管理図
管理図
品質の7つの基本ツールの1つ
最初に記述されたウォルター・A・シューハート
目的品質関連の問題に関して正式な検査を受ける必要があるかどうかを判断する

管理図は、生産管理において、品質や製造工程が安定した状態で管理されているかどうかを判断するために用いられるグラフである。(ISO 7870-1) [ 1 ] 1時間ごとの状況をグラフ上にまとめ、従来の傾向と異なるデータや管理限界線から逸脱するデータの有無で異常の発生を判断する。管理図は、シューハート個別管理図(ISO 7870-2) [ 2 ]とCUSUM (累積和管理図)(ISO 7870-4) [ 3 ]に分類される。

管理図は、シューハート図（ウォルター・A・シューハートにちなんで）またはプロセス動作図とも呼ばれ、製造プロセスまたはビジネスプロセスが管理状態にあるかどうかを判断するために使用される統計的プロセス管理ツールです。管理図は、統計的プロセス監視（SPM）用のグラフィカルデバイスであると言った方が適切です。従来の管理図は主に、プロセス分布の基礎となる形状が既知の場合に、プロセスパラメータを監視するように設計されています。しかし、21世紀では、基礎となるプロセス分布を知らなくても、入力データストリームを監視できる、より高度な手法が利用可能になっています。分布フリー管理図はますます普及しています。

概要

管理図の分析により、プロセスが現在管理下にある（つまり、安定しており、変動がプロセスに共通する原因からのみ生じている）ことが示されている場合、プロセス管理パラメータの修正や変更は必要なく、また望ましいものでもありません。さらに、プロセスからのデータを使用して、プロセスの将来のパフォーマンスを予測することができます。チャートが監視対象プロセスが管理されていないことを示している場合、チャートの分析は、プロセスパフォーマンスの低下につながる変動の原因を特定するのに役立ちます。 [ 4 ]安定しているが、望ましい（仕様）限界外で動作しているプロセス（たとえば、スクラップ率は統計的に管理されているが、望ましい限界を超えている）は、現在のパフォーマンスの原因を理解し、プロセスを根本的に改善するための意図的な努力を通じて改善する必要があります。[ 5 ]

管理図は、品質管理の7つの基本ツールの1つです。[ 6 ]管理図は通常、時系列データ（連続データまたは変数データとも呼ばれます）に使用されます。論理的な比較が可能なデータ（例えば、同時に採取されたサンプルを比較したり、異なる個人のパフォーマンスを比較したりする場合など）にも使用できますが、そのためには使用する管理図の種類を考慮する必要があります。[ 7 ]

歴史

管理図は、1920年代にベル研究所 に勤務していたウォルター・A・シューハートによって発明されました。 [ 8 ]ベル研究所の技術者たちは、電話伝送システムの信頼性向上に取り組んでいました。増幅器やその他の装置は地中に埋設する必要があったため、故障や修理の頻度を減らすことが業務上より強く求められていました。1920年までに、技術者たちは製造工程における変動の低減の重要性を既に認識していました。さらに、不適合に対応して工程を継続的に調整すると、かえって変動が増大し、品質が低下することにも気づいていました。シューハートは、変動の一般原因と特殊原因という観点から問題を捉え、1924年5月16日に、この2つを区別するためのツールとして管理図を紹介する社内メモを作成しました。シューハートの上司ジョージ・エドワーズは次のように回想している。「シューハート博士は1ページほどの短いメモを用意してくれました。そのページの約3分の1は、今日では図式的管理図として誰もが認識しているような簡単な図表に使われていました。その図表と、その前後の短い文章には、今日私たちが工程品質管理として知っているものに関わる重要な原則と考慮事項がすべて記載されていました。」[ 9 ]シューハートは、生産工程を共通原因による変動のみが存在する統計的管理状態に持ち込み、それを管理し続けることが、将来の生産量を予測し、工程を経済的に管理するために不可欠であると強調した。

