微分方程式

数学において、微分方程式とは、1つ以上の未知の関数とその導関数を関連付ける方程式です。^{[ 1 ]}応用分野においては、関数は一般的に物理量を表し、導関数はその変化率を表し、微分方程式は両者の関係を定義します。このような関係は数学モデルや科学法則によく見られるため、微分方程式は工学、物理学、経済学、生物学など多くの分野で重要な役割を果たしています。

微分方程式の研究は、主にその解（各方程式を満たす関数の集合）とその解の性質の研究から成ります。最も単純な微分方程式だけが明示的な公式によって解けますが、与えられた微分方程式の解の多くの性質は、厳密に計算しなくても決定できます。

解の閉形式表現が利用できない場合、コンピュータを用いて数値的に近似解を求めることがしばしばあり、与えられた精度で解を求めるための多くの数値計算手法が開発されてきました。力学系理論は、長い時間間隔における 平均的な挙動など、解の定性的な側面を分析します。

歴史

微分方程式は、アイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツによる微積分の発明によって誕生しました。1671年の著書『Methodus fluxionum et serierum infinitarum』の第2章^{[ 2 ]}で、ニュートンは3種類の微分方程式を挙げています。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=f(x)\\[4pt]{\frac {dy}{dx}}&=f(x,y)\\[4pt]x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}&+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y\end{aligned}}}$

これらすべての場合において、yはx（またはx ₁とx ₂ ）の未知の関数であり、fは与えられた関数です。彼はこれらの例とその他の例を無限級数を用いて解き、解の非一意性について議論しました。

ヤコブ・ベルヌーイは1695年にベルヌーイ微分方程式を提案した。 ^{[ 3 ]}これは、次のような形の 常微分方程式である。

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}$

翌年ライプニッツはこれを簡略化して解を得た。^{[ 4 ]}

歴史的に、楽器のような振動する弦の問題は、ジャン・ル・ロン・ダランベール、レオンハルト・オイラー、ダニエル・ベルヌーイ、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによって研究されました。^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} 1746年、ダランベールは1次元波動方程式を発見し、10年以内にオイラーは3次元波動方程式を発見しました。^{[ 9 ]}

オイラー・ラグランジュ方程式は、1750年代にオイラーとラグランジュによって、トートクローン問題の研究に関連して考案されました。これは、出発点に関わらず、重みのある粒子が一定の時間内に一定の点に落下する曲線を求める問題です。ラグランジュは1755年にこの問題を解き、その解をオイラーに送りました。二人はラグランジュの方法をさらに発展させ、力学に適用することで、ラグランジュ力学の定式化につながりました。

1822年、フーリエは熱流に関する研究書『熱の解析理論』^{[ 10 ]}を発表した。この中で彼は、ニュートンの冷却の法則、すなわち隣接する2つの分子間の熱流はそれらの温度差が極めて小さい場合に比例するという理論を根拠としている。この本には、熱伝導拡散に関するフーリエの熱方程式が収録されている。この偏微分方程式は、現在では数理物理学のカリキュラムで広く用いられている。

例

古典力学では、物体の運動は時間値の変化に伴う位置と速度によって記述されます。ニュートンの法則により、これらの変数は、位置、速度、および物体に作用する様々な力が与えられた場合、物体の未知の位置を時間の関数として表す微分方程式として動的に表現されます。

場合によっては、この微分方程式 (運動方程式と呼ばれる) を明示的に解くこともできます。

微分方程式を用いて現実世界の問題をモデル化する例として、重力と空気抵抗のみを考慮した、空中を落下するボールの速度の決定が挙げられます。地面に向かうボールの加速度は、重力による加速度から空気抵抗による減速度を差し引いた値です。重力は一定とみなされ、空気抵抗はボールの速度に比例するものとしてモデル化できます。つまり、ボールの加速度（速度の微分値）は速度に依存し、速度は時間に依存します。時間の関数としての速度を求めるには、微分方程式を解き、その妥当性を検証する必要があります。

種類

微分方程式はいくつかの異なる方法で分類できます。これらの微分方程式のクラスは、方程式自体の性質を記述するだけでなく、解へのアプローチを選択する際にも役立ちます。よく使われる分類としては、方程式が常方程式か偏方程式か、線形か非線形か、同次方程式か異次方程式かなどがあります。このリストは網羅的なものではなく、微分方程式には他にも多くの性質やサブクラスがあり、特定の状況では非常に役立ちます。

