追加

3 + 2 = 5リンゴの場合、教科書でよく使われる選択肢^[1]

加算は通常プラス記号 +で表され、算術の4つの基本演算の1つです。他の3つは減算、乗算、除算です。2つの整数を加算すると、それらの値の合計、つまり和が求められます。例えば、隣の画像にはリンゴが2列に並んでおり、1列目には3個、もう1列目には2個あり、合計で5個になっています。これは「3 + 2 = 5」と表され、「3 + 2 = 5 」と読みます。

加算は、項目を数えるだけでなく、具体的なオブジェクトを参照することなく、整数、実数、複素数といった数値と呼ばれる抽象概念を用いて定義・実行することもできます。加算は算術という数学の一分野に属します。数学の別の分野である代数では、ベクトル、行列、加法群の元といった抽象オブジェクトに対しても加算を行うことができます。

加算にはいくつかの重要な性質があります。加算は可換法則であり、加算する数の順序は重要ではありません（3 + 2 = 2 + 3）。また、加算は結合法則であり、3つ以上の数を加算する場合、加算の順序は重要ではありません。1を繰り返し加算することは、数え上げと同じです（Successor関数を参照）。0を加算しても数は変わりません。加算は、減算や乗算などの関連する演算に関する規則にも従います。

足し算は、最も単純な計算課題の一つです。非常に小さな数の足し算は幼児でも実行できます。最も基本的な課題である1 + 1は、生後5ヶ月の乳児、さらには他の動物種の一部でも行うことができます。初等教育では、 10進法による足し算を、1桁から始めて徐々に難しい問題に取り組むように教えられます。機械的な補助手段は、古代のそろばんから現代のコンピュータまで多岐にわたり、足し算の最も効率的な実装に関する研究は今日まで続いています。

表記法と用語

プラス記号

加算は、項の間にプラス記号「+」を用いて表され、結果はイコール記号を用いて表されます。例えば、は「1＋2＝3」と表されます。^[2]しかし、記号がなくても加算が「理解される」状況もあります。例えば、整数の直後に分数が続く場合、 2つの和を表します。これは帯分数と呼ばれます。例えば、^[3]この表記法は混乱を招く可能性があります。なぜなら、他のほとんどの文脈では、並置は乗算を表すからです。^[4]${\displaystyle 1+2=3}$ $${\displaystyle 3{\frac {1}{2}}=3+{\frac {1}{2}}=3.5.}$$

加算の演算における加数の項

一般的な加算において加算される数または対象は、総称して項^[5]、加数、または被加数^[2]と呼ばれます。この用語は、複数の項の和にも適用されます。これは、乗算される因数とは区別されます。一部の著者は、最初の加数を被加数と呼んでいます。[ 6 ^]実際、ルネサンス時代には、多くの著者が最初の加数を「加数」とは全く考えていませんでした。今日では、加算の交換法則により、「被加数」はほとんど使用されておらず、両方の用語は一般的に加数と呼ばれています。^[7]

上記の用語はすべてラテン語に由来します。「加算」と「加算する」という英語は、ラテン語の動詞 addereに由来します。addereは、インド・ヨーロッパ祖語の語根* deh₃- 「与える」から派生した「〜に」と「与える」の複合語です。つまり、 「〜に与える」とは「 〜に与える」ということです。^[7]動名詞接尾辞-ndを用いると、「〜に加算するもの」を意味する「addend」になります。^{[a]同様に、「〜を増やす」を意味する}augereから、「〜を増やすもの」を意味する「augend」になります。^[8]

15世紀に書かれた、イギリスで書かれた最初の算術書の一つ『ノンブリンガーの術』から再描画されたイラスト。 ^[9]

「合計」と「合計する」は、ラテン語の名詞 summa（「最高の」または「最上位」）に由来し、中世ラテン語のsumma linea（「最上位の行」）で用いられ、数値の列の合計を意味します。これは、古代ギリシャ・ローマの慣習に倣い、列の一番上に合計を置くというものです。^[10] Addereとsummareは、少なくともボエティウス、あるいはウィトルウィウスやフロンティヌスといった初期のローマ人著述家にまで遡ります。ボエティウスは加算演算を表す用語もいくつか使用していました。後に中英語の「adden」と「adding」という用語が普及したのはチョーサーです。^[11]

定義と解釈

加算は算術の4つの基本演算の1つであり、他の3つは減算、乗算、除算です。この演算は2つ以上の項を加算することによって行われます。^[12]多数の加算演算のうち任意の1つは、合計と呼ばれます。^[13]無限合計は、級数として知られる繊細な手順であり、^[14]大文字のシグマ記法で表現できます。これは、与えられたインデックスに基づいて加算演算を反復することを簡潔に表します。 ^[15]例えば、 ${\textstyle \sum }$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{5}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55.}$$

加算は多くの物理プロセスをモデル化するために用いられます。自然数の加算という単純なケースでさえ、多くの解釈が可能であり、視覚的な表現もより豊かになります。

セットを組み合わせる

片方のセットには3つの図形があり、もう片方のセットには2つの図形があります。図形の合計は5つで、これは2つのセットの図形を足し合わせた結果です。${\displaystyle 3+2=5}$

おそらく、加算の最も基本的な解釈は、集合を組み合わせることにある。つまり、^[2]

2 つ以上の分離したコレクションが 1 つのコレクションに結合されると、その 1 つのコレクション内のオブジェクトの数は、元のコレクション内のオブジェクトの数の合計になります。

