ガブリエルの角笛

ガブリエルの角笛の3Dイラスト

トリチェリの証明に使用された円筒（オレンジ色）が追加された切頂鋭角双曲立体

ガブリエルの角笛（トリチェリのトランペットとも呼ばれる）は、無限の表面積を持ちながら有限の体積を持つ幾何学図形の一種です。この名称は、大天使ガブリエルがいつの日か角笛を吹いて審判の日を告げるというキリスト教の考えに由来しています。この図形の性質は、17世紀に イタリアの物理学者で数学者のエヴァンジェリスタ・トリチェリによって初めて研究されました。

トリチェリはガブリエルの角笛とトリチェリのトランペットという名称を公表していない。^{[ 1 ]} この図形の名称は、1643年に執筆した論文『De solido hyperbolico acuto』のラテン語題名に見られる。この論文は平面で切断された切頂鋭角双曲型立体について述べている。 ^{[ 2 ]}翌年に出版された『Opera geometrica』 第1巻第1部には、この論文と、切頂鋭角双曲型立体の体積に関する定理の、当時としてはより正統派なアルキメデスによる2番目の証明が収録されている。^{[ 2 ] [ 3 ]} この名称は18世紀の数学辞典にも用いられており、ハリスの1704年版辞書とストーンの1726年版辞書では「Hyperbolicum Acutum」、ダランベールの1751年版辞書ではフランス語訳のSolide Hyperbolique Aiguが用いられている。 ^{[ 1 ]}

トリチェリは同時代の人々から卓越した人物とみなされていたが、有限の体積や面積を持つ無限に長い形状を記述したのは彼が初めてではなかった。^{[ 4 ]} 14世紀のニコラ・オレーム の著作は、同時代には忘れ去られていたか、あるいは知られていなかった。^{[ 4 ]} オレームは、有限の総面積 2 の正方形 2 つを等比級数で細分化し、その部分を一連の長方形からなる一次元方向に無限に長い図形に再配置することによって構成される無限に長い形状を提唱していた。^{[ 5 ]}

数学的な定義

グラフ${\displaystyle y=1/x}$

ガブリエルの角は、 のグラフを 定義域 で取り、それをx軸を中心に3次元回転させることによって形成される。この発見は、微積分が発明される以前にカヴァリエリの原理 を用いて行われたが、今日では微積分を用いて、 x = 1からx = a（ただしa > 1 ）までの範囲における角の体積と表面積を計算することができる。^{[ 6 ]}積分（詳細は回転体と回転面を参照）を用いることで、体積Vと表面積Aを求めることができる。 $${\displaystyle y={\frac {1}{x}},}$$ ${\displaystyle x\geq 1}$ $${\displaystyle V=\pi \int _{1}^{a}\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}\,\mathrm {d} x=\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right),}$$ $${\displaystyle A=2\pi \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x>2\pi \int _{1}^{a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}=2\pi \cdot \left[\ln x\right]_{1}^{a}=2\pi \ln a.}$$

aの値は必要なだけ大きくすることができますが、式からわかるように、x = 1とx = aの間の部分の角の体積はπを超えることはありません。しかし、 aが増加するにつれて徐々にπに近づきます。数学的には、aが無限大に近づくにつれて体積はπに近づきます。微積分の極限記法を用いると、^{[ 7 ]}$${\displaystyle \lim _{a\to \infty }V=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi \cdot \lim _{a\to \infty }\left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi .}$$

上記の表面積の公式は、面積の下限をaの自然対数の2π倍としています。aが無限大に近づくにつれて、aの自然対数には上限がありません。つまり、この場合、角の表面積は無限大です。つまり、^{[ 7 ]}$${\displaystyle \lim _{a\to \infty }A\geq \lim _{a\to \infty }2\pi \ln a=\infty .}$$