常微分方程式

常微分方程式（ODE ）は、 1つの実変数または複素変数xの未知の関数、その導関数、およびxのいくつかの与えられた関数を含む方程式です。未知の関数は通常、従属変数（多くの場合yと表記されます）によって表され、従属変数はxに依存します。したがって、x は方程式の独立変数と呼ばれることがよくあります。「常微分方程式」という用語は、複数の独立変数について表される場合がある偏微分方程式という用語と対比して使用されます。

一般に、微分方程式の解は閉じた形式の表現では表現できないため、コンピュータ上で微分方程式を解くには 数値法が一般的に使用されます。

偏微分方程式

偏微分方程式（PDE ）は、未知の多変数関数とその偏導関数を含む微分方程式です。PDEは、複数の変数を持つ関数を含む問題を定式化するために使用され、閉じた形で解くか、関連するコンピュータモデルを用いて解かれます。

偏微分方程式は、音、熱、静電気、電気力学、流体の流れ、弾性、量子力学など、自然界の様々な現象を記述するために用いられます。一見異なるように見えるこれらの物理現象も、偏微分方程式を用いることで同様に定式化できます。常微分方程式がしばしば1次元の力学系をモデル化するのと同様に、偏微分方程式はしばしば多次元のシステムをモデル化します。確率偏微分方程式は、偏微分方程式をランダム性をモデル化するために一般化します。

線形微分方程式

線型微分方程式は、未知関数とその導関数について線型となる微分方程式です。その理論は十分に発達しており、多くの場合、その解は積分によって表すことができます。

物理学で遭遇する多くの微分方程式は線型です。例えば、放射性崩壊を記述する常微分方程式や、熱拡散による熱伝達を記述する偏微分方程式などが挙げられます。これらの方程式は特殊関数につながり、線型微分方程式の解として定義することができます（ホロノミック関数を参照）。

非線形微分方程式

非線形微分方程式とは、未知の関数とその導関数において線形方程式ではない微分方程式のことである（関数の引数における線形性や非線形性はここでは考慮しない）。非線形微分方程式を正確に解く方法は非常に少なく、既知の方法は典型的には方程式が特定の対称性を持つことに依存する。非線形微分方程式は、長時間にわたって非常に複雑な挙動を示すことがあり、これはカオスの特徴である。非線形微分方程式の解の存在と一意性という基本的な問題でさえ難しい問題であり、特殊なケースにおけるその解決は数学理論における大きな進歩であると考えられている（ナビエ・ストークスの存在と滑らかさを参照）。しかし、微分方程式が意味のある物理プロセスを正しく定式化した表現である場合、解が存在することが期待される。^{[ 11 ]}

状況によっては、非線形微分方程式を線形微分方程式で近似できる場合があります。これらの近似は、限られた条件下でのみ有効です。例えば、調和振動子方程式は、小振幅の振動に対して有効な非線形振り子方程式の近似です。同様に、非線形微分方程式の固定点解または定常解が見出されたとき、その安定性を調べると、線形微分方程式が得られます。

方程式の位数と次数

微分方程式の階数とは、微分方程式に現れる未知関数の最高次数の導関数のことです。例えば、 1階導関数のみを含む方程式は1階微分方程式、 2階導関数を含む方程式は2階微分方程式、などとなります。^{[ 12 ] [ 13 ]}

未知関数とその導関数における多項式方程式として表される場合、微分方程式の次数は、文脈に応じて、未知関数の最高導関数における多項式次数^{[ 14 ]}、または未知関数とその導関数における全次数となる。特に、線型微分方程式はどちらの意味でも次数が1であるが、非線型微分方程式は最初の意味では次数が1であるが、2番目の意味では次数が1ではない。 ${\displaystyle y'+y^{2}=0}$

自然現象を記述する微分方程式には通常、 1 次と 2 次の導関数のみが含まれますが、 4 次偏微分方程式である 薄膜方程式などの例外もあります。

同次線形方程式

線型微分方程式は、方程式の各項が従属変数またはその導関数のいずれかを含む場合、同次方程式と呼ばれます。そうでない場合、つまり従属変数自体またはその導関数を含まない項が存在する場合、方程式は非同次方程式または異次方程式と呼ばれます。以下の例を参照してください。

例

最初の例は常微分方程式です。ここで、uはxの未知関数、cとωは既知であると仮定される定数です。これらの例は、上で定義した線形微分方程式と非線形微分方程式、そして同次微分方程式と非同次微分方程式の違いを示しています。

