多項式

数学において、多項式は不定値（変数とも呼ばれる）と係数から成り、加算、減算、乗算、非負整数乗の累乗の演算のみを含み、項の数が有限である数式である。^{[1] [2] [3] [4] [5]}不定値が1つの多項式の例としてはがある。不定値が3つの多項式の例としては がある。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{2}-4x+7}$ ${\displaystyle x^{3}+2xyz^{2}-yz+1}$

多項式は数学と科学の多くの分野に登場します。例えば、初等的な文章題から複雑な科学問題まで、幅広い問題を表す多項式方程式を作成するために使用されます。また、基礎化学や物理学から経済学や社会科学に至るまで、幅広い分野で登場する多項式関数を定義するためにも使用されます。さらに、微積分学や数値解析において他の関数を近似するために使用されます。高度な数学では、多項式は代数学と代数幾何学の中心的な概念である多項式環や代数多様体を構成するために使用されます。

語源

多項式（polynomial） という言葉は、ギリシャ語の「 poly」（多くの）とラテン語の「nomen 」（名前）という2つの異なる語源を結合したものです。これは、ラテン語の「bi-」をギリシャ語の「poly-」に置き換えることで二項式（binomial）という用語から派生したものです。つまり、多くの項（多くの単項式）の和を意味します。多項式という言葉は17世紀に初めて使用されました。^[6]

表記法と用語

3次多項式関数のグラフ

多項式に現れる は、一般的に変数または不定値と呼ばれます。多項式を式として考えると、は値を持たない固定の記号です（その値は「不定」です）。しかし、多項式によって定義される関数を考えると、 は関数の引数を表すため、「変数」と呼ばれます。多くの著者は、この2つの単語を同じ意味で使用しています。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

不定値 内の多項式は、一般に またはと表記されます。正式には、多項式の名前は であり、ではありませんが、関数表記法の使用は、多項式とそれに関連付けられた関数との区別が明確でなかった時代に遡ります。さらに、関数表記法は、多項式とその不定値を単一のフレーズで指定する場合に役立ちます。たとえば、「 を多項式とする」は、「 を不定値 内の多項式とする」の省略形です。一方、不定値の名前を強調する必要がない場合は、不定値の名前を多項式ごとに出現させない方が、多くの式ははるかに単純で読みやすくなります。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$

単一の数学的対象に2つの表記法があることによる曖昧さは、多項式の関数表記法の一般的な意味を考慮することで正式に解決できるかもしれません。 が数、変数、別の多項式、あるいはより一般的には任意の式を表す場合、慣例により は において を代入した結果を表します。したがって、多項式 はに関連付けられた多項式関数 である関数を定義します 。この表記法を使用する場合、多くの場合、 は数であると仮定します。ただし、加算と乗算が定義されている任意の領域（つまり、任意の環）でこれを使用できます。特に、 が多項式である場合、も多項式です。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle P(a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle a\mapsto P(a),}$$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle P(a)}$

より具体的には、が不定値 であるとき、この関数によるの像は多項式そのものである（を に代入しても変化はない）。言い換えれば、 は、同じ多項式に2つの表記法が存在することを形式的に正当化する。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle P(x)=P,}$$

意味

多項式式は、定数と、変数または不定値と呼ばれる記号から、加算、乗算、および非負の整数乗による累乗によって構築できる式です。定数は一般に数値ですが、不定値を含まず、加算および乗算できる数学的オブジェクトを表す任意の式にすることができます。2 つの多項式式は、加算と乗算の交換法則、結合法則、分配法則という通常の性質を適用して、一方を他方に変換できる場合、同じ多項式を定義していると見なされます。たとえば、 とは同じ多項式を表す 2 つの多項式式であるため、一方は と等式になります。 ${\displaystyle (x-1)(x-2)}$ ${\displaystyle x^{2}-3x+2}$ ${\displaystyle (x-1)(x-2)=x^{2}-3x+2}$

単一の不定値xを持つ多項式は、常に という形で表すことができます（または書き直すことができます）。 ここで、は多項式の係数と呼ばれる定数であり、は不定値です。^[7]「不定値」とは、 が特定の値を表さないものの、任意の値を代入できることを意味します。この代入結果と代入後の値を関連付ける写像は関数 であり、多項式関数と呼ばれます。 $${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},}$$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

これは、和の記法を用いることでより簡潔に表現できます。 つまり、多項式はゼロになるか、有限個の非ゼロ項の和として表すことができます。各項は、項の係数^[a]と呼ばれる数 と有限個の不定数の非負整数乗の積で構成されます。 $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}$$

