幾何学シリーズ

数学において、等比級数とは、連続する項の比が一定である無限等比数列の項を足し合わせた級数です。例えば、級数は公比⁠ ⁠を持つ等比級数であり、 ⁠ ⁠の和に収束します。等比級数の各項は、その前の項と次の項の等比平均です。これは、等差級数の各項が隣接する項の 等比平均であるのと同じです。${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+\cdots }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle 1}$

ギリシャの哲学者ゼノンの時間と運動に関するパラドックス（紀元前5世紀）は等比級数に関係すると解釈されてきましたが、そのような級数は1世紀か2世紀後にギリシャの数学者によって正式に研究され、応用されました。例えば、アルキメデスは放物線の内側の面積を計算するために等比級数を使用しました（紀元前3世紀）。今日、等比級数は数理ファイナンス、フラクタルの面積計算、そして様々なコンピュータサイエンスの分野で利用されています。

幾何級数には実数や複素数が最もよく含まれますが、行列値の幾何級数、関数値の幾何級数、進数幾何級数、そして最も一般的には抽象代数体、環、半環の元の幾何級数にも重要な結果と応用があります。 ${\displaystyle p}$

定義と例

等比級数は、等比数列と呼ばれる特殊な数列から派生した無限級数である。これは、等比数列の無限個の項の和であることを意味する。最初の項から始まり、次の項は最初の項に公比と呼ばれる定数を掛け合わせたものである。各項に公比を連続的に掛け合わせることで、等比級数は数学的に次のように定義できる^{[ 1 ]。} 無限等比級数の有限な最初の部分の和は有限等比級数と呼ばれ、 ^{[ 2 ]}で表される。${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}.}$$ $${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}.}$$

成長率や拡大率と呼ばれる場合が多い。また、減衰率や縮小率と呼ばれる場合もあり、ここで「率」という概念は、ある種の離散時間変数として解釈されることに由来する。応用分野において、成長、拡大、縮小、減衰といった特定の種類の成長を表す専門用語が存在する場合、それらの用語は等比級数のパラメータを表す際にもしばしば用いられる。例えば経済学では、物価上昇率と物価下落率はインフレ率とデフレ率と呼ばれ、投資価値の上昇率には収益率と金利が含まれる。^{[ 3 ]}${\displaystyle r>1}$ ${\displaystyle 0<r<1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r}$

紫色の正方形の面積として示される等比級数。それぞれの紫色の正方形には⁠${\textstyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+{\frac {1}{256}}+\cdots }$ 1/4⁠ は、次に大きい正方形の面積の、、などとなります。したがって、紫色の正方形の面積の合計は、大きい正方形の面積の 3 分の 1 になります。${\textstyle {\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{4}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{4}}\times {\frac {1}{4}}={\frac {1}{16}}}$

無限個の項を足し合わせると、等比級数は収束するか発散するかのいずれかになります。収束とは、無限個の項を足し合わせた後に値が存在することを意味し、発散とは、足し合わせた後に値が存在しないことを意味します。等比級数の収束は、公比の値によって説明できます。§級数の収束とその証明 を参照してください。グランディ級数は、と表せる発散級数の例です。ここで、最初の項は、公比は です。これは、3つの異なる値を持つためです。 ${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$

永遠に続く繰り返しパターンを持つ小数は、等比級数として解釈することができ、それによって2つの整数の比の式に変換することができます。^{[ 4 ]}たとえば、循環小数は、最初の項がで公比がである等比級数として表すことができます。 ${\displaystyle 0.7777\ldots }$ $${\displaystyle 0.7777\ldots ={\frac {7}{10}}+{\frac {7}{10}}\left({\frac {1}{10}}\right)+{\frac {7}{10}}\left({\frac {1}{10^{2}}}\right)+{\frac {7}{10}}\left({\frac {1}{10^{3}}}\right)+\cdots ,}$$ ${\displaystyle a={\tfrac {7}{10}}}$ ${\displaystyle r={\tfrac {1}{10}}}$

