完全数

6という数字の完全数状態を示す図

数論において、完全数とは、その正の真約数、つまりその数自身を除く約数の和に等しい正の整数です。 ^{[ 1 ]}例えば、6の真約数は1、2、3であり、1 + 2 + 3 = 6なので、6は完全数です。次の完全数は28です。1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28です。

最初の7^つの完全数^は6、28、496、8128、33550336、8589869056、137438691328^です。[ 2 ]

ある数の真約数の和はその約数和と呼ばれます。したがって、完全数とはその約数和に等しい数です。同様に、完全数とは、その正の約数すべての和の半分となる数です。記号で表すと、は約数和関数です。 ${\displaystyle \sigma _{1}(n)=2n}$ ${\displaystyle \sigma _{1}}$

この定義は古く、ユークリッドの『原論』 (VII.22)にまで遡り、そこではτέλειος ἀριθμός (完全数、理想数、あるいは完全形)と呼ばれています。ユークリッドはまた、正の整数の形の素数であるときはいつでも偶数の完全数となるという形成則(IX.36)も証明しました。これは現在メルセンヌ素数と呼ばれています。2000年後、レオンハルト・オイラーはすべての偶数の完全数がこの形であることを証明しました。^{[ 3 ]}これはユークリッド・オイラーの定理として知られています。 ${\textstyle {\frac {q(q+1)}{2}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle p}$

奇数の完全数が存在するかどうか、また完全数が無限に存在するかどうかは分かっていません。

歴史

紀元前300年頃、ユークリッドは2 ^p  − 1 が素数ならば2 ^{p − 1} (2 ^p − 1) は完全数であると示した。初期ギリシャ数学 では最初の4つの完全数が唯一知られており、数学者ニコマコスは西暦100年頃には8128という数に気づいていた。^{[ 4 ]}現代語で言えば、ニコマコスは証明なしに、すべての完全数は が素数である形である、と述べている。^{[ 5 ] [ 6 ]}彼はn自身が素数でなければならないことに気づいていないようだ。また、彼は（誤って）完全数は6と8で終わることが交互にあるとも述べている。 (最初の 5 つの完全数は 6、8、6、8、6 で終わりますが、6 番目も 6 で終わります。)アレクサンドリアのフィロンは1 世紀の著書『天地創造について』で完全数について言及し、6 と 28 が完全数であるため、世界は 6 日間で創造され、月は 28 日間で周回していると主張しました。フィロンの後にオリゲネス[ ^{7 ] 、}そして盲目のディディモスが続き、ディディモスは 10,000 未満の完全数は 4 つしかないという観察を加えています (創世記注解 1、14–19)。^{[ 8 ]}ヒッポのアウグスティヌスは5 世紀初頭の『神の国』 （第 11 巻、第 30 章）で完全数を定義し、6 が最小の完全数であるため、神は 6 日間で世界を創造したという主張を繰り返しています。エジプトの数学者イスマイール・イブン・ファルース（1194–1252）は、次の3つの完全数（33,550,336、8,589,869,056、137,438,691,328）を挙げ、現在では誤りであることが分かっているものをいくつか挙げている。^{[ 9 ]}ヨーロッパで5番目の完全数が初めて言及されたのは、1456年から1461年の間に無名の数学者によって書かれた写本である。^{[ 10 ]} 1588年、イタリアの数学者ピエトロ・カタルディは6番目（8,589,869,056）と7番目（137,438,691,328）の完全数を特定し、ユークリッドの定理から得られる完全数はすべて6か8で終わることを証明した。^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$ ${\displaystyle 2^{n}-1}$

完全数も

数学における未解決問題

完全数は無限に存在するのでしょうか?

