発散系列

一連の分岐は、一般的な問題を解決するために、致命的な問題を解決し、実際に問題を解決することを選択しました。 (「発散系列は一般に致命的なものであり、それに基づいて証拠を立てるのは恥ずべきことである。」「発散系列は悪魔の発明である…」と訳されることが多い)

NH エイベル、ホルムボーへの手紙、1826 年 1 月、彼の論文集第 2 巻に再録。

数学において、発散級数とは収束しない無限級数であり、級数の部分和の無限列に有限の極限がないことを意味する。

級数が収束する場合、級数の個々の項は必ずゼロに近づく。したがって、個々の項がゼロに近づかない級数は発散する。しかし、収束はより強い条件である。すなわち、項がゼロに近づく級数はすべて収束するわけではない。反例として、調和級数がある。

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}.}$

調和級数の発散は中世の数学者ニコラ・オレームによって証明されました。

数学の専門分野では、部分和の列が発散する級数に客観的に値を割り当てることで、級数の発散の意味を明らかにすることができる。総和可能性法、あるいは総和法とは、級数の集合から値への部分関数である。例えば、チェザロ総和法はグランディの発散級数に値を割り当てる。

${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots }$

値⁠1/2⁠。チェザロ和は平均化法の一種であり、部分和の列の算術平均に基づいています。他の方法としては、関連する級数の解析接続が用いられます。物理学では、様々な和算法が存在します。これらについては、正則化に関する記事でより詳細に解説されています。

歴史

...しかし、コーシー以前の数学者たちは「1 − 1 + 1... をどう定義するか」ではなく「 1 − 1 + 1...とは何か」と尋ねており、この思考習慣が彼らを不必要な困惑や論争に導き、それらは実際にはしばしば言葉の上で起こったと言ってもおおむね真実です。

GHハーディ『ダイバージェント』シリーズ、6ページ

19世紀以前、発散級数はレオンハルト・オイラーらによって広く用いられていたが、しばしば混乱を招き矛盾する結果をもたらしていた。大きな問題は、オイラーが発散級数は自然和を持つはずだという考え方に、発散級数の和が何を意味するのかをまず定義していなかったことであった。オーギュスタン＝ルイ・コーシーが最終的に（収束）級数の和の厳密な定義を与え、その後しばらくの間、発散級数は数学からほぼ排除されていた。発散級数は1886年にアンリ・ポアンカレの漸近級数に関する研究で再び登場した。1890年、エルネスト・チェザロは、ある種の発散級数の和を厳密に定義できることに気づき、チェザロ和を定義した。 (これはチェザロ和の最初の使用ではなく、フェルディナント ゲオルク フロベニウスが1880 年に暗黙的に使用していました。チェザロの重要な貢献はこの方法の発見ではなく、発散級数の和を明示的に定義する必要があるというアイデアでした。) チェザロの論文の後、他の数人の数学者が発散級数の和の別の定義を与えましたが、これらは常に互換性があるわけではありません。異なる定義は同じ発散級数の和に対して異なる答えを与える可能性があります。そのため、発散級数の和について話すときは、どの和法を使用しているかを指定する必要があります。

例

• 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯${\displaystyle {\text{“ = ” }}{\frac {1}{2}}}$
• 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯${\displaystyle {\text{“ = ” }}{\frac {1}{4}}}$
• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯${\displaystyle {\text{“ = ” }}\!\!\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+x}}\,dx\approx 0.596\,347\ldots }$
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯${\displaystyle {\text{“ = ” }}{\frac {1}{3}}}$
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯${\displaystyle {\text{“ = ” }}-1}$
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯${\displaystyle {\text{“ = ” }}-{\frac {1}{2}}}$
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯${\displaystyle {\text{“ = ” }}-{\frac {1}{12}}}$
• 1 + 4 + 9 + 16 + ⋯${\displaystyle {\text{“ = ” }}0}$

