コンパクトに生成された空間

位相幾何学において、位相空間は、その位相が以下に詳述する方法でコンパクト空間によって決定される場合、コンパクト生成空間またはk空間と呼ばれる。実際には、このような空間には一般的に合意された定義は存在せず、様々な著者が定義のバリエーションを用いており、それらは互いに完全には等価ではない。また、著者によっては、一方または両方の用語の定義に 何らかの分離公理（ハウスドルフ空間や弱ハウスドルフ空間など）を含める場合もあれば、含めない場合もある。X{\displaystyle X}

最も単純な定義では、コンパクト生成空間とは、そのコンパクト部分空間の族と整合する空間であり、任意の集合 がで開集合である場合、かつ任意のコンパクト部分空間 がで開集合である場合に限ります 。他の定義では、コンパクト空間から への連続写像の族を用いて、その位相がこの写像族に関して最終位相と一致する場合、その空間はコンパクト生成であると宣言されます。また、定義の他のバリエーションでは、コンパクト空間をコンパクトハウスドルフ空間に置き換えます。 あ⊆X、{\displaystyle A\subseteq X,}あ{\displaystyle A}X{\displaystyle X}あ∩K{\displaystyle A\cap K}K{\displaystyle K}K⊆X。{\displaystyle K\subseteq X.}X{\displaystyle X}X{\displaystyle X}

コンパクト生成空間は、位相空間のカテゴリのいくつかの欠点を補うために発展しました。特に、いくつかの定義の下では、コンパクト生成空間は、関心のある典型的な空間を包含しながらも、直角閉カテゴリを形成するため、代数位相幾何学での利用に便利です。詳細については、コンパクト生成弱ハウスドルフ空間のカテゴリを参照してください。

定義

定義の一般的な枠組み

を位相空間とする。ここで位相空間とは、（X、T）{\displaystyle (X,T)}T{\displaystyle T}X。{\displaystyle X.}

文献には、コンパクト生成空間、すなわちk空間の定義が複数（非等価）存在します。これらの定義は共通の構造を共有しており、いくつかのコンパクト空間から適切に指定された連続写像の族から始まります。 様々な定義は、族の選択において異なり、以下に詳述します。 F{\displaystyle {\mathcal {F}}}X。{\displaystyle X.}F、{\displaystyle {\mathcal {F}},}

族に関する最終的な位相 はのk-化と呼ばれる。 のすべての関数がのk-化に連続であるため、 は元の位相よりも細かく（または等しい）なる。k-化における開集合は と呼ばれる。TF{\displaystyle T_{\mathcal {F}}}X{\displaystyle X}F{\displaystyle {\mathcal {F}}}T。{\displaystyle T.}F{\displaystyle {\mathcal {F}}}（X、T）、{\displaystyle (X,T),}T{\displaystyle T}T{\displaystyle T}におけるk開集合は、における任意のに対して が開集合となるような集合である 。同様に、X;{\displaystyle X;}あなた⊆X{\displaystyle U\subseteq X}f−1（あなた）{\displaystyle f^{-1}(U)}K{\displaystyle K}f:K→X{\displaystyle f:K\to X}F。{\displaystyle {\mathcal {F}}.}におけるk閉集合は、対応する特徴付けを持つk化における閉集合である。空間において、すべての開集合はk開であり、すべての閉集合はk閉である。この空間と新しい位相は通常[ 1 ]で表される。X{\displaystyle X}X、{\displaystyle X,}X{\displaystyle X}TF{\displaystyle T_{\mathcal {F}}}けX。{\displaystyle kX.}

空間は、その位相が におけるすべての写像によって決定される場合、つまり における位相がその k-化に等しい場合、コンパクト生成空間またはk-空間（族 に関して）と呼ばれる。同様に、すべての k-開集合が において開集合である場合、またはすべての k-閉集合が において閉集合である場合、あるいは簡単に言えば、X{\displaystyle X}F{\displaystyle {\mathcal {F}}}F{\displaystyle {\mathcal {F}}}X{\displaystyle X}X、{\displaystyle X,}X;{\displaystyle X;}けX＝X。{\displaystyle kX=X.}