級数の収束とその証明

無限等比級数の部分和の無限列の収束は、公比の大きさのみに依存します。 ${\displaystyle r}$

• の場合には、級数の項はゼロに近づき（大きさがどんどん小さくなり）、部分和の列は極限値に収束する。^{[ 1 ]}${\displaystyle \vert r\vert <1}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\textstyle {\frac {a}{1-r}}}$
• の場合には、級数の項はどんどん大きくなり、項の部分和もどんどん大きくなるので、級数は発散します。^{[ 1 ]}${\displaystyle \vert r\vert >1}$
• の場合、級数の項の大きさは大きくも小さくもならず、級数の部分和の列は収束しません。 のとき、級数のすべての項は同じで、 は無限大にまで増大します。 のとき、項は と の 2 つの値を交互に取るため、項の部分和の列は2 つの値と 0 の間を振動します。1 つの例はグランディの級数に見ることができます。公比が虚数単位、のとき、部分和は複素数⁠ ⁠、⁠ ⁠、⁠ ⁠、⁠ ⁠ 、⁠ ⁠、⁠ ⁠ 、 ... の間を周期的に循環し、極限に収束することはありません。公比が最低項で有理数の1の累乗根であり、任意の の場合、級数の部分和は の周期で無限に循環し、極限に収束することはありません。^{[ 5 ]}${\displaystyle \vert r\vert =1}$ ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle |S_{n}|}$ ${\displaystyle r=-1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r=i}$ ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1+i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1+i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle r=e^{2\pi ip/q}}$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle q}$

収束率は、数列がどれだけ急速にその極限に近づくかを示します。等比級数の場合（関連する数列は で、極限は ）、収束率と位数は で求められます 。 ここで は収束の位数を表します。 収束位を使用して選択すると、次式が得られます。^{[ 6 ]}級数が収束する場合、に近づく につれて収束率は低下します。^{[ 6 ]}収束のパターンは、公比の符号または複素引数によっても異なります。およびの場合、項はすべて同じ符号を共有し、項の部分和は最終的な極限に単調に近づきます。 および の場合、等比級数の隣接する項は正と負の間を交互に繰り返し、項の部分和は最終的な極限 を上回ったり下回ったりして振動します。 および の場合、は螺旋状に収束します。 ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\left|S_{n+1}-S\right|}{\left|S_{n}-S\right|^{q}}},}$$ ${\displaystyle q}$ ${\textstyle |S_{n}-S|=\left|{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}\right|}$ ${\displaystyle q=1}$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\left|{\frac {ar^{n+2}}{1-r}}\right|}{\left|{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}\right|^{1}}}=|r|.}$$ ${\displaystyle |r|}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle |r|<1}$ ${\displaystyle r<0}$ ${\displaystyle |r|<1}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle |r|<1,}$ ${\displaystyle S_{n}}$

収束は次のように証明される。等比級数の最初の項の部分和（項 までを含む）は、公比 である 閉形式によって与えられる 。この場合は単なる加算であり、等比級数の場合である。部分和の公式は、次のように導出できる：^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} （ の場合） 。が1に近づくにつれて、多項式除算またはロピタルの定理によっての場合が再現される。^{[ 10 ]}${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle r^{n}}$ $${\displaystyle S_{n}=ar^{0}+ar^{1}+\cdots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k},}$$ $${\displaystyle S_{n}={\begin{cases}a(n+1)&r=1\\a\left({\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\right)&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle r\neq 1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=ar^{0}+ar^{1}+\cdots +ar^{n},\\rS_{n}&=ar^{1}+ar^{2}+\cdots +ar^{n+1},\\S_{n}-rS_{n}&=ar^{0}-ar^{n+1},\\S_{n}\left(1-r\right)&=a\left(1-r^{n+1}\right),\\S_{n}&=a\left({\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\right),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle r\neq 1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S_{n}=a(n+1)}$

等比級数の和の公式を言葉なしで証明する。とのとき、 の項は消え、 が残る。この図では、 の項を本文とは若干異なる表記法で表しており、 の項を1つずらしている。${\displaystyle |r|<1}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle r^{n}}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {a}{1-r}}}$ ${\displaystyle S_{n}}$

が無限大に近づくにつれて、この部分和の列が極限に収束するためには、 rの絶対値が1未満でなければなりません。そうなると、級数は絶対収束します。すると、無限級数は についてとなります。^{[ 7 ]}${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S&=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots \\&=\lim _{n\rightarrow \infty }S_{n}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}\\&={\frac {a}{1-r}}-{\frac {a}{1-r}}\lim _{n\rightarrow \infty }r^{n+1}\\&={\frac {a}{1-r}},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle |r|<1}$

この収束結果は、他の級数の項が適切な幾何級数によって上から制限される場合には、その級数の収束を証明するためにも広く適用されている。この証明戦略は、無限級数の収束に対する比テストと根テストの基礎となっている。 ^{[ 11 ]}

