スピン（物理学）

スピンは、素粒子、したがってハドロン、原子核、原子などの複合粒子によって運ばれる角運動量の固有の形態です。 ^{[ 1 ] [ 2 ]： 183-184}スピンは量子化されており、スピンとの相互作用の正確なモデルには相対論的量子力学または量子場の理論^が 必要です。

電子スピン角運動量の存在は、シュテルン・ゲルラッハ実験などの実験から推測されます。この実験では、銀原子は軌道角運動量を持たないにもかかわらず、2つの個別の角運動量を持つことが観測されました。^{[ 3 ]}相対論的スピン統計定理は、電子スピンの量子化とパウリの排他原理を結び付けています。つまり、排他性の観測は半整数スピンを意味し、半整数スピンの観測は排他性を意味します。

スピンは数学的には、光子などの一部の粒子ではベクトルとして、電子などの他の粒子ではスピノルまたはビスピノルとして記述されます。スピノルとビスピノルはベクトルと同様に振る舞います。つまり、一定の大きさを持ち、回転によって変化します。しかし、それらは非伝統的な「方向」を持ちます。特定の種類の素粒子はすべて、スピン角運動量の大きさは同じですが、その方向は変化することがあります。これは、粒子にスピン量子数を割り当てることで示されます。^{[ 2 ] : 183–184}

スピンのSI単位系は、古典的な角運動量（すなわち、 N · m · s、J · s、またはkg · m ² · s ⁻¹ ）と同じです。量子力学では、角運動量とスピン角運動量はプランク定数に比例する離散的な値をとります。実際には、スピンは通常、スピン角運動量を縮約プランク定数ħで割ることによって無次元スピン量子数として表されます。「スピン量子数」はしばしば単に「スピン」と呼ばれます。

モデル

回転する荷電質量

電子スピンの最も初期のモデルは回転する荷電粒子を想定していたが、このモデルは詳細に検証すると破綻している。必要な空間分布は電子半径の限界と一致しておらず、必要な回転速度は光速を超えている。^{[ 4 ]}標準モデルでは、基本粒子はすべて「点状」であると考えられており、それらの効果は周囲の場を通して現れる。^{[ 5 ]}質量回転に基づくスピンモデルは、このモデルと整合する必要がある。

パウリの「古典的には記述不可能な二価性」

量子スピンの歴史における中心人物であるヴォルフガング・パウリは、当初、実験観測を説明するために導入した「自由度」が回転と関連しているという考えを否定した。彼はそれを「古典的に記述不可能な二価性」と呼んだ。後に彼はそれが角運動量と関連していることを認めたが、スピンを抽象的な性質とみなすことを主張した。 ^{[ 6 ]}このアプローチにより、パウリは彼の基本的なパウリの排他原理の証明（現在ではスピン統計定理と呼ばれている）を展開することができた。^{[ 7 ]}振り返ってみると、この主張と彼の証明のスタイルは、対称性から導かれる抽象的な量子特性が支配的な現代素粒子物理学の時代を切り開いたと言える。具体的な解釈は二次的かつオプション的なものとなった。^{[ 6 ]}

古典場の循環

スピンに関する最初の古典的モデルは、通常の用法から想像されるように、軸を中心に回転する小さな剛体粒子を提唱した。角運動量も古典場から計算することができる。^{[ 8 ] [ 9 ] : 63} フレデリック・ベリンファンテの角運動量計算手法を適用することで、ハンス・C・オハニアン（Hans C. Ohanian）は「スピンは本質的に波動特性であり、電子の波動場における電荷の循環流によって生成される」ことを示した。^{[ 10 ]}このスピンの概念は水中の重力波にも適用できる。「スピンは水粒子の波長以下の円運動によって生成される」。^{[ 11 ]}

角運動量の連続的な値を許容する古典的な波動場循環とは異なり、量子波動場は離散的な値のみを許容する。^{[ 10 ]}その結果、スピン状態へのエネルギー移動、またはスピン状態からのエネルギー移動は常に固定された量子ステップで起こる。許容されるステップ数はわずかである。多くの定性的な目的において、スピン量子波動場の複雑さは無視することができ、システム特性は、後述する量子数で議論されるように、「整数」または「半整数」スピンモデルの観点から議論することができる。

ボルミアン力学では

スピンは量子力学の解釈によって異なる解釈がなされる。ド・ブロイ＝ボーム解釈では、粒子は明確な軌道を持ち、その運動は波動関数、すなわちパイロット波によって駆動される。この解釈では、スピンはパイロット波の特性であり、粒子自体の特性ではない。^{[ 12 ]}

ディラックの相対論的電子

電子のスピン特性の相対論的計算にはディラック方程式が必要である。^{[ 7 ]}

軌道角運動量との関係

名前が示すように、スピンはもともと粒子が何らかの軸を中心に回転する現象として考えられていました。歴史的には、軌道角運動量は粒子の軌道と関連していました。^{[ 13 ] : 131} 力学モデルに基づく名称は生き残っていますが、物理的な説明は残っていません。量子化はスピンと軌道角運動量の両方の性質を根本的に変化させます。

素粒子は点状であるため、自己回転は明確に定義されていない。しかし、スピンは、スピンSに平行な軸の周りの角度θの回転に関して、粒子の位相が角度に依存することを意味する。これは、運動量を位置に対する位相依存性として、また軌道角運動量を角度位置に対する位相依存性として 量子力学的に解釈することと等価である。${\displaystyle e^{iS\theta }\ ,}$

フェルミオンの場合、この図はそれほど明確ではありません。エーレンフェストの定理から、角速度はハミルトニアンをその共役運動量で微分したものに等しく、これは全角運動量演算子J = L + Sです。したがって、ハミルトニアンH がスピンSに何らかの依存性を持つ場合、⁠  ∂ H/ ∂S ​⁠ は ゼロでなければならない。したがって、古典力学、ハミルトニアンにおけるスピンの存在は実際の角速度、ひいては実際の物理的な回転、つまり位相角θの時間変化を生み出す。しかし、自由電子の場合、これが成り立つかどうかは曖昧である。なぜなら、電子の場合、| S |² は定数であるからだ。 1 /2⁠ ℏであり、それが変化できないので、部分(∂) は存在し得ないと判断するかもしれない。したがって、ハミルトニアンがそのような項を含まなければならないかどうか、そして古典力学量子力学に拡張される（任意の粒子の固有スピン角運動量Sは、軌道角運動量L量ではなく、ディラック方程式の数学的解における「スピノル）。それでも、スピンはディラック方程式ディラック場として扱われる電子の相対論的ハミルトニアンはSへの依存性を含むと解釈することができる。 ^{[ 9 ]}

量子数

スピンは角運動量の量子化という数学的法則に従います。スピン角運動量の具体的な性質には以下が含まれます。

• スピン量子数は半整数または整数のいずれかの値を取ることができます。
• 素粒子のスピンの方向は変えられますが、スピンの大きさは変えられません。
• 荷電粒子のスピンは、g因子が1とは異なる磁気双極子モーメントと関連している。（古典的な文脈では、これは回転する非導電性物体の内部電荷と質量の分布が異なることを意味する。^{[ 4 ]}）

スピン量子数の従来の定義はs = ⁠n/2⁠、ここでnは任意の非負整数です。したがって、 sの許容値は 0、 ⁠1/2⁠、1、 ⁠3/2⁠ 、2など。素粒子のsの値は粒子の種類にのみ依存し、既知の方法で変更することはできません（後述するスピン方向とは対照的です）。あらゆる物理系のスピン角運動量Sは量子化されています。Sの許容値は 、 hがプランク定数 、が換算プランク定数です。対照的に、軌道角運動量は整数値、つまりnが偶数の値のみを取ります。 $${\displaystyle S=\hbar \,{\sqrt {s(s+1)}}={\frac {h}{2\pi }}\,{\sqrt {{\frac {n}{2}}{\frac {(n+2)}{2}}}}={\frac {h}{4\pi }}\,{\sqrt {n(n+2)}},}$$ ${\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$