この解釈は視覚化が容易で、曖昧さの危険性もほとんどありません。高等数学においても有用です（この解釈から導かれる厳密な定義については、以下の§ 自然数 を参照）。しかし、この解釈を分数や負の数にどのように拡張すべきかは明らかではありません。^[16]

一つの可能​​性として、パイや、さらに良い例としては、分割しやすい棒などの物体の集合を考えることが挙げられます。棒は単に断片の集合を結合するのではなく、端と端を繋げて結合することができます。これは、棒を足し合わせるのではなく、棒の長さを足し合わせるという、別の加法の概念を示しています。^[17]

長さを延長する

加算の2番目の解釈は、最初の長さを与えられた長さだけ拡張することから来ます。^[18]

元の長さを指定の量だけ延長すると、最終的な長さは元の長さと延長部分の長さの合計になります。

和は、とを代数的に結合する二項演算として解釈することも、にさらに単位を加える演算として解釈することもできます。後者の解釈では、和の各部分は非対称的な役割を果たし、演算は単項演算をに適用するものとみなされます。^[19]と の両方を加数と呼ぶ代わりに、この場合は が受動的な役割を果たすため、 を「被加数」と呼ぶ方が適切です。単項の見方は減算 を議論する際にも役立ちます。なぜなら、各単項加算演算には逆の単項減算演算があり、その逆もまた同様だからです。 ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle +b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

プロパティ

可換性

ブロックを使った4 + 2 = 2 + 4

加算は可換性があり、つまり、和の項の順序を変えても同じ結果になる。記号的に言えば、と が任意の2つの数である場合、次のようになる。^[20] 加算が可換であるという事実は、「加法の交換法則」^{[21]または「加法の交換性」 [22]}として知られている。乗算^[23]など、他の二項演算も可換であるが、減算や除算^{[24]など、他の}二項演算も可換ではない。${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle a+b=b+a.}$$

結合性

2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3 （分節桿体の場合）

加法は結合法則に従っており、3つ以上の数を加算する場合、演算の順序を変えても結果は変わりません。任意の3つの数、、について、次が成り立ちます。 ^[25] 例えば、 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c).}$$ ${\displaystyle (1+2)+3=1+(2+3)}$

加算を他の演算と組み合わせて用いる場合、演算の順序が重要になります。標準的な演算順序では、加算は累乗、n乗根、乗算、除算よりも優先順位が低くなりますが、減算とは同等の優先順位が与えられます。^[26]

アイデンティティ要素

5 + 0 = 5 のドットの袋

任意の数にゼロを加えても、その数は変化しません。言い換えれば、ゼロは加算の単位元であり、加法単位元とも呼ばれます。記号で表すと、任意の に対して、次の式が成り立ちます。 ^[25] この法則は、628年にブラフマグプタの『ブラフマスプタシッダーンタ』で初めて示されましたが、彼はが負、正、あるいはゼロそのもののいずれであるかに応じて、3つの別々の法則として記述し、代数記号ではなく言葉を用いていました。後のインドの数学者たちはこの概念を洗練させ、830年頃、マハヴィーラは「ゼロは、それに加算されたものと同じになる」と記しました。これは単項式 に対応しています。12世紀には、バースカラは「 を加算しても減算しても、正負の量は同じままである」と記しました。これは単項式 に対応しています。^[27]${\displaystyle a}$ $${\displaystyle a+0=0+a=a.}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0+a=a}$ ${\displaystyle a+0=a}$

後継

整数の文脈では、1の加算も特別な役割を果たします。任意の整数 に対して、その整数 はより大きい最小の整数であり、の次数とも呼ばれます。たとえば、3 は 2 の次数であり、7 は 6 の次数です。この連続性のため、 の値は の-番目の次数と見なすことができ、加算は反復的な連続となります。たとえば、6 + 2は 8 です。これは、8 が 7 の次数であり、7 が 6 の次数であるため、8 は 6 の2番目の次数となるからです。^[28]${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a+1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$

ユニット

単位を持つ物理量を数値的に加算するには、共通の単位で表す必要があります。^[29]例えば、150ミリリットルに50ミリリットルを加えると200ミリリットルになります。しかし、5フィートの寸法を2インチ延長すると、60インチは5フィートと同義であるため、合計は62インチになります。一方、3メートルと4平方メートルを加算しようとするのは、通常意味がありません。なぜなら、これらの単位は比較できないからです。このような考慮は次元解析において基本的なものです。^[30]

加算を実行する

生まれ持った能力

1980年代頃から始まった数学的発達に関する研究では、慣れという現象が利用されてきた。つまり、乳児は予期せぬ状況をより長く見つめるということである。^[31] 1992年にカレン・ウィンがスクリーンの後ろで操作したミッキーマウス人形を使った独創的な実験では、生後5か月の乳児は1 + 1が2になることを予期しており、物理的な状況が 1 + 1が1か3であることを示唆しているように見えると、比較的驚くことが示された。この発見はその後、様々な研究室が異なる方法論を用いて確認されている。^{[32] 1992年に18か月から35か月の年長}幼児を対象に行われた別の実験では、箱からピンポン玉を取り出すことで、乳児の運動制御の発達を利用した。最年少の被験者は小さな数字によく反応したが、年長の被験者は5までの合計を計算することができた。^[33]

