アフィン空間

⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ では、上側の平面（青色）は、および⁠ ⁠であるため、ベクトル部分空間ではありません。これはアフィン部分空間です。その方向（このアフィン部分空間に関連付けられた線形部分空間）は、下側の平面（緑色）⁠ ⁠であり、これはベクトル部分空間です。と⁠ ⁠は⁠ ⁠に属していますが、それらの差は変位ベクトルであり、これはベクトル空間⁠ ⁠には属さず、ベクトル空間 ⁠ ⁠ に属します。${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {0} \notin P_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} \notin P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2},}$ ${\displaystyle P_{1}}$

数学において、アフィン空間とは、ユークリッド空間のいくつかの性質を一般化し、距離や角度の概念から独立させ、平行線分の平行性と長さの比に関する性質のみを保持する幾何学的構造である。アフィン空間は、アフィン幾何学の基礎となる。

ユークリッド空間と同様に、アフィン空間内の基本的なオブジェクトは点と呼ばれ、空間内におけるサイズや形状を持たない位置、つまり 0 次元の位置として考えることができます。任意の 2 つの点を通る無限直線、つまり 1 次元の点の集合を描くことができます。また、同一線上にない任意の 3 点を通る 2 次元平面を描くことができ、一般に、一般的な位置にあるk + 1個の点を通るk次元平面またはアフィン部分空間を描くことができます。アフィン空間は、同一平面内にあるが互いに交わることのない 2 本の平行線の概念によって特徴付けられます (同一平面内の非平行線は1 点で交差します)。任意の直線が与えられた場合、その直線に平行な直線は空間内の任意の点を通って描くことができ、平行線の同値類は方向を共有すると言われます。

ベクトル空間のベクトルとは異なり、アフィン空間には原点となる区別された点はありません。点の加算や乗算、または点とスカラー数の乗算に関する定義済みの概念はありません。ただし、任意のアフィン空間について、開始点と終了点の差から関連するベクトル空間を構築できます。これらは、自由ベクトル、変位ベクトル、移動ベクトル、または単に移動と呼ばれます。^{[ 1 ]}同様に、変位ベクトルをアフィン空間の点に追加して、そのベクトルによって開始点から移動された新しい点（同じアフィン空間の点）を生成することは理にかなっています。点は任意に追加することはできませんが、点のアフィン組み合わせ、つまり数値係数の重み付き和が 1 になり、別の点が生成されることは意味があります。これらの係数は、点を通る平面の 重心座標系を定義します。

任意のベクトル空間はアフィン空間と見なすことができます。これは、零ベクトルが果たす特別な役割を「忘れる」ことに相当します。この場合、ベクトル空間の要素は、アフィン空間の点、または変位ベクトルもしくは並進として見ることができます。零ベクトルを点と見なす場合、原点と呼ばれます。ベクトル空間の線型部分空間（ベクトル部分空間）の要素に固定ベクトルを加えると、ベクトル空間のアフィン部分空間が生成されます。このアフィン部分空間は、線型部分空間を並進ベクトル（線型部分空間のすべての要素に加えられたベクトル）によって（原点から）移動させることによって得られたとよく言われます。有限次元において、このようなアフィン部分空間は、非同次線型系の解集合です。このアフィン空間の変位ベクトルは、対応する同次線型系（線型部分空間）の解です。対照的に、線型部分空間は常にベクトル空間の原点を含みます。

アフィン空間の次元は、その並進のベクトル空間の次元として定義されます。1次元のアフィン空間はアフィン直線です。2次元のアフィン空間はアフィン平面です。アフィン空間またはn次元のベクトル空間におけるn -1次元のアフィン部分空間はアフィン超平面です。

非公式な説明

アリスとボブの視点から見た起源。アリスの視点からのベクトル計算は赤で、ボブの視点からのベクトル計算は青で示されています。

通常の正式な定義よりも、次のような特徴づけの方が理解しやすいかもしれません。アフィン空間とは、ベクトル空間においてどの点が原点であるかを忘れてしまった後に残るものです（フランスの数学者マルセル・ベルジェの言葉を借りれば、「アフィン空間とは、線型写像に平行移動を加えることによって、その原点を忘れようとするベクトル空間にほかならない」^{[ 2 ]}）。アリスはある点が実際の原点であることを知っている一方で、ボブは別の点（これをpとする）が原点だと考えているとします。2つのベクトルaとbを足し合わせます。ボブは点pから点aへ、点pから点bへそれぞれ矢印を描き、平行四辺形を完成させてボブがa + bと考える値を求めますが、アリスは彼が実際には

p + ( a − p ) + ( b − p )。

同様に、アリスとボブはaとbの線形結合、あるいは任意の有限ベクトル集合の線形結合を評価しますが、通常は異なる答えを得ます。ただし、線形結合の係数の和が1の場合、アリスとボブは同じ答えを得ます。

アリスが旅行する場合

λ a + (1 − λ ) b

ボブも同様に旅行できる

p + λ ( a − p ) + (1 − λ )( b − p ) = λ a + (1 − λ ) b。

この条件下では、すべての係数λ + (1 − λ ) = 1に対して、アリスとボブは異なる原点を使用しているにもかかわらず、同じ線形結合で同じ点を表します。

アリスだけが「線形構造」を知っていますが、アリスとボブの両方が「アフィン構造」、つまり係数の合計が 1 になる線形結合として定義されるアフィン結合の値を知っています。アフィン構造を持つ集合はアフィン空間です。

