ハル・ホワイトモデル

金融数学において、ハル・ホワイト・モデルは将来金利のモデルです。最も一般的な定式化においては、今日の金利の期間構造に適合可能な裁定取引のないモデルのクラスに属します。将来金利の推移に関する数学的記述を木構造や格子構造に置き換えることは比較的容易であり、バミューダ・スワップションなどの金利デリバティブをこのモデルで評価することができます。

最初のハル・ホワイト モデルは、 1990 年にジョン C. ハルとアラン ホワイトによって説明されました。このモデルは現在でも市場で人気があります。

モデル

1因子モデル

このモデルは短期金利モデルであり、一般的に次のようなダイナミクスを示します。

dr（t）＝[θ（t）−α（t）r（t）]dt+σ（t）dW（t）。{\displaystyle dr(t)=\left[\theta (t)-\alpha (t)r(t)\right]\,dt+\sigma (t)\,dW(t).}

モデル内のどのパラメータが時間依存であるか、またそれぞれのケースでモデルにどのような名前を付けるべきかについては、実務家の間でもある程度曖昧な点があります。最も一般的に受け入れられている命名規則は次のとおりです。

  • θ{\displaystyle \theta}t (時間)依存性を持つ—ハル・ホワイトモデル。
  • θ{\displaystyle \theta}どちらも時間依存です —拡張Vasicek モデル。α{\displaystyle \alpha }

2因子モデル

2因子ハル・ホワイトモデル（ハル 2006 :657–658）には、平均がゼロに戻る追加の撹乱項が含まれており、次の形式になります。

df(r(t))=[θ(t)+u−α(t)f(r(t))]dt+σ1(t)dW1(t),{\displaystyle d\,f(r(t))=\left[\theta (t)+u-\alpha (t)\,f(r(t))\right]dt+\sigma _{1}(t)\,dW_{1}(t),}

ここで、 は決定論的関数で、通常は恒等関数（1 因子バージョンの拡張で、解析的に扱いやすく、潜在的に負のレートを持つ）、自然対数（ブラック–カラシンスキー モデルの拡張で、解析的に扱いにくく、正の金利を持つ）、またはそれらの組み合わせ（低金利では自然対数に比例し、高金利では恒等関数に比例する）です。初期値は 0 で、次のプロセスに従います。 f{\displaystyle \displaystyle f}u{\displaystyle \displaystyle u}

du=−budt+σ2dW2(t){\displaystyle du=-bu\,dt+\sigma _{2}\,dW_{2}(t)}

1因子モデルの分析

本稿の残りの部分では、t依存性のみを持つと仮定します。確率項を一旦無視すると、rの変化は、 rが現在「大きい」（より大きい）場合、負の値となり、現在の値が小さい場合、正の値となることに注意してください。つまり、確率過程は平均回帰型オルンスタイン・ウーレンベック過程です。 θ{\displaystyle \theta }α>0{\displaystyle \alpha >0}θ(t)/α){\displaystyle \theta (t)/\alpha )}

θは、現在の金利の期間構造を表す初期利回り曲線から計算されます。通常、αはユーザー入力として残されます（例えば、過去のデータから推定できます）。σは、市場で容易に取引可能な キャプレットとスワップションのセットに基づいてキャリブレーションされます。

、、が定数のとき、伊藤の補題は以下を証明するために使える。 α{\displaystyle \alpha }θ{\displaystyle \theta }σ{\displaystyle \sigma }

r(t)=e−αtr(0)+θα(1−e−αt)+σe−αt∫0teαudW(u),{\displaystyle r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+{\frac {\theta }{\alpha }}\left(1-e^{-\alpha t}\right)+\sigma e^{-\alpha t}\int _{0}^{t}e^{\alpha u}\,dW(u),}

分布がある

r(t)∼N(e−αtr(0)+θα(1−e−αt),σ22α(1−e−2αt)),{\displaystyle r(t)\sim {\mathcal {N}}\left(e^{-\alpha t}r(0)+{\frac {\theta }{\alpha }}\left(1-e^{-\alpha t}\right),{\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}\left(1-e^{-2\alpha t}\right)\right),}

ここで、 は平均と分散の正規分布です。 N(μ,σ2){\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}μ{\displaystyle \mu }σ2{\displaystyle \sigma ^{2}}

時間に依存する 場合、θ(t){\displaystyle \theta (t)}

r(t)=e−αtr(0)+∫0teα(s−t)θ(s)ds+σe−αt∫0teαudW(u),{\displaystyle r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+\int _{0}^{t}e^{\alpha (s-t)}\theta (s)ds+\sigma e^{-\alpha t}\int _{0}^{t}e^{\alpha u}\,dW(u),}

分布がある

r(t)∼N(e−αtr(0)+∫0teα(s−t)θ(s)ds,σ22α(1−e−2αt)).{\displaystyle r(t)\sim {\mathcal {N}}\left(e^{-\alpha t}r(0)+\int _{0}^{t}e^{\alpha (s-t)}\theta (s)ds,{\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}\left(1-e^{-2\alpha t}\right)\right).}