フェルミオンとボソン

半整数スピンを持つ粒子、例えば、1/2⁠、⁠3/2⁠、⁠5/2⁠ はフェルミオンと呼ばれ、0、1、2などの整数スピンを持つ粒子はボソンと呼ばれます。この2つの粒子ファミリーは異なる規則に従い、私たちの周りの世界で大まかに異なる役割を果たします。2つのファミリーの主な違いは、フェルミオンはパウリの排他原理に従うことです。つまり、同じ量子数（おおよそ同じ位置、速度、スピン方向を持つという意味）を持つ2つの同一のフェルミオンは同時に存在できません。フェルミオンはフェルミ・ディラック統計の規則に従います。対照的に、ボソンはボース・アインシュタイン統計の規則に従い、そのような制限がないため、同一の状態で「まとまる」ことがあります。また、複合粒子は、その構成粒子とは異なるスピンを持つことができます。例えば、基底状態のヘリウム4原子はスピン0を持ち、それを構成する クォークと電子がすべてフェルミオンであるにもかかわらず、ボソンのように振る舞います。

これには重大な結果が伴います。

• クォークとレプトン（電子とニュートリノを含む）は、古典的に物質として知られているものを構成するもので、スピン を持つフェルミオンである。1/2⁠。「物質は空間を占める」という一般的な考えは、実際にはこれらの粒子に作用するパウリの排他原理に由来し、フェルミオンが同じ量子状態をとることを防ぎます。さらに密度を高めるには、電子が同じエネルギー状態を占める必要があり、そのため、フェルミオンが過度に接近するのを防ぐ一種の圧力（電子の縮退圧力と呼ばれることもあります）が作用します。
  他のスピンを持つ基本フェルミオン（⁠3/2⁠、⁠5/2⁠など）が存在することは知られていない。
• 力を運ぶと考えられる素粒子はすべてスピン1のボソンです。これらには、電磁力を運ぶ光子、グルーオン（強い力）、そしてWボソンとZボソン（弱い力）が含まれます。ボソンが同じ量子状態を占める能力は、同じ量子数（同じ方向と周波数）を持つ多数の光子を整列させるレーザー、ヘリウム4原子がボソンであることから生じる超流動液体ヘリウム、そして電子対（それぞれはフェルミオン）が単一の複合ボソンとして作用する超伝導などに利用されています。
  他のスピン（0、2、3など）を持つ素粒子は、歴史的には存在が知られていませんでしたが、理論的にはかなりの扱いを受け、それぞれの主流理論の中で十分に確立されています。特に、理論家たちは、スピン2のグラビトン（一部の量子重力理論によって存在が予測されている）と、スピン0のヒッグス粒子（電弱対称性の破れを説明する）を提案してきました。2013年以降、スピン0のヒッグス粒子の存在が証明されたと考えられています。^{[ 14 ]}これは、自然界に存在することが知られている最初のスカラー素粒子（スピン0）です。
• 原子核は半整数または整数の核スピンを持ち、そのため、原子核はフェルミオンまたはボソンのいずれかになります。

スピン統計定理

スピン統計定理は、粒子をボソンとフェルミオンの2つのグループに分類します。ボソンはボース＝アインシュタイン統計に従い、フェルミオンはフェルミ＝ディラック統計（したがってパウリの排他原理）に従います。具体的には、この定理は、半整数スピンを持つ粒子はパウリの排他原理に従うのに対し、整数スピンを持つ粒子は従わないことを要求します。例えば、電子は半整数スピンを持ち、パウリの排他原理に従うフェルミオンですが、光子は整数スピンを持ち、パウリの排他原理に従いません。この定理は1940年にヴォルフガング・パウリによって導かれ、量子力学と特殊相対性理論の両方に基づいています。パウリは、スピンと統計のこの関係を「特殊相対性理論の最も重要な応用の一つ」と表現しました。^{[ 15 ]}

磁気モーメント

中性子のスピンを黒い矢印で示し、中性子の磁気モーメントに関連する磁力線を描いた模式図。中性子は負の磁気モーメントを持つ。この図では、中性子のスピンは上向きである一方、双極子の中心にある磁力線は下向きである。

スピンを持つ粒子は、古典電気力学における回転する荷電体のように、磁気双極子モーメントを持つことができます。これらの磁気モーメントは、シュテルン＝ゲルラッハ実験における不均一磁場による粒子の偏向や、粒子自身によって発生する磁場の測定など、 いくつかの方法で実験的に観測できます。

スピンの固有磁気モーメントμ ⁠1/2⁠電荷q、質量m、スピン角運動量Sを持つ粒子は^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu}}={\frac {g_{\text{s}}q}{2m}}\mathbf {S} ,}$

ここで、無次元量g _sはスピンg因子と呼ばれます。軌道回転のみの場合、スピンg因子は1になります（質量と電荷が等しい半径の球面を占めると仮定した場合）。

電子は荷電粒子であり、ゼロではない磁気モーメントを持っています。量子電磁力学理論の功績の一つは、電子のg因子を正確に予測できることであり、実験的にその値が次のように決定されています。2.002 319 304 360 92 (36)であり、括弧内の数字は、最後の2桁の測定不確かさを1標準偏差で表す。^{[ 17 ]} 2という値は、電子のスピンと電磁気的性質を結び付ける基本方程式であるディラック方程式から生じ、−2は、電子自身の電磁場や仮想粒子を含む周囲の量子場との相互作用から生じる。^{[ 18 ]}

複合粒子もまた、スピンに関連した磁気モーメントを持ちます。特に中性子は電気的に中性であるにもかかわらず、ゼロではない磁気モーメントを持ちます。この事実は、中性子が素粒子ではないことを示唆する初期の証拠でした。実際、中性子は電荷を帯びた粒子であるクォークで構成されています。中性子の磁気モーメントは、個々のクォークのスピンとそれらの軌道運動に由来します。

ニュートリノは素粒子であり、電気的に中性である。ニュートリノ質量がゼロでないケースを考慮した最小拡張標準模型は、ニュートリノの磁気モーメントを次のように予測する： ^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]}

${\displaystyle \mu _{\nu }\approx 3\times 10^{-19}\mu _{\text{B}}{\frac {m_{\nu }c^{2}}{\text{eV}}},}$

ここで、μ _νはニュートリノの磁気モーメント、m _νはニュートリノの質量、μ _Bはボーア磁子である。しかし、電弱スケールを超える新しい物理は、ニュートリノの磁気モーメントが著しく高くなる可能性がある。ニュートリノの磁気モーメントが約10 ⁻¹⁴  μ _Bより大きい場合、ニュートリノの質量への大きな放射寄与も生じるため、「不自然」であることが、モデルに依存しない方法で示される。ニュートリノの質量は最大で約1 eV/ c ^{2 の}場合、放射補正によるニュートリノ質量への大きな寄与を防ぐために微調整が必​​要となる。 ^{[ 22 ]}ニュートリノ磁気モーメントの測定は活発な研究分野である。実験結果から、ニュートリノ磁気モーメントは 電子の磁気モーメントの 1.2 × 10 ^−10倍。

