対数

数学において、数の対数とは、その数を求めるために別の固定値（底）を累乗する指数です。例えば、 $1000$ を底 $10とする対数は$ $3$ です。これは、 $1000が$ $10の$ $3$ 乗であるためです。1000 $= 10$ $3$ $= 10 \times 10 \times 10$ 。より一般的には、 $x$ $=$ $b$ $y$ とすると、 $yは$ $x$ の底 $b$ の対数で、 $log$ $b$ $x$ と表記されるため、 $log$ $10$ $1000 = 3$ となります。一変数関数として、底 $b$ の対数は底 $bの$ 累乗の逆になります。

$10を$ 底とする対数は、十進対数または常用対数と呼ばれ、科学や工学で広く用いられています。自然対数は、 $e \approx 2.718$ を底とし、その導関数が非常に簡単なため、数学や物理学で広く用いられています。二進対数は $2$ を底とし、コンピュータサイエンス、情報理論、音楽理論、写真などで広く用いられています。文脈から底が明確である場合、または無関係な場合は、しばしば省略され、対数は $log$ $x$ と表記されます。

対数は1614年にジョン・ネイピアによって計算を簡素化する手段として導入されました。^[1]対数は航海士、科学者、技術者、測量士などによって急速に採用され、高精度な計算をより容易に行えるようになりました。対数表を用いることで、面倒な多桁の掛け算を表による参照と簡単な加算に置き換えることができます。これは、積の対数が因数の対数の和であるため可能です。

$\log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y,$

ただし $、 b$ 、 $x$ 、 $y は$ すべて正で、 $b \neq 1 で$ ある。計算尺も対数に基づいており、表を使わずに素早く計算できるが、精度は低くなる。今日の対数の概念は、18世紀に対数を指数関数と結び付け、自然対数の底として文字 $eを導入した$ レオンハルト・オイラーに由来する。 ^[2]

対数スケールは、広範囲の量を小さな範囲に縮小します。例えば、デシベル（dB）は、主に信号電力と振幅（音圧が一般的な例）の比率を対数で表すために使用される単位です。化学において、 pHは水溶液の酸性度を対数で表す尺度です。対数は科学的な公式、アルゴリズムの複雑さ、フラクタルと呼ばれる幾何学的オブジェクトの測定においてよく使用されます。対数は、音楽の音程の周波数比を記述するのに役立ち、素数を数える式や階乗を近似する式に使用され、心理物理学のいくつかのモデルに情報を提供し、法廷会計にも役立ちます。

対数を指数の逆関数とする概念は、他の数学的構造にも適用されます。しかし、一般的には、対数は多価関数となる傾向があります。例えば、複素対数は複素指数関数の多価逆関数です。同様に、離散対数は有限群における指数関数の多価逆関数であり、公開鍵暗号などで利用されています。

モチベーション

加算、乗算、累乗は、算術演算の中でも最も基本的な3つです。加算の逆は減算、乗算の逆は除算です。同様に、対数は累乗の逆演算です。累乗とは、ある数値（底 $）bをある指数$ （指数） $y$ で累乗して値 $x$ を求めることです。これは次のように表されます。

$b^{y}=x.$

たとえば、 $2 を$ $3$ 乗すると $8 に$ なります。 $2^{3}=8.$

$b$ を底とする対数は逆演算であり、入力 $x$ から出力 $y を$ 得ます。つまり、 $b$ が正の実数の場合、はと等価です。（ $b が$ 正の実数でない場合、指数と対数の両方を定義できますが、複数の値を取る可能性があり、定義がはるかに複雑になります。） $y=\log _{b}x$ $x=b^{y}$

対数を導入した主な歴史的動機の一つは、次の式である。

$\log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y,$

対数表により、掛け算と割り算が足し算と引き算に簡略化され、コンピュータが発明される前の計算に大いに役立ちました。

意味

正の実数 $b が$ $b \neq 1$ となるとき、正の実数 $xの$ $b$ を底とする対数 [ ^{nb 1]は、} $x$ を得るために $b を$ 何倍しなければならないかを表す指数である。言い換えれば、 $b$ を底とする $x$ の対数は、となる唯一の実数 $y$ である。^[3] $b^{y}=x$

対数は「 $log b x$ 」と表記されます（「bを底とする $x$ の対数」、「 $b$ を底とする $x$ の対数 $」、または最も一般的には「$ $bを底とする$ $x$ の対数」と発音されます）。

同等かつより簡潔な定義は、関数 $log b$ が関数の逆関数であるということです。 $x\mapsto b^{x}$

例

$log 2 16 = 4$ 、 $24 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ であるため。
対数は負になることもある。 ${\textstyle \log _{2}\!{\frac {1}{2}}=-1}$ ${\textstyle 2^{-1}={\frac {1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}.}$
$log 10 150は約 2.176 で、2 と 3 の間にあります。これは、150 が$ $102 = 100$ と $103 = 1000$ の間にあるのと同じです。
任意の底 $b$ について、それぞれ $b$ $1$ $=$ $b$ および $b$ $0 = 1$ であるため、 $log$ $b b$ $=$ $1$ および $log$ $b$ $1$ $=$ 0 となります。

対数的恒等式

いくつかの重要な公式は、対数恒等式や対数法則とも呼ばれ、対数を互いに関連付けています。^[4]

積、商、べき乗、根号

積の対数は、掛け算される数の対数の和です。2つの数の比の対数は、対数の差です。ある数の $p$ 乗の対数は、その数自身の対数の $p倍です。p$ $乗根$ の対数は、ある数を $p$ で割った対数です。次の表に、これらの恒等式と例を示します。各恒等式は、対数の定義または左辺に代入することで導出できます。次の式で、⁠ ⁠と⁠ ⁠は正の実数、⁠ ⁠は 1 より大きい整数です。 $x=b^{\,\log _{b}x}$ $y=b^{\,\log _{b}y}$ $x$ $y$ $p$

基地の変更

対数 $log b xは、$ $任意の底k$ に対する $x$ と $b$ の対数から次の式で計算できる。^[注2]

$\log _{b}x={\frac {\log _{k}x}{\log _{k}b}}.$

一般的な科学計算機は、10と $e$ を底とする対数を計算します。^{[5]任意の底} $b$ に関する対数は、前述の式のいずれかを使用して決定できます。

$\log _{b}x={\frac {\log _{10}x}{\log _{10}b}}={\frac {\log _{e}x}{\log _{e}b}}.$

