コンフォーマルキリングベクトル場

共形幾何学において、（擬似）リーマン計量を持つ n次元の多様体 上の共形キリングベクトル場（共形キリングベクトル、CKV、または共形共線化とも呼ばれる）は、（局所的に定義された）フローによって共形変換が定義される、つまり、スケールまで保存され、共形構造が保存されるベクトル場である。多様体上のある関数に対する例えばフローのリー微分に関して、共形キリング方程式と呼ばれる同値な定式化が いくつか存在する。その空間の共形対称性を指定する解は有限個存在するが、2次元では解は無限個存在する。キリングという名前は、キリングベクトル場を初めて研究したヴィルヘルム・キリングに由来する。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g}$ ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle n\neq 2}$

稠密化された計量テンソルと共形キリングベクトル

ベクトル場がキリングベクトル場となるのは、そのフローが計量テンソルを保存する場合と同値である（厳密に言えば、多様体の各コンパクト部分集合について、フローは有限時間に対してのみ定義されればよい）。数学的に定式化すると、キリングベクトル場となるのは、以下の式を満たす場合と同値である 。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=0.}$

ここでリー導関数です。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$

より一般的には、wキリングベクトル場を、（局所的な）流れが密度化された計量 を保存するベクトル場として定義します。ここで、は（つまり局所的に）によって定義される体積密度であり、はその重みです。キリングベクトル場は を保存するので、このより一般的な式も自動的に満たすことに注意してください。また、 は、計量のスケーリングに対して組み合わせを不変にする唯一の重みであることにも注意してください。したがって、この場合、条件は共形構造のみに依存します。ここで、はwキリングベクトル場であるためには、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g\mu_{g}^{w}}$ ${\displaystyle \mu_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu_{g}={\sqrt {|\det(g)|}}\,dx^{1}\cdots dx^{n}}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mu_{g}}$ ${\displaystyle w=-2/n}$ ${\displaystyle g\mu_{g}^{w}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\left(g\mu _{g}^{w}\right)=({\mathcal {L}}_{X}g)\mu _{g}^{w}+wg\mu _{g}^{w-1}{\mathcal {L}}_{X}\mu _{g}=0.}$

これは次 の式と同等である。${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\mu _{g}=\operatorname {div} (X)\mu _{g}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=-w\operatorname {div} (X)g.}$

両辺のトレースをとると、 と結論付けられます。したがって、 の場合、必然的に となり、w-キリングベクトル場は、フローが計量を保存する通常のキリングベクトル場となります。しかし、 の場合、 のフローは共形構造のみを保存する必要があり、定義により は共形キリングベクトル場となります。 ${\displaystyle 2\mathop {\mathrm {div} } (X)=-wn\operatorname {div} (X)}$ ${\displaystyle w\neq -2/n}$ ${\displaystyle \operatorname {div} (X)=0}$ ${\displaystyle w=-2/n}$ ${\displaystyle X}$

同等の定式化

以下は同等である

1. ${\displaystyle X}$ は共形キリングベクトル場であり、
2. （局所的に定義された）流れは共形構造を保存する。${\displaystyle X}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(g\mu _{g}^{-2/n})=0,}$
4. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g={\frac {2}{n}}\operatorname {div} (X)g,}$
5. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g}$ 何らかの機能のために${\displaystyle \lambda .}$

上の議論は、一見より一般的な最後の形式を除くすべての形式が同値であることを証明しています。しかし、最後の2つの形式も同値です。トレースを取ると、必然的に が成り立つことが示されます。 ${\displaystyle \lambda =(2/n)\operatorname {div} (X)}$

最後の形式は、任意のキリングベクトルが共形キリングベクトルでもあることを明確に示しており、${\displaystyle \lambda \cong 0.}$

共形キリング方程式

を使うと、はのレヴィ・チヴィタ微分（共変微分ともいう）であり、は の双対 1 形式（共変ベクトルともいう）であり、は対称部分への射影であるので、等角キリング方程式を抽象指数表記で次のように書くことができる。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=2\left(\nabla X^{\flat }\right)^{\mathrm {symm} }}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X^{\flat }=g(X,\cdot )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}^{\mathrm {symm} }}$

${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}={\frac {2}{n}}g_{ab}\nabla _{c}X^{c}.}$