シューハートは、綿密に計画された実験によって、管理図と統計的管理状態の概念の基礎を築きました。シューハートは純粋な数学的統計理論を基盤としながらも、物理プロセスから得られるデータは典型的には「正規分布曲線」（ガウス分布、一般的に「ベル曲線」とも呼ばれる）を描くことを理解していました。彼は、製造データにおける観測された変動が、自然界のデータ（粒子のブラウン運動）と必ずしも同じようには振る舞わないことを発見しました。シューハートは、すべてのプロセスに変動が見られるものの、一部のプロセスはプロセスに自然に備わった制御された変動を示す一方で、他のプロセスはプロセスの因果関係に常に存在するわけではない制御されていない変動を示すと結論付けました。[ 10 ]

1924年か1925年に、シューハートの革新は、当時ホーソン工場で働いていたW・エドワーズ・デミングの目に留まりました。デミングは後に米国農務省に勤務し、米国国勢調査局の数学的顧問になりました。その後半世紀にわたり、デミングはシューハートの研究の最も著名な擁護者および提唱者となりました。第二次世界大戦の終結で日本が敗戦した後、デミングは連合国軍最高司令官の統計コンサルタントを務めました。その後の日本の生活への関わりと、そこで産業コンサルタントとして長きに渡って活躍したデミングによって、1950年代から1960年代にかけて、シューハートの考え方と管理図の使用が日本の製造業に広く普及しました。

ボニー・スモールは、トランジスタが製造された後の1950年代にアレンタウンの工場で働いていました。彼女はシューハートの手法を用いて工場の品質管理におけるパフォーマンスを向上させ、最大5000枚の管理図を作成しました。1958年には、彼女の著作をもとに『ウェスタン・エレクトリック統計品質管理ハンドブック』が出版され、AT&Tでの使用につながりました。[ 11 ]

チャートの詳細

管理図は次のものから構成されます。

  • 異なる時間にプロセスから採取されたサンプルにおける品質特性の測定値の統計（例：平均、範囲、割合）を表す点（つまり、データ）
  • この統計量の平均は、すべてのサンプルを用いて計算されます（例：平均値の平均、範囲の平均、割合の平均）。あるいは、変化を評価できる基準期間を用いて計算されます。同様に、中央値を使用することもできます。
  • 統計量の平均値または中央値に中心線が引かれる
  • 統計の標準偏差(例: 平均の平方根(分散)) は、すべてのサンプルを使用して計算されます。または、変更を評価できる参照期間に対して再度計算されます。XmR チャートの場合、厳密には標準偏差の近似値であり、標準偏差が行う時間の経過に伴うプロセスの均一性の仮定は行いません。
  • プロセス出力が統計的に「ありそうにない」とみなされる閾値を示す上限および下限管理限界（「自然プロセス限界」と呼ばれることもある）は、通常、中心線から3標準偏差のところに引かれます。

チャートには、次のようなその他のオプション機能が含まれる場合があります。

  • より厳格な上限および下限の警告限界または管理限界。通常は中心線から上下2標準偏差の線で区切られます。これは、プロセスにおいて変動性をより厳密に管理する必要がある場合によく使用されます。
  • ゾーンに分割し、各ゾーンでの観測頻度を規定する規則を追加
  • プロセスの品質を担当する品質エンジニアによって決定された、関心のあるイベントの注釈
  • 特別な原因に基づく措置

(注: 信号検出には複数のルール セットがありますが、これは 1 つのセットにすぎません。ルール セットは明確に示される必要があります。)

  1. 管理限界外の点
  2. 7ポイント連続で中央線より上または下の場合 - 生産を停止します
    • 検疫と100％検査
    • プロセスを調整します。
    • 5つの連続サンプルをチェック
    • プロセスを続行します。
  3. 7ポイントの上昇または下降の連続 - 上記の指示と同じ

管理図定数

管理図定数またはバイアス補正係数は、管理図で使用される定数です。[ 12 ]これらの定数はサブグループサイズ（n）に基づいており、標本分布の統計的特性から導出されます。[ 13 ] [ 14 ]最初に提案された管理図定数はd 2とd 3でした。[ 15 ]