数学におけるさらなる未解決問題

ユークリッドは、が素数であるときはいつでも は完全偶数であることを証明しました( 『原論』、命題 IX.36)。 ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$

たとえば、最初の 4 つの完全数は、次のようにpを素数とする式によって生成されます。 ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1),}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}p=2&:\quad 2^{1}(2^{2}-1)=2\times 3=6\\p=3&:\quad 2^{2}(2^{3}-1)=4\times 7=28\\p=5&:\quad 2^{4}(2^{5}-1)=16\times 31=496\\p=7&:\quad 2^{6}(2^{7}-1)=64\times 127=8128.\end{aligned}}}$$

形の素数は、数論と完全数を研究した17世紀の修道士マラン・メルセンヌにちなんでメルセンヌ素数と呼ばれています。素数であるためには、 p自体が素数である必要があります。しかし、素数pを持つ形の数がすべて素数であるわけではありません。例えば、2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89は素数ではありません。^{[ a ]}実際、メルセンヌ素数は非常にまれです。約400万個の素数pから68,874,199までのうち、素数はわずか48個です。^{[ 14 ]}${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$

ニコマコスは（証明なしに）すべての完全数は が素数である形式であると述べたが（彼は多少異なる言い方をしたが）、西暦1000年頃のイブン・アル＝ハイサム（アルハゼン）はそこまでは踏み込まず、代わりに（これも証明なしに）その式はすべての偶数の完全数だけを生み出すと主張した。^{[ 15 ]}レオンハルト・オイラーがこの式が実際にすべての偶数の完全数を生み出すことを証明したのは18世紀になってからだった。したがって、偶数の完全数とメルセンヌ素数の間には1対1の対応があり、各メルセンヌ素数は1つの偶数の完全数を生成し、逆もまた同様である。この結果はユークリッド・オイラーの定理と呼ばれることが多い。 ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$ ${\displaystyle 2^{n}-1}$ ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$

GIMPS分散コンピューティングプロジェクトによる徹底的な探索の結果、最初の50個の完全偶数は ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011、24036583、25964951、30402457、32582657、37156667、42643801、43112609、57885161、74207281、77232917 OEIS :  A000043。^{[ 14 ]}

2つのより高い完全数も発見されており、すなわちp = 82589933と136279841である。この範囲内に他の完全数が存在する可能性はまだあるが、GIMPSによる初期の徹底的なテストでは、 138277717未満のpの他の完全数は発見されていない。2024年10月現在、52個のメルセンヌ素数が知られており、^{[ 16 ]}したがって52個の偶数完全数（そのうち最大のものは2 ^136279840 × (2 ^136279841 − 1)で、82,048,640桁）である。完全数が無限に存在するかどうか、またメルセンヌ素数が無限に存在するかどうかは わかっていない。

の各偶数完全数はの形をとるだけでなく、 -番目の三角数（したがって 1 から までの整数の和に等しい）であり、- 番目の六角数でもあります。さらに、6 を除く各偶数完全数は- 番目の中心九角数であり、最初の奇数立方（ の立方までの奇数立方）の和に等しいです。 ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ ${\displaystyle (2^{p}-1)}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p-1}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2^{p}+1}{3}}}$ ${\displaystyle 2^{\frac {p-1}{2}}}$ ${\displaystyle 2^{\frac {p+1}{2}}-1}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}6&=2^{1}(2^{2}-1)&&=1+2+3,\\[8pt]28&=2^{2}(2^{3}-1)&&=1+2+3+4+5+6+7\\&&&=1^{3}+3^{3}\\[8pt]496&=2^{4}(2^{5}-1)&&=1+2+3+\cdots +29+30+31\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}\\[8pt]8128&=2^{6}(2^{7}-1)&&=1+2+3+\cdots +125+126+127\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}\\[8pt]33550336&=2^{12}(2^{13}-1)&&=1+2+3+\cdots +8189+8190+8191\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +123^{3}+125^{3}+127^{3}\end{alignedat}}}$$

完全数（6を除く）は、 $${\displaystyle T_{2^{p}-1}=1+{\frac {(2^{p}-2)\times (2^{p}+1)}{2}}=1+9\times T_{(2^{p}-2)/3}}$$

