に応じて、異なる値（数学的には7ですが、9になることもあります）を持つ場合があります（演算 § 計算機も参照）。

実数の場合、積はであるため一義的である。したがって、表記は が明確に定義されていると言われる。[ 13 ]乗算の結合性とも呼ばれるこの性質は、結果が乗算の順序に依存しないことを保証する。したがって、順序の指定は省略できる。減算演算は非結合的である。それにもかかわらず、を省略した表記法が存在するため、「明確に定義されている」と見なされる。一方、除算は非結合的であり、 の場合、括弧の表記法が十分に確立されていないため、この式はしばしば不明確に定義されていると見なされる。 1つの×b×c{\displaystyle a\times b\times c}（1つの×b）×c＝1つの×（b×c）{\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}1つの−b−c{\displaystyle abc}（1つの−b）−c{\displaystyle (ab)-c}1つの/b/c{\displaystyle a/b/c}

関数とは異なり、表記上の曖昧さは追加の定義（例えば、優先順位の規則、演算子の結合性）によって克服できます。例えば、プログラミング言語C-では、減算の演算子は左から右への結合であり、これはa-b-cと定義され、代入の(a-b)-c演算子は右から左への結合であり、これはと定義されます。[ 14 ]プログラミング言語APLには、右から左への結合という1つの規則しかありませんが、括弧が先になります。 =a=b=ca=(b=c)

正式な定義

「式」という用語は数学言語の一部であり、つまり数学の中で定義されているのではなく、言語の基本的な一部として捉えられている。この用語を定義しようとすることは数学をやっていることではなく、むしろ一種のメタ数学（数学のメタ言語）、通常は数理論理学に携わっていることになる。数理論理学において、数学は通常一種の形式言語として記述され、整形式の式は以下のように再帰的に定義することができる。 [ 7 ]

アルファベットは次のもので構成されています:

このアルファベットでは、整形式の式 (WFE) を形成するための再帰規則は次のとおりです。

  • 定義される定数または変数は、アトミック式、つまり最も単純な整形式式（WFE）です。例えば、定数または変数は構文的に正しい式です。2{\displaystyle 2}×{\displaystyle x}
  • をドメイン上の任意のn 項演算のメタ変数とし、を任意の WFE のメタ変数とします。F{\displaystyle F}ϕ1、ϕ2、。。。ϕn{\displaystyle \phi _{1},\phi _{2},...\phi _{n}}
も整形式です。ここでは接頭表記で表されていますが、のような中置表記などの他の表記法、あるいは行列や和の表記のような非線形表記法も使用できます（可能な場合）。F（ϕ1、ϕ2、。。。ϕn）{\displaystyle F(\phi _{1},\phi _{2},...\phi _{n})}3+4{\displaystyle 3+4}
例えば、議論の領域が実数である場合、は二項演算+を表すことができるので、は整形式です。あるいは は単項演算を表すことができるので、は整形式です。F{\displaystyle F}ϕ1+ϕ2{\displaystyle \phi _{1}+\phi _{2}}F{\displaystyle F}√{\displaystyle \surd}ϕ1{\displaystyle {\sqrt {\phi _{1}}}}
最初は各非アトミック式が括弧で囲まれますが、演算の順序が定義されている場合や順序が重要でない場合（つまり、演算が結合的である場合）には、括弧を削除することができます。

整形式の式は構文木と考えることができる。[ 15 ]葉ノードは常にアトミック式である。演算と はちょうど2つの子ノードを持ち、演算、、 はちょうど1つの子ノードを持つ。整形式の式は可算無限個存在するが、各整形式の式は有限個のノードを持つ。 +{\displaystyle +}∪{\displaystyle \cup }×{\textstyle {\sqrt {x}}}ln（×）{\textstyle {\text{ln}}(x)}dd×{\textstyle {\frac {d}{dx}}}

コンピュータサイエンス

コンピュータサイエンスにおいて、式とはプログラミング言語における構文上の実体であり、評価されてその値が決定されることもあれば[ 16 ]、終了に失敗することもあり、その場合には式は未定義となる。[ 17 ]式とは、プログラミング言語が（優先順位や結合の特定の規則に従って）解釈し、計算して別の値を生成（状態のある環境では「返す」）する1つ以上の定数、変数、関数、演算子の組み合わせである。数式の場合、この処理は評価と呼ばれる。単純な設定では、結果の値は通常、文字列、ブール値、数値（整数、浮動小数点、複素数など）など のさまざまなプリミティブ型のいずれかである。