べき級数への接続

等比級数と同様に、 べき級数には、 等比級数の に対応する連続するべき乗に累乗された共通変数に対する1つのパラメータ があるが、 等比級数の各項における の共通係数という 、すべての項に対する単一の追加パラメータではなく  、各 の異なる係数に対する追加パラメータが 級数の各項に1つずつある。したがって、等比級数は、 すべての  および に対して 係数の列が を満たすべき級数の一種と考えることができる 。^{[ 12 ]}${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,}$ ${\displaystyle x^{0},x^{1},x^{2},\ldots }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r^{k}}$ ${\displaystyle a_{k}=a}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x=r}$

この特別な冪級数は数学において重要な役割を果たしており、例えば  組合せ論における 通常の生成関数の研究や、解析学における発散級数の和などにおいて重要な役割 を果たします。他の多くの冪級数は幾何級数の変換や組み合わせとして表すことができるため、幾何級数の公式はそれらの冪級数の公式を計算するための便利なツールとなります。^{[ 13 ] [ 14 ]}

冪級数として、等比級数の収束半径は1 である。 ^{[ 15 ]}これは、コーシー・アダマールの定理と、任意の に対して が成り立つという事実の帰結と見ることができる。また、無限級数の収束の比テストの結果として、 に対してのみ収束することを意味する。しかし、比テストとコーシー・アダマールの定理はどちらも等比級数の公式を論理的に事前の結果として証明されているため、このような推論は微妙に循環的である。^{[ 16 ]}$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{a}}=1}$$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {|ar^{n+1}|}{|ar^{n}|}}=|r|}$$ ${\displaystyle |r|<1.}$

背景

2500年前、ギリシャの数学者たちは、正の数の無限に長いリストは必ずその合計が無限になると信じていました。そこでエレアのゼノンは、あるパラドックスを作り出し、次のように示しました。ある場所から別の場所まで歩くには、まずそこまでの距離の半分を歩き、次に残りの距離の半分を歩き、さらにその残りの距離の半分を歩き、というように、無限に多くの区間を歩いてようやく到着します。こうして、彼は一定の距離を、それぞれの長さが0より大きい、残りの距離の半分に分割した無限に長いリストに分割しました。ゼノンのパラドックスは、ギリシャ人たちに、正の数の無限に長いリストは必ずその合計が無限になるという彼らの仮定が誤りであることを示しました。^{[ 17 ]}

幾何学原論、第9巻、命題35。「常に比例する数の集合があり、最初の数に等しい数を2番目と最後の数から引いた場合、2番目が最初の数より余分であるのと同様に、最後の数がそれより前の数より余分である。」

アルキメデスによる放物線分の無限個の三角形への分割

ユークリッドの『原論』は世界で最も古くから継続的に使用されている数学の教科書という特徴を持ち、その第9巻の命題35には、隣の図に示されている有限幾何級数の和の証明が含まれています。^{[ 18 ]}

アルキメデスは『放物線の求積法』の中で、等比級数の和を用いて放物線と直線で囲まれた面積を計算しました。アルキメデスの定理によれば、放物線の下の面積は⁠4/3⁠青い三角形の面積の。彼の方法は、隣の図に示すように、面積を無限の三角形に分割することだった。^{[ 19 ]}彼は、緑の三角形のそれぞれが⁠1/8⁠青い三角形の面積は、黄色の三角形ごとに⁠1/8⁠緑の三角形の面積など。青い三角形の面積を1と仮定すると、全体の面積は無限級数の和となる。 ここで、最初の項は青い三角形の面積、2番目の項は2つの緑の三角形の面積、3番目の項は4つの黄色の三角形の面積、といった具合である。分数を簡略化すると、 公比を持つ等比級数となり、その和は次のようになる。 ^{[ 19 ]}$${\displaystyle 1+2\left({\frac {1}{8}}\right)+4\left({\frac {1}{8}}\right)^{2}+8\left({\frac {1}{8}}\right)^{3}+\cdots .}$$ $${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+\cdots ,}$$ ${\displaystyle r={\tfrac {1}{4}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{1-r}}\ ={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {4}{3}}.}$

ニコール・オレムが無限級数が2 に収束することを判定するために使用した 2 次元幾何級数図。${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {2}{4}}+{\tfrac {3}{8}}+{\tfrac {4}{16}}+{\tfrac {5}{32}}+{\tfrac {6}{64}}+{\tfrac {7}{128}}+\cdots }$