数値 $x$ とその対数 $y = log b x$ (底 $b$ は不明) が与えられた場合、底は次のように与えられます。

$b=x^{\frac {1}{y}},$

これは定義式を $x=b^{\,\log _{b}x}=b^{y}$ ${\tfrac {1}{y}}.$

特定の根拠

底の選択肢の中で、特によく使われるのは3つです。b = 10 、b = e （無理数 e ≈ 2.71828183 ）、b = 2 （二進対数）です $。$ $数学$ 的 $解析$ $において$ $は$ 、後述する $解析$ $的$ 性質の $ため$ $、$ 底eの対数 $が$ 広く用いられています。一方、 10を底とする対数（常用対数）は、10進法での手計算に容易に使用できます。^[6]

$\log _{10}\,(\,10\,x\,)\ =\;\log _{10}10\ +\;\log _{10}x\ =\ 1\,+\,\log _{10}x\,.$

したがって、 $log 10 (x)$ は正の整数 $xの$ 小数点以下の桁数と関係があります。桁数は、 $log$ $10$ $($ $x$ $)$ よりも確実に大きい最小の整数です。^[7] たとえば、 $log$ $10$ $(5986)$ は約 3.78 です。その次の整数は4 で、これは 5986 の桁数です。自然対数と二進対数はどちらも情報理論で使用され、それぞれナットまたはビットを情報の基本単位として使用することに対応しています。 ^{[8]二進対数は}コンピューターサイエンスでも使用され、バイナリシステムが広く普及しています。音楽理論では、2のピッチ比（オクターブ）はどこにでもあり、2つのピッチ間のセントの数は、ピッチ比の2進対数、つまりlog 2の1200倍のスケールバージョンです（つまり、従来の平均律では半音あたり100セント）、またはそれと同等の $2を底とする対数$ $1/1200です$ 。写真では、再スケールされた2を底とする対数は、露出値、光レベル、露出時間、レンズの絞り、およびフィルム速度を「ストップ」で測定するために使用されます。^[9]

略語 $log xは$ 、文脈や分野から意図する底を推測できる場合、あるいは底が不確定または無関係な場合によく使用されます。常用対数（底10）は、歴史的に対数表や計算尺で使用され、科学や工学の多くの分野における測定と計算の基本的なツールです。これらの文脈では、 $log xは$ 今でも底10の対数を指すことがよくあります。^[10]数学では、 $log xは$ 通常、自然対数（底 $e$ ）を指します。^[11] コンピュータサイエンスと情報理論では、 $logは$ 底2の2進対数を指すことがよくあります。 [ ^{12]次の表は、これらの底に対する対数の一般的な表記法を示しています。「ISO表記法」の列には}、国際標準化機構（ ISO）が提案する表記法が記載されています。^[13]

歴史

17世紀ヨーロッパにおける対数の歴史では、代数的手法の範疇を超えて解析の領域を拡張した新しい関数の発見がありました。対数法は、1614年にジョン・ネイピアによって『対数の驚異の規範の記述』 ( Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio )という本で公に提唱されました。^[19]^{[20]ネイピアの発明以前にも、}プロスタファエレシスや数列表の使用など、同様の範囲の技法は存在しており、これは1600年頃にヨスト・ビュルギによって広範囲に開発されました。 ^[21]^[22]ネイピアは中世ラテン語で対数を表す用語 logarithmus を造りました。これは文字通り「比率-数」を意味し、ギリシア語のlogos (割合、比、単語) + arithmos (数)に由来しています。

ある数の常用対数は、その数に等しい10のべき乗の指数です。^[23]ある数が多くの桁を必要とするという表現は、常用対数への大まかな言及であり、アルキメデスはこれを「数の位数」と呼びました。^[24]最初の実対数は、乗算を加算に変換し、高速計算を容易にするための発見的な手法でした。これらの手法の中には、三角関数の恒等式から導かれた表を用いたものもありました。^{[25]このような手法は、}プロスタファエレシス（prosthaphaeresis）と呼ばれます。

現在自然対数として知られている関数の発明は、プラハ在住のベルギー人イエズス会士、グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンが直角双曲線の求積法を実行しようとしたことに始まります。アルキメデスは紀元前3世紀に『放物線の求積法』を著していましたが、双曲線の求積法はサン＝ヴァンサンが1647年にその結果を発表するまで、いかなる試みも成し遂げられませんでした。対数がその引数の等比数列と値の等差数列の間に提供する関係から、 AA・デ・サラサはサン＝ヴァンサンの求積法と補語における対数の伝統を結び付け、「双曲対数」という用語が生まれ、これは自然対数の同義語となりました。すぐにこの新しい関数は、クリスティアーン・ホイヘンスやジェームズ・グレゴリーによって評価されました。 $Log$ $y$ という表記はゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツによって1675年に採用され^[26] 、翌年彼はそれを積分と結びつけた。 ${\textstyle \int {\frac {dy}{y}}.}$

オイラーが複素自然対数の現代的な概念を開発する前に、ロジャー・コーツは1714年にほぼ同等の結果を示しました。^[27]

$\log(\cos \theta +i\sin \theta )=i\theta .$

対数表、計算尺、歴史的応用

計算機やコンピュータが登場する以前、対数は難しい計算を簡素化することで科学、特に天文学の進歩に貢献しました。測量、天体航法、その他の分野の進歩に不可欠でした。ピエール＝シモン・ラプラスは対数を「

...これは、何ヶ月もかかる作業を数日に短縮することで天文学者の寿命を倍増させ、長時間の計算につきものの間違いや嫌悪感から解放する素晴らしい技術です。^[28]

関数 $f (x)= bx は$ $logbx$ の逆関数である $ため$ 、逆対数関数と呼ばれてきました。^[29]現在では、この関数は指数関数と呼ばれることがより一般 $的$ です。