意味

アフィン空間は、ユークリッドの『原論』で暗示されているユークリッド空間の定義と同様に公理的に定義できますが (以下の§ 公理を参照) 、便宜上、ほとんどの現代の資料では、十分に発達したベクトル空間理論に基づいてアフィン空間を定義しています。

アフィン空間とは、集合Aとベクトル空間 、そして集合Aへの加法群の推移的かつ自由な作用を組み合わせたものである。^{[ 3 ]}アフィン空間Aの元は点と呼ばれる。ベクトル空間はアフィン空間に付随すると言われ、その元はベクトル、並進、あるいは自由ベクトルと呼ばれることもある。 ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$

明示的には、上記の定義は、アクションがマッピングであり、一般的には加算として表されることを意味します。

${\displaystyle {\begin{aligned}A\times {\overrightarrow {A}}&\to A\\(a,v)\;&\mapsto a+v,\end{aligned}}}$

それは以下の特性を持っています。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

1. 正しいID：

   ${\displaystyle \forall a\in A,\;a+0=a}$ ここで0は零ベクトルである。${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$

2. 結合性:

   ${\displaystyle \forall v,w\in {\overrightarrow {A}},\forall a\in A,\;(a+v)+w=a+(v+w)}$ （ここで最後の+は加算です）${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$

3. 自由行為と推移行為：

   あらゆる に対して、マッピングは一対一です。${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}\to A\colon v\mapsto a+v}$

最初の2つの性質は、（右）群作用を単に定義する性質です。3つ目の性質は自由作用と推移的作用を特徴づけるものであり、上乗せ性は推移性から、そして注入性は作用が自由であることから生じます。上記の1、2から導かれる4つ目の性質があります。

4. 一対一翻訳の存在

すべての に対して、マッピングは一対一です。${\displaystyle v\in {\overrightarrow {A}}}$ ${\displaystyle A\to A\colon a\mapsto a+v}$

プロパティ 3 は、次の同等の形式 (5 番目のプロパティ) で使用されることが多いです。

5. 減算:

Aのあらゆるa、bに対して、となる唯一の （ b – aと表記）が存在します。${\displaystyle v\in {\overrightarrow {A}}}$ ${\displaystyle b=a+v}$

定義を別の言い方で表現すると、アフィン空間はベクトル空間の加法群の作用に対する主同質空間である、ということになる。同質空間は定義により推移的な群作用を備えており、主同質空間に対しては、そのような推移的な作用は定義により自由である。

引き算とワイルの公理

群作用の性質により、 A内の任意の点の順序付きペア( b , a )に対して減算の定義が可能になり、ベクトル が生成される。このベクトルはまたは と表記され、における 唯一のベクトルとして定義され、${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$ ${\displaystyle ba}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$

${\displaystyle a+(ba)=b.}$

存在は行為の推移性から生じ、行為が自由であるために唯一性が生まれます。

この引き算には、ワイルの公理と呼ばれる以下の2つの性質がある。 ^{[ 7 ]}

1. ${\displaystyle \forall a\in A,\;\forall v\in {\overrightarrow {A}}}$ 、次のような唯一の点が存在する。${\displaystyle b\in A}$ ${\displaystyle b-a=v.}$
2. ${\displaystyle \forall a,b,c\in A,\;(c-b)+(b-a)=c-a.}$

平行四辺形の性質はアフィン空間において満たされ、次のように表現されます。4点が与えられたとき、等式と等号は同値です。これは、ワイルの第二公理から導かれます。${\displaystyle a,b,c,d,}$ ${\displaystyle b-a=d-c}$ ${\displaystyle c-a=d-b}$ ${\displaystyle d-a=(d-b)+(b-a)=(d-c)+(c-a).}$

アフィン空間は、点集合A、ベクトル空間、およびワイルの公理を満たす減算として同値に定義できます。この場合、ベクトルと点の加算はワイルの公理の最初のものから定義されます。 ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$

アフィン部分空間と平行性

アフィン空間Aのアフィン部分空間(文脈によっては線型多様体、平坦、または実数上の線型多様体とも呼ばれる) Bは、ベクトルの集合が ⁠ ⁠ の線型部分空間となるような点 ⁠ ⁠ が存在するAの部分集合です。がアフィン部分空間であれば、その集合はすべての⁠ ⁠に対して線型部分空間です(つまり、点の選択は無関係です)。アフィン部分空間Bは、関連するベクトル空間として⁠を持つアフィン空間です。 ${\displaystyle a\in B}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {B}}=\{b-a\mid b\in B\}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {B}}=\{b-a\mid b\in B\}}$ ${\displaystyle a\in B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {B}}}$

Aのアフィン部分空間は、 Aの次の形 の部分集合である。

${\displaystyle a+V=\{a+w:w\in V\},}$

ここで、aはAの点、V は⁠ ⁠${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$ の線形部分空間です。

アフィン部分空間に関連付けられた線形部分空間は、しばしばその方向 であり、同じ方向を共有する 2 つの部分空間は平行 で。

これは、プレイフェアの公理の次の一般化を意味します。方向Vが与えられた場合、 Aの任意の点aに対して、 aを通過する方向Vのアフィン部分空間、つまり部分空間a + Vが 1 つだけ存在します。