調和級数の発散の簡潔な証明に加えて、ニコール・オレーム^{[ 20 ]}は、ガブリエルの階段 として知られる算術幾何級数が、 ^{[ 21 ]} 次であることが証明しました 。彼の幾何学的証明の図は、隣接する図と同様に、2 次元の幾何級数を示しています。最初の次元は水平で、一番下の行は、初期値と公比を持つ幾何級数を表します 。2 番目の次元は垂直で、一番下の行は新しい初期項で、その上の後続の各行は同じ公比 に従って縮小し、合計 を持つ別の幾何級数を作成します。このアプローチは、より高次元に一般化することができ、 その一般化については、上記の§ べき級数との関連 で説明しています。 $${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {4}{16}}+{\frac {5}{32}}+{\frac {6}{64}}+{\frac {7}{128}}+\cdots =2.}$$ ${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle r={\tfrac {1}{2}}}$ $${\displaystyle S={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+\cdots ={\frac {\frac {1}{2}}{1-{\frac {1}{2}}}}=1.}$$ ${\displaystyle a=S}$ ${\displaystyle r={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}T&=S\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots \right)\\&={\frac {S}{1-r}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}=2.\end{aligned}}}$$

アプリケーション

上で述べたように、等比級数は経済学の分野で応用できます。等比級数の公比は、物価水準の上昇率と下降率を指す場合があり、インフレ率とデフレ率と呼ばれます。対照的に、投資価値の増加率には、収益率と金利が含まれます。より具体的には、数理ファイナンスでは、等比級数は貨幣の時間価値にも適用できます。つまり、永久年金、つまり将来にわたって無期限に毎年支払われる金額の現在価値を表します。この種の計算は、住宅ローンなどのローンの年率を計算するために使用されます。また、予想される株式配当の現在価値や、安定した成長率を前提とした金融資産のターミナルバリューを見積もるためにも使用できます。しかし、金利が一定であるという仮定は一般的に誤りであり、永久年金の発行者が継続的な支払いを行う能力を失ったり、コミットメントを終了したりする可能性があるため、支払いが永久に続く可能性は低いため、このような推定は、実際の現在の価値の科学的な予測ではなく、意思決定のための経験的なガイドラインにすぎません。 ^{[ 3 ]}

コッホ雪片の内部は、無限個の三角形の集合体である。

アルキメデスの「放物線の求積法」 [ ^{19 ]における}放物線と直線で囲まれた面積を求めることに加えて、等比級数はコッホの雪片の面積を求める際にも適用できる。これは無限個の正三角形の和として表される（図参照）。緑色の三角形の各辺はちょうど⁠1/3⁠大きな青い三角形の辺と同じ大きさなので、ちょうど⁠1/9⁠面積。同様に、各黄色の三角形には⁠1/9⁠緑の三角形の面積など。これらの三角形はすべて等比級数で表すことができます。青い三角形の面積が第1項、3つの緑の三角形の面積が第2項、12個の黄色の三角形の面積が第3項、などです。最初の1を除いて、この級数は公比を持ち、青い三角形を面積の単位とすると、雪片の総面積は次のようになります。^{[ 22 ]}${\textstyle r={\frac {4}{9}}}$ $${\displaystyle 1+3\left({\frac {1}{9}}\right)+12\left({\frac {1}{9}}\right)^{2}+48\left({\frac {1}{9}}\right)^{3}+\cdots =1+{\frac {\frac {1}{3}}{1-{\frac {4}{9}}}}={\frac {8}{5}}.}$$

コンピュータ サイエンスのさまざまなトピックには、次のような等比級数の応用が含まれる場合があります。

• アルゴリズム分析:再帰アルゴリズム (分割統治法など)の時間計算量を分析し、動的配列のサイズ変更など、コストが変動する操作の償却分析を行います。
• データ構造:バランスのとれた二分探索木やヒープなどのデータ構造における操作の空間と時間の複雑さを分析します。
• コンピュータ グラフィックス:アンチエイリアシング、ミップマッピング、および詳細のスケールが幾何学的に変化するフラクタル生成のレンダリングアルゴリズムに不可欠です。
• ネットワークと通信:指数バックオフアルゴリズムで再送信遅延をモデル化し、効率的な通信のためのデータ圧縮およびエラー訂正コードに使用されます。
• 確率的アルゴリズムとランダム化アルゴリズム:確率的アルゴリズムとランダム化アルゴリズムに不可欠なランダム ウォーク、マルコフ連鎖、および幾何分布を分析します。