ログテーブル

対数の実用化を可能にした重要なツールは対数表でした。^[30]最初の対数表は、ネイピアの発明直後の1617年にヘンリー・ブリッグスによってまとめられましたが、底として10を使用するという革新がありました。ブリッグスの最初の表には、1から1000までの範囲のすべての整数の常用対数が14桁の精度で含まれていました。その後、範囲を広げた表が作成されました。これらの表には、特定の範囲内の任意の数 $xに対する$ $log 10 x$ の値が記載されていました。10を底とする対数は計算に広く使用されており、10の因数で異なる数は対数が整数で異なるため、常用対数と呼ばれます。xの常用対数は $、$ 特性値と仮数と呼ばれる整数部分と小数部分に分けることができます。対数表には仮数部のみを記載すれば十分である。なぜなら、小数点から桁を数えることで容易に特性を決定できるからである。^[31] $10 \cdot$ $x$ の特性は $x$ の特性の1と足し合わせたもので、両者の仮数は同じである。したがって、3桁の対数表を用いると、3542の対数は次のように近似される。

${\begin{aligned}\log _{10}3542&=\log _{10}(1000\cdot 3.542)\\&=3+\log _{10}3.542\\&\approx 3+\log _{10}3.54\end{aligned}}$

補間により精度を高めることができます。

$\log _{10}3542\approx {}3+\log _{10}3.54+0.2(\log _{10}3.55-\log _{10}3.54)$

対数は単調関数なので、同じ表を逆引きすることで $10 x$ の値を求めることができます。

計算

$2つの正の数c$ と $d$ の積と商は、それらの対数の和と差として日常的に計算されていました。積 $cd$ または商 $c / d$ は、同じ表を使って和または差の真対数を調べることで得られました。

$cd=10^{\,\log _{10}c}\,10^{\,\log _{10}d}=10^{\,\log _{10}c\,+\,\log _{10}d}$

そして

${\frac {c}{d}}=cd^{-1}=10^{\,\log _{10}c\,-\,\log _{10}d}.$

かなりの精度が要求される手動計算の場合、 2 つの対数を検索し、それらの合計または差を計算し、真数を検索する方が、三角関数の恒等式に依存するprosthaphaeresisなどの以前の方法で乗算を実行するよりもはるかに高速です。

累乗と根号の計算は、乗算または除算と参照によって簡略化されます。

$c^{d}=\left(10^{\,\log _{10}c}\right)^{d}=10^{\,d\log _{10}c}$

そして

${\sqrt[{d}]{c}}=c^{\frac {1}{d}}=10^{{\frac {1}{d}}\log _{10}c}.$

三角関数の計算は、三角関数の常用対数を含む表によって容易になりました。

計算尺

もう一つの重要な用途は計算尺でした。これは、計算に用いられる一対の対数目盛りです。スライドしない対数目盛りであるガンターの定理は、ネイピアの発明の直後に発明されました。ウィリアム・オートレッドはこれを改良し、互いに移動可能な一対の対数目盛りである計算尺を考案しました。数字は、スライドする目盛り上に、それぞれの対数の差に比例した距離で配置されます。上側の目盛りを適切にスライドさせることは、次に示すように、機械的に対数を加算することと同じです。

例えば、下段の目盛りの1から2までの距離と上段の目盛りの1から3までの距離を足すと6となり、これが下段で読み取られます。計算尺は1970年代まで、技術者や科学者にとって不可欠な計算ツールでした。精度は犠牲になりますが、表に基づく計算方法よりもはるかに高速な計算が可能だったからです。^[32]

分析特性

対数をより深く研究するには、関数の概念が必要です。関数とは、ある数値を与えると別の数値を生成する規則です。^[33]一例として、任意の実数 $xから$ $bの$ $x$ 乗を生成する関数があります。ここで、底 $b$ は固定数です。この関数は $f$ $($ $x$ $) =$ $b$ $x$ $と表されます。bが$ 正で1と等しくない場合、実数から正の実数への関数として考えた場合、 $f$ は逆であることが以下で示されます。

存在

$b を$ 1 以外の正の実数とし、f $ (x) = b x$ とします。

実解析における標準的な結果から、任意の連続した厳密な単調関数は、その定義域と値域の間で全単射であることがわかります。この事実は中間値定理から導かれます。^[34]さて、 $f$ は（ $b$ $> 1の場合）$ 厳密な増加関数、または（ $0 <$ $b$ $< 1$ の場合）厳密な減少関数であり、^[35]は連続で、定義域を持ち、値域を持ちます。したがって、 $f$ はからへの全単射です。言い換えれば、すべての正の実数 $y$ に対して、となる実数 $x$ がちょうど1つ存在します。 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} _{>0}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} _{>0}$ $b^{x}=y$

$ここで、をf$ の逆関数とします。つまり、 $log$ $b$ $y$ はとなる唯一の実数 $x$ です。この関数は、 $bを底とする$ 対数関数、または対数関数（あるいは単に対数）と呼ばれます。 $\log _{b}\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R}$ $b^{x}=y$

製品式による特性評価

関数 $log b xは$ 本質的に積の式で特徴付けられる。

$\log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y.$

$より正確には、任意の底b > 1$ の対数は、 $f$ $($ $b$ $) = 1$ を満たす正の実数から実数への唯一の増加関数 fであり、^[36]

$f(xy)=f(x)+f(y).$

対数関数のグラフ

上で説明したように、関数 $log b$ は指数関数の逆です。したがって、 $x$ 座標と $y$ 座標を交換すると（または対角線 $x$ $=$ $y$ で鏡映すると）、右に示すようにそれらのグラフは互いに対応します。つまり、 $f$ のグラフ上の点 $($ $t$ $、$ $u$ $=$ $b$ $t$ $)$ は対数のグラフ上の点 $($ $u$ $、$ $t$ $= log$ $b$ $u$ $)$ を生成し、その逆もまた同様です。結果として、 $b$ が 1 より大きい場合、 x が無限大に増えると、 $log$ $b$ $($ $x$ $)$ $は$ 無限大に発散します（任意の数よりも大きくなります）。その場合、 $log$ $b$ $($ $x$ $)は$ 増加関数です。 $b$ $< 1$ の場合、 $log$ $b$ $($ $x$ $)$ は代わりにマイナスの無限大に近づきます。 $x が$ 0 に近づくと、 $log$ $b$ $x は、$ $b$ $> 1の場合はマイナスの無限大に（$ $b$ $< 1$ の場合はプラスの無限大に）なります。 $x\mapsto b^{x}$