チャートの使用法

工程が管理下にあり（工程統計量が正規分布に従う）、全点の99.7300%が管理限界内に入ります。限界外の観測値、あるいは限界内での系統的なパターンは、新たな（そしておそらく予期せぬ）変動源、いわゆる特殊原因変動の発生を示唆しています。変動の増加は品質コストの増加を意味するため、特殊原因の存在を「示唆」する管理図は、直ちに調査を行う必要があります。

このため、管理限界は意思決定支援として非常に重要なものとなります。管理限界はプロセスの挙動に関する情報を提供するものであり、仕様目標値や工学許容範囲とは本質的に関係がありません。実際には、プロセス設計がプロセス特性を望ましいレベルで実現できないため、プロセス平均値（ひいては中心線）が品質特性の規定値（または目標値）と一致しない場合があります。

管理図は、プロセスに関わる人々（例えば、機械オペレーター）が仕様通りに動作することに重点を置く傾向があるため、仕様限界または目標値を制限します。しかし、実際には、プロセス変動を可能な限り低く抑えることが、コストを最小化する行動です。自然中心が目標値と異なるプロセスを目標仕様通りに動作させようとすると、プロセス変動が増大し、コストが大幅に増加し、オペレーションの非効率性を大きく高める原因となります。しかし、工程能力研究では、自然工程限界（管理限界）と仕様値の関係を検証します。

管理図の目的は、プロセス変動の増加を示す事象を容易に検出できるようにすることです。[ 16 ]プロセス特性が継続的に変化する場合には、この単純な判断は困難となる場合があります。管理図は、統計的に客観的な変化の基準を提供します。変化が検出され、それが良好であると判断された場合は、その原因を特定し、新しい作業方法に反映させる必要があります。一方、変化が悪いと判断された場合は、その原因を特定し、排除する必要があります。

警告限界を追加したり、管理図をゾーンに分割したりする目的は、何か異常があった場合に早期に通知することです。特別な原因が存在するかどうかを判断するためにプロセス改善活動を直ちに開始する代わりに、品質エンジニアは、プロセスが本当に管理されていることが明らかになるまで、プロセス出力からサンプルを採取する速度を一時的に上げることができます。3 シグマ限界では、共通原因による変動によって生じる信号は、歪んだプロセスの場合は 22 ポイントに 1 回未満、正規分布のプロセスの場合は約 370 ポイントに 1 回 (1/370.4) 未満になることに注意してください。[ 17 ]正規分布のデータでは、プロットされたポイント 22 個に 1 回 (1/21.98) で 2 シグマ警告レベルに達します (たとえば、分散が存在する実質的にどのような基礎分布から抽出された十分に大きなサンプルの平均も、中心極限定理によれば正規分布します)。

制限の選択

シューハートは、次の基準に基づいて3 シグマ(3 標準偏差) の制限を設定しました。

シューハート氏は結論を次のように要約した。

…私たちがたまたま用いている基準が高尚な統計定理に由来するという事実は、その使用を正当化するものではない。そのような正当化は、それが有効であるという経験的証拠に基づいていなければならない。実務技術者が言うように、「プディングの真価は食べてみなければわからない」のである。[ 18 ]

シューハートは当初確率分布に基づく限界を試していたが、最終的には次のように書いている。

統計的制御状態を特徴づけようとする初期の試みのいくつかは、頻度関数fの特殊な形が存在するという信念に触発されたもので、そのような状態は正規法則によって特徴づけられると早くから主張されていました。正規法則が不十分であることが判明すると、一般化された関数形が試されました。しかしながら、今日では、 fの唯一の関数形を見つけるという希望はすべて打ち砕かれています。[ 19 ]

管理図はヒューリスティックな手法として意図されている。デミングは、これは仮説検定ではなく、ネイマン・ピアソンの補題に基づくものでもないと主張した。彼は、ほとんどの産業状況において、母集団と標本抽出枠の分離した性質が、従来の統計手法の適用を困難にしていると主張した。デミングの意図は、未来と過去を含む様々な予測不可能な状況下において、プロセスの原因体系への洞察を探求することだった。彼は、そのような状況下において、3シグマ限界は、以下の2つの誤りによる 経済的損失を最小限に抑えるための合理的かつ経済的な指針となると主張した。