発散級数の和を求める方法に関する定理

総和可能性法M は、それがすべての収束級数の実際の極限と一致する場合、正則である。このような結果は、典型的なアーベルの定理から、Mのアーベル定理と呼ばれる。より微妙なのは、アルフレッド タウバーによって証明されたプロトタイプから、部分的な逆の結果であり、タウバー定理と呼ばれる。ここで、部分的な逆とは、 M が級数Σを合計し、何らかの副次条件が満たされる場合、Σ はそもそも収束していたことを意味する。副次条件がなければ、このような結果は、M が収束級数のみを合計したと言うことになる（そのため、発散級数の総和法としては役に立たない）。

収束級数の和を与える関数は線型であり、ハーン・バナッハの定理から、任意の有界部分和を持つ級数を和する和法に拡張できることが分かる。これはバナッハ極限と呼ばれる。この事実は実際にはあまり役に立たない。なぜなら、このような拡張は互いに矛盾する形で多数存在し、また、このような演算子の存在を証明するには選択公理やゾルンの補題などそれと同等のものを援用する必要があるからである。したがって、これらは非構成的である。

発散級数は数学解析の一分野として、主にアーベル和、チェザロ和、ボレル和といった明示的かつ自然な手法とそれらの関係性に関係しています。ウィーナーのタウバー定理の出現は、この分野に画期的な変化をもたらし、フーリエ解析におけるバナッハ代数法との予期せぬ関連性をもたらしました。

発散級数の和は、数値計算手法としての外挿法や数列変換にも関連しています。このような手法の例としては、パデ近似、レビン型数列変換、そして量子力学における大次摂動論の再正規化手法に関連する順序依存写像などが挙げられます。

合計法の特性

総和法は通常、級数の部分和の列に着目します。この列は収束しませんが、列の最初の項の数を増やしていくと平均が収束することがしばしばあります。そして、この平均を極限値の代わりに用いて級数の和を評価できます。総和法は、部分和の列の集合から値への関数と見ることができます。Aが列の集合に値を割り当てる任意の総和法である場合、これを対応する級数に同じ値を割り当てる級数総和法A ^Σに機械的に翻訳できます。これらの方法がそれぞれ極限値と和に対応する値に到達するには、特定の特性を備えていることが望ましいです。

• 正則性. 和算法が正則であるとは、数列s がxに収束するたびにA ( s ) = xが成り立つことを意味する。同様に、対応する級数和算法はA ^Σ ( a ) = xを求める。
• 線型性。Aが線型であるとは、それが定義されている数列上の線型関数であり、 数列r、s、および実数または複素数スカラーkに対してA ( k r + s ) = k A ( r ) + A ( s )が成り立つ場合である。数列aの項a _{n +1} = s _{n +1} − s _nは数列s上の線型関数であり、その逆もまた同様であるので、これはA ^{Σ が}数列の項上の線型関数であることと等価である。
• 安定性（並進性とも呼ばれる）。s がs ₀から始まるシーケンスで、s ′ が最初の値を省略して残りの値から減算することによって得られるシーケンスである場合（つまりs ′ _n = s _{n +1} − s _{0 ）}、A ( s ) が定義されている場合のみ、 A ( s ′) が定義され、A ( s ) = s ₀ + A ( s ′) です。同様に、すべてのnに対してa ′ _n = a _{n +1}である場合は常に、A ^Σ ( a ) = a ₀ + A ^Σ ( a ′) です。^{[ 1 ] [ 2 ]}これを別の方法で述べると、シフト規則はこの方法で合計可能な級数に対して有効でなければならないということです。

3番目の条件はそれほど重要ではなく、ボレル和などのいくつかの重要な方法ではそれが満たされていない。^{[ 3 ]}

最後の条件に対して、より弱い代替条件を与えることもできます。

• 有限な再インデックス可能性。a と a ′ が2つの級数であり、すべてのiに対してa i ₌ a ′ f _{( i )と}なるような一対一関係が 存在し、すべてのi  >  Nに対してa _i = a ′ _iとなるような級数が存在する場合、A ^Σ ( a ) = A ^Σ ( a ′ ) が成立します。 （言い換えれば、a ′ はaと同じ級数であり、有限個の項のみが再インデックスされます。）これは安定性よりも弱い条件です。安定性を示すすべての加算法は有限な再インデックス可能性も示しますが、その逆は成り立ちません。）${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