人間以外の動物、特に霊長類の中には、限られた範囲で足し算の能力を示すものもいます。1995年に行われた、ウィンの1992年の結果を模倣した実験（人形の代わりにナスを使用）では、アカゲザルとワタボウシタマリンは人間の乳児と同様の成績を示しました。さらに劇的なことに、あるチンパンジーはアラビア数字の0から4の意味を教えられた後、追加の訓練なしに2つの数字の足し算を計算できるようになりました。^[34]最近では、アジアゾウが基本的な算数を行う能力を示しました。^[35]

数えて足す

一般的に、子どもたちはまず数を数えることを習得します。2つの物と3つの物を組み合わせる問題が与えられると、幼い子どもたちは指や絵など、物理的な物を使って状況を模倣し、合計を数えます。経験を積むにつれて、「数え上げ」という戦略を習得または発見します。2と3を足すように言われると、子どもたちは2を3つ数え、「3、4、5」（通常は指を数えながら）と言い、 5にたどり着きます。この戦略はほぼ普遍的であり、子どもたちは仲間や教師から簡単に学ぶことができます。^[36]ほとんどの子どもたちは、この戦略を自力で発見します。さらに経験を積むと、子どもたちは加算の交換法則を利用して、より大きな数から数え上げ、この場合は3から始めて「4、5」と数えることで、より速く足し算を習得します。やがて子どもたちは、経験や暗記によって、特定の加算の法則（「数の結合」）を思い出し始めます。いくつかの事実が記憶に定着すると、子どもたちは既知の事実から未知の事実を導き出し始めます。例えば、6と7を足し算するように言われた子供は、6 + 6 = 12であることを知っていて、 6 + 7は1つ多い、つまり13であると推論するかもしれません。 ^[37]このような導き出された事実は非常に早く見つけることができ、ほとんどの小学生は最終的に暗記した事実と導き出された事実の組み合わせに頼って流暢に足し算をします。^[38]

国によって整数や算数を導入する年齢は異なり、多くの国では就学前教育で足し算を教えています。^[39]しかし、世界中で足し算は小学校1年生の終わりまでに教えられています。^[40]

一桁の加算

10進法における任意の数の加法を行うには、2つの1桁の数字（0から9までの数）を足す能力が必須です。足し算する2桁の数字それぞれに10通りの選択肢があるため、1桁の「足し算の法則」は100通りになり、足し算表にまとめることができます。

一桁の足し算を流暢かつ正確に計算できるようになることは、算数の早期教育における主要な焦点です。生徒は足し算表全体を暗記するよう促されることもありますが、パターンに基づいた戦略の方が一般的に啓発的で、多くの人にとってより効率的です。^[41]

• 交換法則: 前述のように、このパターンを使用すると、「加算事実」の数が 100 から 55 に減ります。${\displaystyle a+b=b+a}$
• 1つまたは2つ追加：1つまたは2つ追加することは基本的な作業であり、数え上げたり、最終的には直感で行うことができます。^[41]
• ゼロ：ゼロは加法の単位元なので、ゼロを足すことは自明です。しかしながら、算数の指導においては、加法は常に加数を増やす過程として教えられる生徒もいます。文章題は、ゼロという「例外」を正当化するのに役立つかもしれません。^[41]
• 倍数：数をそれ自身に加えることは、2で数えることや掛け算と関連しています。倍数に関する事実は、多くの関連する事実の基盤を形成しており、生徒は比較的簡単に理解できます。^[41]
• 近似倍数：6 + 7 = 13のような合計は、倍数である6 + 6 = 12に1を足して簡単に導き出すことができます。また、7 + 7 = 14に1を引いて簡単に導き出すことができます。^[41]
• 5と10 ：5 + xと10 + xの形の和は、通常、幼い頃に暗記され、他の事実を導くために用いられます。例えば、6 + 7 = 13は、5 + 7 = 12に1を足すことで導き出されます。 ^[41]
• 10を作る：上級戦略では、8または9を含む合計の中間値として10を使用します。たとえば、8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14です。^[41]

生徒は成長するにつれて、より多くの事実を記憶し、他の事実を迅速かつ流暢に導き出すことを学びます。多くの生徒はすべての事実を記憶することはできませんが、基本的な事実であれば素早く見つけることができます。^[38]

運ぶ

繰り上がり加算

多桁の数字を加算する標準的なアルゴリズムは、加数を縦に並べ、上記の加算表を用いて、右側の一の位の列から順に列を加算していくというものです。ある列の結果が9を超える場合、超えた桁は次の列に「繰り上がり」ます。例えば、次の図では、 59 + 27の加算における一の位は9 + 7 = 16であり、1が繰り上がりです。^[42]代替戦略として、左側の最上位桁から加算を始める方法があります。この方法では繰り上がりが少し面倒になりますが、合計の大まかな見積もりをより速く得ることができます。^[b]

小数

小数点の加法は、上記の手順を少し変更するだけで可能です。まず、2つの小数点を上下に並べ、小数点の位置を同じにします。必要であれば、短い方の小数点の末尾にゼロを追加して、長い方の小数点と同じ長さにします。最後に、上記と同じ加法を行いますが、小数点は加数と同じ位置に置きます。^[44]例えば、45.1 + 4.34は次のように解けます。

   4 5 . 1 0
+ 0 4 . 3 4
————————————
   4 9 . 4 4

科学的記数法

科学的記数法では、数値は の形式で表記されます。ここでは仮数部、は指数部です。科学的記数法で数値を加算するには、2つの仮数部を単純に加算できるように、同じ指数で表す必要があります。^[45]${\displaystyle x=a\times 10^{b}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 10^{b}}$