コンピュータ代数において、数式は、式内の変数に与えられた値に応じてブール値として評価できる式とみなされます。例えば、xに1未満の値が与えられた場合はfalse 、それ以外の場合はtrueを返します。 8×−5≥3{\displaystyle 8x-5\geq 3}

式は、値 (命令) を持たない構文エンティティ であるステートメントと対比されることがよくあります。

式(8 − 6) × (3 + 1)のLisp木表現、1985 年の修士論文より[ 18 ]

数値と変数を除くすべての数式は、演算子の記号とそれに続く一連のオペランドとして表すことができます。コンピュータ代数ソフトウェアでは、数式は通常このように表現されます。この表現は非常に柔軟で、一見すると数式ではないように見えるものも、数式として表現および操作できます。例えば、方程式は「=」を演算子とする式であり、行列は「行列」を演算子とし、その行をオペランドとする式として表すことができます。

参照:コンピュータ代数式

計算

計算とは、 「明確に定義された」あらゆる種類の算術的または非算術的計算である。 [ 19 ]数学的表現は「明確に定義された」ものでなければならないという考えは、少なくとも1600年代から数学者によって議論されてきたが、[ 20 ]適切な定義についての合意は難航した。[ 21 ]候補となる定義は、1930年代に複数の数学者によって独立して提案された。[ 22 ]最もよく知られている変種は、数学者アラン・チューリングによって形式化された。彼は、明確に定義された表現または計算を、チューリングマシンの初期化パラメータを用いて表現できるあらゆる表現と定義した。[ 23 ]チューリングの定義は、「明確に定義された」という概念を、すべての整形式の代数的表現や、現代のコンピュータプログラミング言語で書かれたすべての表現を含む、非常に広範な数学的表現に当てはめた。[ 24 ]

この定義は広く受け入れられているものの、この定義の下では明確に特徴づけられない数学概念もいくつか存在します。これには停止問題やビジービーバーゲームが含まれます。計算可能な文と計算不可能な文の両方を包含できる、より強力な「明確に定義された」定義が存在するかどうかは、依然として未解決の問題です。[ a ] [ 25 ] C++、Python、Javaなど、現代のプログラミング言語で特徴づけられるすべての文は明確に定義されています。[ 24 ]

計算の一般的な例としては、基本的な算術演算とコンピュータアルゴリズムの実行が挙げられます。計算とは、1つ以上の入力を1つ以上の出力または結果に変換する、意図的な数学的プロセスです。例えば、 7と6を掛け合わせるのは単純なアルゴリズム計算です。数学モデルを用いて数値の平方根や立方根を求めるのは、より複雑なアルゴリズム計算です。

書き直し

式は評価戦略によって計算できる。[ 26 ]たとえば、関数呼び出しを実行すると、f(a,b)最初に引数とが評価されa、b結果が参照またはメモリ位置とに格納されref_a、ref_b渡された参照を使用して関数の本体が評価される。これにより、関数は、パラメータの参照解除を通じて渡された元の引数の値を検索し（言語によっては、これを行うために特定の演算子を使用する）、それらをローカル変数であるかのように割り当てによって変更し、参照を介して値を返すことができる。これが参照呼び出し評価戦略である。[ 27 ]評価戦略は、プログラミング言語定義のセマンティクスの一部である。PureScriptなどの一部の言語には、異なる評価戦略を持つ変種がある。Datalogなどの一部の宣言型言語は、複数の評価戦略をサポートしている。一部の言語では、呼び出し規約が定義されている。

書き換えにおいて、簡約戦略または書き換え戦略とは、与えられた簡約関係と互換性のある、各オブジェクトまたは項の書き換えを指定する関係です。書き換え戦略は、すべての簡約可能な部分項（redex ）のうち、どの項を簡約（ contract ）するかを指定します。最も一般的なシステムの一つは、ラムダ計算です。

多項式評価

多項式は変数と係数から構成され、加算、減算、乗算、および非負整数のべき乗の演算のみを含み、項の数は有限です。多項式の評価の問題は、実務において頻繁に発生します。計算幾何学では、多項式はテイラー多項式を用いた関数の近似値を計算するために使用されます。暗号学やハッシュテーブルでは、多項式はk独立ハッシュを計算するために使用されます。