2つの異なる加算法AとBが共有することが望ましい特性は一貫性です。AとBは、両方が値を割り当てるすべてのシーケンスsに対して、 A ( s ) = B ( s )が成り立つ場合に一貫性があります。 （この言葉を用いると、加算法Aが正規なのは、標準の加算Σと一貫性がある場合に限ります。）2つの方法が一貫性があり、一方が他方よりも多くの系列を加算する場合、より多くの系列を加算する方がより強いです。

正規でも線形でもない強力な数値合計法が存在します。たとえば、レビン型シーケンス変換やパデ近似などの非線形シーケンス変換や、再正規化手法に基づく摂動級数の順序依存マッピングなどです。

正則性、線形性、安定性を公理とすれば、初等的な代数的操作によって多くの発散級数を和算することが可能です。これは、特定の級数に対して、多くの異なる和算法が同じ答えを与える理由を部分的に説明しています。

例えば、r ≠1のときは、等比級数

${\displaystyle {\begin{aligned}G(r,c)&=\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&\\&=c+\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k+1}&&{\text{ (stability) }}\\&=c+r\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&{\text{ (linearity) }}\\&=c+r\,G(r,c),&&{\text{ hence }}\\G(r,c)&={\frac {c}{1-r}},{\text{ unless it is infinite}}&&\\\end{aligned}}}$

収束性に関わらず評価できる。より厳密に言えば、これらの性質を持ち、等比級数に有限値を割り当てるあらゆる加法は、必ずこの値を割り当てる必要がある。しかし、rが1より大きい実数の場合、部分和は際限なく増加し、平均化法は無限大の限界を割り当てる。

古典的な合計法

級数に対する2つの古典的な加法、すなわち通常収束と絶対収束は、和を特定の部分和の極限として定義します。これらは完全性のためにのみ含まれており、厳密に言えば、発散​​級数に対する真の加法ではありません。なぜなら、定義上、級数はこれらの方法が機能しない場合にのみ発散するからです。発散級数に対する加法のほとんどは、これらの方法をより大きな数列のクラスに拡張しますが、すべてではありません。

級数の合計

コーシーの古典的な級数a ₀ + a ₁ + ...の和の定義は、その和が部分和列a ₀ + ... + a _nの極限であると定義する。これは級数の収束のデフォルトの定義である。

絶対収束

絶対収束とは、数列（または数集合）の和が、もし存在するならば、すべての部分和a _{k 1} + ... + a _{k n}のネットの極限であると定義される。これは数列の要素の順序に依存せず、古典的な定理によれば、数列が絶対収束する場合と、絶対値の数列が標準的な意味で収束する場合とで同じである。

ノールンドとは

p _{n が}p ₀から始まる正の項の列であるとする。また、

${\displaystyle {\frac {p_{n}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{n}}}\rightarrow 0.}$

ここで、 pを使って重み付き平均を与えるため にシーケンスsを変換すると、

${\displaystyle t_{m}={\frac {p_{m}s_{0}+p_{m-1}s_{1}+\cdots +p_{0}s_{m}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{m}}}}$

nが無限大に近づくにつれてt _nの極限は、 Nørlund平均N _p ( s )と呼ばれる平均になります。

ノールンド平均は規則的、線形、かつ安定している。さらに、任意の2つのノールンド平均は整合している。

チェザロ合計

ノルルンド平均の中で最も重要なのはチェザロ和である。ここで、数列p ^kを次のように 定義すると、

${\displaystyle p_{n}^{k}={n+k-1 \choose k-1}}$

チェザロ和C _kはC _k ( s ) = N _{( p ^k )} ( s )で定義されます。チェザロ和はk ≥ 0 の場合にはノルンド平均となり、したがって正則、線形、安定、かつ一貫性があります。C 0_は通常の和であり、C ₁は通常のチェザロ和です。チェザロ和はh > kの場合、C _hはC _kよりも強いという性質があります。

アーベルとは

λ = { λ ₀ , λ ₁ , λ ₂ ,... } が無限大に向かう厳密に増加する数列であり、λ ₀ ≥ 0であるとする。

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}x}}$

はすべての実数x  > 0に対して収束する。するとアーベル平均Aλ_は次のように定義される。

${\displaystyle A_{\lambda }(s)=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}f(x).}$