例えば：

${\displaystyle {\begin{aligned}&2.34\times 10^{-5}+5.67\times 10^{-6}\\&\quad =2.34\times 10^{-5}+0.567\times 10^{-5}\\&\quad =2.907\times 10^{-5}.\end{aligned}}}$

非10進数

他の基数での加算は10進数の加算と非常によく似ています。例として、2進数の加算を考えてみましょう。^[46] 2つの1桁の2進数を加算するのは、繰り上がりの形式を使うと比較的簡単です。

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0、繰り上がり1（1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2 ¹ )なので）

2つの「1」を加算すると「0」が生成されますが、次の列に1を加算する必要があります。これは、10進数で特定の1桁の数字を加算したときの動作に似ています。つまり、結果が基数の値（10）と等しいかそれを超える場合、左側の数字が1つ増加します。

5 + 5 → 0、繰り上がり1（5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10 ¹ )なので）

7 + 9 → 6、繰り上がり1（7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10 ¹ )なので）

これは繰り上がりと呼ばれます。^[47]加算の結果が桁の値を超える場合、基数で割った超過分（つまり10/10）を左に「繰り上がり」、次の桁の値に加算します。これは、次の桁の重みが基数に等しい係数だけ大きいため、正しい処理です。2進数でも繰り上がりは同様に機能します。

  1 1 1 1 1 (繰り上がり数字)
    0 1 1 0 1
+ 1 0 1 1 1
—————————————
  1 0 0 1 0 0 = 36

_{この例では、2つの数値01101 2} (13 ₁₀ )と10111 ₂ (23 ₁₀ )が加算されます。上段は使用される繰り上がりビットを示しています。右端の列から始めて、1 + 1 = 10 ₂となります。1は左に繰り上がり、0は右端の列の一番下に書き込まれます。右から2番目の列を加算すると、再び1 + 0 + 1 = 10 ₂となり、1が繰り上がり、0が一番下に書き込まれます。3番目の列は、1 + 1 + 1 = 11 ₂となります。今回は1が繰り上がり、一番下の行に1が書き込まれます。このように進めると、最終的な答えは100100 ₂ (36 ₁₀ )となります。

コンピューター

オペアンプを使った加算。詳細は加算アンプの項を参照。

アナログコンピュータは物理量を直接扱うため、その加算メカニズムは加数の形式に依存する。機械式加算器は2つの加数をスライディングブロックの位置として表す場合があり、その場合、平均化 レバーで加算することができる。加数が2つのシャフトの回転速度である場合、差動で加算することができる。油圧加算器は、ニュートンの第2法則を利用してピストンアセンブリにかかる力をバランスさせることで、 2つのチャンバー内の圧力を加算することができる。汎用アナログコンピュータの最も一般的な状況は、2つの電圧（グランドを基準）を加算することである。これは抵抗ネットワークで大まかに実現できるが、より優れた設計ではオペアンプを利用する。^[48]

加算はデジタルコンピュータの動作の基本でもあり、加算の効率、特に桁上げのメカニズムは全体的なパフォーマンスの重要な制限となります。^[49]

チャールズ・バベッジの階差機関の一部。加算と繰り上がりの機構を含む。

そろばんは計算枠とも呼ばれ、現代の記数法が採用される何世紀も前から使われていた計算道具であり、今でもアジア、アフリカ、その他の地域の商人、貿易商、事務員によって広く使われている。その歴史は少なくとも紀元前2700～2300年頃、シュメールで使われていた時代にまで遡る。^[50]

ブレーズ・パスカルは1642年に機械式計算機を発明した。^[51]これは世界初の実用的な加算機であった。パスカルの計算機は重力によるキャリー機構に制限されており、加算するためには車輪が一方向にしか回転できなかった。減算するには、パスカル計算機の補数演算を使用する必要があり、これは加算と同じステップ数を必要とした。^[52] ゴットフリート・ライプニッツはステップ式計算機という別の機械式計算機を製作し、1694年に完成した。またジョヴァンニ・ポレーニは1709年にこの設計を改良し、四則演算をすべて実行できる木製の計算時計を開発した。これらの初期の試みは商業的には成功しなかったが、19世紀の後の機械式計算機に影響を与えた。^[53]

2 つの 2 進数AとBをキャリー入力C _inとともに加算し、合計ビットSとキャリー出力C _{out を}生成する「全加算器」論理回路。

電子デジタル計算機における加算器は、通常2進演算を用いて整数加算を実行する。最も単純なアーキテクチャはリップルキャリー加算器であり、標準的な多桁アルゴリズムに従う。わずかな改良点としてキャリースキップ設計があるが、これも人間の直感に従っている。999 + 1を計算する際に、すべてのキャリーを実行するのではなく、9のグループをバイパスして答えまでスキップする。^[54]

実際には、計算上の加算は、XORおよびANDビット単位の論理演算とビットシフト演算を組み合わせることで実現できます。XORゲートとANDゲートはどちらもデジタルロジックで容易に実現できるため、全加算回路を実現でき、さらにこれらを組み合わせてより複雑な論理演算を実現できます。現代のデジタルコンピュータでは、整数加算は通常最も高速な算術命令ですが、メモリアクセス時のアドレス生成や分岐時の命令フェッチといった基本タスクだけでなく、すべての浮動小数点演算の基礎となるため、パフォーマンスに最も大きな影響を与えます。速度を向上させるため、現代の設計では桁を並列に計算します。これらの方式は、キャリーセレクト、キャリー先読み、Ling擬似キャリーなどと呼ばれています。実際、多くの実装はこれら最後の3つの設計を組み合わせたものです。^[55]