前者の場合、多項式は浮動小数点演算を用いて評価されますが、これは正確ではありません。したがって、評価方法が異なると、一般に答えはわずかに異なります。後者の場合、多項式は通常有限体上で評価され、その場合答えは常に正確です。

一変数多項式 を評価する最も単純な方法は、乗算を用いて を計算し、乗算を用いて を計算し、これを繰り返して、合計 回の乗算と加算を行うというものです。ホーナーの定理などのより優れた方法を用いれば、これは乗算と加算に簡略化できます。ある程度の前処理を行えば、さらに節約できます。 1つのn×n+1つのn−1×n−1+⋯+1つの0、{\textstyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0},}n{\displaystyle n}1つのn×n{\displaystyle a_{n}x^{n}}n−1{\textstyle n-1}1つのn−1×n−1{\displaystyle a_{n-1}x^{n-1}}n（n+1）2{\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}}n{\displaystyle n}n{\displaystyle n}n{\displaystyle n}

表現の種類

代数式

代数式とは、代数定数、変数、そして代数演算（加算、減算、乗算、除算、有理数によるべき乗）から構成される式です。 [ 28 ]例えば、3 x 2 − 2 xy + cは代数式です。平方根を取ることは⁠乗することと同じなので、1/2⁠、以下も代数式です。

1−×21+×2{\displaystyle {\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}}}

参照:代数方程式および代数閉包

多項式表現

多項式は、スカラー（ある体の元の数）、変数、および加算、乗算、非負整数の累乗の演算子で構築された式です。たとえば、3（×+1）2−×y。{\displaystyle 3(x+1)^{2}-xy.}

結合法則、交換法則、分配法則を用いると、あらゆる多項式は多項式と等価である。多項式とは、不定値の整数乗の積の線形結合である。例えば、上記の多項式は等価である（同じ多項式を次のように表す）。3×2−×y+6×+3.{\displaystyle 3x^{2}-xy+6x+3.}

多くの著者は多項式と多項式表現を区別していません。この場合、多項式表現を線型結合として表現したものは、多項式の 標準形、正規形、または展開形と呼ばれます。

正式な表現

形式式は、標準的な式と同じ生成規則によって生成される記号列の一種ですが、式の意味とは無関係に使用されます。このように、2つの形式式は、構文的に等しい場合、つまり全く同じ式である場合にのみ等しいとみなされます。[ 29 ] [ 30 ]例えば、形式式「2」と「1+1」は等しくありません。

ラムダ計算

形式言語を使用すると、整形式の表現の概念を 形式化できます。

1930年代に、関数とその評価を形式化するために、アロンゾ・チャーチとスティーブン・クリーネによって新しいタイプの式であるラムダ式が導入されました。 [ 31 ] [ b ]ラムダ演算子（ラムダ抽象化と関数適用）は、数理論理学とプログラミング言語理論で使用される形式システムであるラムダ計算の基礎を形成します。

2つのラムダ式の同値性は決定不可能です（ただし、統一（コンピュータサイエンス）を参照）。これは、整数から算術演算、対数、指数を用いて構築される実数を表す式にも当てはまります（リチャードソンの定理）。

歴史

初期の数学の記述

RBINSにあるイシャンゴ骨。2の平方根を近似したバビロニアの粘土板。モスクワ数学パピルスの第14問。

最も古い書き言葉による数学は、おそらく木や石に刻まれた1つのマークが1つの単位を表す集計マークから始まった。初期の数え方の例としては、ナイル川近くで発見され、 2万年以上前のイシャンゴの骨があり、6か月の太陰暦を示していると考えられている。[ 32 ]古代エジプトは、象形文字を使用した記号体系を考案し、10の累乗に記号を割り当て、動いている足に似た加算記号と減算記号を使用した。[ 33 ] [ 34 ]この体系は、リンド数学パピルス（紀元前2000～1800年頃）などの文献に記録されており、他の地中海文化に影響を与えた。メソポタミアでは、同様の体系が発達し、紀元前3000年頃のシュメール人が発祥の技術である楔形文字で書かれた粘土板に60進法（60進法）の形式で数字が書かれた。この 60 進法は、今日でも時間と角度の測定に使用されています。

