動的システム理論

動的システム理論は、複雑な動的システムの挙動を記述するために使用される数学の一分野であり、通常は動的システムのエルゴード性の性質により微分方程式を採用する。微分方程式が採用される場合、理論は連続動的システムと呼ばれる。物理的な観点から、連続動的システムは古典力学の一般化であり、運動方程式が直接仮定され、最小作用原理のオイラー-ラグランジュ方程式に制約されない一般化である。差分方程式が採用される場合、理論は離散動的システムと呼ばれる。時間変数が、いくつかの間隔では離散的で他の間隔では連続的な集合、またはカントール集合などの任意の時間集合である場合、時間スケール上の動的方程式が得られる。状況によっては、微分差分方程式などの混合演算子によってモデル化されることもある。

この理論は、力学系の長期的な定性的な挙動を扱い、惑星の軌道や電子回路の挙動など、主に機械的あるいは物理的な性質を持つ系、さらには生物学、経済学、その他の分野で生じる系の運動方程式の性質、そして可能であればその解を研究します。現代の研究の多くは、カオス系や奇妙な系 の研究に焦点を当てています。

この研究分野は、動的システム、数理力学、数理動的システム理論、または動的システムの数学理論とも呼ばれます。

非線形力学系の一例であるローレンツ系のカオス解。ローレンツ系の研究はカオス理論の誕生につながった。

概要

動的システム理論とカオス理論は、動的システムの長期的な定性的な挙動を扱います。ここでの焦点は、動的システムを定義する方程式の正確な解を見つけること（多くの場合、それは絶望的です）ではなく、「システムは長期的に定常状態に落ち着くのか？もしそうなら、どのような定常状態が考えられるのか？」、あるいは「システムの長期的な挙動は初期状態に依存するのか？」といった問いに答えることです。

重要な目標の一つは、与えられた力学系の固定点、すなわち定常状態を記述することです。これらは、時間経過に伴って変化しない変数の値です。これらの固定点の中には、引力的な固定点、つまり、系が近傍の状態から開始した場合、固定点に向かって収束する性質を持つものがあります。

同様に、周期点、つまり複数のタイムステップごとに繰り返される系の状態にも関心が寄せられます。周期点もまた魅力的なものです。シャルコフスキーの定理は、1次元離散力学系の周期点の数に関する興味深い定理です。

単純な非線形力学系でさえ、一見ランダムな挙動を示すことが多く、カオスと呼ばれています。[ 1 ]カオスの明確な定義と研究を扱う力学系の分野は、カオス理論と呼ばれています。

歴史

動的システム理論の概念はニュートン力学に起源を持つ。他の自然科学や工学分野と同様に、動的システムの発展則は、システムのごく短い未来の状態を示す関係によって暗黙的に与えられる。

高速計算機が登場する前は、動的システムを解くには高度な数学的手法が必要であり、限られた種類の動的システムに対してしか実行できませんでした。

数学的動的システム理論の優れた発表としては、Beltrami（1998）、Luenberger（1979）、Padulo＆Arbib（1974）、Strogatz（1994）などがあります。[ 2 ]

概念

動的システム

力学系の概念は、ある点の位置が周囲の空間において時間とともに変化する様子を記述する、固定された「規則」を数学的に定式化したものです。例としては、時計の振り子の振動、パイプ内の水の流れ、湖に生息する毎春の魚の数などを記述する数学モデルなどが挙げられます。

動的システムの状態は、実数の集合、より一般的には適切な状態空間内の点の集合によって決定されます。システムの状態の小さな変化は、数値の小さな変化に対応します。数値は、幾何学的空間、つまり多様体の座標でもあります。動的システムの発展規則は、現在の状態からどのような将来の状態が続くかを記述する固定された規則です。この規則は決定論的（与えられた時間間隔において、現在の状態が与えられれば、1つの将来の状態を正確に予測できる）または確率論的（状態の発展は、ある確率でのみ予測できる）です。

ダイナミズム

動態主義は、認知科学における動的仮説、あるいは動的認知とも呼ばれ、哲学者ティム・ヴァン・ゲルダーの研究に代表される認知科学における新しいアプローチです。この理論は、微分方程式は従来のコンピュータモデルよりも認知のモデル化に適していると主張しています。

非線形システム

数学において、非線形システムとは線形ではないシステム、すなわち重ね合わせ原理を満たさないシステムです。より専門的に言えば、非線形システムとは、解くべき変数が独立成分の線形和として表すことができない問題のことです。独立変数の関数の存在を除けば線形である非同次システムは、厳密な定義によれば非線形ですが、特定の解が分かっている限り線形システムに変換できるため、通常は線形システムと並行して研究されます。

算術力学

算術動力学は、1990年代に登場した、力学系と数論という数学の2つの分野を融合した分野です。古典的には、離散動力学は複素平面または実数直線上の自己写像の反復を研究する分野です。算術動力学は、多項式関数または有理関数を繰り返し適用した場合の整数点、有理数点、 p進点、および／または代数点の数論的性質を研究する分野です。