ハル・ホワイトモデルを用いた債券価格設定

T満期割引債券の時間S値には分布があることがわかります (ここではアフィン期間構造に注意してください)。

P(S,T)=A(S,T)exp⁡(−B(S,T)r(S)),{\displaystyle P(S,T)=A(S,T)\exp(-B(S,T)r(S)),}

どこ

B(S,T)=1−exp⁡(−α(T−S))α,{\displaystyle B(S,T)={\frac {1-\exp(-\alpha (T-S))}{\alpha }},}
A(S,T)=P(0,T)P(0,S)exp⁡(−B(S,T)∂log⁡(P(0,S))∂S−σ2(exp⁡(−αT)−exp⁡(−αS))2(exp⁡(2αS)−1)4α3).{\displaystyle A(S,T)={\frac {P(0,T)}{P(0,S)}}\exp \left(\,-B(S,T){\frac {\partial \log(P(0,S))}{\partial S}}-{\frac {\sigma ^{2}(\exp(-\alpha T)-\exp(-\alpha S))^{2}(\exp(2\alpha S)-1)}{4\alpha ^{3}}}\right).}

の終端分布は対数正規分布することに注意してください。 P(S,T){\displaystyle P(S,T)}

デリバティブ価格設定

S時点の結合 ( S時点のフォワード測度への切り替えに相当)をニューメレールとして選択することにより、裁定取引のない価格設定の基本定理から、 S時点に支払いが行われるデリバティブのt時点における価値が得られます。

V(t)=P(t,S)ES[V(S)∣F(t)].{\displaystyle V(t)=P(t,S)\mathbb {E} _{S}[V(S)\mid {\mathcal {F}}(t)].}

ここで、はフォワード測度に関して取られた期待値である。さらに、標準的な裁定取引の議論によれば、T時点におけるV(T)で与えられるペイオフに対するT時点のフォワード価格はを満たす必要があるため、 ES{\displaystyle \mathbb {E} _{S}}FV(t,T){\displaystyle F_{V}(t,T)}FV(t,T)=V(t)/P(t,T){\displaystyle F_{V}(t,T)=V(t)/P(t,T)}

FV(t,T)=ET[V(T)∣F(t)].{\displaystyle F_{V}(t,T)=\mathbb {E} _{T}[V(T)\mid {\mathcal {F}}(t)].}

このように、ハル・ホワイトモデルでは、単一の債券のみに依存する多くのデリバティブVを解析的に評価することが可能です。例えば、債券プットの場合、P(S,T){\displaystyle P(S,T)}

V(S)=(K−P(S,T))+.{\displaystyle V(S)=(K-P(S,T))^{+}.}

は対数正規分布に従うので、ブラック・ショールズ・モデルに用いられる一般的な計算では、 P(S,T){\displaystyle P(S,T)}

ES[(K−P(S,T))+]=KN(−d2)−F(t,S,T)N(−d1),{\displaystyle {E}_{S}[(K-P(S,T))^{+}]=KN(-d_{2})-F(t,S,T)N(-d_{1}),}

どこ

d1=log⁡(F/K)+σP2S/2σPS{\displaystyle d_{1}={\frac {\log(F/K)+\sigma _{P}^{2}S/2}{\sigma _{P}{\sqrt {S}}}}}

そして

d2=d1−σPS.{\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma _{P}{\sqrt {S}}.}

したがって、今日の値（P（0、S）を掛け直し、tを0に設定）は次のようになります。

P(0,S)KN(−d2)−P(0,T)N(−d1).{\displaystyle P(0,S)KN(-d_{2})-P(0,T)N(-d_{1}).}

これは対数正規分布の標準偏差（相対変動率）である。かなりの量の代数計算により、この分布は元のパラメータと次のように関係していることがわかる。 σP{\displaystyle \sigma _{P}}P(S,T){\displaystyle P(S,T)}

SσP=σα(1−exp⁡(−α(T−S)))1−exp⁡(−2αS)2α.{\displaystyle {\sqrt {S}}\sigma _{P}={\frac {\sigma }{\alpha }}(1-\exp(-\alpha (T-S))){\sqrt {\frac {1-\exp(-2\alpha S)}{2\alpha }}}.}

この期待値はS結合測度で求められたのに対し、元のハル・ホワイト過程においては測度を全く指定しなかった点に注意してください。これは問題ではありません。重要なのはボラティリティであり、測度に依存しません。

金利キャップ／フロアはそれぞれ債券プットとコールに相当するため、上記の分析は、ハル・ホワイト・モデルにおいてキャップとフロアを解析的に価格設定できることを示しています。ジャムシディアンのトリックはハル・ホワイト・モデルにも適用されます（ハル・ホワイト・モデルにおけるスワップションの今日の価値は、今日の短期金利の単調関数であるため）。したがって、キャップの価格設定方法を知っていれば、スワップションの価格設定にも十分です。原資産が（フォワードルッキングな）LIBORタームレートではなく、複利のバックワードルッキングレートである場合、Turfus (2020) は、この式を追加のコンベクシティを考慮して簡単に修正できることを示しています。