結果として得られる各三角数はT ₇ = 28、T ₃₁ = 496、T ₁₂₇ = 8128 (完全数から 1 を引いて、その結果を 9 で割った後) 3 または 5 で終わり、シーケンスはT ₂ = 3、T ₁₀ = 55、T ₄₂ = 903、T ₂₇₃₀ = 3727815、...で始まります^{[ 17 ]}したがって、任意の偶数の完全数 (6 を除く) の数字を追加し、結果の数の数字を追加し、このプロセスを 1 つの数字 (デジタルルートと呼ばれる) が得られるまで繰り返すと、常に数値 1 が生成されます。たとえば、8128 のデジタルルートは 1 です。8 + 1 + 2 + 8 = 19、1 + 9 = 10、1 + 0 = 1であるためです。これは、奇数が素数であるすべての完全数pで機能し、実際には、奇数の整数（必ずしも素数ではない）mの形式のすべての数でも機能します。 ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ ${\displaystyle 2^{m-1}(2^{m}-1)}$

完全偶数はすべて、その形式上、 2進数ではp個の 1 とそれに続くp − 1個の0 として表されます。たとえば、次のようになります。 ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1),}$

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}6_{10}=&2^{2}+2^{1}&=110_{2}\\28_{10}=&2^{4}+2^{3}+2^{2}&=11100_{2}\\496_{10}=&2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{4}&=111110000_{2}\\8128_{10}=&\!\!2^{12}+2^{11}+2^{10}+2^{9}+2^{8}+2^{7}+2^{6}\!\!&=1111111000000_{2}\end{array}}}$$

したがって、すべての偶数の完全数は有害な数です。

すべての偶数の完全数は実数でもあります。

奇数の完全数

数学における未解決問題

奇数の完全数は存在するのでしょうか?

数学におけるさらなる未解決問題

奇数の完全数が存在するかどうかは不明であるが、様々な結果が得られている。1496年、ジャック・ルフェーブルはユークリッドの定理はすべての完全数を与えると述べ、^{[ 18 ]}したがって奇数の完全数は存在しないことを示唆したが、オイラー自身は「奇数の完全数が存在するかどうかは、最も難しい問題である」と述べた。^{[ 19 ]}最近では、カール・ポメランスが発見的な議論を提示し、実際には奇数の完全数は存在しないはずであることを示唆している。^{[ 20 ]}すべての完全数は調和約数でもあり、1以外の奇数の調和約数は存在しないと推測されている。

任意の奇数の完全数N は次の条件を満たす必要があります。

• N > 10 ¹⁵⁰⁰ . ^{[ 21 ]}
• Nは105で割り切れない。^{[ 22 ]}
• NはN≡1（mod 12）またはN≡117（mod 468）またはN≡81（mod 324）のいずれかの形をとる。 ^{[ 23 ]}
• Nを割り切る最大の素数p ^{aは10 62}より大きい。^{[ 21 ]}
• Nの最大の素因数は10の^8乗より大きく、^{[ 24 ] 、 [ 25 ]}より小さい。${\displaystyle {\sqrt[{3}]{3N}}.}$
• 2番目に大きい素因数は10の^{4乗より大きく[ 26 ]}、より小さい。^{[ 27 ]}${\displaystyle {\sqrt[{5}]{2N}}}$
• 3番目に大きい素因数は100より大きく^{[ 28 ] 、 [ 29 ]}より小さい。${\displaystyle {\sqrt[{6}]{2N}}.}$
• Nには少なくとも101個の素因数と少なくとも10個の異なる素因数がある。^{[ 21 ] [ 30 ]} 3がNを割り切れない場合、Nには少なくとも12個の異なる素因数がある。^{[ 31 ]}
• Nは次の形式である