より一般的には、 fの級数が大きなxに対してのみ収束し、すべての正の実数xに対して解析的に継続できる場合、上記の極限によって発散級数の和を定義することができます。

このタイプの級数は一般化ディリクレ級数として知られており、物理学への応用では、これは熱核正規化法として知られています。

アーベル平均は規則的で線形ですが、安定しておらず、 λの異なる値の間で必ずしも一貫性があるわけではありません。しかし、いくつかの特殊なケースでは、非常に重要な総和法となります。

アーベル和

λ _n = nの場合には、アーベル和法が得られる。ここで

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-nx}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},}$

ここで、 z  = exp(− x )である。すると、 xが正の実数を通して0に近づくときのf ( x )の極限は、 zが正の実数を通して下から1に近づくときのf ( z )の冪級数の極限となり、アーベル和A ( s )は次のように定義される。

${\displaystyle A(s)=\lim _{z\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.}$

アーベル和は、チェザロ和と整合しつつも、より強力であるという点で興味深い。チェザロ和が定義される限り、A ( s ) = C _k ( s )が成り立つ。したがって、アーベル和は正則、線形、安定であり、チェザロ和と整合する。

リンデレフ和

λ _n = n log( n )とすると、（1から数えて）

${\displaystyle f(x)=a_{1}+a_{2}2^{-2x}+a_{3}3^{-3x}+\cdots .}$

すると、リンデレフ和L ( s ) ^{[ 4 ]}は、xが正のゼロに近づくときのf ( x )の極限となる。リンデレフ和は、ミッタク・レフラー・スターにおける冪級数への適用など、他の応用分野の中でも特に冪級数に適用すると強力な手法となる。

g ( z ) が零点の周りの円板上で解析的であり、したがって正の収束半径を持つマクローリン級数G ( z ) を持つ場合、ミッタク・レフラー星においてL ( G ( z )) = g ( z )が成立する。さらに、g ( z ) への収束は星のコンパクト部分集合上で一様である。

解析接続

いくつかの合計法では、関数の 解析接続の値を取得します。

冪級数の解析接続

Σ a _n x ⁿが小さな複素数xに対して収束し、 x  = 0 から点x = 1 まで何らかの経路に沿って解析接続できる場合 、級数の和は x = 1 における値と定義できます。この 値は経路の選択に依存する可能性があります。解析接続を用いた発散級数の和が異なる可能性がある最初の例の1つは、Callet ^{[ 5 ]}によって示されました。彼は 、 ${\displaystyle 1\leq m<n}$

${\displaystyle {\frac {1-x^{m}}{1-x^{n}}}={\frac {1+x+\dots +x^{m-1}}{1+x+\dots +x^{n-1}}}=1-x^{m}+x^{n}-x^{n+m}+x^{2n}-\dots }$

で評価すると、 ${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle 1-1+1-1+\dots ={\frac {m}{n}}.}$

しかし、この系列の空白が鍵となる。例えば、実際には ${\displaystyle m=1,n=3}$

${\displaystyle 1-1+0+1-1+0+1-1+\dots ={\frac {1}{3}}}$ 、異なる合計は の異なる配置に対応します。 ${\displaystyle 0}$

解析接続のもう一つの例は、 -関数とポッホハマーの記号の 積の和である発散交代級数である 。-関数の複製公式を用いると、これは一般化された超幾何級数に帰着する。${\displaystyle \sum _{k\geq 0}(-1)^{k+1}{\frac {1}{2k-1}}{\binom {2k}{k}}=1+2-2+4-10+28-84+264-858+2860-9724+\cdots }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \ldots =\sum _{k\geq 0}(-4)^{k}{\frac {(-1/2)_{k}}{k!}}={}_{1}F_{0}(-1/2;;-4)={\sqrt {5}}.}$

オイラー和

オイラー和は本質的に解析接続の明示的な形式である。冪級数が小さな複素数zに対して収束し、直径が⁠の開円板に解析接続できる場合、−1/q  + 1⁠ が1 に等しく、1 で連続である場合、qにおけるその値はΣ a _nのオイラー和または (E, q ) 和と呼ばれます。オイラーは解析接続が一般に定義される前にこれを使用しており、解析接続の冪級数の明示的な公式を与えました。