すべての変換は、任意のアフィン部分空間を平行部分空間にマッピングします。 ${\displaystyle A\to A:a\mapsto a+v}$

平行という用語は、一方の方向がもう一方の方向に含まれる 2 つのアフィン部分空間にも使用されます。

アフィン写像

2つのアフィン空間AとBがあり、その関連するベクトル空間がとであるとき、 AからBへのアフィン写像またはアフィン準同型写像は、 ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {B}}}$

${\displaystyle f:A\to B}$

そういう

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {f}}:{\overrightarrow {A}}&\to {\overrightarrow {B}}\\b-a&\mapsto f(b)-f(a)\end{aligned}}}$

は明確に定義された線型写像です。明確に定義されているとは、 b – a = d – cならばf ( b ) – f ( a ) = f ( d ) – f ( c )が成り立つことを意味します 。 ${\displaystyle f}$

これは、点とベクトルに対して、 ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle v\in {\overrightarrow {A}}}$

${\displaystyle f(a+v)=f(a)+{\overrightarrow {f}}(v).}$

したがって、 A内の任意のbに対して、唯一のvに対してb = a + vとなる ため、f は単一の点上の値と関連する線形写像によって完全に定義されます。${\displaystyle {\overrightarrow {f}}}$

準同型性

アフィン変換またはアフィン空間の自己準同型写像は、その空間からそれ自身へのアフィン写像です。重要な例の一つは並進写像です。ベクトル⁠ ⁠ が与えられたとき、 ⁠ ⁠内のすべての に対してを写す並進写像はアフィン写像です。もう一つの重要な例の一つは、原点を中心とする線型写像です。点と線型写像⁠ ⁠ が与えられたとき、 ⁠ ⁠内 のすべてのに対して を写すアフィン写像を定義できます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ ${\displaystyle T_{\overrightarrow {v}}:A\rightarrow A}$ ${\displaystyle a\mapsto a+{\overrightarrow {v}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L_{M,b}:A\rightarrow A}$ $${\displaystyle L_{M,b}(a)=b+M(a-b)}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$

原点⁠ ⁠${\displaystyle b}$ を選択した後、任意のアフィン写像は、並進と⁠ ⁠${\displaystyle b}$ を中心とする線形写像の組み合わせとして一意に表すことができます。

アフィン空間としてのベクトル空間

任意のベクトル空間Vは、それ自身のアフィン空間とみなすことができます。これは、Vの任意の元が点またはベクトルとしてみなせることを意味します。このアフィン空間は、Vの元の二重の役割を強調するために、( V , V )と表記されることがあります。点として捉えられる場合、零ベクトルは通常o（点を表す大文字が使用される場合はO ）と表記され、原点と呼ばれます。

A が同じベクトル空間上の別のアフィン空間（つまり ）である場合、 A内の任意の点aの選択は、一意のアフィン同型を定義します。これはVの恒等写像であり、 aをoに写します。言い換えれば、A内の原点aの選択により、標準同型までAと( V , V )を同一視できるようになります。この性質に対応するものとして、アフィン空間A は、「原点の位置が忘れられた」 ベクトル空間Vと同一視されることがあります。${\displaystyle V={\overrightarrow {A}}}$

ユークリッド空間との関係

ユークリッド空間の定義

ユークリッド空間（初等幾何学で一般的に研究される 1 次元直線、2 次元平面、3 次元空間、および高次元の類似空間を含む）はアフィン空間です。

実際、現代のほとんどの定義では、ユークリッド空間はアフィン空間として定義され、それに対応するベクトル空間は有限次元の実内積空間、すなわち実数上のベクトル空間で正定値二次形式q ( x )を持つものとなる。2つのベクトルxとyの内積は、対称双線型形式の値である。

${\displaystyle x\cdot y={\frac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y)).}$

2点AとBの間の通常のユークリッド距離は

${\displaystyle d(A,B)={\sqrt {q(B-A)}}.}$

合成幾何学によるユークリッド空間の古い定義では、ベクトルは等位性（点A、 B 、D、Cが（この順序で）平行四辺形を形成する場合、点のペア（A、B）と点（C、D）は等位である）の下での同値類として定義されます。ベクトルがベクトル空間を形成し、ユークリッド距離の2乗がベクトル空間上の2次形式であり、2つのユークリッド空間の定義が同値であることは簡単に証明できます。

アフィン特性

ユークリッド幾何学において、「アフィン性」という表現は、アフィン空間において証明できる性質、つまり二次形式とその内積を用いずに証明できる性質を指します。言い換えれば、アフィン性は長さや角度に関係しない性質です。典型的な例としては、平行性や接線の定義が挙げられます。例としては、法線の定義は挙げられません。

同様に、アフィン特性はユークリッド空間の アフィン変換に対して不変な特性です。

アフィン組み合わせと重心

a ₁ , ..., a _{n を}アフィン空間内のn点の集合とし、基底体のn要素とします。 ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$

と仮定する。任意の2点oとo'に対して 、${\displaystyle \lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=0}$

${\displaystyle \lambda _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {oa_{n}}}=\lambda _{1}{\overrightarrow {o'a_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {o'a_{n}}}.}$