分類

項中の不定値の指数はその項におけるその不定値の次数と呼ばれます。項の次数はその項における不定値の次数の合計であり、多項式の次数とは非ゼロの係数を持つ項の最大次数です。^[8]指数が書かれていない不定値の次数は1であるためです。 ${\displaystyle x=x^{1}}$

不定項のない項と不定項のない多項式は、それぞれ定数項と定数多項式と呼ばれる。^[b]定数項の次数は 、非零定数多項式の次数は である。零多項式（項を全く持たない）の次数は、一般に定義されていないものとされる（ただし、下記参照）。^[9]${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$

例えば、 は項です。係数は、不定項はと、 の次数は2ですが、 の次数は1です。項全体の次数は、項に含まれる各不定項の次数の合計であるため、この例では次数は です。 $${\displaystyle -5x^{2}y}$$ ${\displaystyle -5}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 2+1=3}$

複数の項を足し合わせると多項式になります。例えば、次の項は多項式です。 これは3つの項から成り、最初の項は2次、2番目の項は1次、3番目の項は0次です。 $${\displaystyle \underbrace {_{\,}3x^{2}} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {1} \end{smallmatrix}}\underbrace {-_{\,}5x} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {2} \end{smallmatrix}}\underbrace {+_{\,}4} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {3} \end{smallmatrix}}.}$$

次数の小さい多項式には特別な名前が付けられています。0 次多項式は定数多項式、または単に定数です。1 次、2 次、3 次多項式は、それぞれ線形多項式、 二次多項式、三次多項式です。^[8]次数が高い場合、特別な名前は一般的に使用されませんが、 4次多項式(次数が 4 の場合) や5 次多項式(次数が 5 の場合) が使用されることがあります。次数の名前は、多項式またはその項に適用されることがあります。たとえば、の項は、二次多項式の線形項です。 ${\displaystyle 2x}$ ${\displaystyle x^{2}+2x+1}$

多項式 は項を全く持たないと考えられるため、零多項式と呼ばれます。他の定数多項式とは異なり、その次数は零ではありません。むしろ、零多項式の次数は明示的に定義されないか、負の値（-1 または）として定義されます。^[10]零多項式は、一つの不定元において無限個の根を持つ唯一の多項式であるという点でも独特です。零多項式 のグラフは-軸です。 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle x}$

複数の不定項を持つ多項式において、その非零項がすべて次数 であるとき、その多項式は次数 の同次多項式と呼ばれます。零多項式は同次多項式であり、同次多項式であるため次数は未定義です。^[c]例えば、は次数 の同次多項式です。詳細については、同次多項式 を参照してください。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x^{3}y^{2}+7x^{2}y^{3}-3x^{5}}$ ${\displaystyle 5}$

加法の交換法則は、項を任意の順序に並べ替えるために用いることができます。不定項を1つ含む多項式では、項は通常、次数に従って並べられます。「 の降順」（最も次数が大きい項を先頭とする）または「 の昇順」（ の昇順）のいずれかです。多項式はの降順で表されます。最初の項は係数、不定項、指数 を持ちます。2番目の項の係数は です。3番目の項は定数です。非ゼロ多項式の次数は、任意の項の最大次数であるため、この多項式の次数は2です。^[11]${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 3x^{2}-5x+4}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle -5}$

同じ不定項を同じべき乗した2つの項は「相似項」または「類似項」と呼ばれ、分配法則を用いて、結合された項の係数の和を係数とする1つの項に結合することができます。これにより、係数が となる場合があります。^[12]${\displaystyle 0}$

多項式は、非零係数を持つ項の数によって分類することができ、1項多項式は単項式[d] 、2項多項式は二項式[ ^d]、3項多項式は三項式[d]と呼ばれます。2項以上の多項式は多項式[ d]とも呼ばれます。^{[13] [14]}

実多項式は実係数を持つ多項式です。関数の定義に用いられる場合、定義域はそれほど制限されません。しかし、実多項式関数とは、実数から実数への関数であり、実多項式によって定義されます。同様に、整数多項式は整数係数を持つ多項式であり、複素多項式は複素係数を持つ多項式です。

不定値が 1 つの多項式は一変数多項式と呼ばれ、不定値が 2 つを超える多項式は多変数多項式と呼ばれます。^[15]不定値が 2 つある多項式は二変数多項式と呼ばれます。^[7]これらの概念は、個々の多項式よりも、一般的に扱う多項式の種類を指します。たとえば、一変数多項式を扱う場合、定数多項式 (非定数多項式の減算から得られる場合がある) を除外しませんが、厳密に言えば、定数多項式には不定値がまったく含まれません。多変数多項式は、許容される不定値の最大数に応じて、さらに二変数、三変数などに分類できます。繰り返しになりますが、対象とするオブジェクトの集合が減算に関して閉じているように、三変数多項式の研究は通常二変数多項式を許容します。また、許容される不定項を列挙して、単に「、および」の多項式と表現することもよくあります。 ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle z}$