デ・ソリッド・ハイパーボリコ・アクート

トリチェリの証明は、カヴァリエリの不可分性を適用して、切頂鋭角双曲立体と追加された円柱の体積が赤い円柱の体積と同じであることを実証し、前者の円柱を後者の円の範囲 （後者の円柱の高さと前者の底辺の半径の両方）にマッピングしました。${\textstyle 1/b\geq y\geq 0}$

トリチェリの元々の非微積分的証明では、前述のものとは少し異なり、鋭角双曲立体をx 軸に垂直な平面で切断し、その平面の反対側から同じ底を持つ円柱で延長することによって構築されたオブジェクトが使用されました。^{[ 8 ]} 微積分的方法では、切断面を に設定してx軸に沿って積分することによって進めます が、トリチェリは、この複合立体（追加された円柱を含む）の体積を、その内部にある一連の同心円直円柱の表面積をy 軸に沿って合計することによって計算し、これが（有限の）体積が既知である別の立体内の面積を合計することと等価であることを示しました。^{[ 9 ]}${\displaystyle x=1}$

現代の用語では、この立体は関数の回転面を構築することによって作成された（bは厳密に正である）^{[ 9 ]}

$${\displaystyle \quad {}y={\begin{cases}{\dfrac {1}{b}},&{\text{where }}0\leq x\leq b,\\{\dfrac {1}{x}},&{\text{where }}b\leq x.\end{cases}}}$$

トリチェリの定理によれば、その体積は高さと半径を持つ直円柱の体積と同じである。^{[ 9 ] [ 8 ]}${\displaystyle 1/b}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

定理。無限に長い鋭角双曲立体を、その軸に垂直な平面で切断したものと、同じ底辺を持つ円筒は、その底辺が双曲線の緯線（つまり軸）であり、その高さがこの鋭角体の底辺の半径に等しい直円筒に等しい。

— デ・ソリッド・ハイパーボリコ・アキュト。エヴァンジェリスタ・トリチェッリ。 1643年。G. LoriaおよびG. Vassura 1919年翻訳。^{[ 8 ]}

トリチェリは、半径が、高さがである一連の同心円状の直円筒の表面積から立体の体積を導くことができることを示した。^{[ 9 ]} これらの円筒の表面積（側面のみ）を公式に代入すると、 のすべての円筒の表面積は一定となる。^{[ 9 ]} これは半径の円の面積でもあり、円筒の入れ子になった表面（立体の体積を埋める）は、半径 の円を0 から まで積み重ねた面積に等しい。したがって、前述の直円筒の体積は であることが分かっている。^{[ 9 ]}${\displaystyle 1/b\geq r\geq 0}$ ${\displaystyle h=1/r}$ ${\displaystyle 2\pi rh=2\pi r\times 1/r=2\pi }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}},}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1/b}$ ${\displaystyle V=\pi r^{2}h=\pi ({\sqrt {2}})^{2}\times 1/b=2\pi /b}$

Propterea omnes simul superficies cylindricae、hoc est ipsumsolidum acutum 、unacum cylindro based 、aequale eritomnibus circulis simul、hoc est cylindro 。クォード・エラットなど${\displaystyle ebd}$ ${\displaystyle fedc}$ ${\displaystyle acgh}$

(したがって、円柱の表面すべてを合わせたもの、つまり鋭角立体自体は、底辺 の円柱と同じであり、そのすべての円を合わせたもの、つまり円柱 に等しくなります。)${\displaystyle EBD}$ ${\displaystyle FEDC}$ ${\displaystyle ACGH}$

— デ・ソリッド・ハイパーボリコ・アキュト。エヴァンジェリスタ・トリチェッリ。 1643。ジャクリーン A. ステッドール訳、2013。^{[ 10 ]}

（追加された円柱の体積は当然 なので、切断された鋭角双曲立体のみの体積は です。 の場合、現代の微積分の導出と同様に、です。） ${\displaystyle V_{c}=\pi r^{2}\times h=\pi (1/b)^{2}\times b=\pi /b}$ ${\displaystyle V_{s}=V-V_{c}=2\pi /b-\pi /b=\pi /b}$ ${\displaystyle b=1}$ ${\displaystyle V_{s}=\pi }$

