ガルニエ可積分系

数理物理学において、ガルニエ可積分系（ガルニエかくけいそくけい、英: Garnier integrable system ）は、ルネ・ガルニエ[ 1 ]が1917年に発見した古典力学系であり、任意の高種数のコンパクト・リーマン面（代数曲線）上のアーベル積分を用いて解かれる。これは、シュレジンジャー方程式[ 2 ]の「パンルヴェ簡約化」あるいは「自律極限」をとることで得られる。これは、ミシェル・ゴーダン[ 3 ]による量子ゴーダン模型の古典極限として解釈することもできる。（同様に、シュレジンジャー方程式は、ハイゼンベルク表現で表されたクニジニク・ザモロドチコフ方程式の古典極限である。 [ 4 ] [ 5 ]。）

ガルニエ系は後にハミルトン型であることが示され[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] 、リー代数の双対のコピーの直積からなる位相空間上で定義され、正の整数 に対してハミルトンの意味で完全に積分可能である。 N{\displaystyle N}gl（r)∗{\displaystyle {\mathfrak {gl(r)}}^{*}}gl（r)∗{\displaystyle {\mathfrak {gl(r)}}^{*}}N{\displaystyle N}

これらは、理論が定義されている代数曲線がリーマン球面であり、システムが適切に分岐している場合、ヒッチン可積分システムの特殊なケースでもあります。

シュレジンジャー方程式の極限として

シュレジンジャー方程式は行列値関数に対する微分方程式系であり、次のように表される。 n+2{\displaystyle n+2}A私：Cn+2→Mat（m,C){\displaystyle A_{i}:\mathbb{C}^{n+2}\rightarrow\mathrm{Mat}(m,\mathbb{C})}∂A私∂λj＝[A私,Aj]λ私−λjj≠私{\displaystyle {\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}={\frac {[A_{i},A_{j}]}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}\qquad \qquad j\neq i}∑j∂A私∂λj＝0.{\displaystyle \sum_{j}{\frac{\partialA_{i}}{\partial\lambda_{j}}}=0.}

「自律極限」は、分母の依存性を定数に置き換えることによって与えられます。 これは、ガルニエによって最初に導出された形式の ガルニエ システムです。λ私{\displaystyle \lambda_{i}}α私{\displaystyle \alpha_{i}}αn+1＝0,αn+2＝1{\displaystyle \alpha_{n+1}=0,\alpha_{n+2}=1}∂A私∂λj＝[A私,Aj]α私−αjj≠私{\displaystyle {\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda_{j}}}={\frac {[A_{i},A_{j}]}{\alpha_{i}-\alpha_{j}}}\qquad \qquad j\neq i}∑j∂A私∂λj＝0.{\displaystyle \sum_{j}{\frac{\partialA_{i}}{\partial\lambda_{j}}}=0.}

古典的なゴーダンモデルとして

ガルニエ系を古典力学系として定式化する古典ゴーダンモデルが存在する。これは量子ゴーダンモデルに量子化され、その運動方程式はガルニエ系と等価である。本節ではこの定式化について説明する。[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]

あらゆる古典的システムと同様に、ゴーダンモデルは、位相空間と呼ばれるポアソン多様体 と、ハミルトニアンと呼ばれる多様体上の滑らかな関数によって指定されます。 M{\displaystyle M}

位相空間

を二次リー代数、つまり非退化不変双線型形式を持つリー代数とする。が複素で単純であれば、これはキリング 形式とみなせるg{\displaystyle {\mathfrak {g}}}κ{\displaystyle \kappa}g{\displaystyle {\mathfrak {g}}}

と表記される双対は、キリロフ–コスタント括弧によって線形ポアソン構造にすることができます。 g∗{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}

古典的なゴーダンモデルの位相空間は、正の整数 のコピーの直積になります。M{\displaystyle M}N{\displaystyle N}g∗{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}N{\displaystyle N}

サイト

これらのコピーのそれぞれには、 と表記され、サイトと呼ばれる 内の 点が関連付けられていましたC{\displaystyle \mathbb {C} }λ1,⋯,λN{\displaystyle \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{N}}