1950年代後半から1960年代初頭にかけての10進コンピュータの中には、加算器の代わりに加算表を使用していたものもあった。例えばRCA 301、^[56] IBM 1620 ^[57]などである。

コンピュータ上で実装された演算は、様々な点で数学的な理想から逸脱する可能性があります。例えば、加算結果がコンピュータが格納できるサイズを超えている場合、算術オーバーフローが発生し、エラーメッセージが表示されたり、誤った答えが返されたりします。予期せぬ算術オーバーフローは、プログラムエラーのかなり一般的な原因です。このようなオーバーフローバグは、検証テストで使用される可能性が低い、非常に大きな入力データセットでのみ発生する可能性があるため、発見と診断が困難な場合があります。^[58] 2000年問題は、年号を2桁形式で使用していたためにオーバーフローエラーが発生した一連のバグでした。^[59]

コンピュータには、浮動小数点演算と呼ばれる別の数値表現方法があります。これは前述の科学的記数法に似ており、オーバーフローの問題を軽減します。各浮動小数点数は指数と仮数の2つの部分で構成されます。2つの浮動小数点数を加算するには、指数が一致している必要があり、通常は小さい方の仮数をシフトすることになります。大きい数と小さい数の差が大きすぎると、精度が低下する可能性があります。多数の小さな数を大きな数に加算する場合は、小さな数を1つずつ大きな数に加算するのではなく、まず小さな数を合計し、その合計を大きな数に加算する方が最善です。このため、浮動小数点加算は一般に非結合的です。^[60]

数の加算

加法の通常の性質を証明するには、まず問題となる文脈における加法を定義する必要がある。加法はまず自然数上で定義される。集合論では、加法は自然数、すなわち整数、有理数、実数を含む、より大きな集合へと拡張される。^[61]数学教育では、^[c]負の数を考慮する前に正の分数が加算される。これは歴史的な流れでもある。^[63]

自然数

2つの自然数との合計を定義する一般的な方法は2つあります。自然数を有限集合の基数（集合の基数とは集合に含まれる要素の数）と定義すると、それらの和は次のように定義するのが適切です。^[64]${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

集合 の濃度をとする。2つの互いに素な集合と（ および）をとる。このとき はと定義される。 ${\displaystyle N(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle N(A)=a}$ ${\displaystyle N(B)=b}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle N(A\cup B)}$

ここで はとの和集合を意味します。この定義の別のバージョンでは、 とが重なり合う可能性を許容し、それらの互いに素な和集合をとります。このメカニズムにより、共通要素が分離され、2回カウントされるようになります。 ${\displaystyle A\cup B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

もう一つの一般的な定義は再帰的である：^[65]

を（自然数で に続く数）の次の数とすると、 、となります。を定義します。 によって一般和を再帰的に定義します。したがって、 となります。 ${\displaystyle n^{+}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0^{+}=1}$ ${\displaystyle 1^{+}=2}$ ${\displaystyle a+0=a}$ ${\displaystyle a+b^{+}=(a+b)^{+}}$ ${\displaystyle 1+1=1+0^{+}=(1+0)^{+}=1^{+}=2}$

繰り返しになりますが、文献によってはこの定義に若干のバリエーションがあります。文字通りに解釈すると、上記の定義は半順序集合への再帰定理の適用です。^[66]一方、自然数の集合 にのみ適用される限定的な再帰定理を用いることを好む文献もあります。この場合、 を一時的に「固定」し、 に再帰を適用して関数 " " を定義し、 に対するこれらの単項演算をすべてまとめて完全な二項演算を形成します。^[67] ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+}$ ${\displaystyle a}$

この加法の再帰的定式化は、1854年という早い時期にデデキントによって開発され、その後数十年にわたって発展させられました。彼は数学的帰納法によって、結合法則や交換法則などを証明しました。^[68]

整数

整数の最も単純な概念は、絶対値（自然数）と符号（一般に正または負）から構成されるというものである。整数ゼロは、正でも負でもない特別な第3のケースである。対応する加法の定義は、以下のケースに従って進めなければならない。^[69]

整数 について、 はその絶対値とします。 とを整数とします。またはのいずれかがゼロの場合、それを恒等項として扱います。と が両方とも正の場合、 と を定義します。と が両方とも負の場合、 と を定義します。と の符号が異なる場合、との差をと定義します（絶対値の大きい方の項の符号は ）。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |n|}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b=|a|+|b|}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b=-(|a|+|b|)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle |a|}$ ${\displaystyle |b|}$