一方、光子やZボソンなど、スピンは持つが電荷を持たない素粒子には磁気モーメントがありません。

方向

スピン投影量子数と多重度

古典力学では、粒子の角運動量は大きさ（物体の回転速度）だけでなく、方向（粒子の回転軸の上下）も持ちます。量子力学的なスピンも方向に関する情報を持ちますが、その形はより微妙です。量子力学によれば、スピン粒子の角運動量の成分は、任意の方向に沿って測定され、以下の値しか取りません^{[ 23 ]。}

${\displaystyle S_{i}=\hbar s_{i},\quad s_{i}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},}$

ここで、Si_はi番目の軸（x、y、zのいずれか）に沿ったスピン成分、si_はi番目の軸に沿ったスピン射影量子数、sは主スピン量子数（前節で説明）である。慣例的に、方向はz 軸が選択される。

${\displaystyle S_{z}=\hbar s_{z},\quad s_{z}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},}$

ここで、S _zはz軸に沿ったスピン成分 、s _zはz軸に沿ったスピン投影量子数です 。

s _zには2 s + 1通りの値が考えられます。「 2 s + 1」という数字は、スピン系の多重度です。例えば、スピン⁠には2通りの値しか考えられません。1/2⁠粒子: s _z = + ⁠1/2⁠そしてs _z = − ⁠1/2これらは、スピン成分がそれぞれ+ z方向または- z方向を向いている量子状態に対応し、「スピンアップ」および「スピンダウン」と呼ばれることが多い。スピン- ⁠3/2⁠デルタ重粒子のような粒子の場合、可能な値は + ⁠3/2⁠、 + ⁠1/2⁠、 − ⁠1/2⁠、 − ⁠3/2⁠。

ベクター

与えられた量子状態に対して、各軸に沿ったスピン成分の期待値を成分とするスピンベクトル、すなわち を考えることができます。このベクトルは、スピンが向いている「方向」を記述し、これは古典的な回転軸の概念に対応します。スピンベクトルは、直接測定できないため、実際の量子力学計算ではあまり役に立ちません。s x _、 s _y、s _{z は}、それらの間に量子不確定性関係があるため、同時に確定した値を持つことはできません。しかし、シュテルン・ゲルラッハ装置 などを用いて、統計的に大規模な粒子の集合を同一の純粋量子状態に置いた場合、スピンベクトルは明確に定義された実験的意味を持ちます。それは、集合内のすべての粒子を最大確率（100%）で検出するために、後続の検出器をどの方向に向けるべきかを、通常の空間で指定します。スピンベクトルの場合、${\textstyle \langle S\rangle }$ ${\textstyle \langle S\rangle =[\langle S_{x}\rangle ,\langle S_{y}\rangle ,\langle S_{z}\rangle ]}$ 1/2⁠粒子の場合、スピンベクトルと検出器の間の角度が増加するにつれて、この確率は徐々に低下し、180°の角度、つまりスピンベクトルと反対方向に向いた検出器の場合、コレクションから粒子を検出する期待値は最低 0% に達します。

スピンベクトルは定性的な概念として、古典的に描きやすいため、しばしば重宝されます。例えば、量子力学的スピンは、古典的なジャイロ効果に類似した現象を示すことがあります。例えば、電子を磁場の中に置くことで、一種の「トルク」を電子に及ぼすことができます（磁場は電子の固有磁気双極子モーメントに作用します。次のセクションを参照）。その結果、スピンベクトルは古典的なジャイロスコープのように歳差運動を起こします。この現象は電子スピン共鳴（ESR）として知られています。原子核内の陽子の同等の挙動は、核磁気共鳴（NMR）分光法とイメージングに利用されています。

数学的には、量子力学的なスピン状態はスピノルと呼ばれるベクトルのような物体によって記述されます。座標回転におけるスピノルとベクトルの挙動には微妙な違いがあります。例えば、スピンを回転させると、⁠1/2⁠粒子を 360° 回転させても同じ量子状態には戻らず、量子位相が反対の状態になります。これは原理的には干渉実験で検出可能です。粒子を正確に元の状態に戻すには、720° 回転させる必要がある (プレート トリックとメビウスの帯は非量子的な類似点を示します)。スピン 0 粒子は、トルクを加えた後でも単一の量子状態しか持てません。スピン 2 粒子を 180° 回転させると同じ量子状態に戻ることができ、スピン 4 粒子を同じ量子状態に戻すには 90° 回転させる必要がある。スピン 2 粒子は、180° 回転させても同じように見えるまっすぐな棒に例えることができ、スピン 0 粒子は球体として想像することができ、どの角度で回転させても同じに見える。

数学的定式化

定義

固有角運動量

粒子が固有スピンを持つとは、その粒子自身の静止系における量子力学的状態が、固有値を持つ演算子の固有状態であることを意味する。^{[ 24 ] [ 25 ]}${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathbf {J} ^{2}}$ ${\displaystyle \hbar ^{2}s(s+1)}$

相対論的量子論

相対論的量子論において、スピンはポアンカレ群の時間的ユニタリー既約表現の不変ラベルとして定義される。質量を持つ粒子に対応する時間的表現の場合、ユニタリー既約表現は質量とスピンによって特徴付けられ、ここでスピンは回転群の既約射影表現を表す。^{[ 26 ] [ 27 ]}${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle SO(3)}$

オペレーター

スピンは、軌道角運動量の交換関係^{[ 28 ]}に類似した交換関係に従う。 ここで、ε _jklはレヴィ・チヴィタ記号である。したがって（角運動量の場合と同様に）、およびの固有ベクトル（全S基底におけるケットとして表される）は^{[ 2 ]：166 となる。}$${\displaystyle \left[{\hat {S}}_{j},{\hat {S}}_{k}\right]=i\hbar \varepsilon _{jkl}{\hat {S}}_{l},}$$ ${\displaystyle {\hat {S}}^{2}}$ ${\displaystyle {\hat {S}}_{z}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {S}}^{2}|s,m_{s}\rangle &=\hbar ^{2}s(s+1)|s,m_{s}\rangle ,\\{\hat {S}}_{z}|s,m_{s}\rangle &=\hbar m_{s}|s,m_{s}\rangle .\end{aligned}}}$$

これらの固有ベクトルに作用する スピン上昇演算子とスピン下降演算子は 次式を与える。^{[ 2 ] : 166} $${\displaystyle {\hat {S}}_{\pm }|s,m_{s}\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m_{s}(m_{s}\pm 1)}}|s,m_{s}\pm 1\rangle ,}$$ ${\displaystyle {\hat {S}}_{\pm }={\hat {S}}_{x}\pm i{\hat {S}}_{y}}$

しかし、軌道角運動量とは異なり、固有ベクトルは球面調和関数ではありません。また、 θとφの関数でもありません。また、 sとm _sが半整数値になることを除外する理由もありません。

すべての量子力学的粒子は固有のスピンを持つ（ただし、この値はゼロになることもある）。スピンの任意の軸への投影は、縮約プランク定数の単位で量子化されるため、粒子の状態関数は、例えば ではなく となる。ただし、は以下の離散集合の値のみを取ることができる。 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} ,s_{z})}$ ${\displaystyle s_{z}}$ $${\displaystyle s_{z}\in \{-s\hbar ,-(s-1)\hbar ,\dots ,+(s-1)\hbar ,+s\hbar \}.}$$

ボソン（整数スピン）とフェルミオン（半整数スピン）を区別します。相互作用過程において保存される全角運動量は、軌道角運動量とスピンの和となります。

パウリ行列

スピンに関連する量子力学的演算子は、1/2⁠観測可能なものは、 直交座標成分のどこに あるか$${\displaystyle {\hat {\mathbf {S} }}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }},}$$ $${\displaystyle S_{x}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x},\quad S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y},\quad S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}.}$$