微分と反微分

関数の解析的性質は逆関数にも当てはまる。^[34]例えば、 $f (x) = b x$ が連続かつ微分可能な関数であるように、 $log b y$ も連続かつ微分可能な関数である。大まかに言えば、連続関数は、そのグラフに鋭い「角」がない場合に微分可能である。さらに、指数関数の性質により、 $f$ $($ $x$ $)$ の導関数は $ln($ $b$ $)$ $b$ $x$ と評価されるため、連鎖律から $log$ $b$ $x$ の導関数は^[35]^[37]で与えられる。

${\frac {d}{dx}}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}}.$

つまり、 $b$ $を底とする$ 対数のグラフの点 $（$ $x$ $、log$ $b$ $（$ $x$ $））$ に接する接線の傾きは $、1/（$ $x$ $ln（$ $b$ $））$ に等しくなります。

$ln(x)$ の導関数は $1/ x$ です。これは、 $ln(x)が$ $x$ $= 1$ のときに 0 の値をとる $1/$ $x$ の唯一の反導関数であることを意味します。この非常に単純な式こそが、自然対数を「自然」とみなす根拠となっています。これはまた、定数 $e$ が重要である主な理由の一つでもあります。

一般化された関数引数 $f (x)$ による導関数は

${\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}.$

右辺の商は $f$ の対数微分と呼ばれます。f $'$ $($ $x$ $)を$ $ln($ $f$ $($ $x$ $))$ の微分を用いて計算することを対数微分といいます。^[38]自然対数 $ln($ $x$ $)$ の原始微分は次のようになります。 ^[39]

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.$

他の底に対する対数の不定積分などの関連公式は、この方程式から底の変更を使用して導くことができる。^[40]

自然対数の積分表現

$t$ の自然対数は定積分として定義できます。

$\ln t=\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx.$

この定義の利点は、指数関数や三角関数に依存しない点である。定義は単純な逆数の積分で行われる。積分として、 $ln(t) は$ $x軸と関数$ $1/ x$ のグラフの間の面積に等しく、範囲は $x = 1$ から $x = t$ である。これは、微積分の基本定理と、 $ln(x)の導関数が$ $1/ x$ であるという事実から導かれる。この定義から、積対数とべき乗の公式を導くことができる。^[41]例えば、積の公式 $ln(tu) = ln(t) + ln(u)$ は次のように導かれる。

${\begin{aligned}\ln(tu)&=\int _{1}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\\&{\stackrel {(1)}{=}}\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{t}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\\&{\stackrel {(2)}{=}}\ln(t)+\int _{1}^{u}{\frac {1}{w}}\,dw\\&=\ln(t)+\ln(u).\end{aligned}}$

等式(1)は積分を2つの部分に分割し、等式(2)は変数変換( $w = x / t$ )です。下の図では、この分割は領域を黄色と青色の部分に分割することを意味します。左側の青色の領域を縦方向に係数 $tで再スケーリングし、横方向に同じ係数で縮小しても、領域の大きさは変わりません。適切に移動すると、領域は再び関数$ $f (x) = 1/ x$ のグラフに適合します。したがって、 $t$ から $tu$ までの $f (x)$ の積分である左側の青色の領域は、 1 から $u$ までの積分と同じです。これは、より幾何学的な証明によって等式(2)を正当化します。

べき乗の公式 $ln(t r) = r ln(t)$ も同様の方法で導くことができる。

${\begin{aligned}\ln(t^{r})&=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx\\&=\int _{1}^{t}{\frac {1}{w^{r}}}\left(rw^{r-1}\,dw\right)\\&=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{w}}\,dw\\&=r\ln(t).\end{aligned}}$

2番目の等式では変数の変更（置換積分）が使用され、 $w = x 1/ r$ となります。

自然数の逆数の和、

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},$

は調和級数と呼ばれる。これは自然対数と密接に関係しており、 $nが$ 無限大に近づくにつれて、

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n),$

はオイラー・マスケロニ定数 $γ = 0.5772...に$ 収束（つまり、任意に近づく）します。この関係は、クイックソートなどのアルゴリズムのパフォーマンスを分析するのに役立ちます。^[42]

対数の超越

代数的ではない実数は超越数と呼ばれる。^[43]例えば、 $π$ とeは超越数であるが、は超越数ではない。ほとんどすべての実数は超越数である。対数は超越関数の一例である。ゲルフォンド＝シュナイダーの定理は、対数は通常超越数、すなわち「扱いにくい」値を取ることを主張している。^[44] ${\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$

計算

$対数は、 log 10 (1000) = 3$ のように、場合によっては簡単に計算できます。一般に、対数はべき級数または算術幾何平均を使用して計算するか、固定精度を提供する事前に計算された対数表から取得できます。 ^[45]^[46] ニュートン法は、方程式を近似的に解く反復法ですが、その逆関数である指数関数を効率的に計算できるため、対数の計算にも使用できます。^[47]ルックアップテーブルを使用すると、CORDICのような方法を使用して、加算とビットシフトの操作のみを使用して対数を計算できます。^[48]^[49]さらに、2進対数アルゴリズムは、関係を利用して、 $x$ の繰り返しの2乗に基づいて、 $lb(x)を$ 再帰的に計算します。

$\log _{2}\left(x^{2}\right)=2\log _{2}|x|.$

べき級数

テイラー級数

$0 <$ $z$ $\leq 2$ を満たす任意の実数 $z$ に対して、次の式が成り立つ：^[注4]^[50]

${\begin{aligned}\ln(z)&={\frac {(z-1)^{1}}{1}}-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}}-{\frac {(z-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(z-1)^{k}}{k}}.\end{aligned}}$

関数 $ln(z)$ をこの無限和 (級数) に等しくすることは、関数が次の式 (部分和と呼ばれる) によってより正確な値に近似できることを簡単に表しています。

$(z-1),\ \ (z-1)-{\frac {(z-1)^{2}}{2}},\ \ (z-1)-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}},\ \ldots$

例えば、 $z = 1.5$ の場合、 3番目の近似値は $0.4167$ となり、これは $ln(1.5) = 0.405465$ より約 $0.011$ 大きい。一方、9番目の近似値は $0.40553$ となり、これは約 $0.0001$ 大きいだけである。n $番目$ の部分和は、被加数 $nが十分に大きい場合、任意の精度で$ $ln($ $z$ $)$ を近似することができる。