シンコペーションステージ

数学の「シンコペーション」段階では、よく使われる演算や数量に記号による略語が導入され、純粋に幾何学的な推論からの転換が見られました。古代ギリシャの数学は、本質的に幾何学的で、エジプトの数値システム（特にアッティカ数字）を参考にしており、[ 35 ]代数記号にはほとんど関心がありませんでした。これは、アレクサンドリアのディオファントス[ 36 ]の登場により、彼の著書『算術』の中で、式の記号操作を導入したシンコペーション代数の先駆者となりました。 [ 37 ]彼の記法では未知数や累乗を記号で表しましたが、関係式（等式や不等式など）や指数を表す現代的な記号は使用していませんでした。[ 38 ]未知数は と呼ばれていました。[ 39 ]の平方は、立方体は、4 乗は、5 乗は であり、これらは左側から右側のすべてを引くことを意味していました。[ 40 ]例えば、現代の記譜法では次のようになるが、 ディオファントスのシンコペーション記譜法では次のようになる。 ζ{\displaystyle \zeta }ζ{\displaystyle \zeta }Δv{\displaystyle \Delta^{v}}Kv{\displaystyle K^{v}}ΔvΔ{\displaystyle \Delta ^{v}\Delta }ΔKv{\displaystyle \Delta K^{v}}⋔{\displaystyle \pitchfork }×3−2×2+10×−1、{\displaystyle x^{3}-2x^{2}+10x-1,}

Kυα¯ζι¯⋔Δυβ¯Mα¯{\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\;\zeta {\overline {\iota }}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon }{\overline {\beta }}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha }}\,\;}

7世紀、ブラフマグプタは『ブラフマスフタシッダーンタ』の中で代数方程式の未知数を異なる色で表現しました。ギリシャをはじめとする古代の数学の進歩は、しばしば創造性の爆発とそれに続く長い停滞のサイクルに陥っていましたが、近世初期に知識が広まるにつれて、この状況は変化し始めました。

記号段階と初期の算術

1489 年に印刷物でプラス記号とマイナス記号が使用されました。

完全に記号代数への移行は、アラビア文字を使った演算記号を導入したイブン・アル・バンナー・アル・マラクシ（1256–1321）とアブー・アル・ハサン・イブン・アリー・アル・カラサディー（1412–1482）から始まった。[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] プラス記号（+）は1351年頃にニコル・オレームによって登場し、[ 44 ]これはラテン語のet （「そして」を意味する）に由来すると考えられ、マイナス記号（−）は1489年にヨハネス・ヴィトマンによって初めて使用された。[ 45 ]ルカ・パチョーリはこれらの記号を自身の著作に取り入れているが、その多くはピエロ・デラ・フランチェスカの初期の貢献に基づいていた。平方根を表す根号記号（√）は1500年代にクリストフ・ルドルフによって導入され、優先順位を表す括弧は1556年にニッコロ・タルタリアによって導入されました。フランソワ・ヴィエトの『新代数学』（1591年）は、現代の記号処理を形式化しました。乗算記号（×）はウィリアム・オートレッドによって、除算記号（÷）はヨハン・ラーンによって初めて使用されました。

ルネ・デカルトは『幾何学』 （1637年）で代数記号論をさらに発展させ、変数としてアルファベットの末尾の文字（x、y、z）を使用する方法と、代数と幾何学をつなぐ直交座標系を導入した。[ 46 ]アイザック・ニュートンとゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは17世紀後半にそれぞれ独立に微積分学を開発し、ライプニッツの表記法が標準となった。

参照

注記

  1. ^計算不可能なステートメントの研究はハイパーコンピューティングの分野です。
  2. ^詳しい歴史については、Cardone と Hindley の「ラムダ計算と組み合わせ論理の歴史」(2006) を参照してください。

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  38. ^ Boyer (1991). 「ギリシャ数学の復興と衰退」p. 178. 「ディオファントス式シンコペーションと現代の代数記法の主な違いは、演算や関係を表す特別な記号が欠如していること、そして指数記法が欠如していることである。」
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引用文献

デカルト、ルネ（2006）[1637] 『理性を正しく導き、諸学に真理を求める方法についての序説』イアン・マクリーン訳。オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-282514-3。

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