区間ベクトル
2つのピッチセットにおけるZ関係の例（セット5-Z17として解析可能、またはセット5-Z17から導出可能）[ 1 ]：99 遊ぶⓘ、2つのセットとそれらの共通音程ベクトル212320を比較しやすいように、ピッチクラス間の音程にラベルが付けられています。
インターバルベクトル: Cメジャーコード、セット3-11B、{0,4,7}: 001110。
半音階の円内の全音階。各音程クラスは異なる色で表示され、それぞれ固有の回数出現します。
インターバルクラスがラベル付けされたCメジャースケール; ベクトル: 254361
音程クラスがラベル付けされたCの全音階。ベクター: 060603

音楽集合論において、音程ベクトルとは、音高クラスの集合（オクターブを無視した音高の集合）に存在する音程をまとめた自然数の配列である。他の呼び方としては、 icベクトル（または音程クラスベクトル）、PICベクトル（または音高クラス音程ベクトル）、APICベクトル（または絶対音高クラス音程ベクトル、ミヒール・シュイエルは後者の方がより適切であると主張している）などがある[ 1 ]：48

音程ベクトルは主に分析ツールですが、異なるピッチクラスの集合によって生み出される音質を素早く示すため、作曲家にとっても有用です。つまり、慣習的に不協和な音程（例えば2度と7度）が集中する集合はより不協和に聞こえ、慣習的に協和な音程（例えば3度と6度）が集中する集合はより協和に聞こえます。協和と不協和の実際の知覚には、音域など多くの文脈的要因が関係しますが、音程ベクトルはそれでも有用なツールとなり得ます。

意味

十二音平均律では、音程ベクトルは6桁の数字で構成され、各桁はセット内での音程クラスの出現回数を表します。音程クラスが使用されるため、セット内の順列や垂直方向の配置に関わらず、特定のセットの音程ベクトルは同じです。各桁で示される音程クラスは、左から右へと昇順になります。つまり、次のようになります。

  1. 短二度／長七度（1または11半音）
  2. 長二度／短七度（2または10半音）
  3. 短三度／長六度（3または9半音）
  4. 長三度／短六度（4または8半音）
  5. 完全4度/完全5度（5または7半音）
  6. 全音（6つの半音）（全音は反転するとそれ自身と等価です。）

ユニゾンとオクターブを表すインターバルクラス 0 は省略されます。

ハワード・ハンソンは1960 年の著書「現代音楽の調和的素材」で、この概念を単項式記譜法で表し、これを音程内容と名付けました。つまり、現在では⟨ abcdef ⟩と表記されるものを p e m d n c .s b d a t fと表記します。[ 2 ] [注 1 ]ドナルド・マルティーノが 1961 年に導入したこの現代の記譜法にはかなりの利点があり、オクターブの任意の均等分割に拡張できます。[ 3 ]アレン・フォルテは 1973 年の著書「無調音楽の構造」でマルティーノを引用して、角括弧を使用して音程ベクトルを記譜しました。[ 4 ] : 15 その後の著者、例えばジョン・ラーンは山括弧を使用しています。[ 5 ] : 100

音程ベクトルが6つの固有の数字を持つ音階は、ディープスケール特性を持つと言われています。メジャースケールとその旋法はこの特性を持ちます。

実際の例として、Cメジャートライアド（3-11B）のルートポジション{CEG}（遊ぶⓘ）は⟨001110⟩。これは、このセットに長3度または短6度（つまり、CからE、またはEからC）、短3度または長6度（つまり、EからG、またはGからE）、および完全5度または完全4度（つまり、CからG、またはGからC）が1つあることを意味します。音程ベクトルは転置や反転で変化しないため、セットクラス、⟨001110⟩はすべての長（および短）3和音のベクトルであることを意味します。一部の音程ベクトルは、転置または反転して他のセットを生成することができない複数のセットに対応します。（これらはZ 関連セット、以下で説明します）。

n 個のピッチクラスの集合において、その集合の音程ベクトルに含まれるすべての数値の和は二項係数 に等しくなります。これは、音程ベクトルの要素が、n 個の要素からなる集合の各ピッチクラスのペアを比較して計算されるためです。これは三角数とも対応します。 （n2）＝n（n−1）2{\displaystyle {\tbinom {n}{2}}={\tfrac {n(n-1)}{2}}}Tn−1{\displaystyle T_{n-1}}

音程ベクトルの拡張形式は、David Lewinの「Generalized Musical Intervals and Transformations」に記載されているように、変換理論でも使用されます。

Z関係

ヴォツェック第3幕からの連続Z関連ヘクサコルド[ 4 ]：79 遊ぶⓘ

音楽集合論において、Z 関係（異性関係とも呼ばれる）は、2 つのピッチクラス集合の関係であり、2 つの集合は同じ音程内容（したがって同じ音程ベクトル）を持ちますが、転置関係（異なる T n型）や反転関係（異なる T n /T n I 型）ではありません。[ 1 ]：99 たとえば、2 つの集合 4-z15A {0,1,4,6} と 4-z29A {0,1,3,7} は同じ音程ベクトル⟨111111⟩を持ちますが、一方の集合を他方の集合に移調したり反転したりすることができません。

