グループ拡張
を によって拡張すると、群 が得られます。これらは短完全列 を形成します。の入射準同型写像はの正規部分群 に写像されます。次に、は に写像され、 の各剰余類はの異なる元に写像されます。質問{\displaystyle Q}北{\displaystyle N}G{\displaystyle G}1→北→ιG→π質問→1{\displaystyle 1\to N\;{\overset {\iota }{\to }}\;G\;{\overset {\pi }{\to }}\;Q\to 1}ι{\displaystyle \iota}北{\displaystyle N}G{\displaystyle G}π{\displaystyle \pi }G{\displaystyle G}質問{\displaystyle Q}ι（北）{\displaystyle \iota (N)}質問{\displaystyle Q}

数学において、群の拡大とは、特定の正規部分群と商群を用いて群を記述する一般的な手段である。とが2つの群である場合、短完全列が存在するならば、はによる群の拡大である。質問{\displaystyle Q}北{\displaystyle N}G{\displaystyle G}質問{\displaystyle Q}北{\displaystyle N}

1→北→ιG→π質問→1.{\displaystyle 1\to N\;{\overset {\iota }{\to }}\;G\;{\overset {\pi }{\to }}\;Q\to 1.}

が によるの拡大であるならば、 は群であり、は の正規部分群であり、商群は群 と同型である。群の拡大は、群と が既知であり、 の性質が決定されるべき拡大問題の文脈で生じる。「は によるの拡大である」という表現も、一部の人々によって用いられている点に注意されたい。[ 1 ]G{\displaystyle G}質問{\displaystyle Q}北{\displaystyle N}G{\displaystyle G}ι（北）{\displaystyle \iota (N)}G{\displaystyle G}G/ι（北）{\displaystyle G/\iota (N)}質問{\displaystyle Q}質問{\displaystyle Q}北{\displaystyle N}G{\displaystyle G}G{\displaystyle G}北{\displaystyle N}質問{\displaystyle Q}

任意の有限群は単純因子群を持つ最大正規部分群を持つので、すべての有限群は有限単純群を持つ拡大の系列として構成できる。この事実は、有限単純群の分類を完成させる動機となった。 G{\displaystyle G}北{\displaystyle N}G/ι（北）{\displaystyle G/\iota (N)}

部分群がの中心に位置する場合、その拡大は中心拡大と呼ばれます。 北{\displaystyle N}G{\displaystyle G}

拡張機能全般

一つの拡張、すなわち直積はすぐに明らかである。 と がアーベル群であることを前提とすれば、与えられた（アーベル）群によるの拡張の同型類の集合は実際には 群であり、これはと 同型である。G{\displaystyle G}質問{\displaystyle Q}質問{\displaystyle Q}北{\displaystyle N}

内線Z1⁡（質問、北）;{\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N);}

Ext関手を参照。他の一般的な拡張クラスはいくつか知られているが、すべての可能な拡張を一度に扱う理論は存在しない。群拡張は通常、難しい問題として説明され、拡張問題と呼ばれる。

いくつか例を挙げると、 の場合、 はと の両方の拡張です。より一般的には、がと の半直積で と書かれる場合、は によるの拡張です。そのため、花輪積などの積は、さらなる拡張の例となります。 G＝K×H{\displaystyle G=K\times H}G{\displaystyle G}H{\displaystyle H}K{\displaystyle K}G{\displaystyle G}K{\displaystyle K}H{\displaystyle H}G＝K⋊H{\displaystyle G=K\rtimes H}G{\displaystyle G}H{\displaystyle H}K{\displaystyle K}

拡張の問題

によるの拡張群とは何かという問題は拡張問題と呼ばれ、19世紀後半から精力的に研究されてきました。その動機として、有限群の合成系列が部分群の有限列であり、各部分群が何らかの単純群による の拡張であることを考えてみましょう。有限単純群の分類は、有限単純群の完全なリストを提供します。したがって、拡張問題の解決は、一般にすべての有限群を構築し分類するのに十分な情報を提供します。 G{\displaystyle G}H{\displaystyle H}北{\displaystyle N}{あ私}{\displaystyle \{A_{i}\}}{あ私+1}{\displaystyle \{A_{i+1}\}}{あ私}{\displaystyle \{A_{i}\}}

拡張機能の分類

拡張問題を解くことは、KによるHのすべての拡張を分類すること、あるいはより実践的に言えば、そのようなすべての拡張を、より理解しやすく計算しやすい数学的対象で表現することである。一般に、この問題は非常に困難であり、最も有用な結果はすべて、何らかの追加条件を満たす拡張を分類するものである。

2つの拡大が同値または合同であるかどうかを知ることは重要です。拡大は

1→K→私G→πH→1{\displaystyle 1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}H\to 1}

そして

1→K→私′G′→π′H→1{\displaystyle 1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1}

群同型が存在し、下の図が可換となる場合、それらは同値（または合同）である。実際には、群準同型があれば十分である。図の可換性が仮定されているため、短五補題によって写像は同型となる。 T:G→G′{\displaystyle T:G\to G'}T{\displaystyle T}

警告

拡大とが同値でないにもかかわらず、GとG'が群として同型となることは起こり得る。例えば、クラインの四元群のによる同値でない拡大が存在するが[ 2 ]、 の群同型性を除いて、 の位数 の正規部分群を含み、 その商群がクラインの四元群と同型であるような群は4つしかない。 1→K→G→H→1{\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}1→K→G′→H→1{\displaystyle 1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1}8{\displaystyle 8}Z/2Z{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }8{\displaystyle 8}2{\displaystyle 2}