• 不同次一次線形定数係数常微分方程式：

  ${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.}$

• 同次2階線形常微分方程式：

  ${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x{\frac {du}{dx}}+u=0.}$

• 調和振動子を記述する同次2階線形定数係数常微分方程式：

  ${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\omega ^{2}u=0.}$

• 一次非線形常微分方程式：

  ${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=u^{2}+4.}$

• 長さLの振り子の運動を記述する 2 次非線形（正弦関数による）常微分方程式:

  ${\displaystyle L{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+g\sin u=0.}$

次の例は偏微分方程式です。未知の関数u は、2つの変数xとt、またはxとyに依存します。

• 同次一次線形偏微分方程式：

  ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.}$

• 楕円型の同次2階線形定数係数偏微分方程式、ラプラス方程式：

  ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.}$

• 3次非線形偏微分方程式、KdV方程式：

  ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=6u{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}.}$

初期条件と境界条件

1階常微分方程式の一般解には定数が含まれており、これは積分定数と考えることができます。同様に、a階常微分方程式の一般解にも定数が含まれます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

これらの定数の値を決定するには、追加の条件を与える必要があります。独立変数が時間に対応する場合、この情報は初期条件の形をとります。例えば、粒子の運動を記述する2階常微分方程式の場合、初期条件は通常、初期時刻における粒子の位置と速度です。常微分方程式とその初期条件は、いわゆる初期値問題を形成します。

空間独立変数の場合、これらの条件は一般に境界条件と呼ばれます。境界条件は、独立変数の異なる値で指定されることがよくあります。例としては、2つの端点で固定された振動する弦の運動が挙げられます。この場合、常微分方程式と境界条件は境界値問題を引き起こします。

より一般的には、初期条件という用語は、独立変数の同じ値に対して条件が与えられる場合に通常使用され、境界条件という用語は、独立変数の異なる値に対して条件が与えられる場合に使用されます。いずれの場合も、初期条件または境界条件の数は、微分方程式の次数と一致する必要があります。

解決策の存在

与えられた微分方程式に対して、解が唯一であるか、あるいはそもそも解が存在するかどうかという問題は、注目すべき興味深い主題です。

一次初期値問題において、ペアノの存在定理は解が存在する状況の集合を一つ与えます。xy平面上の任意の点が与えられたとき、と がの内部にあるような長方形領域 を定義します。微分方程式と の条件が与えられたとき、が 上で連続であれば、この問題には局所的に解が存在します。この解は を中心とする区間上に存在する。この解は一意ではない可能性があります。（他の結果については常微分方程式を参照してください。） ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z=[l,m]\times [n,p]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=g(x,y)}$ ${\displaystyle y=b}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle g(x,y)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle a}$

しかし、これは1階の初期値問題にしか役立ちません。n階の線形初期値問題を考えてみましょう。

${\displaystyle f_{n}(x){\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\cdots +f_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+f_{0}(x)y=g(x)}$

そういう

${\displaystyle {\begin{aligned}y(x_{0})&=y_{0},&y'(x_{0})&=y'_{0},&y''(x_{0})&=y''_{0},&\ldots \end{aligned}}}$

任意の非零のに対して、およびがを含むある区間上で連続であれば、が存在し、は一意である。^{[ 15 ]}${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle \{f_{0},f_{1},\ldots \}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle y}$

関連概念

• 遅延微分方程式(DDE) は、通常時間と呼ばれる単一変数の関数の方程式であり、特定の時間における関数の導関数が、それ以前の時間における関数の値で表されます。
• 積分方程式は、微分方程式の類似物として考えることができます。微分方程式では、導関数を含む方程式の代わりに、積分が含まれます。
• 積分微分方程式(IDE) は、微分方程式と積分方程式の側面を組み合わせた方程式です。
• 確率微分方程式(SDE) は、未知の量が確率過程であり、方程式にいくつかの既知の確率過程 (たとえば、拡散方程式の場合のウィーナー過程)が含まれる方程式です。
• 確率偏微分方程式(SPDE) は、SDE を一般化して空間時間ノイズプロセスを含めた方程式であり、量子場理論や統計力学に応用されています。
• 超計量擬微分方程式は、超計量空間におけるp進数を含む方程式である。超計量擬微分方程式を含む数学モデルでは、微分演算子の代わりに擬微分演算子が用いられる。
• 微分代数方程式(DAE) は、暗黙形式で与えられた微分項と代数項で構成される微分方程式です。

差分方程式との関連

微分方程式は差分方程式と密接に関連しており、差分方程式では独立変数は離散的な値のみをとり、方程式は未知の関数のある点における値とその近傍点における値を関連付けます。微分方程式の数値解析法の多くは、例えばオイラー法のように、微分方程式の解を対応する差分方程式の解で近似します。