族 のさまざまな選択については、の特定の部分空間、たとえばすべてのコンパクト部分空間、またはすべてのコンパクト ハウスドルフ部分空間からすべての包含写像を取ることができます。これは、の部分空間の集合を選択することに対応します。すると、その位相がその部分空間の族と整合しているときに、 空間はコンパクトに生成されます。つまり、すべての に対して、集合が で開集合 (または閉集合)であるとき、ちょうどその交差が で開集合(または閉集合) です。別の選択肢は、あるタイプの任意の空間からのすべての連続写像の族を、たとえば任意のコンパクト空間または任意のコンパクト ハウスドルフ空間からのそのようなすべての写像に取ることです。 F{\displaystyle {\mathcal {F}}}X、{\displaystyle X,}C{\displaystyle {\mathcal {C}}}X。{\displaystyle X.}X{\displaystyle X}あ⊆X{\displaystyle A\subseteq X}X{\displaystyle X}あ∩K{\displaystyle A\cap K}K{\displaystyle K}K∈C。{\displaystyle K\in {\mathcal {C}}.}X、{\displaystyle X,}

への連続写像の族に関するこれらの異なる選択は、コンパクト生成空間の異なる定義につながります。さらに、定義の一部として分離公理（ハウスドルフや弱ハウスドルフなど）を満たすことを要求する著者もいれば、そうでない著者もいます。本稿での定義には、そのような分離公理は含まれません。 X{\displaystyle X}X{\displaystyle X}

追加の一般的な注意点として、空間が（ に関して）コンパクト生成であることを示すのに有用な十分条件は、が に関してコンパクト生成であるような部分族を見つけることです 。コヒーレント空間の場合、これは空間が部分空間族の部分族とコヒーレントであることを示すことに対応します。例えば、これは局所コンパクト空間がコンパクト生成であることを示す一つの方法を提供します。 X{\displaystyle X}F{\displaystyle {\mathcal {F}}}G⊆F{\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}X{\displaystyle X}G。{\displaystyle {\mathcal {G}}.}

以下に、より一般的に使用される定義のいくつかを、より具体的なものから順に詳しく説明します。

ハウスドルフ空間の場合、これら3つの定義はすべて同値である。したがって、用語はコンパクト生成ハウスドルフ空間は明確であり、コンパクト生成空間（どの定義でも）であり、かつハウスドルフ。

定義1

非公式には、その位相がそのコンパクト部分空間によって決定される空間、またはこの場合は同等に、任意のコンパクト空間からのすべての連続写像によって決定される空間。

位相空間は、以下の同値な条件のいずれかを満たす場合、コンパクト生成空間またはk空間と呼ばれる: [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]X{\displaystyle X}

(1) 上の位相はそのコンパクト部分空間の族と 整合している。つまり、次の性質を満たす。X{\displaystyle X}
集合がにおいて開集合（閉集合）であるのは、すべてのコンパクト部分空間に対して、交差がにおいて開集合（閉集合）であるときとまったく同じである。あ⊆X{\displaystyle A\subseteq X}X{\displaystyle X}あ∩K{\displaystyle A\cap K}K{\displaystyle K}K⊆X。{\displaystyle K\subseteq X.}
（２）上の位相は、すべてのコンパクト空間からのすべての連続写像の族に関する最終位相と一致する。X{\displaystyle X}f:K→X{\displaystyle f:K\to X}K。{\displaystyle K.}
(3)はコンパクト空間の位相和の商空間である。X{\displaystyle X}
(4)は弱局所コンパクト空間の商空間である。X{\displaystyle X}

最後の位相幾何学の記事で説明したように、任意のコンパクト空間からの連続写像の族は集合ではなく適切なクラスであるにもかかわらず、条件（2）は明確に定義されています。

条件（１）と（２）の同値性は、部分空間からの包含はすべて連続写像であるという事実から導かれる。一方、コンパクト空間からの連続写像はすべてコンパクト像を持ち、したがってコンパクト部分空間を包含することによってf:K→X{\displaystyle f:K\to X}K{\displaystyle K}f（K）{\displaystyle f(K)}f（K）{\displaystyle f(K)}X。{\displaystyle X.}

定義2

非公式には、任意のコンパクト ハウスドルフ空間からのすべての連続写像によって位相が決定される空間。

位相空間は、以下の同値な条件のいずれかを満たす場合、コンパクト生成空間またはk空間と呼ばれる。 [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]X{\displaystyle X}