たとえば、−6 + 4 = −2です。 −6 と 4 は符号が異なるため、それらの絶対値が減算され、負の項の絶対値の方が大きいため、答えは負になります。

この定義は具体的な問題には役立つが、考慮すべきケースの数が多いため証明が不必要に複雑になる。そのため、整数を定義するために一般的に使用される次の方法。これは、すべての整数は 2 つの自然整数の差であり、そのような 2 つの差、および が等しいのは の場合のみであるという発言に基づいています。したがって、の場合のみ、同値関係の下で自然数の順序付きペアの同値類として整数を正式に定義できます。^{[70] の}同値類には、の場合、または以外の場合、のいずれかが含まれます。 が自然数であるとすると、の同値類を の同値類で表すことができ、の同値類で表すことができます。これにより、自然数を同値類 と同一視できます。 ${\displaystyle a-b}$ ${\displaystyle c-d}$ ${\displaystyle a+d=b+c}$ ${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$ ${\displaystyle a+d=b+c}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (a-b,0)}$ ${\displaystyle a\geq b}$ ${\displaystyle (0,b-a)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle +n}$ ${\displaystyle (n,0)}$ ${\displaystyle -n}$ ${\displaystyle (0,n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle +n}$

順序付きペアの加算は成分ごとに行われる。^[71] 簡単な計算で、結果の同値類は加数の同値類のみに依存し、したがってこれは同値類、つまり整数の加算を定義することが分かる。^[72]別の簡単な計算で、この加算は上記の場合の定義と同じであることが分かる。 $${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$$

有理数（分数）

有理数の加法には分数が関与します。この計算は最小公分母を用いて行うことができますが、概念的に単純な定義では整数の加法と乗法のみを用います。 例えば、 の和 です。^[73]$${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.}$$ ${\textstyle {\frac {3}{4}}+{\frac {1}{8}}={\frac {3\,\times \,8\,+\,4\,\times \,1}{4\times 8}}={\frac {24\,+\,4}{32}}={\frac {28}{32}}={\frac {7}{8}}}$

分数の足し算は分母が同じであればずっと簡単です。この場合は、分母をそのままにして分子だけを足せばいいのです 。 つまり^[73]$${\displaystyle {\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}},}$$ ${\textstyle {\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1\,+\,2}{4}}={\frac {3}{4}}}$

有理数加算の交換性と結合性は整数算術の法則から容易に導かれる。^[74]

実数

実数全体の集合の一般的な構成法は、有理数全体のデデキント完備化である。実数は有理数のデデキント切断、すなわち下向きに閉じていて最大元を持たない有理数の空でない集合として定義される。実数aとbの和は、要素ごとに次のように定義される。^[75] この定義は、わずかに修正された形で、1872年にリチャード・デデキントによって初めて発表された。 ^[76] 実数の加法の交換法則と結合法則は明白である。実数 0 を負の有理数全体の集合として定義すると、それは容易に加法の恒等式として見ることができる。おそらく、加法に関するこの構成法の中で最も難しい部分は、加法の逆数の定義である。^[77] $${\displaystyle a+b=\{q+r\mid q\in a,r\in b\}.}$$

有理数のコーシー列の追加と使用。${\displaystyle \pi ^{2}/6}$ ${\displaystyle e}$

残念ながら、デデキントカットの乗算は、符号付き整数の加算と同様に、ケースバイケースで時間のかかる処理です。^[78]もう1つのアプローチは、有理数の計量完備化です。実数は、本質的に、有理数のコーシー列の極限、lim  a _nとして定義されます。加算は項ごとに定義されます。^[79] この定義は、ゲオルク・カントールによって1872年に初めて発表されましたが、彼の形式主義は若干異なっていました。^[80] この演算が、ココーシー列を扱って明確に定義されていることを証明する必要があります。その作業が完了すると、実加算のすべての特性は、有理数の特性から直ちに導かれます。さらに、乗算を含む他の算術演算は、単純で類似した定義を持ちます。^[81]$${\displaystyle \lim _{n}a_{n}+\lim _{n}b_{n}=\lim _{n}(a_{n}+b_{n}).}$$

複素数

2 つの複素数の加算は、平行四辺形を構築することによって幾何学的に行うことができます。

複素数は、加数の実数部と虚数部を加算することによって加算されます。^{[82] [83]}つまり、

${\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.}$

複素平面における複素数の視覚化を用いると、加法は次のような幾何学的解釈を持つ。複素平面上の点として解釈される２つの複素数AとBの和は、その３つの頂点がO、A、Bである平行四辺形を構築することによって得られる点Xである。^[84]

一般化

多くの二項演算は、実数に対する加法演算の一般化と見ることができます。代数学の分野は、このような一般化された演算を主に扱っており、集合論や圏論にも現れます。

アーベル群

群論では、群は任意の 2 つの要素を構成できる代数構造です。

順序が重要でない特殊なケースでは、合成演算子は加法と呼ばれることもあります。このような群はアーベル群または可換群と呼ばれ、合成演算子はしばしば「+」と表記されます。

線形代数

線型代数学において、ベクトル空間とは、任意の2つのベクトルの加算とベクトルのスケーリングを可能にする代数構造である。よく知られているベクトル空間は、実数の順序付き対全体の集合である。順序付き対は、ユークリッド平面の原点から平面上の点へのベクトルとして解釈される。2つのベクトルの和は、それぞれの座標を加算することによって得られる。 この加算演算は、速度、加速度、力がすべてベクトルで表される古典力学において中心的な役割を果たしている。 ^[85]${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ $${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$$

行列の加算は、同じ次元の2つの行列に対して定義されます。2つのm × n（「エムバイエヌ」と発音）行列AとBの和（ A + Bと表記）は、対応する要素を加算することで計算されるm × n行列です。 ^{[86] [87]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\[8mu]&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

例えば：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}\\[8mu]&={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