共形キリング方程式を書くための別の指数表記は

${\displaystyle X_{a;b}+X_{b;a}={\frac {2}{n}}g_{ab}X^{c}{}_{;c}.}$

例

フラットスペース

次元平坦空間、つまりユークリッド空間または擬ユークリッド空間には、定数計量を持つ大域的に平坦な座標が存在し、符号 の空間には、成分 があります。これらの座標では、接続成分が消えるため、共変微分は座標微分です。平坦空間の共形キリング方程式は です。 平坦空間共形キリング方程式の解には、キリングベクトル場の記事で説明した平坦空間キリング方程式の解が含まれます。これらは、平坦空間の等長変換のポアンカレ群を生成します。仮説 を考慮して、 の反対称部分は既知の解に対応するため削除し、新しい解を探します。するとは対称です。したがって、これは拡大 であり、実数はであり、対応するキリングベクトルであることがわかります。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle (\eta _{\mu \nu })={\text{diag}}(+1,\cdots ,+1,-1,\cdots ,-1)}$ $${\displaystyle \partial _{\mu }X_{\nu }+\partial _{\nu }X_{\mu }={\frac {2}{n}}\eta _{\mu \nu }\partial _{\rho }X^{\rho }.}$$ ${\displaystyle X^{\mu }=M^{\mu \nu }x_{\nu },}$ ${\displaystyle M^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle M^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle M_{\nu }^{\mu }=\lambda \delta _{\nu }^{\mu }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X^{\mu }=\lambda x^{\mu }}$

一般解からは、特殊共形変換として知られるさらなる生成元があり、 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle X_{\mu }=c_{\mu \nu \rho }x^{\nu }x^{\rho },}$

ここで のトレースレス部分は上では消えるため、 によってパラメータ化できます。 ${\displaystyle c_{\mu \nu \rho }}$ ${\displaystyle \mu ,\nu }$ ${\displaystyle c^{\mu }{}_{\mu \nu }=b_{\nu }}$

共形キリング方程式の一般解（2次元以上）[ 1 ]

便宜上、共形キリング方程式を次のように書き直す （トレースを取ることで回復できる） $${\displaystyle \partial _{\mu }X_{\nu }+\partial _{\nu }X_{\mu }=f(\mathbf {x} )g_{\mu \nu }.}$$ ${\displaystyle f(\mathbf {x} )={\frac {2}{n}}\partial _{\rho }X^{\rho }.}$ 追加の導関数を適用し、添え字を書き換え、得られた方程式の線形結合をとると、次式が得られます。 を縮約すると次式が得られます 。 この方程式と元の共形キリング方程式の導関数を組み合わせると次式が得られ 、 縮約すると次式が得られます 。 ここで の場合に注目すると、前の2つの方程式を合わせるとが得られるため、は 座標系で最大で線形となります。 を前の方程式に代入すると が得られるため、 は 座標系で最大で二次式となり、一般形は となります。 $${\displaystyle 2\partial _{\mu }\partial _{\nu }X_{\rho }=\eta _{\mu \rho }\partial _{\nu }f+\eta _{\nu \rho }\partial _{\mu }f-\eta _{\mu \nu }\partial _{\rho }f.}$$ ${\displaystyle \mu ,\nu }$ $${\displaystyle 2\partial ^{2}X_{\rho }=(2-n)\partial _{\rho }f.}$$ $${\displaystyle (2-n)\partial _{\mu }\partial _{\nu }f=\eta _{\mu \nu }\partial ^{2}f,}$$ $${\displaystyle (n-1)\partial ^{2}f=0.}$$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\partial _{\nu }f=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\partial _{\nu }X_{\rho }}$ ${\displaystyle X_{\mu }}$ $${\displaystyle X_{\mu }=a_{\mu }+b_{\mu \nu }x^{\nu }+c_{\mu \nu \rho }x^{\nu }x^{\rho }.}$$

並進、ローレンツ変換、膨張、特殊共形変換は共形代数を構成し、擬ユークリッド空間の 共形群を生成します。${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n(n-1)/2}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$

参照

• アフィンベクトル場
• 共形キリングテンソル
• 曲率共線化
• アインシュタイン多様体
• ホモセティックベクトル場
• 不変微分演算子
• キリングベクトルフィールド
• 物質の共線化
• 時空の対称性

参考文献

1. P. ディ フランチェスコ、P. マシュー、D. セネシャル、共形場の理論、1997 年、 ISBN 0-387-94785-X

さらに読む

• ウォルド, RM (1984). 一般相対性理論. シカゴ大学出版局.