環状ホモロジー

非可換幾何学および関連する数学分野において、巡回ホモロジーと巡回コホモロジーは、多様体のド・ラーム（コ）ホモロジーを一般化する、結合代数に対する特定の（コ）ホモロジー理論です。これらの概念は、1980年代にボリス・ツィガン（ホモロジー）[ 1 ]とアラン・コンヌ（コホモロジー）[ 2 ]によって独立に導入されました。これらの不変量は、ド・ラーム理論、ホックシルト（コ）ホモロジー、群コホモロジー、K理論など、いくつかの古い数学分野と多くの興味深い関係を持っています。この理論の発展に貢献した人物としては、Max Karoubi、Yuri L. Daletskii、Boris Feigin、Jean-Luc Brylinski、Mariusz Wodzicki、Jean-Louis Loday、Victor Nistor、Daniel Quillen、Joachim Cuntz、Ryszard Nest、Ralf Meyer、Michael Puschnigg などがいます。

定義に関するヒント

標数0 の体上の環Aの巡回ホモロジーの最初の定義は、

HC n ( A ) またはH n λ ( A )、

これは、 Aのホッホシルトホモロジー複合体に関連する、コンヌ複合体と呼ばれる次の明示的な連鎖複合体によって進められます。

任意の自然数n ≥ 0に対して、 Aのn番目のテンソル積に自然な巡回作用を生成する演算子を定義します。 tn{\displaystyle t_{n}}Z/nZ{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }

tn:あ⊗n→あ⊗n、1つの1⊗⋯⊗1つのn↦（−1）n−11つのn⊗1つの1⊗⋯⊗1つのn−1。{\displaystyle {\begin{aligned}t_{n}:A^{\otimes n}\to A^{\otimes n},\quad a_{1}\otimes \dots \otimes a_{n}\mapsto (-1)^{n-1}a_{n}\otimes a_{1}\otimes \dots \otimes a_{n-1}.\end{aligned}}}

A自身に係数を持つAのホッホシルト複素群は、n ≥ 0 の任意の値に対して と置くことで与えられることを思い出してください。すると、コンヌ複体の成分は と定義され、微分はホッホシルト微分をこの商に制限したものです。ホッホシルト微分が実際にこの共変量空間まで因数分解できることを確認できます。 [ 3 ]HCn（あ）:=あ⊗n+1{\displaystyle HC_{n}(A):=A^{\otimes n+1}}Cnλ（あ）:=HCn（あ）/⟨1−tn+1⟩{\displaystyle C_{n}^{\lambda }(A):=HC_{n}(A)/\langle 1-t_{n+1}\rangle }d:Cnλ（あ）→Cn−1λ（あ）{\displaystyle d:C_{n}^{\lambda }(A)\to C_{n-1}^{\lambda }(A)}

コヌは後に、アーベル圏における巡回対象の概念を用いて、巡回ホモロジーに対するより圏論的なアプローチを発見した。これは単体対象の概念に類似している。このように、巡回ホモロジー（およびコホモロジー）は導来関手として解釈することができ、これは( b , B )-双複体を用いて明示的に計算することができる。体k が有理数を含む場合、コヌ複体を用いた定義によって同じホモロジーが計算される。

巡回ホモロジーの顕著な特徴の一つは、ホッホシルトと巡回ホモロジーを結ぶ長い完全列の存在である。この長い完全列は周期列と呼ばれる。

可換環の場合

特性ゼロの体k上のアフィン代数多様体上の正則関数の可換代数Aの巡回コホモロジーは、グロタンディークの代数的ド・ラーム複体を用いて計算できる。[ 4 ]特に、多様体V =Spec Aが滑らかな場合、Aの巡回コホモロジーは、 Vのド・ラームコホモロジーを用いて次のように表される。

HCn（あ）≃Ωnあ/dΩn−1あ⊕⨁私≥1HdRn−2私（V）。{\displaystyle HC_{n}(A)\simeq \Omega ^{n}\!A/d\Omega ^{n-1}\!A\oplus \bigoplus _{i\geq 1}H_{\text{dR}}^{n-2i}(V).}

この式は、非可換代数Aの「非可換スペクトル」に対してド・ラーム・コホモロジーを定義する方法を示唆しており、これはコンヌによって広範に展開された。

環状ホモロジーの変種

巡回ホモロジーの動機の一つは、K理論とは異なり、鎖複体のホモロジーとして定義されるK理論の近似が必要であることであった。巡回コホモロジーは実際にはK理論との対比を備えており、この対比が非退化であることが期待される。