したがって、この和は原点の選択とは独立しており、結果として得られるベクトルは

${\displaystyle \lambda _{1}a_{1}+\dots +\lambda _{n}a_{n}.}$

のとき、ポイントの減算の定義を取得します。 ${\displaystyle n=2,\lambda _{1}=1,\lambda _{2}=-1}$

代わりに、体の元が を満たすと仮定する。原点oを何らかの方法で選ぶと、となる唯一の点 を で表す。${\displaystyle \lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=1}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \lambda _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {oa_{n}}}={\overrightarrow {og}}.}$

はoの選択とは独立であることを示すことができる。したがって、 ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=1,}$

書くこともできる

${\displaystyle g=\lambda _{1}a_{1}+\dots +\lambda _{n}a_{n}.}$

点は重み に対するの重心と呼ばれます。また、 は係数を持つのアフィン結合であるとも言えます。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

例

• 子どもたちが数直線上で右または左に数えて4 + 3や4 − 2などの合計の答えを見つけるとき、彼らは数直線を 1 次元のアフィン空間として扱っています。
• 時間は1次元のアフィン空間としてモデル化できます。特定の時点（カレンダーの日付など）はアフィン空間上の点であり、持続期間（日数など）は変位です。
• エネルギー空間は⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$ のアフィン空間である。なぜなら、絶対エネルギーについて議論することはしばしば無意味であるが、エネルギー差について議論することは有意義だからである。真空エネルギーは定義されると、標準的な起源を取り出す。
• 物理空間は、非相対論的設定では のアフィン空間として、相対論的設定では のアフィン空間としてモデル化されることが多い。ベクトル空間と区別するために、これらはユークリッド空間や⁠ ⁠と呼ばれることもある。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$ ${\displaystyle {\text{E}}(3)}$ ${\displaystyle {\text{E}}(1,3)}$
• ベクトル空間の部分空間Vの任意の剰余類は、その部分空間上のアフィン空間です。
• 特に、平面上の原点を通らない直線は、それが継承する演算に関してベクトル空間ではないアフィン空間であるが、原点に最も近い点を零ベクトルとして選ぶことで、標準的なベクトル空間構造を与えることができる。同様に、高次元および任意のノルムベクトル空間でも${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• Tが行列で、b がその列空間にある場合、方程式T x = bの解の集合は、T x = 0の解の部分空間上のアフィン空間です。
• 非同次線型微分方程式の解は、対応する同次線型方程式の解の上にアフィン空間を形成します。
• 上記すべてを一般化すると、T : V → Wが線型写像でy がその像内にある場合、方程式T x = yの解の集合x ∈ VはT の核の剰余類であり、したがってKer T上のアフィン空間になります。
• ベクトル空間Wにおけるベクトル部分空間Vの（線型）相補部分空間の空間は、Hom( W / V , V )上のアフィン空間である。つまり、0 → V → W → X → 0がベクトル空間の短完全列であるならば、その完全列のすべての分割の空間は自然にHom( X , V )上のアフィン空間の構造を持つ。
• 接続空間（ベクトルバンドル⁠ ⁠${\displaystyle E\xrightarrow {\pi } M}$ （ここでは滑らかな多様体）から見た場合）は、値1-形式のベクトル空間のアフィン空間です。接続空間（主バンドル⁠ ⁠から見た場合）は、-値1-形式のベクトル空間のアフィン空間です。ここでは、関連する随伴バンドルです。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\text{End}}(E)}$ ${\displaystyle P\xrightarrow {\pi } M}$ ${\displaystyle {\text{ad}}(P)}$ ${\displaystyle {\text{ad}}(P)}$

アフィンスパンと基数

アフィン空間Aの任意の空でない部分集合Xに対して、それを含む最小のアフィン部分空間が存在し、これをXのアフィンスパンと呼ぶ。これはX を含むすべてのアフィン部分空間の交差であり、その方向はX を含むアフィン部分空間の方向の交差となる。

Xのアフィン張は、 Xの点のすべての（有限の）アフィン組み合わせの集合であり、その方向はXにおけるxとyに対するx − yの線形張です。特定の点x _{0を選択した場合、} Xのアフィン張の方向は、Xにおけるxに対するx – x ₀の線形張でもあります。

また、 Xのアフィン スパンはXによって生成され、X はそのアフィン スパンの生成集合であるとも言えます。

アフィン空間の点の集合Xは、アフィン独立、または単に独立とは、 Xの厳密な部分集合のアフィン範囲がXのアフィン範囲の厳密な部分集合である成り立つ。アフィン空間のアフィン基底または重心フレーム（§ 重心座標を）は、独立でもある生成集合（つまり、最小生成集合）です。

アフィン空間の次元は、それに対応するベクトル空間の次元であることを思い出してください。有限次元nのアフィン空間の基底は、 n + 1個の元の独立部分集合、あるいは同値に、 n + 1個の元を生成する部分集合です。同様に、{ x ₀ , ..., x _n } がアフィン空間のアフィン基底となるのは、 { x ₁ − x ₀ , ..., x _n − x ₀ } が対応するベクトル空間の線型基底となる場合のみです 。

座標

アフィン空間上で定義できる、 密接に関連した 2 種類の座標系があります。

重心座標

A を体k上のn次元のアフィン空間とし、Aのアフィン基底とする。アフィン基底の性質は、Aの任意のxに対して、 kの元の( n + 1)組が一意に存在し 、${\displaystyle \{x_{0},\dots ,x_{n}\}}$ ${\displaystyle (\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n})}$