実数と複素数を超えて

実数および複素数をパラメータとする幾何級数が最も一般的であるが、関数、行列、進数などのより一般的な用語の幾何級数も応用されている。^{[ 23 ]}パラメータが与えられた幾何級数を表現するために使用される数学的演算は、単純に加算と反復乗算であるため、現代代数学の文脈では、任意の環または体からのパラメータを持つ幾何級数を定義するのが自然である。^{[ 24 ]}半環からのパラメータを持つ幾何級数へのさらなる一般化はさらに珍しいが、応用もある。例えば、有理級数によるオートマトン変換のような、変換関数の固定小数点反復の研究など。^{[ 25 ]}${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p}$

これらの一般的な等比級数の収束を解析するためには、加算と乗算に加えて、級数の部分和間の距離という何らかの測定基準も持たなければならない。これは、関数級数における一様収束と点収束の区別など、収束の問題に新たな微妙な点をもたらす可能性があり、また、 2進数の絶対値を収束測定基準として用いた2進数でのおよび の級数が収束する場合など、実数からの直観との強い対照につながる可能性がある。その場合、共通係数の2進絶対値は であり、これは実数の絶対値の観点からは直観に反するが（当然 ）、 p進解析の文脈では十分に正当化される。^{[ 23 ]}${\displaystyle 1+2+4+8+\cdots }$ ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle r=2}$ $${\displaystyle {\frac {a}{1-r}}=-1}$$ ${\displaystyle |r|_{2}=|2|_{2}={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle |2|=2,}$

パラメータの乗算が可換でない場合（特に量子力学では行列や一般的な物理演算子ではそうではないことが多い）、等比級数の標準的な書き方は、

$${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ,}$$

右から掛け算する、他の方法と区別する必要があるかもしれない

$${\displaystyle a+ra+r^{2}a+r^{3}a+\cdots ,}$$

左から掛け算し、対称的な

$${\displaystyle a+r^{\frac {1}{2}}ar^{\frac {1}{2}}+rar+r^{\frac {3}{2}}ar^{\frac {3}{2}}+\cdots ,}$$

両辺に半分ずつ掛ける。これらの選択は、応用上、長所と短所が異なる重要な選択肢に対応する可能性がある。例えば、確率微積分における伊藤積分とストラトノビッチ積分において、ドリフトと拡散の相互干渉を微小時間スケールで異なる順序で並べる場合などである。

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• ロジャー・B・ネルセン（1997年）『言葉を使わない証明：視覚的思考の練習』アメリカ数学会 ISBN 978-0-88385-700-7

歴史と哲学

• CH Edwards Jr. (1994). 『微積分の歴史的発展』第3版, Springer. ISBN 978-0-387-94313-8。
• イーライ・マオール（1991年）『無限とその先へ：無限の文化史』プリンストン大学出版局、 ISBN 978-0-691-02511-7
• モー・ラゼロウィッツ（2000年） 『形而上学の構造』（国際哲学図書館）ラウトレッジ、ISBN 978-0-415-22526-7

経済

• カール・P・サイモン、ローレンス・ブルーム（1994年） 『経済学者のための数学』 WWノートン社、 ISBN 978-0-393-95733-4
• マイク・ロッサー（2003年）『経済学者のための基礎数学』第2版、ラウトレッジ、 ISBN 978-0-415-26784-7

生物学

• エドワード・バチェレット（1992年）『 生命科学者のための数学入門』第3版、シュプリンガー社、 ISBN 978-0-387-09648-3
• リチャード・F・バートン（1998年）『 数字でわかる生物学：定量的思考への奨励』ケンブリッジ大学出版局、 ISBN 978-0-521-57698-7

外部リンク

• 「幾何級数」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック W. 「幾何学級数」。MathWorld 。
• PlanetMathの幾何学シリーズ。
• ペパード、キム. 「幾何級数と級数に関する大学向け代数学チュートリアル」 . ウェスト・テキサスA&M大学.
• ビル・キャッセルマン「幾何学級数の幾何学的解釈」 。2007年9月29日時点のオリジナル（アプレット）からアーカイブ。
• 「幾何学級数」、 Michael Schreiber 著、Wolfram Demonstrations Project、2007 年。