オイラー和の演算は複数回繰り返すことができ、これは本質的には、点 z  = 1 までのべき級数の解析接続を取ることと同じです。

ディリクレ級数の解析接続

この方法は、級数の和をディリクレ級数の解析接続の値として定義する。

${\displaystyle f(s)={\frac {a_{1}}{1^{s}}}+{\frac {a_{2}}{2^{s}}}+{\frac {a_{3}}{3^{s}}}+\cdots }$

s = 0において 、これが存在し、かつ一意である場合。この方法はゼータ関数の正規化と混同されることがあります。

s = 0 が孤立した特異点である場合 、和はローラン級数展開の定数項によって定義されます。

ゼータ関数の正規化

シリーズ

${\displaystyle f(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+{\frac {1}{a_{3}^{s}}}+\cdots }$

（ a _nの正の値に対して）が大きな実数sに対して収束し、実数線に沿ってs  = −1まで解析的に接続できる場合、 s = −1 におけるその値は、級数a ₁  +  a _{2 + ... の}ゼータ正規化 和と呼ばれます 。ゼータ関数の正規化は非線形です。応用において、数a _iは、コンパクトなレゾルベントを持つ自己随伴演算子Aの固有値となることがあり、その場合f ( s ) はA ^{− s}のトレースになります。たとえば、A の固有値が 1、2、3、...の場合、 f ( s ) はリーマンゼータ関数ζ ( s ) であり、s  = −1におけるその値は − ⁠1/12⁠ 、発散級数1 + 2 + 3 + 4 + ⋯に値を割り当てます。s の他の値も、発散和 ζ ( 0) = 1 + 1 + 1 + ... = − ⁠の値を割り当てるために使用できます。1/2⁠、 ξ (−2) = 1 + 4 + 9 + ... = 0、および一般に

${\displaystyle \zeta (-s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{s}=1^{s}+2^{s}+3^{s}+\cdots =-{\frac {B_{s+1}}{s+1}}\,,}$

ここでBk_はベルヌーイ数である。^{[ 6 ]}

積分関数とは

J ( x ) = Σ p _n x ⁿが積分関数である場合、級数a _{0 + ... の}J和は 次のように定義されます。

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{n}p_{n}(a_{0}+\cdots +a_{n})x^{n}}{\sum _{n}p_{n}x^{n}}},}$

この制限が存在する場合。

この方法には、 Jの級数が有限の収束半径rを持ち、x  =  rで発散するというバリエーションがあります。この場合、和は上記と同様に定義されますが、 x が無限大ではなくrに近づく極限を取ります。

ボレル和

J ( x ) =  e ^xの特別なケースでは、ボレル和の 1 つの (弱い) 形式が得られます。

ヴァリロン法

ヴァリロンの方法は、ボレル和をより一般的な積分関数Jに一般化したものである。ヴァリロンは、ある条件下では、級数の和を次のように定義することと等価であることを示した。

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt {\frac {H(n)}{2\pi }}}\sum _{h\in Z}e^{-{\frac {1}{2}}h^{2}H(n)}(a_{0}+\cdots +a_{h})}$

ここで、_HはGの2次導関数であり、c ( n )=  e ^{− G ( n )}であり、h <0の場合にはa0  +...+  ah_は0と解釈されます  。

モーメント法

dμが実数直線上の測度で あり、すべてのモーメントが

${\displaystyle \mu _{n}=\int x^{n}\,d\mu }$

は有限である。a 0  +  a ₁  + ... が次の数列であるとする _。

${\displaystyle a(x)={\frac {a_{0}x^{0}}{\mu _{0}}}+{\frac {a_{1}x^{1}}{\mu _{1}}}+\cdots }$

μの台にあるすべてのxに対して収束する場合、級数の ( dμ ) 和は積分の値として定義されます。

${\displaystyle \int a(x)\,d\mu }$

定義されている場合。（数値μ _{n が}急激に増加すると、測度μを一意に決定できなくなります。）

ボレル和

例えば、正のxに対してdμ  =  e ^{− x}  dx、負のxに対して0のとき、μ _n  =  n !となり、これはボレル和の一種で、和の値は次のように表さ れる。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum {\frac {a_{n}t^{n}}{n!}}\,dt.}$