オペレーション

足し算と引き算

多項式は、加法の結合法則（すべての項を1つの和にまとめる）を使って加算することができ、その後に並べ替え（交換法則を使用）や同類項の結合を行うこともできます。^{[12] [16]}例えば、の場合、 和 は 並べ替えてグループ化することができ 、さらに次のように簡略化できます。 多項式を加算すると、結果は別の多項式になります。^[17]$${\displaystyle P=3x^{2}-2x+5xy-2}$$ $${\displaystyle Q=-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}$$ $${\displaystyle P+Q=3x^{2}-2x+5xy-2-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}$$ $${\displaystyle P+Q=(3x^{2}-3x^{2})+(-2x+3x)+5xy+4y^{2}+(8-2)}$$ $${\displaystyle P+Q=x+5xy+4y^{2}+6.}$$

多項式の引き算も同様です。

乗算

多項式は掛け算もできる。2つの多項式の積を項の和に展開するには、分配法則を繰り返し適用する。その結果、一方の多項式の各項はもう一方の多項式の各項と掛け算される。^[12]例えば、 各項の掛け算を実行すると、次のようになる。類似の項を組み合わせると、次のようになる。 これ は 次のよう に簡略化できる 。この例のように、多項式の積は常に多項式である。^{[17] [9]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\color {Red}P&\color {Red}{=2x+3y+5}\\\color {Blue}Q&\color {Blue}{=2x+5y+xy+1}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{rccrcrcrcr}{\color {Red}{P}}{\color {Blue}{Q}}&{=}&&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{1}})\end{array}}}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{rccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&10xy&+&2x^{2}y&+&2x\\&&+&6xy&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&3y\\&&+&10x&+&25y&+&5xy&+&5.\end{array}}}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{rcccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&(10xy+6xy+5xy)&+&2x^{2}y&+&(2x+10x)\\&&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&(3y+25y)&+&5\end{array}}}$$ $${\displaystyle PQ=4x^{2}+21xy+2x^{2}y+12x+15y^{2}+3xy^{2}+28y+5.}$$

構成

1変数の多項式と任意の変数の多項式が与えられた場合、最初の多項式の変数の各コピーを2番目の多項式で置き換えることで合成が得られます。 ^[9] 例えば、 であり、ならば、 合成は、多項式の乗算と除算の規則を用いて項の和に展開できます。2つの多項式の合成は、別の多項式です。^[18]${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}+2x}$ ${\displaystyle g(x)=3x+2}$ $${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=(3x+2)^{2}+2(3x+2).}$$

分割

ある多項式を別の多項式で割ることは、典型的には多項式ではありません。むしろ、そのような比は、文脈に応じて有理分数、有理式、または有理関数と呼ばれる、より一般的なオブジェクトの集合です。^{[19]これは、2つの}整数の比が必ずしも整数ではなく、有理数である という事実に似ています。^{[20] [21]} 例えば、分数は多項式ではなく、変数のべき乗の有限和として表すことはできません。 ${\displaystyle 1/(x^{2}+1)}$ ${\displaystyle x}$

1変数の多項式には、整数のユークリッド除算を一般化した多項式のユークリッド除算の概念がある。^[e] この除算の概念は、商と剰余の2つの多項式を生じ、および となる。ここで はの次数である。商と剰余は、多項式長除算や合成除算など、いくつかのアルゴリズムのいずれかで計算できる。^[22]${\displaystyle a(x)/b(x)}$ ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle r(x)}$ ${\displaystyle a=bq+r}$ ${\displaystyle \deg(r)<\deg(b)}$ ${\displaystyle \deg(p)}$ ${\displaystyle p}$

分母が単項かつ線形の場合、つまり何らかの定数 に対して、多項式剰余定理によれば、を で割ったときの剰余はの評価となる。^{[21]この場合、商は合成除算の特殊なケースで}あるルフィニの定理 によって計算できる。^[23]${\displaystyle b(x)}$ ${\displaystyle b(x)=x-c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a(x)}$ ${\displaystyle b(x)}$ ${\displaystyle a(c)}$

