除数の総和関数
主要項を除いた総和関数は、x<104{\displaystyle x<10^{4}}
主要項を除いた総和関数は、x<107{\displaystyle x<10^{7}}
主要項を除いた、 の要約関数を分布またはヒストグラムとしてグラフ化したもの。縦軸のスケールは左右で一定ではありません。詳細な説明については画像をクリックしてください。x<107{\displaystyle x<10^{7}}

数論において、因子和関数（せいかくかんげん、divisor summatory function）とは、因子関数の和となる関数である。リーマンゼータ関数の漸近挙動の研究において頻繁に登場する。因子関数の挙動に関する様々な研究は、因子問題と呼ばれることもある。

定義

除数総和関数は次のように定義されます

D（x）＝∑n≤xd（n）＝∑j、kjk≤x1{\displaystyle D(x)=\sum _{n\leq x}d(n)=\sum _{j,k \atop jk\leq x}1}

ここで

d（n）＝σ0（n）＝∑j、kjk＝n1{\displaystyle d(n)=\sigma_{0}(n)=\sum_{j,k\atopjk=n}1}

は除数関数である。除数関数は、整数nが2つの整数の積として表される方法の数を数える。より一般的には、

Dk（x）＝∑n≤xdk（n）＝∑m≤x∑mn≤xdk−1（n）{\displaystyle D_{k}(x)=\sum _{n\leq x}d_{k}(n)=\sum _{m\leq x}\sum _{mn\leq x}d_{k-1}(n)}

ここで、d k ( n ) は、 n をk個の数の積として表すことができる方法の数を数えます。この量は、 k次元の双曲面で囲まれた格子点の数として視覚化できます。したがって、k = 2 の場合、D ( x ) = D 2 ( x ) は、左側に垂直軸、下部に水平軸、右上に双曲線jk  =  xで囲まれた正方格子上の点の数を数えます。おおまかに言うと、この形状は双曲単体として考えることができます。これにより、 D ( x ) の別の表現と、それを時間内に計算する簡単な方法を提供できます。 O（x）{\displaystyle O({\sqrt {x}})}

D（x）＝∑k＝1x⌊xk⌋＝2∑k＝1u⌊xk⌋−u2{\displaystyle D(x)=\sum _{k=1}^{x}\left\lfloor {\frac {x}{k}}\right\rfloor =2\sum _{k=1}^{u}\left\lfloor {\frac {x}{k}}\right\rfloor -u^{2}}ここでu＝⌊x⌋{\displaystyle u=\left\lfloor {\sqrt {x}}\right\rfloor }

この文脈における双曲線を円に置き換えた場合、結果として得られる関数の値を決定することはガウス円問題として知られています

D ( n )の配列( OEISの配列A006218 ): 0、1、3、5、8、10、14、16、20、23、27、29、35、37、41、45、50、52、58、60、66、70、74、76、84、87、91、95、101、103、111、...

ディリクレの約数問題

この和の表現の閉じた形を見つけることは、利用可能な技術の範囲を超えているように思われますが、近似値を与えることは可能です。級数の主要な振る舞いは次のように与えられます

D（x）＝x対数⁡x＋x（2γ−1）＋Δ（x） {\displaystyle D(x)=x\log x+x(2\gamma -1)+\Delta (x)\ }

ここで、はオイラー・マスケロニ定数であり、誤差項は γ{\displaystyle \gamma }

Δ（x）＝O（x）。{\displaystyle \Delta (x)=O\left({\sqrt {x}}\right).}

ここで、はBig-O記法を表す。この推定値はディリクレ双曲線法を用いて証明することができ、1849年にディリクレによって初めて確立された。 [ 1 ] :37–38,69 ディリクレの因子問題とは、正確 に言えば、この誤差限界を改善するために、O{\displaystyle O}θ{\displaystyle \theta }

Δ(x)=O(xθ+ϵ){\displaystyle \Delta (x)=O\left(x^{\theta +\epsilon }\right)}

はすべての に対して成り立つ。今日まで、この問題は未解決のままである。進展は遅い。この問題と、別の格子点数え上げ問題であるガウスの円問題に対して、同じ手法の多くが適用できる。 『数論における未解決問題』 [ 2 ]のセクションF1では、 これらの問題について何が分かっていて、何が分かっていないかについて概説している。 ϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}