カオス理論

カオス理論は、特定の動的システム（つまり、状態が時間とともに変化するシステム）の挙動を記述します。これらのシステムは、初期条件に非常に敏感なダイナミクス（一般にバタフライ効果と呼ばれる）を示す場合があります。初期条件の摂動が指数関数的に増大するこの敏感さの結果、カオスシステムの挙動はランダムに見えます。これは、これらのシステムが決定論的であるにもかかわらず発生します。つまり、将来のダイナミクスは初期条件によって完全に定義され、ランダム要素は含まれません。この挙動は決定論的カオス、または単にカオスとして知られています。

複雑なシステム

複雑系は、自然、社会、そして科学において複雑とみなされるシステムの共通特性を研究する科学分野です。複雑系理論、複雑性科学、複雑系研究、あるいは複雑性科学とも呼ばれます。このようなシステムの主な問題は、形式的なモデリングとシミュレーションの難しさです。こうした観点から、様々な研究分野において、複雑系はそれぞれの特性に基づいて定義されます。
複雑系の研究は、従来の還元主義的なアプローチでは不十分だった多くの科学分野に新たな活力をもたらしています。そのため、複雑系は、神経科学、社会科学、気象学、化学、物理学、コンピュータサイエンス、心理学、人工生命、進化計算、経済学、地震予知、分子生物学、そして生細胞そのものの性質の探求など、多様な分野における問題への研究アプローチを包括する広義の用語として用いられることがよくあります。

制御理論

制御理論は工学と数学の学際的な分野であり、部分的には動的システムの挙動に影響を与えることを扱います。

エルゴード理論

エルゴード理論は、不変測度を持つ力学系とそれに関連する問題を研究する数学の一分野です。その初期の発展は、統計物理学の問題に端を発しています。

機能解析

関数解析は数学、特に解析学の一分野であり、ベクトル空間とそこに作用する作用素の研究に関係する。その歴史的起源は、関数空間の研究、特にフーリエ変換などの関数の変換、そして微分方程式と積分方程式の研究にある。「関数」という語のこの用法は変分法に遡り、引数が関数である関数を意味する。その用法は一般的に数学者で物理学者のヴィト・ヴォルテラに帰せられ、その創始は主に数学者シュテファン・バナッハに帰せられる。

グラフ力学システム

グラフ動的システム（GDS）の概念は、グラフやネットワーク上で起こる幅広いプロセスを捉えるために用いることができます。グラフ動的システムの数学的・計算的解析における主要なテーマは、その構造特性（例えばネットワークの接続性）と、それによって生じるグローバルダイナミクスを関連付けることです。

投影された動的システム

射影力学系は、解が制約集合に制限される力学系の挙動を研究する数学理論です。この分野は、最適化問題や均衡問題といった静的世界と、常微分方程式といった動的世界の両方と関連し、応用されています。射影力学系は、射影微分方程式への流れによって与えられます。

象徴的ダイナミクス

記号ダイナミクスは、無限の抽象記号シーケンスで構成される離散空間によって位相的または滑らかな動的システムをモデル化する手法です。各シーケンスはシステムの状態に対応し、ダイナミクス（進化）はシフト演算子によって与えられます。

システムダイナミクス

システムダイナミクスは、システムの時間経過に伴う挙動を理解するためのアプローチです。システム全体の挙動と状態に影響を与える内部フィードバックループと時間遅延を扱います。[ 3 ]システムダイナミクスが他のシステム研究アプローチと異なるのは、フィードバックループをストックとフローを 用いて記述する際に用いる言語です。これらの要素は、一見単純なシステムでさえ、不可解な非線形性を示すことを説明するのに役立ちます。

位相力学

位相動力学は、一般位相幾何学の観点から動的システムの質的漸近的特性を研究する動的システム理論の分野です。

アプリケーション

生体力学では

スポーツバイオメカニクスでは、運動科学において、運動パフォーマンスと効率をモデル化するための実行可能な枠組みとして、動的システム理論が登場しました。動的システム理論のルーツは解析力学にあるため、これは驚くことではありません。精神生理学の観点から見ると、人間の運動システムは、相互作用する多数の要素（血液細胞、酸素分子、筋肉組織、代謝酵素、結合組織、骨など）で構成される相互依存的なサブシステム（呼吸、循環、神経、骨格筋、知覚など）の非常に複雑なネットワークです。動的システム理論では、運動パターンは、物理的および生物学的システムに見られる自己組織化の一般的なプロセスを通じて出現します。[ 4 ]この枠組みの概念的応用に関連する主張を検証した研究はありません。

認知科学では

動的システム理論は、神経科学や認知発達の分野、特に新ピアジェ派の認知発達理論に応用されてきました。認知発達は、統語論やAIに基づく理論よりも物理理論によって最もよく表現されると考えられています。また、微分方程式が人間の行動をモデル化するのに最適なツールであると考えられています。これらの方程式は、状態空間におけるエージェントの認知軌跡を表すと解釈されます。言い換えれば、力学論者は、心理学とは、特定の環境的および内的圧力下にあるエージェントの認知と行動を（微分方程式を介して）記述するものであるべきだ（あるいは記述している）と主張しています。カオス理論の言語も頻繁に採用されています。