因数分解

一意の因数分解領域（例えば、整数体や体）に係数を持つすべての多項式は、因数分解された形式も持ち、この形式では多項式は既約多項式と定数の積として表されます。この因数分解された形式は、因数の位数と可逆な定数による乗算を除いて一意です。複素数体 の場合、既約因数は線形です。実数上では、その次数は 1 か 2 です。整数と有理数上では、既約因数は任意の次数を持つことができます。^[24]例えば、 の因数分解された形式は、 整数 と実数上では 、 複素数上では です。 $${\displaystyle 5x^{3}-5}$$ $${\displaystyle 5(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)}$$ $${\displaystyle 5(x-1)\left(x+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)\left(x+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right)}$$

因数分解と呼ばれる因数分解形式の計算は、一般的に手書きで行うには難しすぎる。しかし、ほとんどのコンピュータ代数システムでは、効率的な多項式因数分解 アルゴリズムが利用可能である。

微積分

多項式の微分と積分の計算は、他の種類の関数に比べて特に簡単です。多項式をについて微分すると、多項式 となります。 同様に、 の一般的な原始積分（または不定積分）はとなります 。 ここでは任意定数です。例えば、 の原始積分は の形をとります。 $${\displaystyle P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\dots +2a_{2}x+a_{1}=\sum _{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1}.}$$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle {\frac {a_{n}x^{n+1}}{n+1}}+{\frac {a_{n-1}x^{n}}{n}}+\dots +{\frac {a_{2}x^{3}}{3}}+{\frac {a_{1}x^{2}}{2}}+a_{0}x+c=c+\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}x^{i+1}}{i+1}}}$$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x^{2}+1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{3}}x^{3}+x+c}$

係数がより抽象的な設定（例えば、係数が素数 を法とする整数や任意の環の元など）から得られる多項式の場合、導関数の公式は形式的に解釈することができ、係数はのコピーの和を意味すると理解される。例えば、 を法とする整数 について、多項式 の導関数は多項式 である。^[25] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle ka_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x^{p}+x}$ ${\displaystyle 1}$

多項式関数

多項式関数は、多項式を評価することで定義できる関数です。より正確には、与えられた定義域からの1引数の関数が多項式関数であるとは、 定義域内のすべてのxに対して（ここで、は非負の整数であり、定数係数である） と評価される多項式が存在する場合です。 ^[26] 一般に、特に指定がない限り、多項式関数は複素数の係数、引数、値を持ちます。特に、実数係数に制限された多項式は、複素数から複素数への関数を定義します。この関数の定義域も実数に制限されている場合、結果として得られる関数は実数を実数に写像する実関数です。 ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$

例えば、関数は で定義され、 一変数の多項式関数です。多変数の多項式関数も同様に、複数の不定区間における多項式を用いて定義されます。 多項式関数の定義によれば、明らかに多項式ではないが、多項式関数を定義する式が存在する場合があります。例えば、区間 において多項式と同じ値を取る式 は、この区間において同じ多項式関数を定義します。 ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(x)=x^{3}-x,}$$ $${\displaystyle f(x,y)=2x^{3}+4x^{2}y+xy^{5}+y^{2}-7.}$$ ${\displaystyle \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)^{2},}$ ${\displaystyle 1-x^{2}}$ ${\displaystyle [-1,1]}$

すべての多項式関数は連続、滑らか、かつ完全です。

多項式の評価は、対応する多項式関数の計算です。つまり、評価は各不定値に数値を代入し、指定された乗算と加算を実行することから構成されます。

1つの不定値を持つ多項式の場合、ホーナー法を使うと評価がより効率的（実行する算術演算の数が少ない）になることが多い。ホーナー法では、多項式を次のように書き直す。 $${\displaystyle (((((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\dotsb +a_{3})x+a_{2})x+a_{1})x+a_{0}.}$$

グラフ

• 
  0次多項式:
  f ( x ) = 2
• 
  1次多項式:
  f ( x ) = 2 x + 1
• 
  2次多項式:
  f ( x ) = x ² − x − 2
  = ( x + 1)( x − 2)
• 
  3次多項式:
  f ( x ) = x ³ /4 + 3 x ² /4 − 3 x /2 − 2
  = 1/4 ( x + 4)( x + 1)( x − 2)
• 
  4次多項式:
  f ( x ) = 1/14 ( x + 4)( x + 1)( x − 1)( x − 3)
  + 0.5
• 
  5次の多項式:
  f ( x ) = 1/20 ( x + 4)( x + 2)( x + 1)( x − 1)
  ( x − 3) + 2
• 
  6次の多項式:
  f ( x ) = 1/100 ( x ⁶ − 2 x ⁵ − 26 x ⁴ + 28 x ³
  + 145 x ² − 26 x − 80)
• 
  7次多項式:
  f ( x ) = ( x − 3)( x − 2)( x − 1)( x )( x + 1)( x + 2)
  ( x + 3)