ヘキサコルドの場合、それぞれはZヘキサコルドと呼ばれることがあります。「Z」型以外のヘキサコルドはそれ自身の補音であり、Zヘキサコルドの補音はそれに対応するZ音です。例えば、6-Z3や6-Z36などです。[ 4 ]：79 参照：6-Z44、6 - Z17、6 - Z11、およびフォルテ番号。

記号「Z」は「zygotic」（ギリシャ語で「対になった」または「結合した」という意味、例えば2つの生殖細胞の融合）を表し、[ 1 ] : 98 1964年にアレン・フォルテによって考案されましたが、この概念を最初に考案したのはハワード・ハンソンのようです。ハンソンはこれを「異性体関係」と呼び、そのような2つの集合を「異性体」と定義しました。[ 2 ] : 22 参照：異性体。

ミヒール・シュイエル（2008）によると、2つのピッチクラス補完ヘキサコルドは、転置や転回の下では等価でなくても同じ音程ベクトルを持つというヘキサコルド定理は、ミルトン・バビットによって初めて提唱され、1960年にデイヴィッド・ルーウィンによって補完定理の例として「関係の発見」が「報告」された。補完定理とは、2つの補完ピッチクラスセットにおけるピッチクラス音程の差は、セットの基数間の差に等しい（2つのヘキサコルドが与えられた場合、この差は0である）という定理である。[ 1 ]：96–7 [ 6 ]ヘキサコルド定理の数学的証明は、カッスラー（1961）、レジェナー（1974）、ウィルコックス（1983）によって発表された。[ 1 ]：96–7

Z関連音符は常に2つずつ現れることが一般的に観察されていますが、デイヴィッド・ルーウィンは、これは12音平均律（12-ET）の結果であると指摘しました。16-ETでは、Z関連音符は3連符として現れます。ルーウィンの弟子であるジョナサン・ワイルドは、他の調律システムでもこの研究を続け、より高次のETシステムでは最大16個の音符からなるZ関連音符を発見しました。

「同じ区間内容を持つ」という同値関係は、自明な等長関係の場合を許容し、結晶学において最初に研究され、ホモメトリー（同形定理）として知られています。例えば、補集合定理は物理学者の間ではバビネの原理として知られています。最近の概説については、 [ 7 ]を参照してください。

シュトラウスは、「Z関係にある[セット]は、同じ音程内容を持つため、似た音に聞こえる」と主張している[ 8 ] [ 1 ] : 125。 この主張は、一部の作曲家が作品の中でZ関係を活用するきっかけとなった。例えば、エリオット・カーターの弦楽四重奏曲第2番では、{0,1,4,6}と{0,1,3,7}の間の遊びが明確に表現されている。

乗算

Zに関連するいくつかのコードは、インターバルベクトルの1と5の要素が同一であるため、MまたはIM（ 5の乗算または7の乗算）で接続されています。 [ 1 ]：83、110

参照

注記

  1. ^セット内の協和音と不協和音の内容を定量化するために、ハンソンは不協和度に応じて音程を順序付け、 p =完全5度、 m =長3度、 n = 短3度、 s = 長2度、 d = (より協和度が高い) 短2度、 t =全音とした。

参考文献

  1. ^ a b c d e f g hシュイエル、ミヒエル (2008). 『無調音楽の分析：ピッチクラス集合論とその文脈』ロチェスター大学. ISBN 978-1-58046-270-9。
  2. ^ a bハンソン、ハワード (1960). 『現代音楽のハーモニック・マテリアルズ』ニューヨーク：アップルトン・センチュリー・クロフツ. ISBN 0-89197-207-2。
  3. ^マルティーノ、ドナルド (1961). 「音源集合とその集合体形成」.音楽理論ジャーナル. 5 (2). ニューヘイブン: イェール大学出版局. 224-273. doi : 10.2307/843226 . JSTOR 843226 . 
  4. ^ a b cフォルテ、アレン（1973年）『無調音楽の構造』ニューヘイブン：イェール大学出版局、ISBN 0-300-01610-7。LCCN  72091295。OCLC  861792420。OL  5307893M。ウィキデータ Q130092153。
  5. ^ラーン、ジョン（1980年）『基礎無調理論』ニューヨーク：ロングマン、 ISBN 97805822811721987年再版、ニューヨーク：シルマー・ブックス、ロンドン：コリアー・マクミラン。ISBN 0-02-873160-3。
  6. ^ルーウィン、デイヴィッド。「音符集の音程内容、音符集とその補音間の音程関係：シェーンベルクのヘキサコルダル作品への応用」『音楽理論ジャーナル』 4/1（1960年）：98-101。
  7. ^ジョン・マンデロー、ダニエレ・ギシ、エマニュエル・アミオット、モレノ・アンドレアッタ、カルロス・アゴン。音楽分布における Z 関係とホモメトリ。 Journal of Mathematics and Music、Taylor & Francis (2011)、5 (2)、83-98。
  8. ^ストラウス、ジョセフ・ネイサン (1990).『ポスト・トーナル理論入門』p.67. 第1版. プレンティス・ホール: ニュージャージー州エングルウッド・クリフス. ISBN 0-13-189890-6。 Schuijer (2008)、p.125 で引用。
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