位相を持つ代数、例えばフレシェ代数、 -代数などに適合させることを目的とした多くの変種が定義されてきた。その理由は、K理論は、追加構造を持たない代数よりも、バナッハ代数やC*-代数などの位相代数上ではるかに良く振舞うためである。その一方で、巡回ホモロジーはC*-代数上では退化するため、修正された理論を定義する必要が生じた。その中には、アラン・コヌによる完全巡回ホモロジー、ラルフ・マイヤーによる解析巡回ホモロジー[ 5 ]、ミヒャエル・プスニッヒによる漸近的かつ局所的な巡回ホモロジー[ 6 ]などがある。最後のものは、KK理論からの双変チャーン指標を備えているため、 K理論に非常に近い。 C∗{\displaystyle C^{*}}

アプリケーション

巡回ホモロジーの応用の一つは、アティヤ＝シンガーの指数定理の新たな証明と一般化を見つけることである。これらの一般化には、スペクトル三重項に基づく指数定理[ 7 ]やポアソン構造の変形量子化[ 8 ]などがある。

コンパクト滑面多様体上の楕円型作用素D は、K ホモロジーの類を定義する。この類の不変量の 1 つは、作用素の解析的指数である。これは、類 [D] と HC(C(M)) の元 1 との対として捉えられる。巡回コホモロジーは、滑面多様体だけでなく、葉脈構造、オービフォールド、そして非可換幾何学に現れる特異空間に対しても、楕円型微分作用素の高次不変量を得るための方法と見ることができる。

代数的K理論の計算

円分トレース写像は、代数的 K 理論(たとえば 環Aの)から巡回ホモロジーへの写像です。

tr:Kn（あ）→HCn−1（あ）。{\displaystyle tr:K_{n}(A)\to HC_{n-1}(A).}

状況によっては、この写像を用いてK理論を計算することができる。この方向における先駆的な結果は、グッドウィリー（1986）の定理である。この定理は、写像が

Kn（あ、私）⊗質問→HCn−1（あ、私）⊗質問{\displaystyle K_{n}(A,I)\otimes \mathbf {Q} \to HC_{n-1}(A,I)\otimes \mathbf {Q} }

冪零両側イデアルIに関するAの相対 K 理論と相対巡回ホモロジー ( AとA / Iの K 理論または巡回ホモロジー間の差を測定) との間の同型は、n ≥ 1 の場合です。

Goodwillie の結果は任意の環に対して成り立つが、簡単に簡約すると、それは本質的に についての陳述に過ぎないことが示される。 Qを含まない環の場合、 K-理論との密接な関係を保つためには、巡回ホモロジーを位相巡回ホモロジーに置き換えなければならない。 ( QがAに含まれる場合、 Aの巡回ホモロジーと位相巡回ホモロジーは一致する。) これは、 Qを含まない環の場合、 (古典的な)ホッホシルト ホモロジーの方が位相ホッホシルト ホモロジーよりも振る舞いが悪いという事実と一致している。Clausen、Mathew、Morrow (2018)は Goodwillie の結果の広範囲にわたる一般化を証明し、イデアルIに関してヘンゼルの補題が成り立つような可換環Aに対して、相対 K-理論は相対位相巡回ホモロジーに同型である (両方をQでテンソル化しない) と述べた。彼らの結果は、ガッバー（1992）の定理も包含しており、この状況ではAにおいて逆行列を持つ整数nを法とする相対K理論スペクトルは消滅すると主張している。ジャーディン（1993）は、ガッバーの結果とススリンの剛性を用いて、有限体上のK理論に関するキレンの計算を証明した。 あ⊗Z質問{\displaystyle A\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} }

参照

注記

  1. ^ Boris L. Tsygan. 環上の行列リー代数のホモロジーとホッホシルトホモロジー. Uspekhi Mat. Nauk, 38(2(230)):217–218, 1983. Russ. Math. Survey 38(2) (1983), 198–199への翻訳。
  2. ^アラン・コンヌ。非可換微分幾何学。研究所オートエチュードサイエンス出版物。数学、62:257–360、1985。
  3. ^ Jean-Louis Loday. Cyclic Homology. Vol. 301. Springer Science & Business Media, 1997.
  4. ^ Boris L. FeginとBoris L. Tsygan. 加法K理論と結晶コホモロジー. Funktsional. Anal. i Prilozhen., 19(2):52–62, 96, 1985.
  5. ^ ラルフ・マイヤー. 解析的巡回コホモロジー. 博士論文, ミュンスター大学, 1999
  6. ^ Michael Puschnigg. インド代数の微分位相関数と局所巡回コホモロジー. Doc. Math., 8:143–245 (電子版), 2003.
  7. ^アラン・コンヌとアンリ・モスコヴィチ. 非可換幾何学における局所添字公式. Geom. Funct. Anal., 5(2):174–243, 1995.
  8. ^ Ryszard NestとBoris Tsygan. 代数的指数定理. Comm. Math. Phys., 172(2):223–262, 1995.

参考文献

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