(1) 上の位相は、すべてのコンパクトハウスドルフ空間からのすべての連続写像の族に関する最終位相と一致する。 言い換えれば、それは次の条件を満たす。 X{\displaystyle X}f:K→X{\displaystyle f:K\to X}K。{\displaystyle K.}
集合が で開集合（または閉集合）であるとき、任意のコンパクトハウスドルフ空間と任意の連続写像に対してが で開集合（または閉集合）であるときとまったく同じである。あ⊆X{\displaystyle A\subseteq X}X{\displaystyle X}f−1（あ）{\displaystyle f^{-1}(A)}K{\displaystyle K}K{\displaystyle K}f:K→X。{\displaystyle f:K\to X.}
(2)はコンパクトハウスドルフ空間の位相和の商空間である。X{\displaystyle X}
(3)は局所コンパクトハウスドルフ空間の商空間である。X{\displaystyle X}

最後の位相幾何学の記事で説明したように、任意のコンパクトハウスドルフ空間からの連続写像の族は集合ではなく適切なクラスであるにもかかわらず、条件（1）は明確に定義されている。[ 5 ]

定義2を満たすすべての空間は、定義1も満たす。逆は成り立たない。例えば、アレンズ・フォート空間の一点コンパクト化はコンパクトであるため定義1を満たすが、定義2は満たさない。

定義2は代数位相幾何学においてより一般的に用いられる定義である。この定義はしばしば弱ハウスドルフ性と組み合わせて、コンパクト生成弱ハウスドルフ空間の圏CGWHを形成する。

定義3

非公式には、その位相がコンパクトなハウスドルフ部分空間によって決定される空間。

位相空間がコンパクト生成空間またはk空間と呼ばれるのは、その位相がそのコンパクトハウスドルフ部分空間の族と 整合している場合である。つまり、次の性質を満たす場合である。X{\displaystyle X}

集合がで開集合（または閉集合）であるとき、すべてのコンパクトハウスドルフ部分空間に対して交差が で開集合（または閉集合）である。あ⊆X{\displaystyle A\subseteq X}X{\displaystyle X}あ∩K{\displaystyle A\cap K}K{\displaystyle K}K⊆X。{\displaystyle K\subseteq X.}

定義3を満たす空間はすべて定義2も満たす。逆は成り立たない。例えば、位相を持つシェルピンスキー空間は 定義3を満たさない。なぜなら、そのコンパクトハウスドルフ部分空間は単元とであり、それらが誘導するコヒーレント位相は離散位相になるからである。一方、シェルピンスキー空間は定義2を満たす。なぜなら、シェルピンスキー空間は、X＝{0、1}{\displaystyle X=\{0,1\}}{∅、{1}、X}{\displaystyle \{\emptyset ,\{1\},X\}}{0}{\displaystyle \{0\}}{1}{\displaystyle \{1\}}[0、1]{\displaystyle [0,1]}（0、1]。{\displaystyle (0,1].}

定義3は、それ自体では他の2つの定義ほど有用ではありません。なぜなら、定義3には、他の定義が示唆するいくつかの性質が欠けているからです。例えば、定義1または定義2を満たす空間の商空間はすべて、同種の空間です。しかし、これは定義3には当てはまりません。

しかし、弱いハウスドルフ空間では定義2と3は同値である。[ 8 ] したがって、カテゴリCGWHは、弱いハウスドルフ性質と定義3を組み合わせることによって定義することもでき、定義2よりも簡単に述べられ、扱いやすくなる可能性がある。

モチベーション

コンパクト生成空間は、もともとドイツ語のkompaktにちなんでk-空間と呼ばれていました。これらはHurewiczによって研究され、Kelley の『一般位相幾何学』、Dugundji の『位相幾何学』、Félix、Halperin、Thomas の『有理ホモトピー理論』にも記載されています。

1960年代、彼らのより深い研究の動機は、位相空間の通常の圏におけるよく知られた欠陥に端を発した。位相空間は直角閉圏にはならず、通常の同一写像の直角積は必ずしも同一写像とは限らず、CW複体の通常の積は必ずしもCW複体である必要はない。[ 9 ]対照的に、単体集合の圏は直角閉であることを含め、多くの便利な性質を持っていた。この状況を修復する研究の歴史は、 n Labの空間の便利な圏に関する記事に記載されている。

この状況を改善するための最初の提案（1962年）は、コンパクト生成ハウスドルフ空間の完全な部分圏（実際には直角閉空間）に限定することであった。これらのアイデアは、ド・フリースの双対定理を拡張したものである。指数関数的対象の定義は以下に示す。もう一つの提案（1964年）は、通常のハウスドルフ空間を考慮しつつ、コンパクト部分集合上で連続な関数を用いるというものであった。

これらの考え方は非ハウスドルフの場合にも一般化される。[ 10 ]すなわち、コンパクト生成空間の定義が異なる。ハウスドルフ空間の識別空間は必ずしもハウスドルフである必要はないので、これは有用である。[ 11 ]