『オペラ・ジオメトリカ』では、これは（切頂）鋭角双曲立体の体積の2つの証明のうちの1つである。^{[ 3 ]} この証明でカヴァリエリの不可分数を使用したことは当時物議を醸し、結果も衝撃的だった（トリチェリは後に、ジル・ド・ロベルヴァルが反証を試みたと記録している）。そのため、『オペラ・ジオメトリカ』が出版されたとき、つまり『鋭角双曲立体について』の翌年、トリチェリは正統派アルキメデスの原理に基づき、直円筒（高さ半径）が体積の上限と下限の両方であることを示す2番目の証明も提供した。^{[ 3 ]}皮肉なことに、これはアルキメデスが『ドシテウスへの放物線の求積法』 で力学的証明と幾何学的証明の2つを提供した際の慎重さを反映するものであった。^{[ 11 ]}${\displaystyle 1/b}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

一見矛盾している

ガブリエルの角笛の性質が発見された当時、xy平面上の無限大の断面をx軸 を中心に回転させると 有限体積の物体が生成されるという事実はパラドックスとみなされていました。xy平面上の断面は無限の面積を持ちますが、 それに平行な他の断面は有限の面積を持ちます。したがって、断面の「加重和」から計算される体積は有限です。

別のアプローチは、固体を半径が徐々に減少する円板の積み重ねとして扱うことです。半径の和は無限大に至る調和級数となります。しかし、正しい計算はそれらの平方の和です。すべての円板の半径はr = 1/ xで、面積はπ r ²またはπ/ x ²です。級数Σ 1/ xは発散しますが、級数Σ 1/ x ²は収束します。一般に、任意の実数ε > 0に対して、級数Σ 1/ x ^{1+ ε}は収束します。（この結果の詳細については、 「リーマンゼータ関数の特定の値」を参照してください。）

この明らかなパラドックスは、トーマス・ホッブス、ジョン・ウォリス、ガリレオ・ガリレイなど当時の多くの主要な思想家が関与した無限の性質をめぐる論争の一部を形成していた。^{[ 12 ]}

ガブリエルの角笛の2次元版は面積が2だが周囲長は無限である。

平面上の長さと面積にも同様の現象が当てはまります。1から無限大までの曲線1/ x ²と-1/ x ²の間の面積は有限ですが、2つの曲線の長さは明らかに無限大です。

1666年の著書『レクティオネス』第16講義で、アイザック・バローはトリチェリの定理がアリストテレスの一般論（『天体論』第1巻第6部より）「有限と無限の間には比例関係はない」を制約していると主張した。^{[ 13 ] [ 14 ]}アリストテレス自身は、厳密に言えば、無限体の物理的存在の不可能性について主張していたのであって、幾何学的抽象としての不可能性について主張していたのではない。^{[ 13 ]} バローは、アリストテレスの格言やその他の幾何学的公理は（第7講義で述べたように）数学と物理学の両方を支える「あるより高次の普遍科学」に由来するという、当時の17世紀の見解を採用していた。^{[ 15 ]} このように、有限（体積）と無限（面積）の関係にある物体のトリチェリの証明は、少なくとも部分的にはこの格言と矛盾していた。^{[ 15 ]} バローの説明によれば、アリストテレスの格言は依然として成立するが、長さと長さ、面積と面積、体積と体積など、同じ種類のものを比較する場合に限り、より限定された形で成立するという。^{[ 15 ]} この格言は、異なる属のものを比較する場合（例えば面積と体積）には成立せず、したがって無限の面積は有限の体積と結び付けられる可能性がある。 ^{[ 15 ]}