  • 1904年にG.ボロノイは誤差項を次のように改善できることを証明した[ 3 ] :381 O(x1/3log⁡x).{\displaystyle O(x^{1/3}\log x).}
  • 1916年、GHハーディはであることを示した。特に、ある定数 に対して、となるxの値と となるxの値が存在することを証明した。[ 1 ] :69 infθ≥1/4{\displaystyle \inf \theta \geq 1/4}K{\displaystyle K}Δ(x)>Kx1/4{\displaystyle \Delta (x)>Kx^{1/4}}Δ(x)<−Kx1/4{\displaystyle \Delta (x)<-Kx^{1/4}}
  • 1922年、J. van der Corputはディリクレの境界を改良した。[ 3 ] :381 infθ≤33/100=0.33{\displaystyle \inf \theta \leq 33/100=0.33}
  • 1928年にファン・デル・コープトは[ 3 ]を 証明した。381infθ≤27/82=0.329268¯{\displaystyle \inf \theta \leq 27/82=0.3{\overline {29268}}}
  • 1950年にChih Tsung-taoが、そして1953年にHE Richertが独立して証明した。[ 3 ] : 381 infθ≤15/46=0.32608695652...{\displaystyle \inf \theta \leq 15/46=0.32608695652...}
  • 1969 年に、グリゴリ コレスニクは次のことを実証しました。[ 3 ] : 381 infθ≤12/37=0.324¯{\displaystyle \inf \theta \leq 12/37=0.{\overline {324}}}
  • 1973年、コレスニクは…を実証した。[ 3 ]：381 infθ≤346/1067=0.32427366448...{\displaystyle \inf \theta \leq 346/1067=0.32427366448...}
  • 1982年にコレスニクは…を実証した。[ 3 ]：381 infθ≤35/108=0.32407¯{\displaystyle \inf \theta \leq 35/108=0.32{\overline {407}}}
  • 1988年にH. IwaniecとCJ Mozzochiはそれを証明した。[ 4 ]infθ≤7/22=0.318¯{\displaystyle \inf \theta \leq 7/22=0.3{\overline {18}}}
  • 2003年にMN Huxleyはこれを改良し、次のことを示しました。[ 5 ]infθ≤131/416=0.31490384615...{\displaystyle \inf \theta \leq 131/416=0.31490384615...}

したがって、は 1/4 と 131/416 (約 0.3149) の間のどこかに存在します。広く 1/4 であると推測されています。理論的証拠はこの推測を裏付けており、 は（非ガウス分布）極限分布を持つからです。[ 6 ] 1/4 の値は、指数ペア に関する推測からも導かれます。[ 7 ]infθ{\displaystyle \inf \theta }Δ(x)/x1/4{\displaystyle \Delta (x)/x^{1/4}}

ピルツの因子問題

一般化された場合には、

Dk(x)=xPk(log⁡x)+Δk(x){\displaystyle D_{k}(x)=xP_{k}(\log x)+\Delta _{k}(x)\,}

ここでは次数 の多項式である。簡単な推定値を用いると、次の式が容易に示される。 Pk{\displaystyle P_{k}}k−1{\displaystyle k-1}

Δk(x)=O(x1−1/klogk−2⁡x){\displaystyle \Delta _{k}(x)=O\left(x^{1-1/k}\log ^{k-2}x\right)}

整数 に対して となる。この場合と同様に、 のいかなる値に対しても、境界の最小値は不明である。これらの最小値を計算する問題は、ドイツの数学者アドルフ・ピルツ（ドイツ語版のページも参照）にちなんで、ピルツ因子問題として知られている。 が成り立つ最小の値として順序を定義すると、任意の に対して、次の結果が得られる（は前節の で あることに注意）。k≥2{\displaystyle k\geq 2}k=2{\displaystyle k=2}k{\displaystyle k}αk{\displaystyle \alpha _{k}}Δk(x)=O(xαk+ε){\displaystyle \Delta _{k}(x)=O\left(x^{\alpha _{k}+\varepsilon }\right)}ε>0{\displaystyle \varepsilon >0}α2{\displaystyle \alpha _{2}}θ{\displaystyle \theta }

α2≤131416 ,{\displaystyle \alpha _{2}\leq {\frac {131}{416}}\ ,}[ 5 ]

α3≤4396 ,{\displaystyle \alpha _{3}\leq {\frac {43}{96}}\ ,}[ 8 ]と[ 9 ]