1 つの実変数の多項式関数はグラフで表すことができます。

• 零多項式のグラフ
  f ( x ) = 0
  x軸です。
• 0次多項式のグラフ
  f ( x ) = a ₀、ただしa ₀ ≠ 0、
  y切片が0_である水平線
• 1次多項式（または線形関数）のグラフ
  f ( x ) = a ₀ + a ₁ x、ただしa ₁ ≠ 0、
  y切片が0 _、傾き が1 の_斜線です。
• 2次多項式のグラフ
  f ( x ) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ²、ただしa ₂ ≠ 0
  放物線です。
• 3次多項式のグラフ
  f ( x ) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + a ₃ x ³、ただしa ₃ ≠ 0
  3次曲線です。
• 2次以上の任意の多項式のグラフ
  f ( x ) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + ⋯ + a _n x ⁿ、ただしa _n ≠ 0 かつn ≥ 2
  連続した非線形曲線です。

非定数多項式関数は、変数が無限大（絶対値）に増加すると、無限大に近づきます。次数が1より大きい場合、グラフには漸近線は存在しません。グラフには、垂直方向の放物線状の枝が2つあります（1つは正のx方向、もう1つは負のx方向）。

多項式グラフは、切片、傾き、凹み、端の挙動を使用して微積分で分析されます。

方程式

多項式方程式は代数方程式とも呼ばれ、次の形式の方程式です。 ^[27] たとえば、 は多項式方程式です。 $${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0.}$$ $${\displaystyle 3x^{2}+4x-5=0}$$

方程式を考える際、多項式の不定値（変数）は未知数とも呼ばれ、解は未知数の取り得る値であり、それらに対して等式が成り立ちます（一般に複数の解が存在する場合があります）。多項式方程式は、のような多項式恒等式とは対照的です。多項式恒等式では、両方の式が同じ多項式を異なる形で表し、結果として両方の要素を評価すると有効な等式が得られます。 ${\displaystyle (x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}}$

初等代数学では、 1次および2次の一変数多項式方程式を解くための二次方程式などの手法が教えられます。三次方程式や四次方程式の公式も存在します。高次数の場合、アーベル・ルフィニの定理により、根号の一般公式は存在しないことが示されます。しかし、根号を求めるアルゴリズムは、任意の次数の多項式式の根の 数値近似値を求めるために使用できます。

実係数の多項式方程式の解の個数は次数を超えることはなく、複素解をその重複度で数えると次数に等しくなります。この事実は代数学の基本定理と呼ばれています。

方程式を解く

非零一変数多項式Pの根とは、 P ( a ) = 0を満たすxの値aのことである。言い換えれば、Pの根とは、多項式方程式P ( x ) = 0の解、あるいはPによって定義される多項式関数の零点である。零多項式の場合、すべての数は対応する関数の零点であり、根の概念はほとんど考慮されない。

数a が多項式Pの根である場合、かつその場合のみ、線型多項式x − aがPを割り切る、すなわちP = ( x − a ) Qとなる別の多項式Qが存在する。 x − aのべき乗（ 1より大きい）がPを割り切ることがある。この場合、aはPの重根であり、それ以外の場合はa はPの単純根である。Pが非ゼロの多項式の場合、 ( x − a ) ^{m が}Pを割り切る最大のべき乗mが存在し、これをPの根としてのaの重複度と呼ぶ。非ゼロ多項式Pの根の数は、それぞれの重複度とともに数えてもPの次数を超えることはできず、^{[28]すべての}複素根を考慮した場合はこの次数に等しくなる（これは代数の基本定理の結果である）。多項式の係数とその根は、ヴィエタの公式によって関連付けられている。

x ² + 1などの一部の多項式は、実数の中に根を持ちません。ただし、受け入れられる解の集合を複素数に拡張すると、定数でない多項式はすべて少なくとも 1 つの根を持ちます。これは代数の基本定理です。因子x − aを順に分解していくと、複素係数を持つ任意の多項式は、定数（その主係数）とそのような 1 次多項式因子の積として表すことができることがわかります。結果として、（複素）根の数とその重複度は、多項式の次数と正確に等しくなります。