スワップションは、Henrard (2003) で説明されているように、直接価格設定することも可能です。直接的な実装は通常、より効率的です。

モンテカルロシミュレーション、ツリーと格子

しかしながら、キャップやスワップションといった一般的な金融商品を評価することは、主にキャリブレーションに有用です。このモデルの実際の用途は、格子上のバミューダ・スワップションのようなややエキゾチックなデリバティブ、あるいはクォント・コンスタント・マチュリティ・スワップのような多通貨デリバティブを評価することです。これは例えばBrigoとMercurio (2001)で説明されています。時間依存パラメータを用いたハル・ホワイト・モデルの効率的かつ正確なモンテカルロ・シミュレーションは容易に実行できます。Ostrovski (2013)および(2016)を参照してください。Fries (2016) [ 1 ]に従った正確なモンテカルロ・シミュレーションのオープンソース実装は、 finmathライブラリ[ 2 ]にあります。

予測

Vasicek、CIR、Hull–White モデルなどの単一因子モデルは価格設定用に考案されてきましたが、最近の研究では予測に関してそれらの可能性が示されています。Orlando ら (2018、[ 3 ] 2019、[ 4 ] [ 5 ] ) は、CIR# と呼ばれる将来の金利を予測する新しい方法論を提供しました。価格設定に使用される短期金利モデルを予測ツールに変えるというアイデアは別として、データセットを所定の分布に従ってサブグループに適切に分割することにあります[ 6 ]。そこでは、この分割によって金利の変動性の統計的に有意な時間変化を捉えることができることが示されました。このアプローチに従って、Orlando ら (2021) [ 7 ] ) は、金利の方向性の予測と予言に関して Hull–White モデルと CIR モデルを比較しています。

参照

参考文献

  1. ^ Fries, Christian (2016). 「ハル・ホワイトモデルの正確な確率的シミュレーションスキームとその実装に関する短いメモ」 SSRN . doi : 10.2139 /ssrn.2737091 . 2023年10月15日閲覧。
  2. ^ "HullWhiteModel.java" . finmath lib . finmath.net . 2023年10月15日閲覧。
  3. ^オルランド、ジュゼッペ、ミニニ、ローザ・マリア、バッファロ、ミケーレ (2018). 「CIR短期金利モデリングへの新たなアプローチ」.固定利付利回りモデリングにおける新手法. 経営科学への貢献. シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング. pp.  35– 43. doi : 10.1007/978-3-319-95285-7_2 . ISBN 978-3-319-95284-0。
  4. ^オルランド, ジュゼッペ; ミニンニ, ローザ・マリア; ブファロ, ミシェル (2019年1月1日). 「CIRモデルによる市場金利予測への新たなアプローチ」. Studies in Economics and Finance . 37 (2): 267– 292. doi : 10.1108/SEF-03-2019-0116 . ISSN 1086-7376 . S2CID 204424299 .  
  5. ^オルランド, ジュゼッペ; ミニンニ, ローザ・マリア; バッファロ, ミシェル (2019年8月19日). 「CIRモデルによる金利キャリブレーション」.リスクファイナンスジャーナル. 20 (4): 370– 387. doi : 10.1108/JRF-05-2019-0080 . ISSN 1526-5943 . S2CID 204435499 .  
  6. ^ Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa Maria; Bufalo, Michele (2020年7月). 「VasicekモデルとCIRモデルによる金利予測：分割アプローチ」 . Journal of Forecasting . 39 (4): 569– 579. arXiv : 1901.02246 . doi : 10.1002/for.2642 . ISSN 0277-6693 . S2CID 126507446 .  
  7. ^ジュゼッペ・オーランド、ミシェル・バッファロ (2021年5月26日). 「金利予測：ハルとホワイト、そしてCIR#の間 ― 単一因子モデルを機能させる方法」 .予測ジャーナル. 40 (8): 1566– 1580. doi : 10.1002/for.2783 . ISSN 0277-6693 . 
主な参考文献
  • ジョン・ハルとアラン・ホワイト、「ハル・ホワイト金利ツリーの使用」、Journal of Derivatives、第3巻、第3号（1996年春）、26～36ページ
  • John Hull および Alan White、「期間構造モデルを実装するための数値的手順 I」、Journal of Derivatives、1994 年秋、7 ～ 16 ページ。
  • John Hull および Alan White、「期間構造モデルを実装するための数値的手順 II」、Journal of Derivatives、1994 年冬、pp. 37-48。
  • John Hull と Alan White、「Hull–White モデルを使用した金利上限と金利下限のオプションの価格設定」『Advanced Strategies in Financial Risk Management』第 4 章、59 ～ 67 ページ。
  • John Hull と Alan White、「1 ファクター金利モデルと金利デリバティブ証券の評価」、Journal of Financial and Quantitative Analysis、Vol 28、No 2、(1993 年 6 月) 235 ～ 254 ページ。
  • ジョン・ハルとアラン・ホワイト、「金利デリバティブ証券の価格設定」、The Review of Financial Studies、第3巻、第4号（1990年）573-592頁。
その他の参考文献
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