モジュラー算術では、利用可能な数の集合は整数の有限部分集合に制限され、ある値（法）に達すると加算は「ラップアラウンド」する。^[88]例えば、12を法とする整数の集合は12個の要素を持つ。これは音楽集合論の核となる整数の加算演算を継承している。^[89] 2を法とする整数の集合は2個の要素しか持たない。これが継承する加算演算は、ブール論理では「排他的論理和」関数として知られている。^[90]同様の「ラップアラウンド」演算は幾何学でも発生し、2つの角度の尺度の和は、しばしば2πを法とする実数としての和とみなされる。これは円上の加算演算に相当し、これは高次元リー群の演算にも一般化される。^[91]

抽象代数の一般理論によれば、「加法」演算は集合上の任意の結合的かつ可換的な演算とみなされる。このような加法演算を含む基本的な代数構造には、可換モノイドやアーベル群などがある。^[92]

線形結合は乗算と和算を組み合わせたもので、各項に乗数（通常は実数または複素数）がある和です。線形結合は、ゲーム理論における戦略の混合や量子力学における状態の重ね合わせなど、単純な加算では何らかの正規化規則に違反するような状況で特に有用です。^[93]

集合論と圏論

自然数の加法の広範な一般化は、集合論における順序数と基数の加法である。これらは、自然数の超限への加法の2つの異なる一般化を与える。ほとんどの加法演算とは異なり、順序数の加法は可換ではない。^{[94]しかし、基数の加法は可換演算であり、}素和演算と密接に関連している。^[95]

圏論では、非結合和は余積演算の特殊なケースとみなされ^[96]、一般余積はおそらく加法の一般化の中で最も抽象的なものである。直和のような余積は、加法との関連を想起させるために命名されている^{[97] 。}

関連操作

算術

減算は加算の一種、つまり加法の逆元を加算すると考えることができる。減算自体は加算の一種の逆であり、加算と減算は逆関数である。^[98]加算演算を持つ集合が与えられた場合、その集合に対応する減算演算を常に定義できるわけではない。自然数の集合は単純な例である。一方、減算演算は加算演算、加法の逆元、そして加法の恒等式を一意に決定する。このため、加法群は減算に関して閉じた集合として記述することができる。^[99]${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

乗算は繰り返し加算と考えることができます。単一の項x が和の回数に現れる場合、その和はxとxの積です。ただし、これは自然数に対してのみ成り立ちます。^[100]一般的な定義によれば、乗算とは、乗数と被乗数と呼ばれる2つの数の間の演算であり、これらを積と呼ばれる1つの数に組み合わせるものです。^[101]${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

円形計算尺

実数と複素数において、加算と乗算は指数関数によって入れ替えることができる。^[102] この恒等式により、対数表を参照して手動で加算を計算することで乗算を実行できる。また、計算尺上での乗算も可能になる。この公式は、リー群の広い文脈において依然として良好な一階近似であり、無限小群の元の乗算と、関連するリー代数におけるベクトルの加算を関連付けている。^[103]$${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}.}$$

乗算には、加算よりもさらに一般化できるものがある。^[104]一般に、乗算は常に加算に対して分配的である。この要件は環の定義において形式化されている。文脈によっては、整数、加算に対する分配性、そして乗法単位元の存在だけで、乗算を一意に決定できる。分配性は加算演算に関する情報も提供する。積を両方向に展開することで、加算は必ず可換となることが結論付けられる。このため、環の加算は一般に可換である。^[105]${\displaystyle (1+1)(a+b)}$

除算は加算と遠縁の算術演算である。 なので、除算は加算に対して右分配的である：。^[106]しかし、除算は加算に対して左分配的ではない。例えば は と同じではない。^[107]${\displaystyle a/b=ab^{-1}}$ ${\displaystyle (a+b)/c=a/c+b/c}$ ${\displaystyle 1/(2+2)}$ ${\displaystyle 1/2+1/2}$

注文

x = 0.001から1000までのx + 1とmax ( x , 1)の両対数プロット^[108]

最大値演算は、加算に似た二項演算です。実際、2つの非負数とが異なる桁数である場合、それらの和はほぼ最大値に等しくなります。この近似は、例えばテイラー級数の切り捨てなど、数学の応用において非常に有用です。しかし、数値解析においては、本質的に「最大値」が逆行列を持たないため、常に困難な問題となります。が よりはるかに大きい場合、 を直接計算すると許容できない丸め誤差が蓄積され、場合によってはゼロを返す可能性があります。有意性の喪失も参照してください。^[60]${\displaystyle \max(a,b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (a+b)-b}$

近似は、ある種の無限極限において正確になる。すなわち、またはのいずれかが無限基数である場合、それらの基数和は、2つのうち大きい方に正確に等しい。^[d]したがって、無限基数に対しては減算演算は行われない。^[109]${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

最大化は加算と同様に可換かつ結合的である。さらに、加算は実数の順序を保存するため、乗算が加算に分配されるのと同様に、加算は「最大」に分配される。 これらの理由から、トロピカル幾何学では乗算を加算に、加算を最大化に置き換える。この文脈では、加算は「トロピカル乗算」、最大化は「トロピカル加算」と呼ばれ、トロピカルの「加法恒等式」は負の無限大である。^[110]一部の著者は、加算を最小化に置き換えることを好む。その場合、加法恒等式は正の無限大である。^[111]$${\displaystyle a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c).}$$