${\displaystyle \lambda _{0}+\dots +\lambda _{n}=1}$

そして

${\displaystyle x=\lambda _{0}x_{0}+\dots +\lambda _{n}x_{n}.}$

は、アフィン基底上のxの重心座標と呼ばれます。x _{i を}重み（または質量）を持つ物体と見なすと、点x はx _iの重心となり、これが重心座標という用語の由来です。 ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \{x_{0},\dots ,x_{n}\}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

重心座標は、アフィン空間Aと方程式⁠ ⁠で定義されるk ^{n + 1}のアフィン部分空間との間のアフィン同型を定義します。 ${\displaystyle \lambda _{0}+\dots +\lambda _{n}=1}$

無限次元のアフィン空間にも、有限和のみを用いた同じ定義が適用されます。つまり、各点において、ゼロでない座標は有限個だけであるということです。

アフィン座標

アフィンフレームは、アフィン空間の座標フレームであり、原点と呼ばれる点と、それに関連付けられたベクトル空間の線型基底から構成されます。より正確には、ベクトル空間 に関連付けられたアフィン空間Aにおいて、原点oはAに属し、線型基底は の基底( v ₁ , ..., v _n )です（表記を簡略化するため、有限次元の場合のみを考慮しますが、一般的な場合も同様です）。 ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$

Aの各点pに対して、基底体の元の 一意の列が存在し、${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$

${\displaystyle p=o+\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n},}$

または同等

${\displaystyle {\overrightarrow {op}}=\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n}.}$

これらは、アフィンフレーム( o , v ₁ , ..., v _n )上のpのアフィン座標と呼ばれます。アフィン座標系とは、各座標が数直線へのアフィン写像となるアフィン空間上の座標系です。言い換えれば、アフィン空間 Aから座標空間K ⁿへの単射的なアフィン写像です。ここで、Kはスカラー体、例えば実数R です。 ${\displaystyle \lambda _{i}}$  

n次元空間上のn座標系は、より低い次元のアフィン部分空間に属さない点の( n +1)組( O , R1 ,… Rn ₎によって定義される。任意のn組の座標は_、以下の式で点を表す。

( x ₁ , … x _n ) ↦ O + x ₁ ( R ₁ − O ) + … + x _n ( R _n − O ) 。

R _j − Oは、原点が Oで終点が R _jである差分ベクトルであることに注意してください。

アフィン空間は、その次元よりも小さいnを持つ座標系を持つことはできませんが、n の方が大きくなることはあり得ます。これは、座標写像が必ずしも射影的ではないことを意味します。 ( n −1)次元空間におけるn座標系の例としては、重心座標とアフィン「同次」座標 (1, x ₁ , … , x _{n −1} )が挙げられます。後者の場合、x _{0座標はすべての空間で 1 に等しくなりますが、この「予約済み」座標により、}射影写像で使用されるものと同様のアフィン写像の行列表現が可能になります。

ユークリッド空間におけるアフィン座標の最も重要なケースは、実数値直交座標系である。これは直交アフィン座標系であり、その他のものは斜交アフィン座標系と呼ばれる。言い換えれば、直交座標系は直交フレーム、すなわちアフィンフレーム( o , v ₁ , ..., v _n )において( v 1 , ..., v n ) が直交基底となるようなアフィンフレーム( o , v ₁ , ..., v _n )を基準としたアフィン座標である。しかし、一般的なアフィン座標軸は必ずしも直交直線ではない。

重心座標とアフィン座標の関係

重心座標とアフィン座標は密接に関連しており、同等と見なすことができます。

実際、重心フレームを与えられた場合

${\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n}),}$

すぐにアフィンフレームが導かれる

${\displaystyle (x_{0},{\overrightarrow {x_{0}x_{1}}},\dots ,{\overrightarrow {x_{0}x_{n}}})=\left(x_{0},x_{1}-x_{0},\dots ,x_{n}-x_{0}\right),}$

そして、もし

${\displaystyle \left(\lambda _{0},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right)}$

が重心座標系上の点の重心座標である場合、アフィン座標系上の同じ点のアフィン座標は

${\displaystyle \left(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right).}$

逆に、

${\displaystyle \left(o,v_{1},\dots ,v_{n}\right)}$

はアフィンフレームであるので、

${\displaystyle \left(o,o+v_{1},\dots ,o+v_{n}\right)}$

は重心フレームです。もし

${\displaystyle \left(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right)}$

がアフィン座標系上の点のアフィン座標である場合、その重心座標系上の重心座標は

${\displaystyle \left(1-\lambda _{1}-\dots -\lambda _{n},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right).}$

したがって、重心座標とアフィン座標はほぼ等価です。ほとんどの応用では、独立な座標が少ないため、アフィン座標が好まれます。しかし、研究対象の問題の重要な点がアフィン独立である場合、次の例のように、重心座標の方が計算が簡素化される場合があります。

三角形の例

非平面三角形の頂点はユークリッド平面のアフィン基底を形成します。重心座標系を用いることで、角度や距離を含まない三角形の要素を容易に特徴付けることができます。

頂点は、重心座標(1, 0, 0)、 (0, 1, 0)、 (0, 0, 1)の点です。辺を支える線は、座標がゼロの点です。辺自体は、座標がゼロの点が1つと非負の座標が2つあります。三角形の内部は、座標がすべて正の点です。中線は、2つの座標が等しい点であり、重心は座標( ⁠1/3⁠、⁠1/3⁠、⁠1/3⁠ )。