現代の代数位相幾何学では、この性質は最も一般的には弱ハウスドルフ性質と組み合わされており、コンパクトに生成された弱ハウスドルフ空間のカテゴリ CGWHで作業します。

例

定義の節で説明したように、コンパクト生成空間については文献において普遍的に受け入れられている定義は存在しません。しかし、定義1、2、3は、より一般的に用いられている定義です。結果をより簡潔に表現するために、この節では、3つの定義をそれぞれ明確に表すために、略語CG-1、CG-2、CG-3を使用します。これは以下の表にまとめられています（それぞれの等価な条件については、定義の節を参照してください）。

略語意味の要約
CG-1コンパクト部分空間の族と整合する位相
CG-2任意のコンパクトハウスドルフ空間からの連続写像に関して最終位相と同じ位相
CG-3コンパクトハウスドルフ部分空間の族と整合する位相

ハウスドルフ空間において、CG-1、CG-2、CG-3 の性質は同値である。このような空間は、曖昧さなくコンパクト生成ハウスドルフ空間と呼ぶことができる。

すべてのCG-3空間はCG-2であり、すべてのCG-2空間はCG-1である。以下のいくつかの例が示すように、逆の含意は一般には成立しない。

弱いハウスドルフ空間では、CG-2とCG-3の性質は同値である。[ 8 ]

順次空間はCG-2である。[ 12 ] これには第一可算空間、アレクサンドロフ離散空間、有限空間が含まれる。

CG-3空間はすべてT 1空間である（なぜなら、単元が与えられたとき、そのすべてのコンパクトハウスドルフ部分空間との交差は空集合または一点であり、これは閉じているため、単元は閉じている）。有限T 1空間は離散位相を持つ。したがって、有限空間はすべてCG-2であるが、その中で離散位相を持つのはCG-3空間である。シェルピンスキー空間のような有限の非離散空間は、CG-3ではないCG-2空間の例である。 {×}⊆X、{\displaystyle \{x\}\subseteq X,}K⊆X{\displaystyle K\subseteq X}K;{\displaystyle K;}X{\displaystyle X}

コンパクト空間と弱局所コンパクト空間は CG-1 ですが、必ずしも CG-2 ではありません (以下の例を参照)。

コンパクト生成ハウスドルフ空間には、CG-1 または CG-2 として上述した様々な空間クラスのハウスドルフ版、すなわちハウスドルフ順序空間、ハウスドルフ第一可算空間、局所コンパクトハウスドルフ空間などが含まれる。特に、計量空間と位相多様体はコンパクト生成される。CW 複体もまたハウスドルフコンパクト生成される。

コンパクト生成ではない空間の例を示すために、反コンパクト[ 13 ]空間、すなわちコンパクト部分空間がすべて有限である空間を調べることが有用である。空間が反コンパクトで T 1であるとき、 のすべてのコンパクト部分空間は離散位相を持ち、 の対応する k-化は離散位相である。したがって、任意の反コンパクト T 1非離散空間は CG-1 ではない。例として以下が挙げられる。 X{\displaystyle X}X{\displaystyle X}X{\displaystyle X}

コンパクトに生成されない (ハウスドルフ) 空間の他の例としては、次のものがあります。

CG-1 でありながら CG-2 ではない空間の例としては、CG-1 ではない任意の空間（例えば、Arens-Fort 空間や の無数コピーの積）から始め、をの一点コンパクト化とすることができます。 この空間はコンパクトであるため、CG-1 です。しかし、これは CG-2 ではありません。なぜなら、開部分空間は CG-2 の性質を継承し、は の開部分空間であり、 CG-2 ではないからです。 はい{\displaystyle Y}R{\displaystyle \mathbb {R} }X{\displaystyle X}はい。{\displaystyle Y.}X{\displaystyle X}はい{\displaystyle Y}X{\displaystyle X}

プロパティ

(略語 CG-1、CG-2、CG-3 の意味については、 「例」セクションを参照してください。)