「方程式を解く」にはいくつかの意味がある。解を明示的な数で表したい場合もあるだろう。例えば、2 x − 1 = 0の唯一の解は1/2である。これは一般に、1次以上の方程式では不可能であり、古代から数学者は解を代数式で表そうとしてきた。例えば、黄金比 (1+ √ 5 )/2はx ² − x − 1 = 0の唯一の正の解である。古代では、1次と2次方程式についてのみ成功した。二次方程式の場合、二次方程式の公式はそのような解の表現を与える。16世紀以降、3次と4次方程式についても、はるかに複雑ではあるが、同様の公式（平方根に加えて立方根を使用）が知られている（3次方程式と4次方程式を参照）。しかし、5次以上の方程式の公式は、数世紀にわたって研究者を悩ませてきた。 1824年、ニールス・ヘンリク・アーベルは、 5次方程式の中には算術演算と根号のみを含む（有限の）式では表せない解が存在するという驚くべき結果を証明した（アーベル・ルフィニの定理を参照）。1830年、エヴァリスト・ガロアは、4次より高次の方程式のほとんどは根号で解けないことを証明し、各方程式について根号で解けるかどうかを判断でき、解ける場合は解けることを示した。この結果は、現代代数学の重要な2つの分野であるガロア理論と群論の始まりとなった。ガロア自身は、彼の方法によってもたらされる計算は実行不可能であると指摘した。それでもなお、5次および6次の解ける方程式の公式は発表されている（ 5次関数と6次方程式を参照）。

根を表す代数式がない場合、あるいは代数式は存在しても複雑すぎて使えない場合、解の数値近似値を計算することが唯一の解法である。 ^[29]これには多くの方法があり、多項式に限定されるものもあれば、任意の連続関数に適用できるものもある。最も効率的なアルゴリズムは、1,000次以上の多項式方程式を（コンピュータ上で）容易に解くことを可能にする（根を求めるアルゴリズムを参照）。

複数の不定値を持つ多項式において、多項式関数が値0を取る変数の値の組み合わせは、一般に「根」ではなく「零点」と呼ばれます。多項式の零点集合の研究は代数幾何学の対象です。複数の未知数を持つ多項式方程式の集合には、有限個の複素解を持つかどうかを判定するアルゴリズム、そして有限個の複素解を持つ場合はその解を計算するアルゴリズムが存在します。多項式方程式系を参照してください。

すべての多項式が 1 次である特殊なケースは線形方程式系と呼ばれ、古典的なガウス消去法を含むさまざまな解法が存在します。

整数となる解のみに着目する多項式方程式は、ディオファントス方程式と呼ばれます。ディオファントス方程式を解くことは、一般的に非常に困難な作業です。ディオファントス方程式を解くための一般的なアルゴリズムは存在せず、解の集合が空であるかどうかを判断するためのアルゴリズムさえ存在しないことが証明されています（ヒルベルトの第10問題を参照）。過去50年間に解決された最も有名な問題のいくつかは、フェルマーの最終定理など、ディオファントス方程式に関連しています。

多項式

不定値が他の数学的対象に置き換えられた多項式はよく考慮され、特別な名前が付けられることもあります。

三角多項式

三角多項式は、関数sin( nx )とcos( nx )の有限線形結合であり、 nは1つ以上の自然数の値をとります。^[30]実数値関数の場合、係数は実数として取ることができます。

sin( nx )とcos( nx )をsin( x )とcos( x )で展開すると、三角多項式は2つの変数sin( x )とcos( x )の多項式になります（多角公式を使用）。逆に、sin( x )とcos( x )のすべての多項式は、積和恒等式を用いて、関数sin( nx )とcos( nx )の線形結合に変換できます。この同値性は、線形結合が多項式と呼ばれる理由を説明しています。

複素係数の場合、そのような関数と有限フーリエ級数の間に違いはありません。

三角多項式は、例えば周期関数の補間に適用される三角関数補間など、広く用いられています。また、離散フーリエ変換にも用いられます。

行列多項式

行列多項式は、正方行列を変数とする多項式である。^[31]通常のスカラー値多項式を与えられたとき、 この多項式を行列Aで評価すると、 Iは単位行列 である 。^[32]$${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},}$$ $${\displaystyle P(A)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}A^{i}}=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^{2}+\cdots +a_{n}A^{n},}$$

行列多項式方程式は、2つの行列多項式間の等式であり、特定の行列について成立します。行列多項式恒等式は、指定された行列環M _n ( R )内のすべての行列Aについて成立する行列多項式方程式です。