ラックス行列

構造定数を持つリー代数の基底を固定すると、ポアソン括弧を満たす位相空間上の 関数が存在する{私a}{\displaystyle \{I^{a}\}}fcab{\displaystyle f_{c}^{ab}}X（r)a{\displaystyle X_{(r)}^{a}}r＝1,⋯,N{\displaystyle r=1,\cdots,N}{X（r)a,X（s)b}＝δrsfcabX（r)c.{\displaystyle \{X_{(r)}^{a},X_{(s)}^{b}\}=\delta _{rs}f_{c}^{ab}X_{(r)}^{c}.}

これらは、暗黙の合計 を持つ値関数 を定義するために使用されます。 g{\displaystyle {\mathfrak {g}}}X（r)＝κab私a⊗X（r)b{\displaystyle X^{(r)}=\kappa_{ab}I^{a}\otimes X_{(r)}^{b}}

次に、これらを使用して、位相空間上の値関数でもあるLax 行列を定義します。この行列は、さらにスペクトルパラメータ に有理型的に依存し、 すべての関数 とポアソン交換する（ポアソン括弧が消える）という意味で の 定数要素です。g{\displaystyle {\mathfrak {g}}}λ{\displaystyle \lambda }L（λ)＝∑r＝1NX（r)λ−λr+Ω,{\displaystyle {\mathcal {L}}(\lambda )=\sum _{r=1}^{N}{\frac {X^{(r)}}{\lambda -\lambda _{r}}}+\Ω,}Ω{\displaystyle \Omega }g{\displaystyle {\mathfrak {g}}}

（二次）ハミルトニアン

（二次）ハミルトニアンは 位相空間上の関数であり、さらにスペクトルパラメータに依存します。これは 次 の ように表すことができます H（λ)＝12κ（L（λ),L（λ)){\displaystyle {\mathcal {H}}(\lambda )={\frac {1}{2}}\kappa ({\mathcal {L}}(\lambda ),{\mathcal {L}}(\lambda ))}λ{\displaystyle \lambda }H（λ)＝Δ∞+∑r＝1N（Δr（λ−λr)2+Hrλ−λr),{\displaystyle {\mathcal {H}}(\lambda )=\Delta _{\infty }+\sum _{r=1}^{N}\left({\frac {\Delta _{r}}{(\lambda -\lambda _{r})^{2}}}+{\frac {{\mathcal {H}}_{r}}{\lambda -\lambda _{r}}}\right),}Δr=12κ(X(r),X(r)),Δ∞=12κ(Ω,Ω){\displaystyle \Delta _{r}={\frac {1}{2}}\kappa (X^{(r)},X^{(r)}),\Delta _{\infty }={\frac {1}{2}}\kappa (\Omega ,\Omega )}Hr=∑s≠rκ(X(r),X(s))λr−λs+κ(X(r),Ω).{\displaystyle {\mathcal {H}}_{r}=\sum _{s\neq r}{\frac {\kappa (X^{(r)},X^{(s)})}{\lambda _{r}-\lambda _{s}}}+\kappa (X^{(r)},\Omega ).}

と を変化させることによって、ポアソン括弧の関係から 、 、、 はすべて反転関係にあることが必ず成り立つ。とポアソンは位相空間上のすべての関数と可換であるが、 は一般には可換ではないことが示される。これらは、アーノルド・リウヴィルの可積分性のために、反転関係において保存される電荷​​である。 {H(λ),H(μ)}=0,∀λ,μ∈C,{\displaystyle \{{\mathcal {H}}(\lambda ),{\mathcal {H}}(\mu )\}=0,\forall \lambda ,\mu \in \mathbb {C} ,}λ{\displaystyle \lambda }μ{\displaystyle \mu }Hr{\displaystyle {\mathcal {H}}_{r}}Δr{\displaystyle \Delta _{r}}Δ∞{\displaystyle \Delta _{\infty }}Δr{\displaystyle \Delta _{r}}Δ∞{\displaystyle \Delta _{\infty }}Hr{\displaystyle {\mathcal {H}}_{r}}

Lax方程式

時間発展が任意のハミルトニアン、およびそれらの任意の線形結合 によって与えられるとき、Lax行列がLax方程式を満たすことを示すことができます {Hr,L(λ)}=[X(r)λ−λr,L(λ)],{\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{r},{\mathcal {L}}(\lambda )\}=\left[{\frac {X^{(r)}}{\lambda -\lambda _{r}}},{\mathcal {L}}(\lambda )\right],}Hr{\displaystyle {\mathcal {H}}_{r}}