スピンの特殊なケースでは、1/2⁠粒子、σ _x、σ _y、σ _zは3つのパウリ行列です。 $${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$$

パウリの排他原理

パウリの排他原理は、スピンsを持つN個の同一の粒子のシステムの波動関数は、 N個の粒子 のうちの任意の2つを交換すると、次のように変化しなければならないと述べている。${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\sigma _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N},\sigma _{N})}$ $${\displaystyle \psi (\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots ,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots )=(-1)^{2s}\psi (\dots ,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots ).}$$

したがって、ボソンの場合、前置係数(−1) ^{2 s}は+1に、フェルミオンの場合、前置係数( −1) 2 sは-1に減少します。N粒子の状態関数に関するこの置換公理は、例えば化学元素の 周期表など、日常生活において非常に重要な意味を持ちます。

回転

上述のように、量子力学によれば、任意の方向に沿って測定された角運動量の成分は、いくつかの離散的な値しか取り得ません。したがって、粒子のスピンを量子力学的に記述する最も便利な方法は、与えられた軸上の固有角運動量の射影の振幅に対応する複素数の集合を用いることです。例えば、スピン- ⁠1/2⁠粒子の場合、振幅を与える2つの数値a _±1/2が必要になります。これは、角運動量の投影が+ ⁠に等しい場合に見つかります。ħ/2⁠と− ⁠ħ/2⁠、要件を満たす $${\displaystyle |a_{+1/2}|^{2}+|a_{-1/2}|^{2}=1.}$$

スピンsを持つ一般的な粒子の場合、そのようなパラメータは2 s + 1 個必要になります。これらの数値は軸の選択に依存するため、軸を回転させると、それらは互いに非自明に変換されます。変換則は線形でなければならないことは明らかなので、各回転に行列を関連付けることで表すことができます。回転 A と B に対応する2つの変換行列の積は、回転 AB を表す行列と（位相を除いて）等しくなければなりません。さらに、回転は量子力学的な内積を保存するため、変換行列も同様に保存されます。 $${\displaystyle \sum _{m=-j}^{j}a_{m}^{*}b_{m}=\sum _{m=-j}^{j}\left(\sum _{n=-j}^{j}U_{nm}a_{n}\right)^{*}\left(\sum _{k=-j}^{j}U_{km}b_{k}\right),}$$ $${\displaystyle \sum _{n=-j}^{j}\sum _{k=-j}^{j}U_{np}^{*}U_{kq}=\delta _{pq}.}$$

数学的に言えば、これらの行列は回転群SO(3)のユニタリ射影表現を与える。このような表現はそれぞれ、SO(3)の被覆群の表現であるSU(2)に対応する。^{[ 29 ]} SU(2)のn次元既約表現は各次元に1つ存在するが、この表現は奇数nに対してn次元実数、偶数nに対してn次元複素数（したがって実数次元は2n ）である。平面上で法線ベクトルを持つ角度θの回転に対して、 ここで、、Sはスピン演算子のベクトルである。 ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ $${\displaystyle U=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {S} },}$$ ${\textstyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

証拠

座標系 において、 S _xとS _yが角度θだけ互いに回転していることを示します。まずS _xから始めます。ħ = 1の単位を用いて、 ${\textstyle {\hat {\theta }}={\hat {z}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}\rightarrow U^{\dagger }S_{x}U&=e^{i\theta S_{z}}S_{x}e^{-i\theta S_{z}}\\&=S_{x}+(i\theta )\left[S_{z},S_{x}\right]+\left({\frac {1}{2!}}\right)(i\theta )^{2}\left[S_{z},\left[S_{z},S_{x}\right]\right]+\left({\frac {1}{3!}}\right)(i\theta )^{3}\left[S_{z},\left[S_{z},\left[S_{z},S_{x}\right]\right]\right]+\cdots \end{aligned}}}$$

スピン演算子交換関係を用いると、級数の奇数項については交換子がi S _yに、偶数項については S _xに評価されることがわかる。したがって、予想通りである。なお、スピン演算子交換関係のみに依拠しているため、この証明は任意の次元（すなわち、任意の主スピン量子数s） に対して成立する^{[ 30 ]：164} $${\displaystyle {\begin{aligned}U^{\dagger }S_{x}U&=S_{x}\left[1-{\frac {\theta ^{2}}{2!}}+\cdots \right]-S_{y}\left[\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}\cdots \right]\\&=S_{x}\cos \theta -S_{y}\sin \theta ,\end{aligned}}}$$

3次元空間での一般的な回転は、オイラー角を使用してこのタイプの演算子を組み合わせることで構築できます。 $${\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{-i\alpha S_{x}}e^{-i\beta S_{y}}e^{-i\gamma S_{z}}.}$$

この演算子群の既約表現は、ウィグナーD行列によって与えられる。 ここで、 はウィグナーの小さなd行列で ある。γ = 2π、α = β = 0 、すなわちz軸の周りの1回転の場合には 、ウィグナーD行列の要素は 、$${\displaystyle D_{m'm}^{s}(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv \langle sm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|sm\rangle =e^{-im'\alpha }d_{m'm}^{s}(\beta )e^{-im\gamma },}$$ $${\displaystyle d_{m'm}^{s}(\beta )=\langle sm'|e^{-i\beta s_{y}}|sm\rangle }$$ $${\displaystyle D_{m'm}^{s}(0,0,2\pi )=d_{m'm}^{s}(0)e^{-im2\pi }=\delta _{m'm}(-1)^{2m}.}$$

一般的なスピン状態は、 mが明確な状態の重ね合わせとして表せることを思い出すと、 sが整数であればmの値はすべて整数となり、この行列は恒等演算子に対応することがわかります。しかし、 sが半整数であれば、mの値もすべて半整数となり、すべてのmに対して(−1) ^{2 m} = −1となり、したがって 2 π回転すると状態はマイナス符号を持ちます。この事実は、スピン統計定理の証明において重要な要素です。

ローレンツ変換

同じアプローチを用いて、一般のローレンツ変換におけるスピンの振る舞いを決定することもできるが、すぐに大きな障害に直面することになる。SO(3)とは異なり、ローレンツ変換群SO(3,1)は非コンパクトであり、したがって忠実でユニタリな有限次元表現を持たない。

スピンの場合- ⁠1/2⁠粒子の場合、有限次元表現と、この表現によって保存されるスカラー積の両方を含む構成を見つけることができます。各粒子には4成分のディラックスピノルψ が関連付けられます。これらのスピノルは、ローレンツ変換によって次の法則に従って変換されます。 ここで、γ _νはガンマ行列、ω _μνは変換をパラメータ化する反対称4×4行列です。スカラー積は保存されることが示されます 。ただし、正定値ではないため、表現はユニタリではありません。 $${\displaystyle \psi '=\exp {\left({\tfrac {1}{8}}\omega _{\mu \nu }[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]\right)}\psi ,}$$ $${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle ={\bar {\psi }}\phi =\psi ^{\dagger }\gamma _{0}\phi }$$

x、y、z軸に沿ったスピンの測定

スピンの（エルミート）パウリ行列のそれぞれは、1/2⁠粒子は2つの固有値、+1と-1を持ちます。対応する正規化された固有ベクトルは $${\displaystyle {\begin{array}{lclc}\psi _{x+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}},&\psi _{x-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}},\\\psi _{y+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix}},&\psi _{y-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}},\\\psi _{z+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},&\psi _{z-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.\end{array}}}$$

(定数を掛けた固有ベクトルはどれも固有ベクトルなので、全体の符号についてはあいまいさが残ります。この記事では、符号があいまいな場合は最初の要素を虚数かつ負の数にするという規則を選択します。現在の規則はSymPyなどのソフトウェアで使用されていますが、Sakurai や Griffiths などの多くの物理学の教科書では、最初の要素を実数かつ正の数にすることを好みます。)