${\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\cdots p_{k}^{2e_{k}},}$

どこ：

• q、  p ₁、...、  p _kは異なる奇素数です（オイラー）。
• q ≡ α ≡ 1 ( mod 4) (オイラー)。
• Nの最小の素因数は最大でも^{[ 32 ]である。}${\textstyle {\frac {k-1}{2}}.}$
• ${\displaystyle N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}}$ ^{[ 33 ] [ 34 ]}
• ${\textstyle \alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {99k-224}{37}}}$ . ^{[ 32 ] [ 35 ] [ 36 ]}
• ${\displaystyle qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}}$ . ^{[ 37 ]}
• ${\textstyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p_{1}}}+{\frac {1}{p_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{p_{k}}}<\ln 2}$ . ^{[ 38 ] [ 39 ]}

さらに、指数 e ₁、...、  e _kについていくつかの小さな結果がわかっています。

• すべてのe _i  ≡ 1 ( mod 3 )となるわけではない。^{[ 40 ]}
• すべてのe _i  ≡ 2 ( mod 5 ) となるわけではない。^{[ 41 ]}
• もしすべてのe _i  ≡ 1 ( mod 3) または 2 ( mod 5) ならば、 Nの最小の素因数は10^の8乗と10の^1000乗の間になければなりません。^{[ 41 ]}
• より一般的には、与えられた有限集合Sにおいてすべての 2 e _i + 1 が素因数を持つ場合、 Nの最小の素因数はSのみに依存する実質的に計算可能な定数よりも小さくなければならない。^{[ 41 ]}
• もし( e ₁ , ...,  e _k ) = (1, ..., 1, 2, ..., 2)でt個の1とu個の2のとき、. ^{[ 42 ]}${\textstyle {\frac {t-1}{4}}\leq u\leq 2t+{\sqrt {\alpha }}}$
• ( e ₁ , ...,  e _k ) ≠ (1, ..., 1, 3), ^{[ 43 ]} (1, ..., 1, 5), (1, ..., 1, 6)。^{[ 44 ]}
• e ₁ = ... = e _k = eならば、
  • eは3、^{[ 45 ]} 5、24、^{[ 46 ]} 6、8、11、14、18にはならない。^{[ 44 ]}
  • ${\displaystyle k\leq 2e^{2}+8e+2}$ . ^{[ 47 ]}

1888年、シルベスターは次のように述べた。^{[ 48 ]}

...この主題について長い間熟考した結果、私は、そのような[奇数の完全数]が 1 つでもあれば、つまり、あらゆる面でそれを囲んでいる複雑な条件の網から逃れることは、奇跡に近いことであると確信しました。

一方、奇数の中には完全数に近いものもいくつかある。ルネ・デカルトは、数D = 3 ² ⋅ 7 ² ⋅ 11 ² ⋅ 13 ² ⋅ 22021 = (3⋅1001) ² ⋅ (22⋅1001 − 1) = 198585576189 は、 22021 (= 19 ² ⋅ 61)のみが素数であれば奇数の完全数となることを観察した。この性質を持つ奇数（合成因数の1つが素数であれば完全数となる）はデカルト数である。奇数の完全数について証明された性質の多くはデカルト数にも当てはまり、ペース・ニールセンはこれらの数を十分に研究すれば奇数の完全数は存在しないという証明につながるかもしれないと示唆している。^{[ 49 ]}

マイナーな結果

すべての偶数の完全数は非常に正確な形を持ちます。奇数の完全数は存在しないか、稀です。完全数に関する結果の中には、実際には証明が非常に容易でありながら、表面的には印象に残るものがいくつかあります。その中には、リチャード・ガイの「小数の強い法則」にも当てはまるものがあります。