初等微積分学では、級数は関数 $ln($ $z$ $)に$ 収束するとされ、関数は級数の極限となる。これは $z$ $= 1$ における自然対数のテイラー級数である。ln $($ $z$ $)$ のテイラー級数は、 $z$ が小さいとき、つまり $|$ $z$ $|<1の$ とき、 $ln(1 +$ $z$ $)$ の特に有用な近似値となる。なぜなら、 $\ln(1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\cdots \approx z.$

たとえば、 $z = 0.1$ の場合、 1次近似では $ln(1.1) \approx 0.1$ となり、正しい値 $0.0953から$ $5%$ 未満になります。

逆双曲正接

もう一つの級数は逆双曲線正接関数に基づいています。

$\ln(z)=2\cdot \operatorname {artanh} \,{\frac {z-1}{z+1}}=2\left({\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{3}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{5}+\cdots \right),$

任意の実数 $z > 0$ に対してである。^{[注 5]}^[50]シグマ記法を用いると、これは次のようにも書ける。

$\ln(z)=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2k+1}.$

$この級数は上記のテイラー級数から導出できます。特にzが$ 1に近い場合、テイラー級数よりも収束が速くなります。例えば、 $z = 1.5$ の場合、2番目の級数の最初の3項は $ln(1.5)を$ 約1.5の誤差で近似します。3 × 10 ⁻⁶ $。zが$ 1に近い場合の収束の速さは、次のように利用することができる。低精度近似 $y \approx ln(z)$ を与え、

$A={\frac {z}{\exp(y)}},$

$z$ の対数は次式で表されます。

$\ln(z)=y+\ln(A).$

初期近似値 $yが良好であればあるほど、$ $A$ は 1 に近づくため、その対数を効率的に計算できます。A $は$ 指数級数を用いて計算することができ、 $yが大きすぎない場合、指数級数は急速に収束します。より大きな$ $z$ の対数を計算する場合、 $z$ $=$ $a$ $\cdot 10$ $b$ と書くことで、 $z$ の値を小さくすることができます。つまり、 $ln($ $z$ $) = ln($ $a$ $) +$ $b$ $\cdot ln(10)$ となります。

整数の対数を計算するのにも、よく似た方法があります。上記の級数を代入すると、次のようになります。 $\textstyle z={\frac {n+1}{n}}$

$\ln(n+1)=\ln(n)+2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2k+1}.$

$大きな整数n$ の対数が分かっている場合、この級数は $log(n +1)の$ 収束速度がの高速収束級数になります。 ${\textstyle \left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2}}$

算術幾何平均近似

算術幾何平均は、自然対数の高精度近似値を与える。佐々木と金田は1982年に、算術幾何平均は小数点以下400桁から1000桁の精度で特に高速であることを示した。一方、テイラー級数法は、より低い精度が必要な場合に一般的に高速であった。彼らの研究では、 $ln(x)は$ $2 - p$ （または $p$ ビット精度）の精度に近似され、以下の式で表される（カール・フリードリヒ・ガウスによる）。^[51]^[52]

$\ln(x)\approx {\frac {\pi }{2\,\mathrm {M} \!\left(1,2^{2-m}/x\right)}}-m\ln(2).$

ここで、 $M(x, y)は$ $x$ と $y$ の算術平均と幾何平均を表します。これは、 $x$ と $y$ の平均 $($ $x$ $+$ $y$ $)/2$ （算術平均）と（幾何平均）を繰り返し計算し、これらの2つの数値を次の $x$ と $yとすることで得られます。2つの数値はすぐに共通の極限に収束し、それが$ $M($ $x$ $,$ $y$ $)$ の値となります。m $は$ 次のように選ばれます。 ${\textstyle {\sqrt {xy}}}$

$x\,2^{m}>2^{p/2}.\,$

$必要な精度を確保するためです。mを$ 大きくすると、 $M(x, y)$ の計算に必要なステップ数が増えます（初期の $x$ と $yが$ 離れているため、収束に必要なステップ数が多くなります）。ただし、精度は向上します。定数 $π$ と $ln(2)$ は、収束の早い級数で計算できます。

ファインマンのアルゴリズム

リチャード・ファインマンは、ロスアラモス国立研究所でマンハッタン計画に取り組んでいたとき、長除法に似た対数を計算するビット処理アルゴリズムを開発し、後にコネクションマシンで使用されました。このアルゴリズムは、 $1 <$ $x$ $< 2$ であるすべての実数 $x は$ $、 1 + 2$ $-$ $k$ という形式の異なる因数の積として表すことができるという事実に基づいています。このアルゴリズムは、 $P$ $= 1$ および $k$ $= 1$ から始めて、積 $Pを順に構築します。$ $P$ $\cdot (1 + 2$ $-$ $k$ $) <$ $x$ の場合、 $P を$ $P$ $\cdot (1 + 2$ $-$ $k$ $)$ に変更します。その後、関係なく 1 ずつ増加します。 $k が$ 目的の精度を与えるのに十分な大きさになると、アルゴリズムは停止します。 $log($ $x$ $)$ は、係数 $1 + 2$ $-$ $k$ が積 $Pに含まれる$ $k$ に対応する $log(1 + 2$ $-$ $k$ $)$ の形の項の和であるため、 $log($ $x$ $)$ は、すべての $kについて$ $log(1 + 2$ $-$ $k$ $)$ の表を用いて単純な加算で計算できる。この対数表には任意の底を使用することができる。^[53] $k$

アプリケーション

対数は数学の内外で多くの応用がある。これらの事例のいくつかはスケール不変性の概念に関連している。例えば、オウムガイの殻の各部屋は、定数倍された隣の部屋の近似コピーである。これにより対数螺旋が生じる。^[54] ベンフォードの先頭数字の分布の法則もスケール不変性で説明できる。^{[55]対数は}自己相似性とも関連している。例えば、問題を 2 つの類似した小さな問題に分割し、それらの解決策を継ぎ合わせることで解くアルゴリズムの解析に対数が現れる。^[56]自己相似な幾何学的形状、つまり部分が全体像に似ている形状の寸法も対数に基づいている。対数スケールは、値の絶対差ではなく相対的な変化を定量化するために役立つ。さらに、対数関数 $log(x)は$ $x$ が大きい場合、非常にゆっくりと増加するため、対数スケールは大規模な科学データを圧縮するために使用されます。対数は、ツィオルコフスキーロケット方程式、フェンスケ方程式、ネルンスト方程式など、多くの科学式にも登場します。