高次ハミルトニアン

カシミールが与える二次のハミルトニアン（不変多項式）は、リー代数に対する二次のワイル不変多項式に対応しますが、実際には、不変多項式を用いて、より多くの可換な保存電荷を生成できます。これらの不変多項式は、複素数、単純数、有限数の 場合のハリシュ・チャンドラ同型を用いて見つけることができますg{\displaystyle {\mathfrak {g}}}g{\displaystyle {\mathfrak {g}}}g{\displaystyle {\mathfrak {g}}}

古典的なゴーダンモデルとしての可積分場理論

ある種の可積分古典場の理論は、古典アフィン・ゴーダン模型として定式化することができる。ここで、 はアフィン・リー代数である。このような古典場の理論には、主カイラル模型、剰余類シグマ模型、アフィン戸田場の理論などがある。[ 10 ]このように、アフィン・ゴーダン模型は可積分系の「マスター理論」とみなすことができるが、4次元チャーン・サイモンズ理論や反自己双対ヤン・ミルズ理論などの他のマスター理論とは異なり、ハミルトン形式で最も自然に定式化される。 g{\displaystyle {\mathfrak {g}}}

量子ゴーダン模型

量子ゴーダン模型の可積分構造については多くのことが知られています。特に、フェイギン、フレンケル、レシェティキンは頂点作用素環の理論を用いてそれらを研究し、ゴーダン模型とクニジニク・ザモロドチコフ方程式や幾何学的ラングランズ対応などの数学の話題との関係を示しました。[ 11 ]

参考文献

  1. ^ガルニエ、ルネ（1919年12月）. 「線形方程式の理論から導き出された微分方程式のシステムクラスについて」.パレルモ数学サークル誌. 43 (1): 155–191 . doi : 10.1007/BF03014668 . S2CID  120557738
  2. ^チュドノフスキー、DV (1979 年 12 月)。 「単純化されたシュレジンジャーシステム」。Lettere al Nuovo Cimento。26 (14): 423–427。土井: 10.1007/BF02817023。S2CID 122196561。 
  3. ^ゴーダン、ミシェル (1976)。「ハミルトニアンクラスのスピンの対角化」。ジャーナル・ド・フィジーク。37 (10): 1087–1098 . doi : 10.1051/jphys:0197600370100108700 。2022 年9 月 26 日に取得。
  4. ^レシェティヒン、N. (1992)。 「等単調性問題の変形としてのクニジニク・ザモロチコフ系」。レット。数学。物理学。26 : 166–177 .土井: 10.1007/BF00420750。
  5. ^ Harnad, J. (1996). 「量子等モノドロミック変形とクニジニク・ザモロドチコフ方程式」CRM Proceedings and Lecture Note Series 9, (eds. D. Levi, L. Vinet and P. Winternitz) . 9 : 155–161 .
  6. ^ a b Adams, M.; Harnad, J.; Previato, E. (1988). 「有限次元および無限次元における等スペクトルハミルトニアンフロー。I. 一般化モーザー問題とループ代数へのモーメント写像」. Commun. Math. Phys . 117 : 451–500 .
  7. ^ a b Adams, M.; Harnad, J.; Hurtubise, J. (1990). 「有限次元および無限次元における等スペクトルハミルトニアンフロー II. フローの積分」. Commun. Math. Phys . 134 : 555– 585.
  8. ^ a b Adams, M.; Harnad, J.; Hurtubise, J. (1993). 「ループ代数におけるダルブー座標とリウヴィル・アーノルド積分」. Commun. Math. Phys . 155 : 385– 413.
  9. ^ラクロワ、シルヴァン (2018). Modeles avec fonction Twist et Modeles de Gaudin affines (博士論文)。リヨン大学。
  10. ^ Vicedo, Benoit (2017). 「二面体アフィン・ゴーダン模型としての積分可能場の理論について」arXiv : 1701.04856 [ hep-th ].
  11. ^フェイギン、ボリス;フレンケル、エドワード。ニコライ・レシェティヒン（1994年4月3日）。 「ゴーダン モデル、ベーテ アンザッツ、クリティカル レベル」。共通。数学。物理学。166 (1): 27–62 . arXiv : hep-th/9402022。ビブコード: 1994CMaPh.166...27F。土井：10.1007/BF02099300。S2CID 17099900。 
「 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=ガルニエ積分系&oldid=1334035223#As_the_classical_Gaudin_model 」より引用