これを変数αに依存して一般化したものがあり、(B′, α )和と呼ばれ、級数a ₀  + ...の和は次のように定義される。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum {\frac {a_{n}t^{n\alpha }}{\Gamma (n\alpha +1)}}\,dt}$

この積分が存在する場合。さらに一般化するには、積分による和を、小さな tからの解析接続に置き換えます。

その他の方法

BGN超実数和

この総和法は、超実数と呼ばれる実数の拡張を用いて機能します。超実数には異なる無限値が含まれるため、これらの数は発散級数の値を表すために使用できます。重要な方法は、総和する特定の無限値（通常は ）を指定することです。これは無限大の単位として使用されます。BGN法では、任意の無限大（通常は）に総和するのではなく、 で示される特定の超実無限値に総和します。したがって、総和は次の形式になります。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \sum _{x=1}^{\omega }f(x)}$

これにより、等差数列などの有限級数の標準的な公式を無限の文脈で用いることが可能になる。例えば、この方法を用いると、数列の和は となる。あるいは、最も重要な無限超実部のみを用いると となる。^{[ 7 ]}${\displaystyle 1+2+3+\ldots }$ ${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{2}}+{\frac {\omega }{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{2}}}$

ハウスドルフ変換

ハーディ（1949年、第11章）。

ヘルダー和

ハットン法

1812年、ハットンは部分和の列から始めて、列s ₀、  s ₁、…を平均の列に置き換える操作を繰り返し適用することで、発散級数を合計する方法を導入しました 。s ₀  +  s ₁/2⁠、⁠s ₁  +  s ₂/2⁠、…そして極限値をとる。^{[ 8 ]}

インガム総和可能性

級数a _{1 + ... は、次の式が成り立つとき、} s にインガム和算可能と呼ばれる。

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}{\frac {n}{x}}\left[{\frac {x}{n}}\right]=s.}$

アルバート・インガムは、 δが任意の正の数であれば、(C,−δ ) (チェーザロ)和可能性はインガム和可能性を意味し、インガム和可能性は(C, δ )和可能性を意味することを示した。^{[ 9 ]}

ランバート総和可能性

級数a ₁  + ... は、次の式が成り立つときsにランバート和算可能と呼ばれる。

${\displaystyle \lim _{y\rightarrow 0^{+}}\sum _{n\geq 1}a_{n}{\frac {nye^{-ny}}{1-e^{-ny}}}=s.}$

ある級数が任意のkに対して(C, k )(チェーロ)和可能であるならば、それは同じ値にランベルト和可能であり、またある級数がランベルト和可能であるならば、それは同じ値にアーベル和可能である。^{[ 9 ]}

ルロイの要約

級数a _{0 + ... は}s にルロイ和算可能であるとされる。^{[ 10 ]}

${\displaystyle \lim _{\zeta \rightarrow 1^{-}}\sum _{n}{\frac {\Gamma (1+\zeta n)}{\Gamma (1+n)}}a_{n}=s.}$

ミッタグ・レフラー和

級数a ₀ + ... は、次の式を満たすとき、ミッタク・レフラー（M）級数s に和算可能と呼ばれる。^{[ 10 ]}

${\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\sum _{n}{\frac {a_{n}}{\Gamma (1+\delta n)}}=s.}$

ラマヌジャンの和

ラマヌジャン和は、ラマヌジャンが用いた発散級数に値を割り当てる手法であり、オイラー・マクローリン和の公式に基づいています。級数f (0) + f (1) + ...のラマヌジャン和は、整数点におけるfの値だけでなく、非整数点における関数fの値にも依存するため、この記事で言う意味での和算法ではありません。

リーマン総和可能性

級数a ₁  + ... が (R, k ) (またはリーマン) sに和算可能であるとは次の条件を満たすとき呼ばれる^{[ 11 ]}

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}\sum _{n}a_{n}\left({\frac {\sin nh}{nh}}\right)^{k}=s.}$

級数a ₁  + ... は、 R _2がsに加算可能であるとされるのは、

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2}{\pi }}\sum _{n}{\frac {\sin ^{2}nh}{n^{2}h}}(a_{1}+\cdots +a_{n})=s.}$