座標の変更

重心座標の場合

重心座標は、ある基底から別の基底へ容易に変換できる。 とをAのアフィン基底とする。Aの任意のxに対して 、${\displaystyle \{x_{0},\dots ,x_{n}\}}$ ${\displaystyle \{x'_{0},\dots ,x'_{n}\}}$ ${\displaystyle \{\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n}\}}$

${\displaystyle x=\lambda _{0}x_{0}+\dots +\lambda _{n}x_{n}.}$

同様に、最初の基底からのすべての基底に対して、2番目の基底では ${\displaystyle x_{i}\in \{x_{0},\dots ,x_{n}\}}$

${\displaystyle x_{i}=\lambda _{i,0}x'_{0}+\dots +\lambda _{i,j}x'_{j}+\dots +\lambda _{i,n}x'_{n}}$

何らかの組について。最初の基底の式を2番目の基底の式に書き直すと、 ${\displaystyle \{\lambda _{i,0},\dots ,\lambda _{i,n}\}}$

${\displaystyle \,x=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}x_{i}=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\sum _{j=0}^{n}\lambda _{i,j}x'_{j}=\sum _{j=0}^{n}{\biggl (}\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\lambda _{i,j}{\biggr )}x'_{j}\,,}$

2 番目の基底の座標をタプルとして返します。 ${\textstyle {\bigl \{}\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,0},\,\dots ,\,{}}$ ${\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,n}{\bigr \}}}$

アフィン座標の場合

アフィン座標も、ある基底から別の基底へと容易に変換できる。、、をAのアフィン座標系とする。Aの各点pに対して、基底体の元の 列が一意に存在し、${\displaystyle o}$ ${\displaystyle \{v_{1},\dots ,v_{n}\}}$ ${\displaystyle o'}$ ${\displaystyle \{v'_{1},\dots ,v'_{n}\}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$

${\displaystyle p=o+\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n},}$

同様に、最初の基底からのすべての基底に対して、2番目の基底では ${\displaystyle v_{i}\in \{v_{1},\dots ,v_{n}\}}$

${\displaystyle o=o'+\lambda _{o,1}v'_{1}+\dots +\lambda _{o,j}v'_{j}+\dots +\lambda _{o,n}v'_{n}\,}$

${\displaystyle v_{i}=\lambda _{i,1}v'_{1}+\dots +\lambda _{i,j}v'_{j}+\dots +\lambda _{i,n}v'_{n}}$

タプルとタプルの場合。これで、最初の基底の式を2番目の基底の式に書き直すことができます。 ${\displaystyle \{\lambda _{o,1},\dots ,\lambda _{o,n}\}}$ ${\displaystyle \{\lambda _{i,1},\dots ,\lambda _{i,n}\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\,p&=o+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}={\biggl (}o'+\sum _{j=1}^{n}\lambda _{o,j}v'_{j}{\biggr )}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\sum _{j=1}^{n}\lambda _{i,j}v'_{j}\\&=o'+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}\lambda _{o,j}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\lambda _{i,j}{\biggr )}v'_{j}\,,\end{aligned}}}$

2 番目の基底の座標をタプルとして返します。 ${\textstyle {\bigl \{}\lambda _{o,1}+\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,1},\,\dots ,\,{}}$ ${\textstyle \lambda _{o,n}+\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,n}{\bigr \}}}$

アフィン準同型の性質

行列表現

アフィン変換は、4番目の列に特別な^{[ 8 ]}を持つ4行4列の行列によって、の射影空間上で実行される。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&0\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&0\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}T(1,0,0)&0\\T(0,1,0)&0\\T(0,0,1)&0\\T(0,0,0)&1\end{bmatrix}}}$

点 が含まれているため、変換は線形ではなくアフィン変換になります。その変換された出力はアフィンシフトを明らかにします。 ${\displaystyle (0,0,0)}$

画像と繊維

させて

${\displaystyle f\colon E\to F}$

アフィン準同型であり、

${\displaystyle {\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}}$

関連する線型写像。fの像はFのアフィン部分空間であり、関連するベクトル空間として を持つ。アフィン空間は零元 を持たないため、アフィン準同型写像は核 を持たない。しかし、線型写像は核 を持ち、その核 を と表記すると、 の任意の点xに対して、xの逆像は方向が であるEのアフィン部分空間である。このアフィン部分空間はxのファイバーと呼ばれる。 ${\displaystyle f(E)=\{f(a)\mid a\in E\}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {f}}({\overrightarrow {E}})}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {f}}}$ ${\displaystyle K=\{v\in {\overrightarrow {E}}\mid {\overrightarrow {f}}(v)=0\}}$ ${\displaystyle f(E)}$ ${\displaystyle f^{-1}(x)}$ ${\displaystyle K}$

投影

重要な例として、ある方向に平行なアフィン部分空間への射影が挙げられます。この例の重要性は、ユークリッド空間がアフィン空間であり、この種の射影がユークリッド幾何学において基本的な要素であるという事実にあります。