部分空間

コンパクト生成空間の部分空間は、一般にはコンパクト生成ではなく、ハウスドルフの場合も同様である。例えば、が最初の非可算順序数である順序数空間 はコンパクト ハウスドルフであり、したがってコンパクト生成である。 を除くすべての極限順序数を取り除いたその部分空間は、フォルティッシモ空間と同型であるが、フォルティッシモ空間はコンパクト生成ではない（例のセクションで述べたように、フォルティッシモ空間は反コンパクトかつ非離散である）。[ 16 ] もう1つの例はアレンズ空間 である[ 17 ] [ 18 ]が逐次ハウスドルフであるため、コンパクト生成である。その部分空間としてアレンズ-フォート空間 が含まれるが、これはコンパクト生成ではない。 ω1+1＝[0、ω1]{\displaystyle \omega _{1}+1=[0,\omega _{1}]}ω1{\displaystyle \omega _{1}}ω1{\displaystyle \omega _{1}}

CG-1空間では、すべての閉集合はCG-1である。開集合については同じことが成り立たない。例えば、例で示したように、CG-1ではない空間は数多く存在するが、それらの1点コンパクト化（CG-1）においては開集合となる。

CG-2空間では、すべての閉集合はCG-2である。また、すべての開集合もCG-2である（局所コンパクト・ハウスドルフ空間には商写像が存在し、開集合に対しては、への制限も局所コンパクト・ハウスドルフ空間上の商写像となるため）。より一般に、すべての局所閉集合、すなわち開集合と閉集合の交差についても同様のことが言える。 [ 19 ]X、{\displaystyle X,}q:はい→X{\displaystyle q:Y\to X}はい{\displaystyle Y}あなた⊆X{\displaystyle U\subseteq X}q{\displaystyle q}q−1(U){\displaystyle q^{-1}(U)}

CG-3 空間では、すべての閉集合は CG-3 です。

商

位相空間族の互いに素な和 がCG-1となることと、各空間がCG-1となることは同値である。同様の命題はCG-2 [ 20 ] [ 21 ]およびCG-3についても成立する。 ∐iXi{\displaystyle {\coprod }_{i}X_{i}}(Xi)i∈I{\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}Xi{\displaystyle X_{i}}

CG-1空間の商空間はCG-1である。[ 22 ]特に、 弱局所コンパクト空間の任意の商空間はCG-1である。逆に、任意のCG-1空間は弱局所コンパクト空間の商空間であり、これは[ 22 ]のコンパクト部分空間の互いに素な和集合としてとることができる。X{\displaystyle X}X.{\displaystyle X.}

CG-2空間の商空間はCG-2である。[ 23 ] 特に、局所コンパクトハウスドルフ空間の任意の商空間はCG-2である。逆に、任意のCG-2空間は局所コンパクトハウスドルフ空間の商空間である。[ 24 ] [ 25 ]

CG-3空間の商空間は、一般にCG-3ではない。実際、任意のCG-2空間はCG-3空間（すなわち、何らかの局所コンパクト・ハウスドルフ空間）の商空間である。しかし、CG-3ではないCG-2空間も存在する。具体的な例として、シェルピンスキー空間はCG-3ではないが、点と 同一視によって得られるコンパクト区間の商に同相である。[0,1]{\displaystyle [0,1]}(0,1]{\displaystyle (0,1]}

より一般的には、 CG-1空間からの関数族によって誘導される集合上の任意の終位相もまたCG-1である。そしてCG-2についても同様である。これは、上記の互いに素な和集合と商空間に関する結果と、関数の合成における終位相の挙動を組み合わせることで導かれる。

CG-1空間の楔和はCG-1である。CG-2についても同様である。これは、上記の結果を互いに素な和と商空間に適用したものでもある。

製品

二つのコンパクト生成空間の積は、たとえ両方の空間がハウスドルフかつシーケンシャルであっても、必ずしもコンパクト生成である必要はない。例えば、実数直線からの部分空間位相を持つ空間はまず可算である。一方、実数直線から商位相を持つ空間は、正の整数を点と同一視してシーケンシャルである。どちらの空間もハウスドルフにコンパクト生成だが、その積はコンパクト生成ではない。[ 26 ]X=R∖{1,1/2,1/3,…}{\displaystyle X=\mathbb {R} \setminus \{1,1/2,1/3,\ldots \}}Y=R/{1,2,3,…}{\displaystyle Y=\mathbb {R} /\{1,2,3,\ldots \}}X×Y{\displaystyle X\times Y}

ただし、2 つのコンパクト生成空間の積がコンパクトに生成される場合もあります。

コンパクト生成空間（すべてのCG-1空間やすべてのCG-2空間など）のカテゴリを扱う場合、上の通常の積位相は一般にはコンパクト生成ではないため、カテゴリカル積として用いることはできない。しかし、そのk-化は期待されるカテゴリに属し、カテゴリカル積となる。[ 30 ] [ 31 ]X×Y{\displaystyle X\times Y}k(X×Y){\displaystyle k(X\times Y)}