指数多項式

2 番目の変数が最初の変数に適用された指数関数に置き換えられる 2 変数多項式 (たとえば、P ( x、e ^x ) )は、指数多項式と呼ばれることがあります。

関連概念

有理関数

有理分数とは、2つの多項式の商（代数的分数）です。有理分数として書き直せる代数式はすべて有理関数です。

多項式関数は変数のすべての値に対して定義されますが、有理関数は分母がゼロではない変数の値に対してのみ定義されます。

有理分数にはローラン多項式が含まれますが、分母が不定数の累乗に制限されることはありません。

ローラン多項式

ローラン多項式は多項式に似ていますが、変数の負の累乗が可能です。

べき級数

形式的冪級数は多項式に似ていますが、非零の項が無限に出現することを許すため、有限次数を持ちません。多項式とは異なり、形式的冪級数は一般に明示的に完全に書き下すことはできません（無理数と同様に）。しかし、項の操作規則は多項式と同じです。非形式的冪級数も多項式を一般化しますが、2つの冪級数の乗算は収束しない場合があります。

多項式環

可換環R上の多項式fは、その係数すべてが Rに属する多項式である。R 上の不定値の集合に含まれる多項式が可換環を形成することは容易に証明できる。この可換環は、これらの不定値における多項式環と呼ばれ、一変数の場合と多変数の場合で表記される。 ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

したがって 、多変数の場合の理論のほとんどは、反復される単変数の場合に還元できます。 $${\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}]=\left(R[x_{1},\ldots ,x_{n-1}]\right)[x_{n}].}$$

RからR [ x ]への写像（r を自身に写す）は定数多項式として考えられ、これはR をR [ x ]の部分環と見なせる単射環準同型である。特に、R [ x ]はR上の代数である。

環R [ x ]は、 Rに新たな元xを一つ加え、それを最小の方法で拡張して、x が必須関係以外の関係を満たさず、かつRのすべての元と交換関係（つまりxr = rx ）を持つ環に拡張することによってRから生じると考えることができる。これを行うには、 xのすべての冪乗とその線型結合も 加える必要がある。

多項式環の形成は、イデアルを因数分解して因子環を形成することと相まって、既知の環​​から新しい環を構築するための重要なツールとなる。例えば、複素数環（実際には体）は、実数上の多項式環R [ x ]から多項式x ² + 1の倍数のイデアルを因数分解することで構築できる。別の例としては有限体の構築があり、これも同様に、ある素数を法とする整数体を係数環Rとして開始する（モジュラー算術を参照）。

Rが可換であれば、 R [ x ]のすべての多項式Pに、定義域と値域がRに等しい多項式関数f を関連付けることができます。 （より一般的には、定義域と値域をR上の任意の同じ単位結合代数とすることができます。）値rをPの記号xに置き換えると、値f ( r )が得られます。 多項式と多項式関数を区別する理由の 1 つは、いくつかの環上では、異なる多項式から同じ多項式関数が生じる場合があることです（Rがpを法とする整数である例については、フェルマーの小定理を参照してください）。Rが実数または複素数の場合にはそうではなく、そのため解析において 2 つの概念が常に区別されるわけではありません。多項式と多項式関数を区別するさらに重要な理由は、多項式に対する多くの演算 (ユークリッド除算など) では、 xの何らかの定数値で評価するのではなく、多項式が式として何で構成されているかを確認する必要があることです。

割り切れるかどうか

Rが整域でfとg がR [ x ]の多項式である場合、 R [ x ]にf q = gとなる多項式qが存在するとき、 f は g を割り切る 、あるいはfはgの約数であるといわれる。もしq が存在するとき、 a がfの根であるとき、かつa が fを割り切るときのみ、かつ a がf を割り切る。この場合、商は多項式長除法を用いて計算できる。^{[33] [34]} ${\displaystyle a\in R,}$ ${\displaystyle x-a}$

Fが体であり、fとgがg ≠ 0となるF [ x ]の多項式である場合、 rの次数がgの次数より小さいような、 F [ x ]の一意の多項式qとrが存在する（多項式 0 は負の次数を持つという慣例を用いる）。多項式qとrはfとgによって一意に決定される。これはユークリッド除算、剰余除算、または多項式長除算と呼ばれ、環F [ x ]がユークリッド域であることを示す。 $${\displaystyle f=q\,g+r}$$

同様に、素多項式（より正確には、既約多項式）は、2つの非定数多項式の積に因数分解できない非零多項式として定義できます。環の係数の場合、「非定数」は「非定数または非単位」に置き換えなければなりません（体の場合、両方の定義は一致します）。任意の多項式は、可逆定数と既約多項式の積の積に分解できます。係数が体または一意の因数分解領域に属する場合、この分解は、因数の順序と、任意の非単位因数と単位因数の乗算（および単位因数を同じ単位で除算）を除いて一意です。係数が整数、有理数、または有限体に属する場合、既約性をテストし、既約多項式への因数分解を計算するアルゴリズムがあります（多項式の因数分解を参照）。これらのアルゴリズムは手書き計算には適していませんが、あらゆるコンピュータ代数システムで利用可能です。また、場合によっては、 アイゼンシュタインの基準を用いて既約性を判定することもできます。