些細な拡張

些細な拡張は拡張である

1→K→G→H→1{\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}

これは、拡張と同等である

1→K→K×H→H→1{\displaystyle 1\to K\to K\times H\to H\to 1}

ここで、左矢印と右矢印はそれぞれ の各因子の包含と射影です。 K×H{\displaystyle K\times H}

分割拡張機能の分類

分割拡張機能は拡張機能です

1→K→G→H→1{\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}

準同型 写像で、 HからGへsで行き、その後短完全列の商写像でHに戻ると、 H上の恒等写像、すなわち が誘導される。このような状況では、通常、 sは上記の完全列を分割すると言われる。 s:H→G{\displaystyle s\colon H\to G}π∘s＝私dH{\displaystyle \pi \circ s=\mathrm {id} _{H}}

分割拡大は分類が非常に容易です。なぜなら、拡大が分割されるための必要十分条件は、群GがKとHの半直積となることです。半直積自体は、 の準同型と一対一対応しているため分類が容易です。ここで、Aut( K ) はKの自己同型群です。これが真である理由の詳細については、半直積 を参照してください。 H→自動⁡（K）{\displaystyle H\to \operatorname {Aut} (K)}

用語に関する警告

数学において一般に、構造Kの拡大は、通常、 Kが部分構造である構造Lとみなされます。例えば、体の拡大 を参照してください。しかし、群論では、 という表記法がQのNによる拡大として読みやすく、焦点がQ群に移っていることもあり、逆の用語が使われています。 内線⁡（質問、北）{\displaystyle \operatorname {Ext} (Q,N)}

ロナルド・ブラウンとティモシー・ポーターによるオットー・シュライアーの非可換拡大の理論に関する論文では、Kの拡大はより大きな構造を与えるという用語が使われている。 [ 3 ]

中央拡張

群Gの中心拡大は、群の 短い完全列である。

1→あ→E→G→1{\displaystyle 1\to A\to E\to G\to 1}

Aがに含まれるような群Eの中心。G のAによる中心拡大の同型類の集合は、コホモロジー群と一対一に対応する。 Z（E）{\displaystyle Z(E)}H2（G、あ）{\displaystyle H^{2}(G,A)}

中心拡大の例は、任意の群Gと任意のアーベル群Aをとり、E をと設定することによって構成できます。この種の分割例は、上記の対応関係における の元 0 に対応します。より深刻な例は、射影表現の理論において、射影表現を通常の線型表現に持ち上げることができない場合に見られます。 あ×G{\displaystyle A\times G}H2（G、あ）{\displaystyle H^{2}(G,A)}

有限完全群の場合、普遍完全中心拡大が存在します。

同様に、リー代数 の中心拡大は正確な列である グラム{\displaystyle {\mathfrak {g}}}

0→1つの→e→グラム→0{\displaystyle 0\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0}

が の中心に位置するようなもの。 a{\displaystyle {\mathfrak {a}}}e{\displaystyle {\mathfrak {e}}}

マルツェフ多様体における中心拡大の一般理論が存在する。[ 4 ]

一般拡張への一般化

GのAによるすべての拡大は、からの準同型写像によって同様に分類できる。これは、とコホモロジー群を含む、面倒だが明示的に検証可能な存在条件である。[ 5 ]G→Out⁡(A){\displaystyle G\to \operatorname {Out} (A)}H3(G,Z(A)){\displaystyle H^{3}(G,Z(A))}H2(G,Z(A)){\displaystyle H^{2}(G,Z(A))}

リー群

リー群論において、中心拡大は代数位相との関連で生じる。大まかに言えば、離散群によるリー群の中心拡大は被覆群と同じである。より正確には、連結リー群Gの連結被覆空間G ∗ は、当然Gの中心拡大となり、射影は

π:G∗→G{\displaystyle \pi \colon G^{*}\to G}

は群準同型であり、かつ射影的である。（ G ∗上の群構造は、Gの単位元への写像の選択に依存する。）例えば、G ∗がGの普遍被覆である場合、 πの核はGの基本群であり、これはアーベル群であることが知られている（H空間を参照）。逆に、リー群Gと離散中心部分群Zが与えられたとき、商G / Zはリー群であり、Gはその被覆空間である。

より一般的には、中心拡大に現れる群A、E、Gがリー群であり、それらの間の写像がリー群の準同型である場合、 Gのリー代数がg、Aのリー代数がa 、 Eのリー代数がeであれば、eはaによるgの中心リー代数拡大となる。理論物理学の用語では、aの生成元は中心電荷と呼ばれる。これらの生成元はeの中心にある。ノイマンの定理によれば、対称群の生成元は電荷と呼ばれる保存量に対応する。

被覆群としての中心拡大の基本的な例は次のとおりです。

SL 2 ( R )の場合、無限巡回的な基本群が関係する。ここで関係する中心拡大は、モジュラー形式理論において、重み½の形式の場合によく知られている。対応する射影表現は、フーリエ変換から構成されるヴェイユ表現であり、この場合は実数直線上で表される。メタプレクティック群は量子力学にも現れる。

参照

参考文献

  1. ^グループ+拡張子#nラボ備考2.2での。
  2. ^ページ番号830、Dummit、David S.、Foote、Richard M.、「抽象代数（第3版）」、John Wiley＆Sons、Inc.、Hoboken、NJ（2004）。
  3. ^ブラウン、ロナルド；ポーター、ティモシー（1996年）「非アーベル拡大のシュライアー理論について：一般化と計算」アイルランド王立アカデミー紀要A編96 ( 2): 213-227 . MR  1641218 .
  4. ^ Janelidze, George; Kelly, Gregory Maxwell (2000). 「Malt'sev多様体における中心拡張」 .圏の理論と応用. 7 (10): 219– 226. MR 1774075 . 
  5. ^ PJ Morandi, Group Extensions and H 3 2018年5月17日アーカイブ、Wayback Machineより。彼の短い数学ノート集より。

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