αk≤3k−44k(4≤k≤8)α9≤3554 ,α10≤4160 ,α11≤710αk≤k−2k+2(12≤k≤25)αk≤k−1k+4(26≤k≤50)αk≤31k−9832k(51≤k≤57)αk≤7k−347k(k≥58){\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{k}&\leq {\frac {3k-4}{4k}}\quad (4\leq k\leq 8)\\[6pt]\alpha _{9}&\leq {\frac {35}{54}}\ ,\quad \alpha _{10}\leq {\frac {41}{60}}\ ,\quad \alpha _{11}\leq {\frac {7}{10}}\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {k-2}{k+2}}\quad (12\leq k\leq 25)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {k-1}{k+4}}\quad (26\leq k\leq 50)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {31k-98}{32k}}\quad (51\leq k\leq 57)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {7k-34}{7k}}\quad (k\geq 58)\end{aligned}}}

メリン変換

両方の部分はメリン変換として表すことができます

D(x)=12πi∫c−i∞c+i∞ζ2(w)xwwdw{\displaystyle D(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw}

である。ここで、はリーマンゼータ関数である。同様に、 c>1{\displaystyle c>1}ζ(s){\displaystyle \zeta (s)}

Δ(x)=12πi∫c′−i∞c′+i∞ζ2(w)xwwdw{\displaystyle \Delta (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c^{\prime }-i\infty }^{c^{\prime }+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw}

となる。の主項は、における二重極を越える曲線をずらすことで得られる。主項はコーシーの積分公式より留数となる。一般に、 0<c′<1{\displaystyle 0<c^{\prime }<1}D(x){\displaystyle D(x)}w=1{\displaystyle w=1}

Dk(x)=12πi∫c−i∞c+i∞ζk(w)xwwdw{\displaystyle D_{k}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{k}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw}

、についても同様です。 Δk(x){\displaystyle \Delta _{k}(x)}k≥2{\displaystyle k\geq 2}

注釈

  1. ^ a bモンゴメリー、ヒュー、RCヴォーン(2007). 『乗法数論 I：古典理論』ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-84903-6。
  2. ^ガイ、リチャード・K. (2004).数論における未解決問題（第3版）. ベルリン: シュプリンガー. ISBN 978-0-387-20860-2。
  3. ^ a b c d e f gイヴィッチ、アレクサンダル (2003).リーマンゼータ関数. ニューヨーク: ドーバー出版. ISBN 0-486-42813-3。
  4. ^イワニエツ、H.、CJ モッツォキ(1988). 「約数と円の問題について」 .整数論ジャーナル. 29 : 60–93 . doi : 10.1016/0022-314X(88) 90093-5
  5. ^ a b Huxley, MN (2003). 「指数和と格子点III」. Proc. London Math. Soc . 87 (3): 591– 609. doi : 10.1112/S0024611503014485 . ISSN 0024-6115 . Zbl 1065.11079 .  
  6. ^ Heath-Brown, DR (1992). 「ディリクレ因子問題における誤差項の分布とモーメント」 . Acta Arithmetica . 60 (4): 389– 415. doi : 10.4064/aa-60-4-389-415 . ISSN 0065-1036 . S2CID 59450869.定理1 関数は分布関数を持つ  
  7. ^モンゴメリー, ヒュー・L. (1994).解析的数論と調和解析のインターフェースに関する10の講義. 数学地域会議シリーズ. 第84巻. プロビデンス, ロードアイランド州:アメリカ数学会. p. 59. ISBN 0-8218-0737-4. Zbl  0814.11001 .
  8. ^ G. Kolesnik. 多重指数和の推定について、「解析的数論の最近の進歩」、シンポジウム・ダーラム1979（第1巻）、アカデミック、ロンドン、1981年、231～246ページ
  9. ^アレクサンダル・イヴィッチ. リーマンゼータ関数の理論とその応用（定理13.2）. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ, 1985.

参考文献

  • HMエドワーズ著、『リーマンのゼータ関数』（1974年）ドーバー出版、ISBN 0-486-41740-9
  • ECティッチマーシュ著『リーマン・ゼータ関数の理論』（1951年）オックスフォード大学クラレンドン・プレス（オックスフォード）（一般化因子問題に関する議論は第12章を参照）
  • アポストル、トム・M.（1976）「解析的数論入門」、数学の学部テキスト、ニューヨーク・ハイデルベルク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90163-3、MR  0434929、Zbl  0335.10001(ディリクレ因子問題の概要を説明します。)
  • HEローズ著『数論講座』オックスフォード、1988年。
  • MN Huxley (2003)「指数和と格子点III」、ロンドン数学会誌(3)87: 591–609
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