機能の継続性

コンパクト生成空間上の連続関数とは、コンパクト部分集合上で良好な挙動を示す関数のことである。より正確には、位相空間 から別の位相空間への関数とし、その定義域が本稿の定義の一つに従ってコンパクト生成されているとする。コンパクト生成空間は最終位相によって定義されるため、の連続性は、最終位相を定義するために用いられる族内の様々な写像との合成の連続性によって表すことができる。具体的には以下の通りである。 f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}X{\displaystyle X}f{\displaystyle f}f{\displaystyle f}

がCG-1である場合、関数が連続であることは、制約が各コンパクトに対して連続であることと同値である[ 32 ]X{\displaystyle X}f{\displaystyle f}f|K:K→Y{\displaystyle f\vert _{K}:K\to Y}K⊆X.{\displaystyle K\subseteq X.}

がCG-2であるとき、関数が連続であることと、各コンパクトハウスドルフ空間と連続写像に対して合成が連続であることは同値である[ 33 ]X{\displaystyle X}f{\displaystyle f}f∘u:K→Y{\displaystyle f\circ u:K\to Y}K{\displaystyle K}u:K→X.{\displaystyle u:K\to X.}

がCG-3の場合、関数が連続であることは、制約が各コンパクトハウスドルフに対して連続であることと同値である。X{\displaystyle X}f{\displaystyle f}f|K:K→Y{\displaystyle f\vert _{K}:K\to Y}K⊆X.{\displaystyle K\subseteq X.}

その他

位相空間 と に対して、からへの連続写像全体をコンパクト開位相で位相化した空間とする。 がCG-1 ならば、のパス成分はまさにホモトピー同値類となる。[ 34 ]X{\displaystyle X}Y,{\displaystyle Y,}C(X,Y){\displaystyle C(X,Y)}X{\displaystyle X}Y{\displaystyle Y}X{\displaystyle X}C(X,Y){\displaystyle C(X,Y)}

K化

任意の位相空間が与えられたとき、その上にコンパクトに生成されるより細かい位相を定義することができる。これはX{\displaystyle X}X{\displaystyle X}位相のk化。のコンパクト部分集合の族を とします。 の各添字に対してで閉じている場合に限り、部分集合が閉じている、 上の新しい位相を定義します。この新しい空間を で表します。 と のコンパクト部分集合は一致し、コンパクト部分集合上の誘導位相は同じであることが示せます。したがって、 はコンパクト生成されます。 が で最初からコンパクト生成されていた場合、 となります。それ以外の場合、上の位相はよりも厳密に細かい（つまり、開集合がさらに多く存在する）ことになります。 {Kα}{\displaystyle \{K_{\alpha }\}}X.{\displaystyle X.}X{\displaystyle X}A{\displaystyle A}A∩Kα{\displaystyle A\cap K_{\alpha }}Kα{\displaystyle K_{\alpha }}α.{\displaystyle \alpha .}kX.{\displaystyle kX.}kX{\displaystyle kX}X{\displaystyle X}kX{\displaystyle kX}X{\displaystyle X}kX=X.{\displaystyle kX=X.}kX{\displaystyle kX}X{\displaystyle X}

この構成は関数的である。の完全部分圏をコンパクト生成空間の対象として、 の完全部分圏をハウスドルフ空間の対象として表記する。 からへの関数で を取るものは、包含関数の右随伴である。CGTop{\displaystyle \mathbf {CGTop} }Top{\displaystyle \mathbf {Top} }CGHaus{\displaystyle \mathbf {CGHaus} }CGTop{\displaystyle \mathbf {CGTop} }Top{\displaystyle \mathbf {Top} }CGTop{\displaystyle \mathbf {CGTop} }X{\displaystyle X}kX{\displaystyle kX}CGTop→Top.{\displaystyle \mathbf {CGTop} \to \mathbf {Top} .}

における指数オブジェクトは で与えられ、 はコンパクト開位相を持つからへの連続写像の空間です。 CGHaus{\displaystyle \mathbf {CGHaus} }k(YX){\displaystyle k(Y^{X})}YX{\displaystyle Y^{X}}X{\displaystyle X}Y{\displaystyle Y}

これらの考え方は非ハウスドルフの場合にも一般化できる。[ 10 ]ハウスドルフ空間の識別空間はハウスドルフである必要がないので、これは有用である。

参照

注記

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参考文献

さらに読む

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