他の人々は、トリチェリの定理を、現代の観点からは数学とは無関係な、自分たちの哲学的主張を強化するために利用した。^{[ 16 ]}イグナス＝ガストン・パルディーズは1671年に鋭角双曲立体を用いて、有限な人間は無限を理解できると主張し、それを神と非物質的な魂の存在の証拠として提出した。^{[ 16 ] [ 17 ]} パルディーズは、有限な物質は無限を理解できないので、人間がこの証明を理解できるという事実は、人間は物質以上の存在であり、非物質的な魂を持っていることを示していると論じた。^{[ 17 ]} これとは対照的に、アントワーヌ・アルノーは、人間がここでパラドックスを感じたため、人間の思考は理解できる範囲が限られており、神や宗教的な真実を反証する能力がないと主張した。^{[ 16 ]}

ホッブスとウォリスの論争は、実際には数学の領域に留まっていた。ウォリスは無限と不可分という新しい概念を熱心に受け入れ、トリチェリの研究に基づいて更なる結論を導き出し、トリチェリの幾何学的議論ではなく算術的議論を用いてそれを拡張した。一方ホッブスは、数学は有限なものに対する現実世界の認識から派生したものであるため、数学における「無限」は「不定」を意味するに過ぎないと主張した。^{[ 18 ]} この論争は、両者による王立協会への厳しい書簡と哲学論文集への書簡に繋がり、ホッブスはウォリスを「狂人」と罵倒するに至った。^{[ 19 ]} 1672年、ホッブスはトリチェリの定理を、無限に伸びた有限の立体 に関する定理として再構成しようと試みた。これは、「自然光」（すなわち常識）が無限に長いものは無限の体積を持つはずだと教えてくれるという自身の主張を堅持しようとしたためである。 ^{[ 19 ]} これは、幾何学におけるゼロ幅の線の概念の使用は誤りであり、カヴァリエリの不可分性の概念は根拠に欠けているというホッブズの他の主張と一致している。^{[ 20 ]} ウォリスは、トリチェリに基づいて、有限の面積/体積を持ちながら重心を持たない幾何学的形状が存在すると主張し、これを理解するには「ホッブズがマスターしている以上の」幾何学と論理の知識が必要だと述べた。 [ ^{21 ]彼}はまた、この議論を、幾何学的不可分性の列ではなく、算術級数の和、算術的無限小の列 として算術的な用語で再構成した。^{[ 22 ]}

オレームはすでに、無限に長い図形が有限の面積を持つことができ、一方の次元が無限に大きくなると、もう一方の次元は無限に小さくなることを実証していた。^{[ 23 ]} バロー自身の言葉によれば、「一方の次元の無限の減少は、もう一方の次元の無限の増加を補う」^{[ 23 ]。}これは、鋭角双曲立体の場合、アポロニウスの双曲線 の方程式によって実現される。^{[ 24 ]}${\textstyle xy=1}$

画家のパラドックス

角は有限の体積と無限の表面積を持つため、有限の量の絵の具で角を満たすことはできるが、その絵の具は角の表面を覆うには不十分であるという、一見矛盾した状況が生じます。^{[ 25 ]} しかし、この矛盾もまた、「絵の具」の定義が不完全であるか、あるいは、角を充填する動作と角を塗る動作に対して矛盾した絵の具の定義を使用していることによって引き起こされる、一見矛盾した状況に過ぎません。^{[ 26 ]}

無限に分割可能（あるいは無限に細くしたり、ホッブスが問題視したゼロ幅の幾何学的線​​のように単にゼロ幅にしたりできる）かつ無限の速度で移動できる「数学的」塗料を仮定することも、現実世界の塗料と同じ特性を持つ「物理的」塗料を仮定することもできる。^{[ 26 ]} どちらの場合も、明らかなパラドックスは解消される。^{[ 26 ]}

「数学的」な絵の具の場合、無限の表面積には無限の量の絵の具が必要であるということはまずありません。なぜなら、無限の表面積と厚さゼロの絵の具の積は不確定だからです。^{[ 26 ]}