対数スケール

科学的な量は、しばしば対数尺度を用いて他の量の対数として表される。例えば、デシベルは対数尺度量に関連付けられた計測単位である。これは比の常用対数、すなわち電力比の常用対数の10倍、または電圧比の常用対数の20倍に基づいている。これは電気信号の減衰または増幅を定量化するために使用され、^[57]音響学における音のパワーレベルを記述するために、^[58]分光測定および光学の分野では光の吸収を記述するためにも使用される。（意味のある）信号に対する不要なノイズの量を説明する信号対雑音比もデシベルで測定される。^[59]同様に、ピーク信号対雑音比は、対数を用いて音声および画像圧縮方法の品質を評価するために一般的に使用される。 ^[60]

地震の強さは、地震時に放出されたエネルギーの常用対数で表されます。これはモーメントマグニチュードスケールまたはリヒターマグニチュードスケールで用いられます。例えば、マグニチュード5.0の地震はマグニチュード4.0の地震の32倍 $（10の 1.5乗）のエネルギーを放出し、マグニチュード6.0の地震はマグニチュード4.0の地震の1000倍$ $（10の 3乗）$ のエネルギーを放出します。 ^[61] 見かけのマグニチュードは、星の明るさを対数で表します。^[62]化学では、小数対数の負の値は、小数点以下の共対数で表すとpになります。^[63]例えば、pHはヒドロニウム水中で水素イオン H ⁺がとる形の活量の共対数です^[64]中性水中のヒドロニウムイオンの活量は10⁻⁷mol·L ⁻¹なので、pHは7になります。酢のpHは通常約3です。この差4は活量の⁴倍に相当し $10$ $-3$ $mol\cdotL$ $-1$ です。

片対数（対数線形）グラフは、対数スケールの概念を用いて視覚化を行う。つまり、一方の軸（通常は縦軸）を対数的にスケールする。例えば、右のグラフは、100万から1兆への急激な増加を、1から100万への増加と同じスペース（縦軸）に圧縮している。このようなグラフでは、 $f$ $($ $x$ $) =$ $a$ $\cdot$ $b$ $x$ という形式の指数関数は、傾きが $b$ の対数に等しい直線として表示される。両対数グラフは両軸を対数的にスケールするため、 $f$ $($ $x$ $) =$ $a$ $\cdot$ $x$ $k$ という形式の関数は、傾きが指数 $k$ に等しい直線として表示される。これは、べき乗法則の視覚化と解析に応用されている。^[65]

心理学

対数は、人間の知覚を記述するいくつかの法則に見られる。^[66]^[67] ヒックの法則は、個人が選択肢を選択するのにかかる時間と選択肢の数との間に対数関係があることを提唱している。^[68] フィッツの法則は、目標地点に素早く移動するのに必要な時間は、目標までの距離と目標の大きさの比の対数関数であると予測している。^[69]心理物理学では、ウェーバー・フェヒナーの法則は、人が持ち運んでいる物の実際の重さと知覚される重さのような、刺激と感覚との間に対数関係があることを提唱している。^{[70] （しかし、この「法則」は、}スティーブンスのべき乗法則などの最近のモデルほど現実的ではない。^[71]）

心理学的研究によると、数学教育をほとんど受けていない人は量を対数的に推定する傾向があることが分かっています。つまり、彼らは対数に従って無記名の線上に数を配置し、10を100に近づける位置は100を1000に近づける位置と同じです。教育が進むにつれて、状況によってはこれが線形推定（1000を10倍離れた位置に配置する）に移行しますが、対数は、プロットする数字を線形にプロットするのが難しい場合に使用されます。^[72]^[73]

確率論と統計

対数は確率論において出現する。大数の法則によれば、公平なコインの場合、コインを投げる回数が無限に増えるにつれて、表が出る割合は半分に近づく。この割合が半分付近で変動する様子は、反復対数の法則によって記述される。^[74]

対数は対数正規分布にも現れる。ランダム変数の対数が正規分布に従う場合、その変数は対数正規分布に従うと言われる。^[75]対数正規分布は、乱流の研究など、多くの独立した正のランダム変数の積として変数が形成される多くの分野で見られる。^[76]

対数は、パラメトリック統計モデルの最大尤度推定に用いられる。このようなモデルでは、尤度関数は推定すべき少なくとも1つのパラメータに依存する。尤度関数の最大値は、尤度の対数（「対数尤度」）の最大値と同じパラメータ値で発生する。これは、対数が増加関数であるためである。対数尤度は、特に独立確率変数の乗算尤度の場合、最大化が容易である。^[77]

ベンフォードの法則は、建物の高さなど、多くのデータセットにおける数字の出現を規定する。ベンフォードの法則によれば、データサンプル内の項目の最初の小数点以下の桁が $d$ （1から9）である確率は、測定単位に関わらず、 $log 10 (d + 1) - log 10 (d)に等しい。$ ^[78]したがって、データの約30%は最初の桁が1、18%は2で始まる、といった具合になる。監査人は、ベンフォードの法則からの逸脱を検査することで、不正会計を検出している。^[79]

対数変換は、経験分布を想定分布に近づけるために使用されるデータ変換の一種です。

計算の複雑さ

アルゴリズム分析は、アルゴリズム（特定の問題を解決するコンピュータプログラム）の性能を研究するコンピュータサイエンスの一分野です。 ^{[80]対数は}、問題をより小さな問題に分割し、それらの部分問題の解を結合するアルゴリズムを記述するのに役立ちます。^[81]