量子力学の公理によれば、 x、y、またはz軸上の電子スピンを測定するように設計された実験は、その軸上の対応するスピン演算子（ S _x、S _{y 、}またはS _z ） の固有値のみを生成できます。つまり、 ⁠ħ/2⁠または− ⁠ħ/2⁠ .粒子の量子状態（スピンに関して）は、2成分スピノルで表すことができます。 $${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}a+bi\\c+di\end{pmatrix}}.}$$

この粒子のスピンをある軸（この例ではx軸）に関して測定すると 、そのスピンが次のように測定される確率は、⁠ħ/2⁠はちょうど です。それに応じて、そのスピンが次のように測定される確率は− ⁠${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$ ħ/2⁠はちょうど です。測定後、粒子のスピン状態は対応する固有状態に収束します。結果として、粒子の特定の軸に沿ったスピンが特定の固有値を持つことが測定された場合、他の軸に沿ったスピンの測定が行われない限り、すべての測定で同じ固有値が得られます（ など）。 ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x-}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$ ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{x+}\rangle {\big |}^{2}=1}$

任意の軸に沿ったスピンの測定

任意の軸方向に沿ったスピンを測定する演算子は、パウリのスピン行列から簡単に得られる。u = ( u _x , u _y , u _z )を任意の単位ベクトルとする。この方向のスピンの演算子は単純に $${\displaystyle S_{u}={\frac {\hbar }{2}}(u_{x}\sigma _{x}+u_{y}\sigma _{y}+u_{z}\sigma _{z}).}$$

演算子S _uの固有値は± ⁠ħ/2⁠、通常のスピン行列と同様に。任意の方向のスピンに対する演算子を求めるこの方法は、高次のスピン状態にも一般化され、 x、 y、 z軸方向の3つの演算子のベクトルと方向のドット積を求めます。

スピンの正規化されたスピノル- ⁠1/2⁠ ( u _x , u _y , u _z )方向（これはスピンダウン以外のすべてのスピン状態で機能し、スピンダウンの場合は次の式が得られます⁠0/0⁠）は $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2+2u_{z}}}}{\begin{pmatrix}1+u_{z}\\u_{x}+iu_{y}\end{pmatrix}}.}$$

上記のスピノルは、 σ _u行列を対角化し、固有値に対応する固有状態を求めるという通常の方法で得られます。量子力学では、ベクトルに正規化係数を乗じると「正規化された」ベクトルとなり、その結果ベクトルの長さは1になります。

スピン測定の互換性

パウリ行列は交換しないため、異なる軸に沿ったスピンの測定は両立しない。これは、例えばx軸に沿ったスピンが分かっている状態でy軸 に沿ったスピンを測定すると、 x軸のスピン に関するこれまでの知識が無効になることを意味する 。これは、パウリ行列の固有ベクトル（すなわち固有状態）の性質からわかる。 $${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x\pm }|\psi _{y\pm }\rangle {\big |}^{2}={\big |}\langle \psi _{x\pm }|\psi _{z\pm }\rangle {\big |}^{2}={\big |}\langle \psi _{y\pm }|\psi _{z\pm }\rangle {\big |}^{2}={\tfrac {1}{2}}.}$$

物理学者が粒子のスピンをx軸に沿って測定すると 、例えば、⁠ħ/2⁠、粒子のスピン状態固有状態 に崩壊します。その後、粒子のスピンをy 軸に沿って測定すると、スピン状態は または のいずれかに崩壊し、それぞれの確率は⁠${\displaystyle |\psi _{x+}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{y+}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{y-}\rangle }$ 1/2⁠。この例では、以下の値を測定するとします。⁠ħ/2⁠ 。ここで再びx軸に沿った粒子のスピンを測定すると 、測定する確率は⁠ħ/2⁠または− ⁠ħ/2⁠はそれぞれ⁠1/2⁠（つまり、それぞれとです）。これは、 x軸に沿ったスピンがどちらの固有値を持つかが等しい確率で測定されるため、 x軸 に沿ったスピンの元の測定値がもはや有効ではないこと を意味します。 ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}}$ ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x-}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}}$

より高いスピン

スピン- ⁠1/2⁠演算子S = ⁠ħ/2⁠ σはSU(2)の基本表現を形成する。この表現のクロネッカー積を自身と繰り返し取ることで、すべての高次の既約表現を構築することができる。つまり、このスピン演算子とラダー演算子を用いることで、3次元空間における高スピン系のスピン演算子を、任意の大きさのsに対して計算することができる。例えば、2つのスピンのクロネッカー積を取ると、 ⁠1/2⁠は4次元表現を生成し、これは3次元スピン1（三重項状態）と1次元スピン0表現（一重項状態）に分離可能です。

結果として得られる既約表現は、Z 基底における次のスピン行列と固有値を生成します。

1. スピン1の場合、 $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}&={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\left|1,+1\right\rangle _{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1\\{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}},&\left|1,0\right\rangle _{x}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}},&\left|1,-1\right\rangle _{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1\\{-{\sqrt {2}}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{y}&={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\left|1,+1\right\rangle _{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-1\\-i{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}},&\left|1,0\right\rangle _{y}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},&\left|1,-1\right\rangle _{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-1\\i{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{z}&=\hbar {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}},&\left|1,+1\right\rangle _{z}&={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},&\left|1,0\right\rangle _{z}&={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},&\left|1,-1\right\rangle _{z}&={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$
2. スピン用⁠3/2彼らは $${\displaystyle {\begin{array}{lclc}S_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+3}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\{\sqrt {3}}\\{\sqrt {3}}\\1\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{-{\sqrt {3}}}\\-1\\1\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}\\-1\\-1\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-3}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}-1\\{\sqrt {3}}\\{-{\sqrt {3}}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+3}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{i}\\{-{\sqrt {3}}}\\{-i{\sqrt {3}}}\\1\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{-i{\sqrt {3}}}\\1\\{-i}\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{i{\sqrt {3}}}\\1\\{i}\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-3}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{-i}\\{-{\sqrt {3}}}\\{i{\sqrt {3}}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+3}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-3}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\\\end{array}}}$$
3. スピン用⁠5/2彼らは $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {S}}_{x}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\{\sqrt {5}}&0&2{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2{\sqrt {2}}&0&3&0&0\\0&0&3&0&2{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {S}}_{y}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\i{\sqrt {5}}&0&-2i{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2i{\sqrt {2}}&0&-3i&0&0\\0&0&3i&0&-2i{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2i{\sqrt {2}}&0&-i{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&i{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {S}}_{z}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}5&0&0&0&0&0\\0&3&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-3&0\\0&0&0&0&0&-5\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$
4. これらの行列を任意のスピンに対して一般化すると、添え 字は整数で 、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(S_{x}\right)_{ab}&={\frac {\hbar }{2}}\left(\delta _{a,b+1}+\delta _{a+1,b}\right){\sqrt {(s+1)(a+b-1)-ab}},\\\left(S_{y}\right)_{ab}&={\frac {i\hbar }{2}}\left(\delta _{a,b+1}-\delta _{a+1,b}\right){\sqrt {(s+1)(a+b-1)-ab}},\\\left(S_{z}\right)_{ab}&=\hbar (s+1-a)\delta _{a,b}=\hbar (s+1-b)\delta _{a,b},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle a,b}$ $${\displaystyle 1\leq a\leq 2s+1,\quad 1\leq b\leq 2s+1.}$$