より正確には、ベクトル空間 を伴うアフィン空間Eが与えられたとき、F を方向のアフィン部分空間とし、Dをにおけるの相補部分空間とする（これは の任意のベクトルがの元とDの元の和として一意に分解できることを意味する）。Eの任意の点xに対して、Dに平行なFへの射影は、 Fにおける唯一の点p ( x )であり、 ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$

${\displaystyle p(x)-x\in D.}$

これは、関連する線型写像が次のように定義される アフィン準同型である。${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$

${\displaystyle {\overrightarrow {p}}(x-y)=p(x)-p(y),}$

Eのxとyについて。

この投影の像は Fであり、そのファイバーは方向 Dの部分空間です。

商空間

アフィン空間には核は定義されていないが、商空間は定義されている。これは、「アフィン準同型写像の同じファイバーに属する」という関係が同値関係であるという事実に由来する。

E をアフィン空間とし、 D をそれと同値なベクトル空間の線型部分空間とする。EをDで 割った商E / Dは、 Eを 同値関係で割った商であり、xとy は次の式で同値となる。 ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

${\displaystyle x-y\in D.}$

この商はアフィン空間であり、関連するベクトル空間を持ちます。 ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}/D}$

任意のアフィン準同型写像 に対し、その像はEを付随する線型写像の核で割った商に同型である 。これはアフィン空間における 最初の同型定理である。${\displaystyle E\to F}$

公理

アフィン空間は通常、座標系、あるいはそれと同等のベクトル空間を用いた解析幾何学によって研究されます。また、公理を記述することで総合幾何学として研究することも可能ですが、このアプローチはあまり一般的ではありません。アフィン空間には、いくつかの異なる公理体系があります。

コクセター（1969、p.192）は、デザルグの定理のアフィン形式と、平面上で与えられた点を通り、与えられた直線と交わらない直線は最大で1本しかないという公理とともに、実数上のアフィン幾何学の特殊なケースを順序付き幾何学として 公理化した。

アフィン平面は次の公理を満たします ( Cameron 1991、第 2 章)。(2 つの線が等しいか互いに素である場合に、それらの線は平行と呼ばれます)。

• 任意の 2 つの異なる点は、一意の直線上にあります。
• 点と直線が与えられたとき、その点を含み直線に平行な直線は一つだけ存在する。
• 同一直線上にない 3 つの点が存在します。

体（または分環）上のアフィン平面だけでなく、これらの公理を満たす非デザルグ平面も数多く存在する。Cameron (1991、第3章) は、高次元アフィン空間の公理を与えている。

純粋に公理的なアフィン幾何学はアフィン空間よりも一般的であり、記事「アフィン幾何学」で扱われます。

射影空間との関係

アフィン空間は射影空間の部分空間であり、射影空間はベクトル空間を同値関係（線型部分空間ではない）で割ったものである。

アフィン空間は射影空間に含まれます。例えば、任意の射影平面から1本の直線とその上のすべての点を除去することでアフィン平面を得ることができます。また逆に、任意のアフィン平面を用いて、無限遠直線（その点が平行直線の同値類に対応する）を追加することで、閉包として射影平面を構築することができます。同様の構成は高次元でも成り立ちます。

さらに、アフィン空間を保存する射影空間の変換（つまり、無限遠における超平面を集合 として不変に保つ変換）は、アフィン空間の変換をもたらす。逆に、任意のアフィン線型変換は射影線型変換に一意に拡張されるため、アフィン群は射影群の部分群となる。例えば、メビウス変換（複素射影直線、またはリーマン球面の変換）がアフィン変換（複素平面の変換）となるのは、点 を無限遠に固定する場合のみである。

アフィン代数幾何学

代数幾何学において、アフィン多様体（または、より一般的には、アフィン代数集合）は、アフィン空間 上のいわゆる多項式関数の集合の共通零点の集合であるアフィン空間 の部分集合として定義されます。アフィン空間 上の多項式関数を定義するには、アフィンフレームを選択する必要があります。この場合、多項式関数とは、任意の点の像がその点の座標の多変数多項式関数の値となるような関数です。アフィン座標の変化は座標の線形関数（より正確にはアフィン関数）で表現できるため、この定義は特定の座標の選択に依存しません。

体k上のn次元アフィン空間に対するアフィン座標系の選択は、アフィン座標空間k nとk ⁿの間にアフィン同型を誘導する。これは、多くの教科書が簡略化のために と書き、アフィン代数多様体をk ⁿ上の多項式関数の共通零点として導入する理由を説明できる。^{[ 9 ]}${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}=k^{n}}$

アフィン空間全体は零多項式の共通零点の集合であるため、アフィン空間はアフィン代数多様体です。

多項式関数の環

上記の定義により、アフィン空間のアフィンフレームを選択することで、上の多項式関数をn変数の多項式と同一視することが可能となり、 i番目の変数は点をそのi番目の座標に写す関数を表す。したがって、 上の多項式関数の集合はk -代数 （と表記）であり、これは多項式環と同型である。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]}$ ${\displaystyle k\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]}$

座標を変更すると、 と の間の同型性もそれに応じて変化し、 の自己同型性が誘導されます。この自己同型性は、各不定値を1次多項式に写像します。したがって、全次数はのフィルタリングを定義しますが、これは座標の選択とは無関係です。全次数は の目盛りも定義しますが、これは座標の選択に依存します。これは、アフィン座標の変更によって不定値が非同次多項式に写像される可能性があるためです。 ${\displaystyle k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]}$ ${\displaystyle k[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle k\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]}$ ${\displaystyle k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]}$