例えば、ソートされたリストの中で数字を見つけるために、二分探索アルゴリズムは中央のエントリをチェックし、それでも数字が見つからない場合は中央のエントリの前または後の半分に進みます。このアルゴリズムは平均して $log 2 (N)$ 回の比較を必要とします。ここで $N$ はリストの長さです。^[82]同様に、マージソートアルゴリズムは、ソートされていないリストを半分に分割し、結果をマージする前にまずこれらをソートすることでソートします。マージソートアルゴリズムは通常、 $N$ $\cdot log($ $N$ $)$ にほぼ比例する時間を必要とします。^{[83]ここでは対数の底は指定しません。別の底が使用された場合にのみ結果が定数倍変化するためです。定数倍は通常、標準}均一コストモデルに基づくアルゴリズムの解析では無視されます。^[84]

関数 $f (x)が$ $x$ の対数に（正確に、あるいは近似的に）比例する場合、関数 $f$ $($ $x$ $)は$ 対数的に増加するという。（ただし、生物の成長に関する生物学的な記述では、この用語は指数関数を指す。^[85]）例えば、任意の自然数 $N は、2$ 進数で $log$ $2$ $N$ $+ 1$ ビット以下で表現できる。言い換えれば、 $N$ を格納するために必要なメモリ量は $N$ の対数的に増加する。

エントロピーとカオス

エントロピーは、広くは何らかの系の無秩序さの尺度である。統計熱力学では、ある物理系のエントロピー $S$ は次のように定義される。

$S=-k\sum _{i}p_{i}\ln(p_{i}).\,$

この和は、容器内の気体粒子の位置など、問題となっているシステムのすべての可能な状態 $iについて計算されます。さらに、$ $p i は$ $状態i$ が達成される確率であり、 $kは$ ボルツマン定数です。同様に、情報理論におけるエントロピーは情報量を測る尺度です。メッセージの受信者が $N$ 個の可能なメッセージのいずれかを等しい確率で期待する場合、そのようなメッセージ1つによって伝達される情報量は $log 2 N$ ビットとして定量化されます。^[86]

リャプノフ指数は、対数を用いて力学系のカオス性の度合いを測る。例えば、楕円形のビリヤード台上を運動する粒子の場合、初期条件がわずかに変化するだけで、粒子の軌道は大きく変化する。このような系は決定論的にカオス的である。なぜなら、初期状態の測定誤差がわずかであっても、最終状態が大きく異なることが予測されるからである。^[87]決定論的にカオス的な系では、少なくとも1つのリャプノフ指数は正である。

フラクタル

対数はフラクタルの次元の定義に用いられる。^[88]フラクタルとは、小さな部分が少なくとも大まかには全体の構造を再現するという意味で自己相似な幾何学的オブジェクトである。図に示すシェルピンスキーの三角形は、それぞれの辺が元の長さの半分である3つのコピーで覆うことができる。したがって、この構造のハウスドルフ次元は $ln(3)/ln(2) \approx 1.58と$ なる。対数に基づく次元の別の概念は、問題のフラクタルを覆うために必要なボックスの数を数えることによって得られる。

音楽

4つの異なるオクターブが線形スケールで表示され、次に対数スケールで表示されます（耳で聞こえるとおり）。

対数は、音楽の音と音程に関連しています。平均律では、周波数比は2つの音の音程のみに依存し、個々の音の特定の周波数、つまりピッチには依存しません。現代の西洋音楽で一般的な12音平均律では、各オクターブ（周波数の2倍）が半音と呼ばれる12の均等間隔の音程に分割されます。たとえば、音 Aの周波数が440 Hzの場合、音B♭の周波数は466 Hzです。AとB♭の間の音程は半音であり、 B♭とB （周波数493 Hz）の間の音程も半音です。したがって、周波数比は次のように一致します。

${\frac {466}{440}}\approx {\frac {493}{466}}\approx 1.059\approx {\sqrt[{12}]{2}}.$

任意の音程間の音程は、周波数比の $2を$ 底とする対数をとることでオクターブ単位で測定できる。また、 2 $の$ $1/12$ 対数（ $2$ を底とする対数の $12$ 倍）をとることで平均律の半音単位で測定できる。さらに、 $2の$ $1/1200$ 対数（ $2$ を底とする対数の $1200$ 倍）をとることで、半音の100分の1であるセント単位で測定できる。後者は、より細かい測定や非平均律で必要とされるため、より細かい符号化に用いられる。^[89]

数論

自然対数は、数論における重要なトピックである素数（2、3、5、7、11、…）の数え方と密接に関連しています。任意の整数 $xに対して、$ $x$ 以下の素数の個数は $π$ $($ $x$ $)$ と表されます。素数定理によれば、 $π$ $($ $x$ $)$ は近似的に次のように与えられます。

${\frac {x}{\ln(x)}},$

$π (x)$ とその分数の比は $x が$ 無限大に近づくと 1 に近づくという意味で。^{[90]結果として、 1 と} $x$ の間のランダムに選ばれた数が素数である確率は、 $x$ の小数点以下の桁数に反比例する。 $π$ $($ $x$ $)$ のはるかに良い推定値は、オフセット対数積分関数 $Li($ $x$ $)$ によって与えられ、これは次のように定義される。

$\mathrm {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln(t)}}\,dt.$

リーマン予想は、最も古い未解決の数学的な予想の1つであり、 $π (x)$ と $Li(x)$ の比較によって述べることができます。^{[91]異なる}素因数の個数を記述するエルデシュ・カッツの定理にも自然対数が関係しています。

nの階乗の対数 $n!=1\cdot2\cdot...\cdot n$ は次のように与えられる。

$\ln(n!)=\ln(1)+\ln(2)+\cdots +\ln(n).$

これを使って、大きな $nに対する$ $n$ $!$ の近似値であるスターリングの式を得ることができる。^[92]

一般化

複素対数

方程式を解くすべての複素数 $a$

$e^{a}=z$

$は、 z が$ （複素数とみなされる）複素数であるとき、 $z$ の複素対数と呼ばれます。複素数は一般に $z = x + iy$ と表されます。ここで、 $x$ と $y$ は実数、 $i$ は虚数単位であり、その平方は -1 です。このような数は、右に示すように、複素平面上の点で視覚化できます。極形式は、ゼロでない複素数 $z を$ その絶対値、つまり原点までの（正の実数）距離 $rと、実数（$ $x$ ）軸 $Reと、原点と$ $z の$ 両方を通る直線との間の角度でエンコードします。この角度は $z$ の偏角と呼ばれます。