物理的な塗料では、固体の外側を塗るには無限の量の塗料が必要になります。なぜなら、物理的な塗料の厚さはゼロではないからです。トリチェリの定理は、固体の外側に有限の幅を持つ層が存在することを示唆していません。実際には、その層は無限の体積を持ちます。したがって、塗料の無限の体積と、覆うべき表面積が無限であることの間には矛盾はありません。 ^{[ 26 ]}また、トリチェリの定理における有限の体積である固体の内部を物理的な塗料で塗ることは不可能であるため、矛盾は存在しません。^{[ 26 ]}これは、物理的な塗料が固体の体積の近似値しか満たせないためです。 ^{[ 27 ] [ 28 ]}分子は3次元空間を完全に覆うのではなく、隙間を残します。そして、固体の「喉」が狭くなりすぎて塗料分子が流れ落ちなくなる点があります。^{[ 26 ] [ 27 ]}

物理的な絵の具は有限の速度で流れ、流れ落ちるには無限の時間がかかります。^{[ 29 ]}これは、無限の速度で流れると仮定しない限り、厚さがゼロの「数学的な」絵の具にも当てはまります。^{[ 29 ]}

「数学的」塗料に関する他の様々な公理、例えば十分な速さで薄くなる無限速度塗料なども、このパラドックスを解消します。塗料の体積について言えば、塗られる表面積Aが無限大に近づくにつれて、塗料の厚さはゼロに近づきます。^{[ 30 ]}固体自体と同様に、ある次元における塗られる表面積の無限大の増加は、別の次元、つまり塗料の厚さの無限大の減少によって相殺されます。 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi /A}$

個別バージョン

「ガブリエルのウェディングケーキ」は、ガブリエルのホーンの離散版であり、連続ホーンの形状を無限の円筒形で近似しているが、連続版と同じ全体的な特性を持っている。その名称は、多層のウェディングケーキに似ていることに由来する。これは、微積分にまだ慣れていない学生向けの教材として用いられてきた。^{[ 31 ] [ 32 ]}

コンバース

ルネ＝フランソワ・ド・スルーズはかつて、この（半）シソイド回転体は、それ自体は有限の体積を持ちながら無限の体積を内包しているため、どんなに酒豪でも空にできないほど軽いゴブレットを形成すると冗談めかして述べた。しかし、有限の表面積を持つとは主張されていない。

トリチェリの鋭角双曲立体の逆は、表面積は有限だが体積は無限である回転面となる。

トリチェリの定理に対して、マリン・メルセンヌから学んだ後、クリスティアーン・ホイヘンスとルネ・フランソワ・ド・スルーズは、定理を他の無限に長い回転体に拡張することについて手紙をやり取りしたが、それらはそのような逆を見つけるものと誤って認識されていた。^{[ 33 ]}

ユトレヒト大学の数学教授ヤン・A・ファン・マーネンは1990年代に、クリスチャンサンでの会議で、1658年にド・スルーズがホイヘンスにそのような形状を発見したと書いたと誤って述べたと報告した。^{[ 34 ]}

エビ オペラの献身者は、血管のことを意味し、非マグニのポンデレ、暫定的なヘルオ ヌルス エビバートを意味します。

(私は、軽い重量ではあるものの、どんなに酒好きでも空にできないほどの酒グラス（または花瓶）の寸法を示します。)

— de Sluse、ホイヘンスへの手紙、翻訳 ヤン・A・ファン・マーネン^{[ 34 ]}

香港大学のトニー・ガーディナーとマン・キョン・シウは、有限の表面積を持つ回転面は必然的に有限の体積を持つと答えた。 ^{[ 34 ]}

ファン・マーネン教授は、これがド・スルースの手紙の誤解であり、ド・スルースが実際に報告していたのは、ディオクレスの円錐体とその漸近線をy 軸を中心に回転させることによって形成される固体の「ゴブレット」形状が有限の体積（したがって「小さな重量」）を持ち、無限の体積の空洞を囲んでいるということであると気づいた。^{[ 35 ]}