アプリケーション

微分方程式の研究は、純粋数学、応用数学、物理学、工学における広範な分野です。これらの分野はすべて、さまざまな種類の微分方程式の特性を扱っています。純粋数学は解の存在と一意性に焦点を当て、応用数学は解を直接または近似的に求め、その挙動を研究することに取り組んでいます。微分方程式は、天体の運動から橋の設計、ニューロン間の相互作用まで、事実上あらゆる物理的、技術的、または生物学的プロセスをモデル化する上で重要な役割を果たしています。現実の問題を解くために使用されるような微分方程式は、閉じた形の解を持たない場合があります。その代わりに、数値的手法を使用して解を近似することができます。

物理学および化学の多くの基本法則は、微分方程式として定式化できます。生物学および経済学では、微分方程式は複雑なシステムの挙動をモデル化するために使用されています。微分方程式の数学的理論は、方程式が生まれ、その結果が応用された科学とともに最初に発展しました。しかし、時にはまったく異なる科学分野に由来する多様な問題が、同一の微分方程式を生み出すことがあります。このような場合、方程式の背後にある数学的理論は、多様な現象の背後にある統一原理と見なすことができます。例として、大気中の光と音の伝播、および池の表面上の波を考えてみましょう。これらはすべて、同じ2階偏微分方程式である波動方程式で記述できます。これにより、光と音を、よく知られている水面の波のような波の形として考えることができます。熱伝導は、その理論がジョセフ・フーリエによって発展させられましたが、別の2階偏微分方程式である熱方程式によって支配されています。多くの拡散プロセスは、一見異なっていても、同じ方程式で記述されることがわかります。例えば、金融におけるブラック・ショールズ方程式は熱方程式と関連してい ます。

様々な科学分野において、名前が付けられた微分方程式の数は、そのテーマの重要性を物語っています。名前付き微分方程式の一覧を参照してください。

ソフトウェア

一部のCASソフトウェアは微分方程式を解くことができます。主要なプログラムで使用されるコマンドは以下のとおりです。

• メープル：^{[ 16 ]}dsolve
• マセマティカ：^{[ 17 ]}DSolve[]
• マキシマ：^{[ 18 ]}ode2(equation, y, x)
• セージマス：^{[ 19 ]}desolve()
• SymPy : ^{[ 20 ]}sympy.solvers.ode.dsolve(equation)
• Xcas : ^{[ 21 ]}desolve(y'=k*y,y)

参照

• 正確な微分方程式
• 関数微分方程式
• 初期条件
• 積分方程式
• 常微分方程式の数値解析法
• 偏微分方程式の数値解析法
• 解の存在と一意性に関するピカール・リンデレフの定理
• 再帰関係、別名「差分方程式」
• 抽象微分方程式
• 微分方程式系