この段階において、学習者の心は不均衡な状態に達し、古いパターンは崩壊します。これは認知発達の相転移です。活動レベルが互いにリンクするにつれて、自己組織化（一貫した形態の自発的な創造）が始まります。新たに形成されたマクロ的およびミクロ的な構造が互いに支え合い、プロセスを加速させます。これらのリンクは、スカロッピング（複雑なパフォーマンスの繰り返しの構築と崩壊）と呼ばれるプロセスを通じて、心の中に新たな秩序状態の構造を形成します。この新しい、斬新な状態は、漸進的、離散的、特異で、予測不可能です。[ 5 ]

動的システム理論は最近、 A-not-Bエラーと呼ばれる、長い間解明されていなかった子どもの発達における問題を説明するために使われてきました。[ 6 ]

さらに、1990 年代半ば以来[ 7 ] システム理論的コネクショニズムを志向する認知科学は、（非線形）「動的システム理論（DST）」の手法をますます採用してきました。[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]現代のコネクショニズムにおけるさまざまな神経象徴的認知ニューロアーキテクチャは、その数学的構造的コアを考慮すると、（非線形）動的システムとして分類できます。[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]コネクショニスト認知ニューロアーキテクチャを DST と融合させようとする神経認知の試みは、ニューロインフォマティクスやコネクショニズムだけでなく、最近では発達心理学（「動的場理論（DFT）」[ 14 ] [ 15 ]）や「進化ロボティクス」および「発達ロボティクス」[ 16 ]と「進化計算（EC）」の数学的手法との関連からも来ています。概要については Maurer を参照してください。[ 17 ] [ 18 ]

第二言語の発達において

動的システム理論を第二言語習得の研究に応用したのは、ダイアン・ラーセン＝フリーマンです。彼女は1997年に論文を発表し、第二言語習得は言語習得だけでなく言語消失も含む発達過程として捉えるべきだと主張しました。 [ 19 ]論文の中で彼女は、言語は動的、複雑、非線形、混沌、予測不可能、初期条件に敏感、オープン、自己組織化、フィードバック感受性、適応性のある動的システムとして捉えるべきだと主張しました。

参照

関連テーマ
関連する科学者

注記

  1. ^ Grebogi, C.; Ott, E.; Yorke, J. (1987). 「非線形力学におけるカオス、ストレンジアトラクター、フラクタル・ベイスン境界」. Science . 238 ( 4827): 632– 638. Bibcode : 1987Sci...238..632G . doi : 10.1126 /science.238.4827.632 . JSTOR  1700479. PMID  17816542. S2CID 1586349 . 
  2. ^ Jerome R. Busemeyer (2008)、「Dynamic Systems」 。Macmillan社発行のEncyclopedia of cognitive scienceに掲載予定。2008年5月8日閲覧。Wayback Machineに2008年6月13日アーカイブ。
  3. ^ MIT システムダイナミクス教育プロジェクト (SDEP) 2008年5月9日アーカイブ、 Wayback Machine
  4. ^ Paul S Glazier、Keith Davids、Roger M Bartlett (2003).「ダイナミックシステム理論：パフォーマンス指向のスポーツバイオメカニクス研究のための適切な枠組み」 Sportscience 7. 2008年5月8日閲覧。
  5. ^ Lewis, Mark D. (2000-02-25). 「人間発達の統合的説明における動的システムアプローチの可能性」(PDF) .子どもの発達. 71 (1): 36– 43. CiteSeerX 10.1.1.72.3668 . doi : 10.1111/1467-8624.00116 . PMID 10836556. 2008年4月4日閲覧.  
  6. ^ Smith, Linda B.; Esther Thelen (2003-07-30). 「動的システムとしての発達」(PDF) . Trends in Cognitive Sciences . 7 (8): 343–8 . CiteSeerX 10.1.1.294.2037 . doi : 10.1016/S1364-6613( 03 )00156-6 . PMID 12907229. S2CID 5712760. 2008-04-04閲覧.   
  7. ^ RF Port、T. van Gelder編 (1995). 『心は動きである。認知のダイナミクスの探究。ブラッドフォード・ブック。MIT Press、ケンブリッジ/マサチューセッツ州。
  8. ^ van Gelder, T. および RF Port (1995). It's about time: an overview of the dynamical approach to cognition. pp. 1-43. RF Port および T. van Gelder [編]: Mind as Motion. Explorations in the Dynamics of Cognition. A Bradford Book. MIT Press, Cambridge/MA.
  9. ^ van Gelder, T. (1998b). 認知科学における動的仮説. 行動と脳科学 21: 615-628.
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  18. ^ Maurer, H. (2016). 「コネクショニスト認知ニューロアーキテクチャにおける統合的同期メカニズム」. 計算認知科学. 2: 3. https://doi.org/10.1186/s40469-016-0010-8
  19. ^ Larsen-Freeman, D. (1997). 「カオス／複雑性科学と第二言語習得」 .応用言語学. pp.  141– 165. doi : 10.1093/applin/18.2.141 .

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