ホイヘンスはまず、回転した2次元形状（シソイドとその漸近線の間）の面積が有限であることを示し、その面積はシソイドの生成円の面積の3倍であると計算した。そしてデ・スルースはパップスの重心定理を適用して、回転体の体積は有限であり、有限の面積と有限の回転軌道の積であることを示した。^{[ 35 ]}回転する 面積は有限である。デ・スルースは回転して得られる体積の表面積については実際には何も述べていない。^{[ 35 ]}

このような逆は本質的には起こり得ません。

Dを の連結部分集合とする。fをD上の連続微分可能な実数値関数とする。y = f ( x )をx軸を中心に回転させて生成される回転体の表面積Sが有限であれば、その体積も有限である。${\displaystyle \mathbb {R} }$

証明^{[ 36 ]}

まず、f がD上で有界であることに注目してください。ある（おそらく無限大の）aに対して、 aの開近傍が存在し、その上で立体の表面積が無限大となります。したがって、 f がD上で有界となるM > 0が存在します。${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\pm \infty }$ ${\displaystyle |f(x)|<M.}$

体積は次のように表される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\int _{D}f(x)\cdot \pi f(x)\,\mathrm {d} x\\&\leq \int _{D}{\frac {M}{2}}\cdot 2\pi f(x)\,\mathrm {d} x\\&\leq {\frac {M}{2}}\cdot \int _{D}2\pi f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {M}{2}}\cdot S<\infty .\end{aligned}}}$$

参照

• コッホ雪片 – フラクタル曲線
• ピカール・ホーン – 宇宙の形状のモデルとして提案された3次元双曲多様体
• 擬球 – 幾何学的表面
• 宇宙の形 – 宇宙の局所的および全体的な幾何学
• ゼノンのパラドックス – 哲学的問題集

参考文献

1. マンコス 1999、243ページ。
2. Struik 1969、227ページ。
3. ブレスード 2021、29頁。
4. マンコス 1999、p. 239–241。
5. Król 2018、83ページ。
6. ハヴィル 2007、p.83–87 。
7. フレロン 1999 .
8. Struik 1969、229ページ。
9. ブレスード 2021、28頁。
10. ウォリス 2013、p.xvi。
11. マンコス 1999、143ページ。
12. ハヴィル 2007、p.82–91。
13. マンコス 1999、139ページ。
14. マンコス 1999、239ページ。
15. マンコス 1999、p. 140.
16. マンコス 1999、p. 142.
17. ジョーンズ 2008、p.118。
18. マンコス 1999、145–146 ページ。
19. マンコス 1999、146–147 ページ。
20. マンコス 1999、148ページ。
21. マンコス 1999、146ページ。
22. Wallis 2013、pp. xvi – xvii。
23. マンコス 1999、241ページ。
24. マンコス 1999、130ページ。
25. ナヒン 2021、p. xxxi.
26. ナヒン 2021、p. xxxii。
27. ピックオーバー 2008、458ページ。
28. デ・ピリス、2002 年、140–141 ページ。
29. チャン 2012、30頁。
30. Klymchuk & Staples 2013、64～65ページ。
31. コル, ヴィンセント; ハリソン, マイケル (2014年10月1日). 「ガブリエルの角笛：革命の物語」 .数学マガジン. 87 (4): 263– 275. doi : 10.4169/math.mag.87.4.263 . ISSN  0025-570X .
32. フレロン, ジュリアン・F.「ガブリエルのウェディングケーキ」カレッジ数学ジャーナル、1999年1月、第30巻第1号、pp. 35-38
33. ファン・マーネン、1995 年、87–88 ページ。
34. ファン マーネン 1995、p. 88.
35. van Maanen 1995、88–89 ページ。
36. ファン・マーネン、1995 年、90–91 ページ。