多粒子系の量子力学でも有用な一般パウリ群G _{n は}、パウリ行列の すべてのn重テンソル積で構成されるように定義されます。

高スピンに対するパウリ行列を用いたオイラーの公式 の類似式は 扱いやすいが、それほど単純ではない。^{[ 31 ]}$${\displaystyle {\hat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})=e^{i{\frac {\theta }{2}}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}=I\cos {\frac {\theta }{2}}+i\left({\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)\sin {\frac {\theta }{2}}}$$

パリティ

原子核や粒子のスピン量子数の表では、スピンの後に「+」または「-」が付くことが多い。これはパリティを表し、「 +」は偶パリティ（空間反転によって波動関数が変化しない）、「-」は奇パリティ（空間反転によって波動関数が打ち消される）を表す。例えば、ビスマスの同位体リストでは、同位体一覧に核スピンとパリティの列が含まれている。最も長寿命の同位体であるBi-209の場合、9/2- という項目は核スピンが9/2でパリティが奇数であることを意味する。

スピン測定

原子の核スピンは、オリジナルのシュテルン・ゲルラッハ実験を高度に改良することで決定できます。^{[ 32 ]}不均一磁場中の単一エネルギー（単色）原子分子ビームは、それぞれのスピン量子状態を表すビームに分割されます。電子スピンSと核スピンIを持つ原子の場合、 （2 S + 1）（2 I + 1）のスピン状態が存在します。例えば、S = 1/2を持つ中性Na原子を、2 つの電子スピン状態のうち 1 つを選択し、核スピン状態を分離する一連の不均一磁場に通過させ、そこから 4 つのビームが観測されました。こうして、 ^{23 個}の Na 原子の核スピンはI = 3/2であることがわかりました。^{[ 33 ] [ 34 ]}

素粒子の一種であるパイ中間子のスピンは、荷電パイ中間子と重水素を生成する陽子の衝突に適用された詳細平衡の原理によって決定された。 陽子と重水素の既知のスピン値により、衝突断面積の解析からスピンが であることがわかる。中性パイ中間子の場合は異なるアプローチが必要である。その場合、崩壊によってスピン1の ガンマ線光子が2つ生成された。 この結果と追加解析を組み合わせることで、中性パイ中間子もスピン0であるという結論が導かれる。^{[ 35 ]：66} $${\displaystyle p+p\rightarrow \pi ^{+}+d}$$ ${\displaystyle \pi ^{+}}$ ${\displaystyle s_{\pi }=0}$ $${\displaystyle \pi ^{0}\rightarrow 2\gamma }$$

アプリケーション

スピンは重要な理論的意味合いと実用的応用を持っています。スピンの 確立された直接的な応用には以下が含まれます。

• 化学における核磁気共鳴（NMR）分光法
• 化学および物理学における電子スピン共鳴（ESR または EPR）分光法。
• 医療における磁気共鳴画像法（MRI）。応用NMRの一種で、陽子スピン密度に依存しています。
• 現代のハードディスクにおける巨大磁気抵抗(GMR) ドライブヘッド技術。

電子スピンは磁性において重要な役割を果たしており、例えばコンピュータメモリなどに応用されています。また、高周波（核磁気共鳴）による核スピンの操作は、化学分光法や医用画像診断において重要です。

スピン軌道相互作用は原子スペクトルの微細構造につながり、原子時計や現代の秒の定義に利用されています。電子のg因子の精密測定は、量子電気力学の発展と検証において重要な役割を果たしてきました。光子スピンは光の偏光（光子偏光）と関連しています。

スピンの新たな応用として、スピントランジスタにおけるバイナリ情報キャリアの利用が挙げられます。1990年に提案されたこの概念は、ダッタ・ダス・スピントランジスタとして知られています。^{[ 36 ]}スピントランジスタに基づくエレクトロニクスは、スピントロニクスと呼ばれます。金属ドープZnOやTiO ₂などの希薄磁性半導体材料におけるスピン操作は、さらなる自由度をもたらし、より効率的なエレクトロニクスの製造を促進する可能性があります。^{[ 37 ]}

スピンとそれに関連するパウリの排他原理には、化学の 周期表をはじめ、間接的な応用や現れが数多くあります。

歴史

ヴォルフガング・パウリの講義

スピンは、アルカリ金属の発光スペクトルの文脈で初めて発見されました。1910年頃から、さまざまな原子に対する多くの実験により、原子エネルギー準位の量子数に関連する一連の関係が生成され、部分的にボーアの原子モデルに要約されています^{[ 38 ]。} 準位間の遷移は選択則に従い、その規則は原子番号の偶数または奇数と相関することが知られています。ゼーマン効果として知られる、強い磁場中で観測される原子スペクトルの変化からも、追加の情報がわかっていました。1924年、ヴォルフガング・パウリは、この膨大な経験的観察を用いて新しい自由度を提唱し^{[ 7 ]} 、彼が「古典的には記述できない2値性」^{[ 39 ]}を導入し、最外殻の電子に関連していました。

パウリの「自由度」の物理的解釈は当初不明でした。アルフレッド・ランデの助手の一人であるラルフ・クローニグは、1925年初頭に、それが電子の自己回転によって生じると示唆しました。パウリはこの考えを聞くと、電子の仮想的な表面が光速よりも速く運動して必要な角運動量を生み出す必要があると指摘し、厳しく批判しました。これは相対性理論に反するからです。パウリの批判が大きな原因となり、クローニグは自分の考えを発表しないことに決めました。^{[ 40 ]}

1925年の秋、ライデン大学のオランダ人物理学者ジョージ・ウーレンベックとサミュエル・グッドミットも同様の考えを抱きました。ポール・エーレンフェストの助言の下、彼らは研究結果を発表しました。^{[ 41 ]}若い物理学者たちはすぐにこの発表を後悔しました。ヘンドリック・ローレンツとヴェルナー・ハイゼンベルクは共に、回転する電子の概念に問題点を指摘したのです。^{[ 42 ]}

パウリは特に納得せず、二価自由度の理論を追求し続けました。これにより、彼はパウリの排他原理を定式化し、同じ量子系において 2つの電子が同じ量子状態をとることはできないとしました。

幸いなことに、1926年2月までに、ルウェリン・トーマスは、水素スペクトルの微細構造の実験結果と、ウーレンベックとグードシュミット（およびクローニッヒの未発表）モデルに基づく計算との間の2倍の矛盾を解決することに成功した。 ^{[ 2 ] : 385} この矛盾は、電子の回転静止フレームと原子核の静止フレームの差である相対論的効果によるもので、現在ではトーマス歳差運動として知られている。^{[ 7 ]}トーマスの結果により、パウリは電子スピンが彼の2値自由度の正しい解釈であると確信したが、彼は古典的な回転電荷モデルは無効であると主張し続けた。^{[ 39 ] [ 6 ]}

1927年、パウリはエルヴィン・シュレーディンガーとヴェルナー・ハイゼンベルクによって発明された量子力学理論を用いてスピン理論を定式化した。彼はスピン作用素の表現としてパウリ行列を用いることを開拓し、二成分スピノル波動関数を導入した。

パウリのスピン理論は非相対論的であった。1928年、ポール・ディラックは電子波動関数に4成分スピノル（「ディラックスピノル」として知られる）を用いた相対論的電子方程式を発表した。1940年、パウリはスピン統計定理を証明した。この定理は、フェルミオンは半整数スピンを持ち、ボソンは整数スピンを持つというものである。^{[ 7 ]}