ザリスキ位相幾何学

実数や複素数などの位相体上のアフィン空間は、自然な位相を持つ。任意の体上のアフィン空間に対して定義されるザリスキ位相は、どのような場合でも位相的手法を用いることができる。ザリスキ位相は、その閉集合がアフィン代数集合（つまり、アフィン集合上の多項式関数の共通零点の集合）であるようなアフィン空間上の唯一の位相である。位相体上では多項式関数は連続なので、通常の位相に対しては、あらゆるザリスキ閉集合が閉じている（もしあれば）。言い換えれば、位相体上では、ザリスキ位相は自然な位相よりも 粗い。

アフィン空間からその多項式関数環の素イデアルの集合（すなわちスペクトル）への自然な単射関数が存在する。アフィン座標が選択されている場合、この関数は座標点を最大イデアルに写す。この関数は、（アフィン空間のザリスキー位相と多項式関数環のスペクトルのザリスキー位相に対して）アフィン空間から関数の像への同相写像である。 ${\displaystyle \left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)}$ ${\displaystyle \left\langle X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n}\right\rangle }$

代数幾何学では、代数的に閉じた基底体の場合は特に重要です。なぜなら、この場合、上記の同相写像は、アフィン空間と関数環のすべての極大イデアルの集合との間の写像だからです (これはヒルベルトの零点写像です)。

これはグロタンディークのスキーム理論の出発点であり、代数多様体を研究するために、アフィン空間の点だけでなく、スペクトルのすべての素イデアルも「点」として扱うというものである。これにより、多様体においてチャートを貼り合わせて多様体を構築するのと同様に、代数多様体を貼り合わせることが可能になる。

コホモロジー

すべてのアフィン多様体と同様に、アフィン空間上の局所データは常に大域的に繋ぎ合わせることができる。すなわち、アフィン空間のコホモロジーは自明である。より正確には、すべてのコヒーレント層F、および整数に対して自明である。この性質は他のすべてのアフィン多様体にも当てはまる（アフィン性に関するセールの定理を参照）。しかし、アフィン空間上のすべてのエタールコホモロジー群も自明である。特に、すべての直線束は自明である。より一般的には、キラン・シュスリンの定理は、アフィン空間上の すべての代数的ベクトル束が自明であることを意味する。${\displaystyle H^{i}\left(\mathbb {A} _{k}^{n},\mathbf {F} \right)=0}$ ${\displaystyle i>0}$

参照

• アフィン包 – 部分集合を含む最小のアフィン部分空間
• 重心座標系 – ベクトルではなく点で定義される座標系
• 複素アフィン空間 – 複素数上のアフィン空間
• 次元解析 § 幾何学：位置と変位
• 異次元アフィン空間 – 複素アフィン空間と同型ではない偶数次元の実アフィン空間
• 空間（数学）  - 構造が追加された数学的集合
• 斜座標 – 曲線座標系

注記

1. 変位ベクトルよりも移動という言葉の方が一般的に好まれますが、変位には回転も含まれる。
2. バーガー 1987、32ページ
3. バーガー、マルセル (1984)、「アフィン空間」、幾何学の問題、シュプリンガー、p. 11、ISBN 9780387909714
4. バーガー 1987、33ページ
5. スナッパー、エルンスト、トロイヤー、ロバート J. (1989) 『計量アフィン幾何学』、6 ページ
6. Tarrida, Agusti R. (2011)、「アフィン空間」、アフィン写像、ユークリッド運動、二次曲面、Springer、pp.  1– 2、ISBN 9780857297105
7. 野水・佐々木 1994、p. 7
8. ストラング、ギルバート (2009).線形代数入門（第4版）. ウェルズリー：ウェルズリー・ケンブリッジ出版. p. 460. ISBN 978-0-9802327-1-4。
9. ハーツホーン 1977、第I章、§1。

参考文献

• ベルガー、マルセル（1984）、「アフィン空間」、幾何学の問題、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90971-4
• ベルガー、マルセル（1987）、幾何学I、ベルリン：シュプリンガー、ISBN 3-540-11658-3
• キャメロン、ピーター J. (1991)、「射影空間と極空間」、QMW数学ノート、第13巻、ロンドン：クイーン・メアリー・アンド・ウェストフィールド・カレッジ数学科学部、MR  1153019
• コクセター、ハロルド・スコット・マクドナルド（1969年）、幾何学入門（第2版）、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 978-0-471-50458-0、MR  0123930
• ドルガチェフ, IV ; シロコフ, AP (2001) [1994], 「アフィン空間」 ,数学百科事典, EMS Press
• ハーツホーン、ロビン(1977).代数幾何学.シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-0-387-90244-9. Zbl  0367.14001 .
• 野水 功;佐々木 誠(1994) 『アフィン微分幾何学』（新版）ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-44177-3
• スナッパー、エルンスト、トロイヤー、ロバート J. (1989)、『計量アフィン幾何学』（ドーバー版、初版1989年）、ドーバー出版、ISBN 0-486-66108-3
• Reventos Tarrida、Agustí (2011)、「Affine space」、Affine Maps、Euclidean Motions and Quadrics、Springer、ISBN 978-0-85729-709-9