  1. 実際には原因がシステム全体（共通原因）にあるにもかかわらず、変動や誤りを特別な原因（特定原因）に帰属させる。 （第1種過誤または偽陽性とも呼ばれる）
  2. 実際には特別な原因（特定原因）であったにもかかわらず、変動や誤りをシステム（共通原因）に帰する。 （第2種の過誤または偽陰性とも呼ばれる）

標準偏差の計算

管理限界の計算においては、工程における共通原因による変動の標準偏差（誤差）が必要です。したがって、標本分散に基づく通常の推定値は使用されません。これは、共通原因と特殊原因の両方による変動から生じる総二乗誤差損失を推定することになるからです。

代わりの方法として、 Leonard HC Tippettによって導き出されたサンプルの範囲とその標準偏差の関係を、特殊原因を典型的に表す極端な観測による影響を受けにくい推定値として使用する方法があります。

信号を検出するためのルール

最も一般的なセットは次のとおりです。

中心線の同じ側で観測がどのくらい長く続いた場合を信号としてカウントするかについては特に議論があり、さまざまな著者が 6、7、8、9 を主張しています。

ルールセットを選択する上で最も重要な原則は、データを検査する前に選択を行うことです。データを確認した後にルールを選択すると、データが示唆する検定効果により、タイプIの誤り率が増加する傾向があります。

代替塩基

1935年、英国規格協会は、エゴン・ピアソンの影響下、シューハートの精神に反して、管理図を採用し、3シグマ限界を正規分布のパーセンタイルに基づく限界に置き換えました。この動きはジョン・オークランドらによって現在も引き継がれていますが、シューハート＝デミング派の著述家からは広く非難されています。

管理図のパフォーマンス

ある点が特定の管理図で設定された限界値を外れた場合、その工程の責任者は、特殊原因が発生したかどうかを判断することが求められます。特殊原因が発生した場合、その特殊原因による結果が、共通原因のみによる結果と比較して優れているか劣っているかを判断することが適切です。劣っている場合は、可能であればその原因を排除する必要があります。優れている場合は、結果を生み出すシステム内に特殊原因を意図的に残すことが適切である可能性があります。

工程が管理下（つまり、システム内に特殊原因が存在しない場合）であっても、3シグマ管理限界を超える点の確率は約0.27%です。したがって、適切に作成された管理図にプロットされた管理下の工程であっても、実際には特殊原因が発生していなくても、最終的には特殊原因の存在の可能性を示唆することになります。3シグマ限界を用いたシューハート管理図では、この誤報は平均して1/0.0027回、つまり370.4回の観測ごとに1回発生します。したがって、シューハート管理図における管理下の平均ランレングス（または管理下ARL）は370.4です。

一方、特別な原因が発生した場合、その影響は管理図上で直ちに警報状態を発するほど大きくない可能性があります。特別な原因が発生した場合、対象となる工程の平均および／または分散の変化を測定することで、その原因を説明できます。これらの変化を定量化することで、管理図の管理外ARLを決定することができます。

シューハート管理図は、工程平均または分散の大きな変化を検出するのに非常に優れていることが分かっています。これは、これらのケースでは管理外ARLがかなり短いためです。しかし、より小さな変化（平均値の1シグマまたは2シグマの変化など）の場合、シューハート管理図はこれらの変化を効率的に検出できません。EWMA管理図、CUSUM管理図、リアルタイム対比管理図など、最新のデータポイントより前に収集された観測情報を利用することで、より小さな変化をより効率的に検出する他の種類の管理図も開発されています。[ 21 ]

多くの管理図は、ガウス分布を仮定した数値データに最適です。リアルタイム対比図は、高次元、数値とカテゴリが混在、欠損値、非ガウス分布、非線形関係など、複雑な特性を持つプロセスを監視するために提案されました。[ 21 ]