振り返ってみると、電子スピンの最初の直接的な実験的証拠は、1922年のシュテルン・ゲルラッハの実験でした。しかし、この実験の正しい説明は1927年になって初めて与えられました。 ^{[ 43 ]} 元の解釈では、実験で観測された2つのスポットは量子化された軌道角運動量によるものと想定されていました。しかし、1927年にロナルド・GJ・フレーザーは、ナトリウム原子は軌道角運動量を持たない等方性であることを示し、観測された磁気特性は電子スピンによるものだと示唆しました。^{[ 44 ]}同じ年、トーマス・アーウィン・フィップスとジョン・ベラミー・テイラーはシュテルン・ゲルラッハの技術を水素原子に適用しました。水素の基底状態では角運動量はゼロですが、測定値は再び2つのピークを示しました。^{[ 45 ]} 量子論が確立されると、元の解釈は正しくなかったことが明らかになりました。観測と異なり、1つの軸に沿った軌道角運動量の可能な値は常に奇数です。水素原子には 2 つのスピン状態を持つ電子が 1 つあり、これが 2 つの斑点を生み出します。銀原子は閉殻電子を持ち、磁気モーメントには寄与せず、一致しない外側の電子のスピンのみが磁場に反応します。

参照

• カイラリティ（物理学）
• 動的核分極
• ヘリシティ（素粒子物理学）
• ホルスタイン - プリマコフ変換
• クラマースの定理
• パウリ方程式
• パウリ・ルバンスキー擬ベクトル
• ラリタ・シュウィンガー方程式
• SU(2)の表現論
• 光のスピン角運動量
• スピンエンジニアリング
• スピンフリップ
• 水素のスピン異性体
• スピン軌道相互作用
• スピンテンソル
• スピントロニクス
• スピン波
• イラスト

参考文献

1. メルツバッハー、オイゲン(1998).量子力学（第3版）. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. pp.  372–373 . ISBN 978-0-471-88702-7。
2. グリフィス、デイビッド(2005).量子力学入門（第2版）。
3. アイスバーグ, ロバート;レズニック, ロバート(1985). 『原子、分子、固体、核、粒子の量子物理学』（第2版）. Wiley. pp.  272–273 . ISBN 978-0-471-87373-0。
4. Sebens, Charles T. (2019年11月). 「電子はどのように回転するのか」 .科学史と科学哲学の研究 パートB：現代物理学の歴史と哲学の研究. 68 : 40–50 . arXiv : 1806.01121 . Bibcode : 2019SHPMP..68...40S . doi : 10.1016/j.shpsb.2019.04.007 . S2CID 51693779 . 
5. 「Fermilab Today」 www.fnal.gov . 2023年6月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。2023年6月16日閲覧。
6. ジュリーニ、ドメニコ (2008-09-01). 「電子スピン、あるいは「古典的に記述不可能な二価性」」「 .科学史と科学哲学の研究 パートB：近代物理学の歴史と哲学の研究. 39 (3): 557– 578. arXiv : 0710.3128 . Bibcode : 2008SHPMP..39..557G . doi : 10.1016/j.shpsb.2008.03.005 . hdl : 11858/00-001M-0000-0013-13C8-1 . ISSN  1355-2198 .
7. Fröhlich, Jürg (2009). 「スピン、あるいは実際：スピンと量子統計」. Duplantier, Bertrand; Raimond, Jean-Michel; Rivasseau, Vincent (編). 『スピン』. Progress in Mathematical Physics, vol 55.バーゼル：Birkhäuser Basel. pp.  1– 60. arXiv : 0801.2724 . doi : 10.1007/978-3-7643-8799-0_1 . ISBN 978-3-7643-8798-3。
8. Leader, Elliot; Lorcé, Cédric (2014-08-20). 「角運動量論争：その本質と重要性は？」 . Physics Reports . 541 (3): 163– 248. arXiv : 1309.4235 . Bibcode : 2014PhR...541..163L . doi : 10.1016/j.physrep.2014.02.010 . ISSN 0370-1573 . 
9. Peskin, ME & Schroeder, DV (1995).量子場の理論. 上級ブックプログラム. 第3章.
10. Ohanian, Hans C. (1986-06-01). 「スピンとは何か？」(PDF) . American Journal of Physics . 54 (6): 500– 505. Bibcode : 1986AmJPh..54..500O . doi : 10.1119/1.14580 . ISSN 0002-9505 . 2024年9月7日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2023年6月15日閲覧. 
11. Bliokh, Konstantin Y.; Punzmann, Horst; Xia, Hua; Nori, Franco; Shats, Michael (2022-01-21). 「水波における場の理論スピンと運動量」 . Science Advances . 8 (3) eabm1295. Bibcode : 2022SciA....8.1295B . doi : 10.1126 /sciadv.abm1295 . ISSN 2375-2548 . PMC 8782445. PMID 35061526 .   
12. Cushing, JT; Fine, Arthur; Goldstein, S. (2013-04-17). Bohmian Mechanics and Quantum Theory: An Appraisal . Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-015-8715-0. 2025年7月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。2025年4月3日閲覧。
13. ウィテカー、エドマンド卿 (1989). 『エーテルと電気の理論の歴史』第2巻. クーリエ・ドーバー出版. p. 87, 131. ISBN 0-486-26126-3。
14. CERNの公式サイトにあるヒッグス粒子に関する情報。
15. Pauli, Wolfgang (1940). 「スピンと統計の関係」(PDF) . Phys. Rev. 58 ( 8): 716– 722. Bibcode : 1940PhRv...58..716P . doi : 10.1103/PhysRev.58.716 . 2024年1月28日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2024年1月28日閲覧。
16. 原子と分子の物理学、B. H. ブランスデン、C. J. ジョアチェイン、ロングマン、1983年、 ISBN 0-582-44401-2。
17. 「2022 CODATA値：電子g係数」。定数、単位、不確かさに関するNISTリファレンス。NIST。2024年5月。2024年5月18日閲覧。
18. ファインマン, RP (1985). 「電子とその相互作用」. QED: 光と物質の奇妙な理論.プリンストン大学出版局,ニュージャージー州, 115頁. ISBN 978-0-691-08388-9数年後、この値は [ − ⁠1/2⁠ g ] はちょうど 1 ではなく、わずかに大きく、1.00116 のような値でした。この補正は、1948 年にシュウィンガーによって初めてj × jを2 π [ sic ] [ここでjは微細構造定数の平方根]で割ることで算出されました。これは、電子が場所から場所へ移動する別の方法によるものです。ある点から別の点へ直接移動する代わりに、電子はしばらく移動し、突然光子を放出します。そして（恐ろしいことに！）自身の光子を吸収します。
19. Marciano, WJ ; Sanda, AI (1977). 「ゲージ理論におけるミューオンと重いレプトンの異常崩壊」. Physics Letters . B67 (3): 303– 305. Bibcode : 1977PhLB...67..303M . doi : 10.1016/0370-2693(77)90377-X .
20. Lee, BW ; Shrock, RE (1977). 「ゲージ理論における対称性の破れの自然な抑制：ミューオン数と電子レプトン数の非保存」. Physical Review . D16 (5): 1444– 1473. Bibcode : 1977PhRvD..16.1444L . doi : 10.1103/PhysRevD.16.1444 . S2CID 1430757 . 
21. K. Fujikawa; RE Shrock (1980). 「質量を持つニュートリノの磁気モーメントとニュートリノスピン回転」. Physical Review Letters . 45 (12): 963– 966. Bibcode : 1980PhRvL..45..963F . doi : 10.1103/PhysRevLett.45.963 .
22. Bell, NF; Cirigliano, V.; Ramsey-Musolf, M.; Vogel, P.; Wise, Mark; et al. (2005). 「ディラックニュートリノはどの程度磁性を持つのか？」Physical Review Letters . 95 (15) 151802. arXiv : hep-ph/0504134 . Bibcode : 2005PhRvL..95o1802B . doi : 10.1103/PhysRevLett.95.151802 . PMID 16241715 . S2CID 7832411 .  
23. Quanta: A handbook of concepts、P. W. Atkins、オックスフォード大学出版局、1974年、 ISBN 0-19-855493-1。
24. Tung, Wu-Ki (2020). 「§8.4.1」.物理学における群論：古典物理学と量子物理学における対称性原理、群表現、特殊関数入門. ロンドン、イングランド、イギリス: World Scientific. ISBN 978-0-00098975-8。
25. ベレステツキー, ウラジミール・B.;リフシッツ, エフゲニー・M.;ピタエフスキー, レフ・P. (1982).量子電気力学. 理論物理学講座. 第4巻（第2版）. バターワース・ハイネマン. ISBN 978-0-7506-3371-0。
26. Tung, Wu-Ki (2020). 「定理10.10」. 『物理学における群論：対称性原理、群表現、そして古典物理学と量子物理学における特殊関数入門』 . ロンドン、イングランド、イギリス: World Scientific. ISBN 978-0-00098975-8。
27. Weinberg, Steven (2005). 『場の量子論』第1巻. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-67053-1。
28. メサイア、アルバート(2014). 「量子力学における角運動量」.量子力学. ミネオラ、ニューヨーク州: ドーバー出版. p. 540. ISBN 978-1-306-51279-4. OCLC  874097814 .
29. BC Hall (2013).数学者のための量子理論. Springer. pp.  354– 358. Bibcode : 2013qtm..book.....H .
30. 桜井 潤・ジョン、ナポリターノ ジム (2017).現代量子力学(PDF) (第2版). ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1-108-42241-3。
31. Curtright, TL ; Fairlie, DB ; Zachos, CK (2014). 「スピン行列多項式としての回転のコンパクトな公式」. SIGMA . 10 : 084. arXiv : 1402.3541 . Bibcode : 2014SIGMA..10..084C . doi : 10.3842/SIGMA.2014.084 . S2CID 18776942 . 
32. ハミルトン、ドナルド・R. (1941-12-01). 「分子線と核モーメント」 . American Journal of Physics . 9 (6): 319– 337. Bibcode : 1941AmJPh...9..319H . doi : 10.1119/1.1991712 . ISSN 0002-9505 . 
33. Rabi, II; Cohen, VW (1933-04-01). 「ナトリウムの核スピン」 . Physical Review . 43 (7): 582– 583. Bibcode : 1933PhRv...43..582R . doi : 10.1103/PhysRev.43.582 . ISSN 0031-899X . 
34. Estermann, I. (1946-07-01). 「分子ビーム技術」 . Reviews of Modern Physics . 18 (3): 300– 323. Bibcode : 1946RvMP...18..300E . doi : 10.1103/RevModPhys.18.300 . ISSN 0034-6861 . 
35. パーキンス、ドナルド・H. (2008). 『高エネルギー物理学入門』（第4版、印刷版第8版）ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-62196-0。
36. Datta, S. ; Das, B. (1990). 「電気光学変調器の電子アナログ」.応用物理学レターズ. 56 (7): 665– 667. Bibcode : 1990ApPhL..56..665D . doi : 10.1063/1.102730 .
37. Assadi, MHN; Hanaor, DAH (2013). 「TiO ₂多形における銅のエネルギー論と磁性に関する理論的研究」. Journal of Applied Physics . 113 (23): 233913–233913–5. arXiv : 1304.1854 . Bibcode : 2013JAP...113w3913A . doi : 10.1063/1.4811539 . S2CID 94599250 . 
38. ウィテカー、エドマンド・T. (1989). 『エーテルと電気の理論史 2: 1900–1926年の現代理論』（復刻版）. ニューヨーク: ドーバー出版. ISBN 978-0-486-26126-3。
39. ヴォルフガング・パウリ（1946年12月13日）「排他原理と量子力学」ノーベル賞受賞記念講演。
40. ペイス、アブラハム(1991).ニールス・ボーアの時代. オックスフォード: クラレンドン・プレス. pp.  244. ISBN 978-0-19-852049-8。
41. ウーレンベック、G.、G. ;グーズミット、S. (1925 年 11 月)。 「Ersetzung der Hypothese vom unmechanischen Zwang durch eine Forderung bezüglich des inneren Verhaltens jedes einzelnen Elektrons」。Die Naturwissenschaften (ドイツ語)。13 (47): 953–954 .土井: 10.1007/bf01558878。ISSN 0028-1042。S2CID 32211960。  
42. ペイス, アブラハム (1989年12月1日). 「ジョージ・ウーレンベックと電子スピンの発見」 . Physics Today . 42 (12): 34– 40. Bibcode : 1989PhT....42l..34P . doi : 10.1063/1.881186 . ISSN 0031-9228 . 
43. B. Friedrich; D. Herschbach (2003). 「シュテルンとゲルラッハ：悪い葉巻が原子物理学の方向転換にいかに貢献したか」 . Physics Today . 56 (12): 53. Bibcode : 2003PhT....56l..53F . doi : 10.1063/1.1650229 . S2CID 17572089 . 
44. フレイザー、ロナルド・GJ（1927年3月）「配向水素原子の有効断面積」ロンドン王立協会紀要。数学的および物理学的性質の論文を含むシリーズA。114 （767 ）：212–221。Bibcode：1927RSPSA.114..212F。doi ：10.1098 / rspa.1927.0036。ISSN ：0950-1207。 
45. Resnick, R.; Eisberg, R. (1985). 『原子、分子、固体、核、粒子の量子物理学』（第2版）John Wiley & Sons. p.  274. ISBN 978-0-471-87373-0。