参考文献

1. デニス・G・ジル（2012年3月15日）『微分方程式入門：モデリング応用編』 Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2。
2. ニュートン、アイザック。 (1671年頃)。 Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (フラクションと無限シリーズの方法)、1736 年出版 [Opuscula、1744、Vol. I.p. 66]。
3. Bernoulli、Jacob (1695)、「Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa Legundur; ubi de Linea mediarum directum, alliisque novis」、Acta Eruditorum
4. エルンスト・ヘアラー;ノーセット、シベール・ポール。 Wanner、Gerhard (1993)、常微分方程式の解法 I: Nonstiff 問題、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-56670-0
5. フレイザー、クレイグ（1983年7月）「ジョン・T・キャノンとシガリア・ドストロフスキー著『1687年から1742年までの力学、振動理論の発展』レビュー」 （PDF）アメリカ数学会報、新シリーズ、9（1）。
6. Wheeler, Gerard F.; Crummett, William P. (1987). 「振動弦論争」Am. J. Phys. 55 (1): 33– 37. Bibcode : 1987AmJPh..55...33W . doi : 10.1119/1.15311 .
7. 3人の著者による9つの画期的な論文集については、「波動方程式の初登場：ダランベール、レオンハルト・オイラー、ダニエル・ベルヌーイ」をご覧ください。- 振動弦に関する論争（Wayback Machineで2020年2月9日にアーカイブ、2012年11月13日閲覧）。Herman HJ Lynge and Son.
8. ラグランジュの音響波動方程式への貢献については、アラン・D・ピアース著『音響：その物理的原理と応用入門』Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications、アラン・D・ピアース著、アメリカ音響学会誌、1989年、18ページを参照。（2012年12月9日閲覧）
9. シュパイザー、デイヴィッド『力学原理の発見 1600-1800』p.191（バーゼル：ビルクハウザー、2008年）。
10. フーリエ、ジョセフ (1822)。Théorie Analytique de la Chaleur (フランス語)。パリ：フィルミン・ディド・ペール・エ・フィス。OCLC 2688081。 
11. ボイス, ウィリアム E.; ディプリマ, リチャード C. (1967). 『初等微分方程式と境界値問題』（第4版）. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. p. 3.
12. Weisstein, Eric W.「常微分方程式の順序」 MathWorld（Wolfram Webリソース）より。http ://mathworld.wolfram.com/OrdinaryDifferentialEquationOrder.html
13. 微分方程式の位数と次数、2015年12月アクセス。
14. エリアス・ルーミス (1887). 『微分積分学要綱』（改訂版）ハーパー・アンド・ブラザーズ p. 247.247ページの抜粋
15. ジル、デニス・G. (2001). 『微分方程式入門』（第5版）ブルックス/コール社. ISBN 0-534-37388-7。
16. 「dsolve - Mapleプログラミングヘルプ」 www.maplesoft.com . 2020年5月9日閲覧。
17. 「DSolve - Wolfram言語ドキュメント」www.wolfram.com . 2020年6月28日閲覧。
18. Schelter, William F. Gaertner, Boris (ed.). 「微分方程式 - 記号解」 .数式処理プログラムMaxima - チュートリアル ( SourceForgeのMaximaドキュメント内) . 2022年10月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。
19. 「基本的な代数と微積分 — Sageチュートリアルv9.0」 . doc.sagemath.org . 2020年5月9日閲覧。
20. "ODE" . SymPy 1.11 ドキュメント. 2022年8月22日. 2022年9月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。
21. 「Xcas による記号代数と数学」(PDF)。

さらに読む

• アボット, P.; ニール, ヒュー (2003).微積分学. ロンドン; シカゴ: ホッダー＆スタウトン教育社;コンテンポラリー・ブックス. pp.  266– 277. ISBN 978-0-07-142128-7。
• ブランチャード、ポール (2006). 『ブランチャード、デヴァニー、ホールの微分方程式（第3版）学生用解答集』 ベルモント、カリフォルニア州: Brooks/Cole Thomson Learning. ISBN 978-0-495-01461-4。
• ボイス, ウィリアム E.;ディプリマ, リチャード C .; ミード, ダグラス B. (2017). 『初等微分方程式と境界値問題』（第11版）. ホーボーケン, ニュージャージー: John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-44376-6。
• コディントン, EA ;レビンソン, N. (1955). 『常微分方程式の理論』ニューヨーク: マグロウヒル.
• インス、EL（1956）『常微分方程式』ニューヨーク：ドーバー。
• ジョンソン、W. (1913). 『常微分方程式と偏微分方程式に関する論文』 ジョン・ワイリー・アンド・サンズ.ミシガン大学歴史数学コレクション
• ポリアニン, AD; ザイツェフ, VF (2003).常微分方程式の厳密解ハンドブック（第2版）. ボカラトン: チャップマン・アンド・ホール/CRCプレス. ISBN 1-58488-297-2。
• ポーター、ロナルド・I. (1978). 「XIX 微分方程式」.基礎解析入門（第4版）. ロンドン:ベル＆ハイマン. ISBN 978-0-7135-1594-7。
• テシュル、ジェラルド(2012). 『常微分方程式と動的システム』 プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-8328-0。
• ダニエル・ツウィリンガー (2014). 『微分方程式ハンドブック（第2版）』 バーリントン:エルゼビア・サイエンス. ISBN 978-1-4832-6396-0。

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズの微分方程式関連メディア
• 微分方程式の講義MIT Open CourseWare ビデオ
• オンラインノート / 微分方程式ポール・ドーキンス、ラマー大学
• 微分方程式、SOS数学
• 微分方程式によるモデリング入門微分方程式によるモデリングの入門と批評的なコメント。
• Maximaを使用したWeb上の数学アシスタント記号常微分方程式ツール
• 常微分方程式の厳密解
• 物理システムのODEおよびDAEモデルのコレクションArchived 2008-12-19 at the Wayback Machine MATLABモデル
• Diffy Qsに関するノート：エンジニアのための微分方程式UIUCのJiri Leblによる微分方程式の入門書
• 微分方程式に関するカーン アカデミー ビデオ プレイリスト。微分方程式の 1 年目のコースで扱われるトピック。
• MathDiscuss 微分方程式に関するビデオプレイリスト