参考文献

• ブレソウド、デイヴィッド・M. (2021). 『微積分学の再編：ビッグアイデアの歴史』 プリンストン大学出版局. ISBN 9780691218786。
• チャン、マーク（2012年）『科学的推論におけるパラドックス』CRC Press. ISBN 9781466509863。
• de Pillis, John (2002). 777 Mathematical Conversation Starters . Cambridge University Press. ISBN 9780883855409。
• フレロン, ジュリアン F. (1999). 「ガブリエルのウェディングケーキ」.カレッジ数学ジャーナル. 30 (1): 35– 38. doi : 10.2307/2687201 . JSTOR  2687201 .
• ハヴィル、ジュリアン（2007年）『困惑！：あり得ないアイデアの数学的証明』プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-12056-0。
• ジョーンズ、マシュー・L.（2008年）『科学革命における良き人生：デカルト、パスカル、ライプニッツ、そして徳の涵養』シカゴ大学出版局、ISBN 9780226409566。
• クリムチュク, セルギー; ステープルズ, スーザン (2013). 『微積分におけるパラドックスと詭弁』アメリカ数学会. ISBN 9781614441106。
• クロル、ズビグニエフ (2018). 「数学における無限概念に関する基本的直観：歴史的・神学的観点から」。ミロスワフ・シャトコフスキ編『神、時間、無限』『哲学分析』第75巻。Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 9783110592030。
• マンコス、パオロ（1999年）「無限のパラドックス」『17世紀の数学哲学と数学実践』オックスフォード大学出版局、ISBN 9780195132441。
• ポール・J・ナヒン（2021年）『最小が最善のとき：数学者はいかにして物を可能な限り小さく（あるいは大きく）する多くの巧妙な方法を発見したか』プリンストン科学図書館第118巻、プリンストン大学出版局、ISBN 9780691218762。
• ピックオーバー、クリフォード（2008年）『アルキメデスからホーキングまで：科学の法則とその背後にある偉大な思想』OUP USA. ISBN 9780195336115。
• ストルイク, DJ (1969). 『数学史資料集 1200–1800』 . 科学史資料集 第11巻. ハーバード大学出版局. ISBN 9780674823556。
• ヴァン・マーネン、ヤン・A. (1995). 「沖積堆積物、円錐曲線、不適切なガラス、あるいは教室で応用される数学の歴史」. フランク・スウェッツ編著. 『巨匠に学ぶ！』 教室用教材 第3巻. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 9780883857038. ISSN  1557-5918 .
• ウォリス、ジョン(2013). 「序論」.ステダル、ジャクリーン・A. (編). 『無限小数の算術』 . 数学と物理科学の歴史における資料と研究. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. ISBN 9781475743128。

さらに読む

• ロイヤー、メルビン (2012). 「ガブリエルのその他の所有物」. PRIMUS: 数学学部研究における問題、リソース、課題. 22 (4): 338– 351. doi : 10.1080/10511970.2010.517601 . S2CID  119721808 .
• フレロン、ジュリアン・F. 「ガブリエルのウェディングケーキ」（PDF） 。2016年12月13日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。
• リンチ、マーク。「逆説的なペイントバケツ」。
• ラブ、ウィリアム・P. (1989年1月). 「超固体：有限体積と無限表面を持つ固体」.数学教師. 82 (1): 60– 65. doi : 10.5951/MT.82.1.0060 . JSTOR  27966098 .

外部リンク

• PlanetMathのTorricelliのトランペット
• ワイスタイン、エリック W. 「ガブリエルの角笛」。MathWorld 。
• 「ガブリエルの角笛」ジョン・スナイダー著、Wolfram Demonstrations Project、2007 年。
• ガブリエルの角笛: 有限の体積と無限の表面積を持つ固体の理解、 Jean S. Joseph 著。