批判

多くの著者は、管理図が尤度原理に違反しているという理由で批判してきました。しかし、この原理自体が議論の的となっており、管理図の支持者はさらに、統計的管理下にないプロセス、特にプロセスの 原因システムに関する知識が乏しいプロセスに対しては、尤度関数を特定することは一般的に不可能であると主張しています。

管理図のパフォーマンスを比較するために平均実行長さ (ARL) を使用することを批判する著者もいます。その理由は、その平均値が通常、大きな変動性と困難を伴う幾何分布に従うためです。

一部の著者は、ほとんどの管理図が数値データに焦点を当てていると批判しています。しかし、今日では、プロセスデータは非ガウス分布、数値とカテゴリが混在するデータ、欠損値を持つデータなど、はるかに複雑になることがあります。[ 21 ]

チャートの種類

チャート プロセス観察 プロセス観察関係 プロセス観察タイプ 検出するシフトのサイズ
ׯ{\displaystyle {\bar {x}}}Rチャート1つのサブグループ内の品質特性測定 独立した 変数 大きい（1.5σ以上）
ׯ{\displaystyle {\bar {x}}}そしてSチャート1つのサブグループ内の品質特性測定 独立した 変数 大きい（1.5σ以上）
シューハート個体管理図（ImR図またはXmR図） 1回の観測における品質特性測定 独立した 変数†大きい（1.5σ以上）
三元チャート1つのサブグループ内の品質特性測定 独立した 変数 大きい（1.5σ以上）
pチャート1つのサブグループ内の不適合率 独立した 属性†大きい（1.5σ以上）
NPチャート1つのサブグループ内の不適合の数 独立した 属性†大きい（1.5σ以上）
Cチャート1つのサブグループ内の不適合の数 独立した 属性†大きい（1.5σ以上）
Uチャート1つのサブグループ内のユニットあたりの不適合数 独立した 属性†大きい（1.5σ以上）
EWMAチャート1つのサブグループ内の品質特性測定の 指数加重移動平均独立した 属性または変数 小さい（< 1.5σ）
CUSUMチャート 1つのサブグループ内の品質特性測定の累積合計 独立した 属性または変数 小さい（< 1.5σ）
時系列モデル 1つのサブグループ内の品質特性測定 自己相関 属性または変数 該当なし
回帰管理図1つのサブグループ内の品質特性測定 プロセス制御変数に依存する 変数 大きい（1.5σ以上）

†一部の専門家は、特に二項分布データ (p 管理図と np 管理図) またはポアソン分布データ (u 管理図と c 管理図) のいずれかの仮定が満たされない場合に、属性データに個別管理図を使用することを推奨しています。[ 22 ]この方法には、主に 2 つの理由があります。第 1 に、統計的管理には正規性は必要ないため、非正規データでも個別管理図を使用できることです。[ 23 ]第 2 に、属性管理図では (確率分布を仮定して) 平均割合から分散の尺度を直接導きますが、個別管理図では平均とは独立してデータから分散の尺度を導き出すため、基礎となる母集団の分布に関する仮定に違反した場合に対して、個人管理図の方が属性管理図よりも堅牢です。[ 24 ]二項分布とポアソン分布が正規分布に近似する場合、カウント数が大きいときに個別管理図を代用すると最も効果的であることが指摘されることがあります。つまり、p チャートと np チャートの場合は試行回数n > 1000 、 u チャートと c チャートの場合は λ > 500 の場合です。

このアプローチを批判する人々は、管理図の根底にある前提に反する場合には、例えば工程データが正規分布でも二項分布（あるいはポアソン分布）でもない場合など、管理図を用いるべきではないと主張します。このような工程は管理されていないため、管理図を適用する前に改善する必要があります。さらに、このような逸脱がある状態で管理図を適用すると、管理図のタイプIおよびタイプIIの誤り率が増加し、管理図の実用性が損なわれる可能性があります。

参照

参考文献

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  2. ^ 「管理図 — パート2：シューハート管理図」 . iso.org . 2022年12月11日閲覧。
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参考文献

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