これらの観察結果をまとめると、トロピカル加算は対数を通して通常の加算とほぼ関連しており、 対数の底が大きくなるにつれて精度が増す。^{[112]この近似は、}量子力学のプランク定数に類似した定数 を抽出し、がゼロに近づく につれて「古典極限」をとることで正確に行うことができる。 この意味で、最大演算は加算の非量子化バージョンである。^{[114 ]}$${\displaystyle \log(a+b)\approx \max(\log a,\log b),}$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle \max(a,b)=\lim _{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).}$$

確率論では

畳み込みは、分布関数によって定義される2つの独立した確率変数を加算するために使用されます。通常の定義では、積分、減算、乗算が組み合わされています。^[115]

参照

• 太陰算法、加算と乗算を桁ごとの最大値と最小値に置き換えた算術のバージョン
• 暗算、機械的または書面による補助なしに加算を実行する方法
• ミンコフスキー和、幾何学的図形に対する加算演算
• 並列加算（数学）、逆数値の和の逆数値
• プレフィックス合計、累計を求める計算問題
• ピタゴラスの加法。直角三角形の2辺の長さを足して斜辺の長さを求める。
• 言葉による算数（暗号算数とも呼ばれる）、加算を伴うパズル
• 相対論的速度を加算するための速度加算式

注記

1. 「Addend」はラテン語の単語ではありません。ラテン語では、 numerus addendus「加算される数」のように、さらに活用形をとる必要があります。
2. 例えば、アル＝フワーリズミーはこのようにして左から右へ多桁の加算を実行した。^[43]
3. これはTIMSS数学テストの最高得点を得た国々の調査によるものである。^[62]
4. エンダートンはこの命題を「基数算術の吸収法則」と呼んでいます。これは基数の比較可能性に依存し、したがって選択公理に依存します。

脚注

1. Enderton (1977)、138 ページ: 「...カードK = 2 およびカードL = 3 の 2 つのセットKとLを選択します。指のセットは便利ですが、教科書ではリンゴのセットが推奨されています。」
2. Musser、Peterson、Burger（2013）、87ページ。
3. ディバイン、オルソン、オルソン (1991)、p. 263.
4. マズール（2014年）、161頁。
5. 陸軍省（1961年）、第5.1節。
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42. 一部の著者は「carry」という語は教育には不適切かもしれないと考えている。van de Walle (2004) p. 211は「時代遅れで概念的に誤解を招く」と述べ、「trade」という語を推奨している。しかしながら、「carry」は依然として標準的な用語である。
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61. たとえば、エンダートンの第 4 章と第 5 章ではこの展開を辿っています。
62. シュミット、ホアン、コーガン (2002)、p. 4.
63. Baez & Dolan (2001)、37 ページでは、集合論のプレゼンテーションと「まったく対照的に」歴史的発展を次のように説明しています。「どうやら、半分のリンゴは、負のリンゴよりも理解しやすいようです。」
64. ビーグル (1975)、p. 49;ジョンソン (1975)、p. 120;ディバイン、オルソン、オルソン (1991)、p. 75.
65. エンダートン（1977年）、79ページ。
66. 降順連鎖条件を満たす任意のposetに適用できるバージョンについては、Bergman (2005)、p. 100を参照。
67. Enderton (1977)、p. 79 では、「しかし、必要なのは 1 つのバイナリ演算であり、これらすべての小さな 1 桁関数ではありません」と述べています。${\displaystyle +}$
68. フェレイロス（1999）、223ページ。
69. スミス（1980）、234ページ；スパークス＆リース（1979）、66ページ。
70. キャンベル（1970）、83ページ。
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73. キャメロン＆クレイグ（2013）、29ページ。
74. 検証は Enderton (1977)、p. 104 で行われ、可換環上の一般分数体については Dummit & Foote (1999)、p. 263 で概説されている。
75. エンダートン（1977年）、114ページ。
76. フェレイロス (1999)、p. 135; Stetigkeit und irrationale Zahlen (2005 年 10 月 31 日にWayback Machineにアーカイブ)のセクション 6 を参照してください。
77. カットのすべての要素を反転してその補数を取るという直感的なアプローチは無理数に対してのみ機能します。詳細については、Enderton (1977)、117 ページを参照してください。
78. Schubert, E. Thomas, Phillip J. Windley, James Alves-Foss. 「高階論理定理証明とその応用：第8回国際ワークショップ議事録、第971巻」 Lecture Notes in Computer Science (1995).
79. 教科書的な構成では、通常、「lim」記号をそれほど軽々しく扱うことはできません。コーシー列を使った加法のより慎重で詳細な展開については、Burrill (1967)、138 ページを参照してください。
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99. 集合は依然として空であってはならない。Dummit & Foote (1999)、p. 48では、この基準を乗法的に記述したものについて論じている。
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105. Dummit & Foote (1999)、p. 224。この議論が成り立つためには、加算がグループ演算であり、乗算には恒等式があると仮定する必要があります。
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さらに読む

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• バント、ルーカス・NH; ジョーンズ、フィリップ・S; ベディエント、ジャック・D (1976). 『初等数学の歴史的ルーツ』 プレンティス・ホール出版. ISBN 978-0-13-389015-0。
• プーネン、ビョルン (2010). 「追加」.ガールズ・アングル・ブレティン. 3 ( 3-5 ). ISSN  2151-5743.
• ウィーバー、J・フレッド (1982)「加法と減法：認知的視点」『加法と減法：認知的視点』テイラー＆フランシス、60頁。ISBN 0-89859-171-6。