$z$ の絶対値 $r$ は次のように与えられる。

$\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

正弦と余弦の幾何学的解釈とそれらの $2π$ における周期性を用いると、任意の複素数 $zは$ 次のように表される $。$

${\begin{aligned}z&=x+iy\\&=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )\\&=r(\cos(\varphi +2k\pi )+i\sin(\varphi +2k\pi )),\end{aligned}}$

任意の整数 $kに対して成り立つ。明らかに$ $z$ の偏角は一意に特定されない。 $φ$ と $φ' = φ + 2 k π は$ 両方とも、すべての整数 $kに対して$ $z$ の有効な偏角である。なぜなら $、 φ$ に $2$ $k$ $π$ ラジアンまたはk ⋅360° ^{[nb 6]}を加えることは、原点の周りを反時計回りに $k$ 回転「巻く」ことに相当するからである。結果として得られる複素数は常に $zであり、これは$ $k$ $= 1$ の右側で示されている。 $φ$ $が$ 都合よく選択された１つの回転、例えば $-$ $π$ $<$ $φ$ $\leq$ $π$ ^[93] $または$ 0 $\leq$ $φ$ $< 2$ $π$ ^[94] $に$ 属することを要求することにより、 $z$ の可能な偏角のちょうど１つを、大文字の $A$ で表され、 $いわゆる主$ 偏角として選択することができる。

オイラーの公式は三角関数の正弦と余弦を複素指数に結び付けます。 $e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .$

この式と周期性を用いると、次の等式が成り立つ：^[95]

${\begin{aligned}z&=r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\\&=r\left(\cos(\varphi +2k\pi )+i\sin(\varphi +2k\pi )\right)\\&=re^{i(\varphi +2k\pi )}\\&=e^{\ln(r)}e^{i(\varphi +2k\pi )}\\&=e^{\ln(r)+i(\varphi +2k\pi )}=e^{a_{k}},\end{aligned}}$

ここで $、ln(r)$ は唯一の実自然対数、 $a k$ $はz$ の複素対数、 $kは任意の整数である。したがって、$ $e$ の $a$ $k$ 乗が $z$ に等しいすべての複素値 $a$ $k$ である $z$ の複素対数は、無限に多い値である $。$

$a_{k}=\ln(r)+i(\varphi +2k\pi ),$

任意の整数 $k$ に対して。

$φ$ $+ 2$ $k$ $π が$ 主引数の定義された区間内となるような $k$ をとると、 $k$ $は$ 対数の主値と呼ばれ、 $Log($ $z$ $)$ と表記され、これも大文字の $Lを用いる。任意の正の実数$ $x$ の主引数は 0 である。したがって、 $Log($ $x$ $)$ は実数であり、実数（自然対数）に等しい。しかし、上記の積とべき乗の対数公式は、複素対数の主値には一般化できない^{。 [96]}

右の図は $Log(z)を示しており、$ $z$ の引数を区間 $(-π, π]$ に制限しています。このように、複素対数の対応する枝は負の実数 $x$ 軸に沿って不連続性を持ち、そこでの色の変化でそれが確認できます。この不連続性は、境界を越えるときに同じ枝の他の境界にジャンプすること、つまり連続的に隣接する枝の対応する $k$ 値に変化しないことから生じます。このような軌跡は分岐切断と呼ばれます。引数の範囲制限を削除すると、関係「 $z$ の引数」、したがって「 $z$ の対数」が多値関数になります。

他の指数関数の逆関数

指数関数は数学の多くの分野で用いられ、その逆関数はしばしば対数と呼ばれる。例えば、行列の対数は、行列指数関数の（多値）逆関数である。^[97]もう1つの例は、p進対数であり、これは p進指数関数の逆関数である。どちらも、実数の場合と同様にテイラー級数によって定義される。^[98]微分幾何学の文脈では、指数写像は多様体のある点における接空間をその点の近傍に写像する。その逆写像は対数写像（または対数写像）とも呼ばれる。^[99]

有限群の文脈では、指数関数は群の元 $bを$ 自身と繰り返し掛け合わせることで得られる。離散対数は整数 $nを$ 次の方程式で解くことである。

$b^{n}=x,$

ここで、 $x$ は群の元である。べき乗は効率的に実行できるが、離散対数はいくつかの群では非常に計算が困難であると考えられている。この非対称性は、公開鍵暗号において重要な応用があり、例えば、安全でない情報通信路を介して暗号鍵を安全に交換することを可能にするルーチンであるDiffie-Hellman鍵交換などが挙げられる。 ^[100]ツェクの対数は、有限体の非零元の乗法群における離散対数と関連している。^[101]

さらに対数的な逆関数としては、二重対数 $ln(ln(x))$ 、超4対数または超4対数（コンピュータサイエンスでは、そのわずかなバリエーションを反復対数と呼ぶ）、ランバートW関数、ロジット関数などがある。これらはそれぞれ、二重指数関数、テトレーション、 $f (w) = we w$ ^[102]、ロジスティック関数^[103]の逆関数である。

参照

注記

^ $x$ と $b$ の制限については、「解析的性質」のセクションで説明されています。
^ 証明:定義単位の $k$ を底とする対数をとると、次の式が得られる。 ${\textstyle x=b^{\log _{b}x},}$ $\log _{k}x=\log _{k}\left(b^{\log _{b}x}\right)=\log _{b}x\cdot \log _{k}b.$ $\log _{b}x.$
^一部の数学者はこの表記法を否定している。 ポール・ハルモスは 1985年の自伝の中で、この表記法を「幼稚な $ln$ 表記法」と批判し、これまでどの数学者も用いたことがないと述べている。^[16]この表記法は19世紀の数学者I. ストリングハムによって考案された。^[17]^[18]
^ $同じ級数は、|$ $z$ $- 1| < 1$ を満たす複素数 $z$ の複素対数の主値にも当てはまります。
^ 実部が正の複素数 $z$ の複素対数の主値についても同様の級数が成り立ちます。
^ $2π$ と360度間の変換についてはラジアンを参照してください。

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外部リンク

ウィキメディア・コモンズの対数関連メディア
ウィクショナリーの対数の定義
ウィキクォートの対数の歴史に関する引用
対数に関するレッスンはWikiversityで見つかります
ワイスタイン、エリック W.、「対数」、MathWorld
カーンアカデミー：対数、無料オンラインミクロ講義
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