アプリケーション

位置表記法

十進法などの現代の位取り記数法では、整数表現における数字とその位置（例えば45）は、基数または基数における多項式の略記法であり、この場合、4 × 10 1 + 5 × 10 ⁰となります。別の例として、基数5では、132のような数字列は（十進）数1 × 5 ^{2 + 3} × 5 ¹ + 2 × 5 ⁰ = 42を表します。この表現は一意です。bを1より大きい正の整数とすると、すべての正の整数aは次の形式で一意に表現できます 。

$${\displaystyle a=r_{m}b^{m}+r_{m-1}b^{m-1}+\dotsb +r_{1}b+r_{0},}$$ ここで、mは非負の整数であり 、 rは

0 < r _m < bかつ0 ≤ r _i < b（i = 0, 1, . . . , m − 1）^[35]

補間と近似

多項式関数は構造が単純なため、多項式近似を用いた一般関数の解析に非常に有用である。微積分学における重要な例としては、テイラーの定理（これは、あらゆる微分可能関数は局所的には多項式関数のように見えることを概ね述べている）と、ストーン・ワイエルシュトラスの定理（これは、実軸のコンパクトな区間上で定義されたあらゆる連続関数は、区間全体にわたって多項式関数によって望みどおりに近似できるということを述べている）が挙げられる。実用的な近似方法としては、多項式補間やスプラインの使用などがある。^[36]

その他のアプリケーション

多項式は、他のオブジェクトに関する情報を符号化するために頻繁に用いられます。行列や線型演算子の特性多項式には、演算子の固有値に関する情報が含まれます。代数元の最小多項式は、その要素が満たす最も単純な代数関係を記録します。グラフの彩色多項式は、そのグラフの適切な彩色の数を数えます。

「多項式」という用語は形容詞として、多項式形式で記述できる量や関数にも用いられます。例えば、計算複雑性理論において「多項式時間」という表現は、アルゴリズムの実行にかかる時間が、入力のサイズなど、何らかの変数の多項式関数によって制限されることを意味します。

歴史

多項式の根を求めること、つまり「代数方程式を解くこと」は、数学における最も古い問題の一つです。しかし、今日私たちが使用しているような優雅で実用的な記法は、15世紀になって初めて発展しました。それ以前は、方程式は言葉で書かれていました。例えば、紀元前 200年頃の中国の『九部算理』に出てくる代数問題は、「豊作の束3つ、凡作の束2つ、不作の束1つを29斗で売る」という一文で始まります。これは3 x + 2 y + z = 29と書きます。

記法の歴史

等号の使用例として最も古いのは、ロバート・レコードの『ウィッテの砥石』（1557年）である。加算を表す記号+、減算を表す記号-、そして未知数を表す文字の使用は、マイケル・スティフェルの『積分算術』（1544年）に見られる。ルネ・デカルトは『幾何学』 （1637年）で多項式方程式のグラフの概念を導入した。彼は、定数を表すのにアルファベットの先頭の文字を使用し、変数を表すのにアルファベットの末尾の文字を使用するという手法を普及させた。これは、上記の1変数多項式の一般式で見られるように、定数を定数、変数を変数として表すものである。デカルトは指数を表す上付き文字の使用も導入した。^[37]

参照

• 多項式トピックのリスト

脚注

1. 項の係数は、指定された集合の任意の数を取ることができます。その集合が実数の集合である場合、「実数上の多項式」と呼ばれます。その他の一般的な多項式の種類としては、整数係数を持つ多項式、複素数係数を持つ多項式、そして素数を法とする整数を係数とする多項式があり ます。${\displaystyle p}$
2. この用語は、多項式とそれが定義する関数との区別が明確でなかった時代に由来する。定数項と定数多項式は定数関数を定義する。 ^[要出典]
3. 実際、同次関数としてはあらゆる次数において同次である。 ^[要出典]
4. 一部の著者は「単項式」を「モニック単項式」の意味で使用しています。Knapp , Anthony W. (2007). Advanced Algebra: Along with a Companion Volume Basic Algebra . Springer. p. 457. ISBN 978-0-8176-4522-9。
5. この段落では、多項式が体の係数を持つと仮定します。

注記

1. Beauregard & Fraleigh (1973、p. 153)
2. Burden & Faires (1993、p. 96)
3. フレイリー（1976年、245ページ）
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5. モイーズ（1967年、82ページ）
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外部リンク

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