さらに読む

• コーエン・タンヌージ、クロード。ディウ、バーナード。ラロエ、フランク (2006)。量子力学（全2巻セット版）。ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 978-0-471-56952-7。
• コンドン, EU; ショートリー, GH (1935). 「特に第3章」.原子スペクトル理論. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-09209-8。
• ヒップル, JA; ゾンマー, H.; トーマス, HA (1949). 「磁気共鳴法によるファラデーの正確な測定法」 .フィジカル・レビュー. 76 (12): 1877– 1878.書誌コード: 1949PhRv...76.1877H . doi : 10.1103/PhysRev.76.1877.2 .
• エドモンズ, AR (1957).量子力学における角運動量. プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-07912-7。
• ジャクソン、ジョン・デイビッド（1998年）『古典電気力学』（第3版）John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-30932-1。
• リーダー、エリオット（2023年）『素粒子物理学におけるスピン』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-1-009-40204-0. 2025年3月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。2025年2月23日閲覧。
• サーウェイ、レイモンド・A.; ジューエット、ジョン・W. (2004). 『科学者とエンジニアのための物理学』（第6版）. ブルックス/コール. ISBN 978-0-534-40842-8。
• トンプソン、ウィリアム・J. (1994). 『角運動量：物理システムの回転対称性に関する図解ガイド』 Wiley. ISBN 978-0-471-55264-2。
• ティプラー、ポール（2004年）『科学者とエンジニアのための物理学：力学、振動と波動、熱力学』（第5版）WHフリーマン、ISBN 978-0-7167-0809-4。

外部リンク

• ウィキクォートにおけるスピン（物理学）に関する引用
• 電子スピンの発見について語るグードスミット 2025年5月28日アーカイブ- Wayback Machine
• Nature：「 1896年以来の『スピン』のマイルストーン。 2023年7月9日、 Wayback Machineにアーカイブ」
• ECE 495N 講義36: スピンアーカイブ2016-08-01 at the Wayback Machine S. Dattaによるオンライン講義