リースとは

λ _{n が}実数の増加列を形成し、

${\displaystyle A_{\lambda }(x)=a_{0}+\cdots +a_{n}{\text{ for }}\lambda _{n}<x\leq \lambda _{n+1}}$

すると、級数a ₀ + ... のRiesz (R, λ , κ ) 和 は次のように定義される。

${\displaystyle \lim _{\omega \rightarrow \infty }{\frac {\kappa }{\omega ^{\kappa }}}\int _{0}^{\omega }A_{\lambda }(x)(\omega -x)^{\kappa -1}\,dx.}$

ヴァレ・プッサン総和可能性

級数a ₁  + ... は、VP（またはヴァレ・プッサン）級数と呼ばれ、sに足し算できる。

${\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=0}^{m}a_{k}{\frac {[\Gamma (m+1)]^{2}}{\Gamma (m+1-k)\,\Gamma (m+1+k)}}=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[a_{0}+a_{1}{\frac {m}{m+1}}+a_{2}{\frac {m(m-1)}{(m+1)(m+2)}}+\cdots \right]=s,}$

ここでガンマ関数である。^{[ 11 ]}${\displaystyle \Gamma (x)}$

ゼルドビッチ総和可能性

この級数がゼルドビッチ和集合となるのは、

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}}\sum _{n}c_{n}e^{-\alpha n^{2}}=s.}$

参照

• シルバーマン・テプリッツ定理
• アベル・ディーニ・プリングスハイムの定理

注記

1. 「合計法」。ミションのNumericana。
2. 「Translativity」 .数学百科事典. Springer.
3. n倍数級数のボレル和とそれに関連する全関数」、Akademiya Nauk SSSR、19 (6): 1332– 1340, 1438、MR 0515185 ムラエフは、ボレル和は二方向のいずれかにおいて並進的であると指摘している。つまり、級数の先頭にゼロを置いて増分しても、級数の和の可能性や値は変化しない。しかし、彼は「逆は偽である」と述べている。
4. ボルコフ 2001 .
5. ハーディ 1949、14ページ。
6. タオ、テレンス（2010年4月10日）「オイラー・マクローリンの公式、ベルヌーイ数、ゼータ関数、そして実変数の解析接続」。
7. バートレット、ジョナサン;ガストラ、ローガン。デヴィッド・ネマティ（2020年1月）。 「無限発散シリーズの超実数」。ブライス研究所の通信。2 (1): 7–15 . arXiv : 1804.11342。土井：10.33014/issn.2640-5652.2.1.bartlett-et-al.1。S2CID 119665957。 
8. ハーディ 1949、21ページ。
9. Hardy 1949、付録II。
10. ハーディ 1949年、4.11。
11. ハーディ 1949、4.17。

参考文献

• Arteca, GA; Fernández, FM; Castro, EA (1990), Large-Order Perturbation Theory and Summation Methods in Quantum Mechanics , Berlin: Springer-Verlag。
• ベイカー・ジュニア、GA; グレイブス・モリス、P. (1996)、『Padé approximants』、ケンブリッジ大学出版局。
• Brezinski, C.; Redivo Zaglia, M. (1991),外挿法. 理論と実践, North-Holland。
• ハーディ、GH（1949）、ダイバージェントシリーズ、オックスフォード：クラレンドンプレス。
• LeGuillou, J.-C.; Zinn-Justin, J. (1990), Large-Order Behavior of Perturbation Theory , Amsterdam: North-Holland。
• Volkov, II (2001) [1994], 「リンデレフ総和法」 ,数学百科事典, EMS Press。
• ザハロフ, AA (2001) [1994], 「アーベル和法」 ,数学百科事典, EMS Press。
• 「リース和法」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ヴェルナー・バルザー：「発散べき級数から解析関数へ」、Springer-Verlag、LNM 1582、ISBN 0-387-58268-1 (1994)。
• William O. Bray および Časlav V. Stanojević (編):「Analysis of Divergence」、Springer、ISBN 978-1-4612-7467-4 (1999)。
• Alexander I. Saichev と Wojbor Woyczynski：「物理科学と工学科学における分布、第 1 巻」、第 8 章「発散級数と積分の和」、Springer (2018)。