• n ³  + 1の形をとる唯一の完全偶数は28である（ Makowski 1962）。^{[ 50 ]}
• 28は、2つの正の整数の立方数の和である唯一の完全偶数でもあります（Gallardo 2010）。^{[ 51 ]}
• 完全数Nの約数の逆数を合計すると 2 になります (これを得るには、完全数の定義 を取り、両辺をnで割ります)。 ${\displaystyle \sigma _{1}(n)=2n}$
  • 6 の場合、次の式が得られます。${\textstyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{1}}={\frac {1}{6}}+{\frac {2}{6}}+{\frac {3}{6}}+{\frac {6}{6}}={\frac {1+2+3+6}{6}}={\frac {2\cdot 6}{6}}=2}$
  • 28 については、などが成り立ちます。${\textstyle {\frac {1}{28}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{1}}=2}$
• 完全数（偶数か奇数かに関わらず）の約数の数は偶数でなければならない。なぜならNは完全な平方数にはならないからである。^{[ 52 ]}
  • これら 2 つの結果から、すべての完全数はOre の調和数であることがわかります。
• 偶数完全数は台形数ではない。つまり、2つの正の非連続三角数の差として表すことはできない。非台形数は、偶数完全数、2の累乗、そしてメルセンヌ素数から偶数完全数を構成するのと同様に、フェルマー素数と2の累乗の積として形成される数の3種類しかない。 ^{[ 53 ]}${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}+1)}$ ${\displaystyle 2^{n}+1}$
• nより小さい完全数の個数はより小さく、ここでc > 0 は定数である。^{[ 54 ]}実際、小文字の o 表記法を使用すると である。^{[ 55 ]}${\displaystyle c{\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle o({\sqrt {n}})}$
• すべての偶数完全数は10進法では6または28で終わり、6を除いて9進法では1で終わります。^{[ 56 ] [ 57 ]}そのため、特に6以外のすべての偶数完全数のデジタル根は1です。
• 唯一の平方でない完全数は6である。^{[ 58 ]}

関連概念

100 未満の数のオイラー線図:

   豊富な

   原始的な豊かさ

   非常に豊富

   過剰かつ高度に複合化された

   非常に豊富で 優れた高度複合

   奇妙な

   完璧

   複合

   欠陥のある

真約数の和は、様々な種類の数を生み出します。和がその数よりも小さい数を欠損数（deficient number）と呼び、和がその数より大きい数を豊富数（an abundant number）と呼びます。これらの用語は、完全数（ perfect number）自体と共に、ギリシャ語の数字占いに由来します。互いの真約数の和となる数のペアは友愛数（amicable number ）と呼ばれ、より大きな数の周期は社交数（sociable number）と呼ばれます。ある正の整数のうち、それより小さい正の整数が、その整数の異なる約数の和となるものは、実用数（practical number）と呼ばれます。

定義により、完全数は制約因子関数s ( n ) = σ ( n ) − nの不動点であり、完全数に関連付けられた因数列は定数列である。すべての完全数は-完全数、すなわちグランビル数でもある。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

半完全数とは、その真約数のすべてまたは一部の和に等しい自然数です。その真約数のすべての和に等しい半完全数は完全数です。ほとんどの過剰数は半完全数でもあります。半完全数ではない過剰数は奇数と呼ばれます。

参照

• 調和約数
• 超完全数
• レンスターグループ
• メルセンヌ素数と完全数のリスト
• 完全数を掛ける
• 超完全数
• ユニタリ完全数

注記

1. のすべての因数は1 mod 2 pと合同です。例えば、 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 であり、23 と 89 はどちらも 22 で割ると余りが 1 になります。さらに、 pがソフィー・ジェルマン素数（つまり、 2 p + 1も素数）であり、 2 p + 1が 1 または 7 mod 8 と合同である場合、 2 p + 1は の因数になります。これはp = 11、23、83、131、179、191、239、251、...の場合に当てはまります。OEIS :  A002515。${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p}-1,}$

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出典

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さらに読む

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外部リンク

• 「完全数」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• デビッド・モーズ：完璧で、友好的で、社交的な数字
• 完全数 – 歴史と理論
• ワイスタイン、エリック W. 「完全数」。MathWorld 。
• OEISシーケンスA000396（完全数）
• Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS)
• 完全数、ドレクセル大学の数学フォーラム
• グライムズ、ジェームズ. 「8128：完全数」 . Numberphile .ブレイディ・ハラン. 2013年5月31日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2013年4月2日閲覧。