需要の統合可能性

ミクロ経済理論において、需要関数の積分可能性の問題は、与えられたワルラス需要関数から効用関数（つまり、消費者の選好）を回復する問題を扱っています。^{[ 1 ]}名称の「積分可能性」は、需要関数が価格の偏微分方程式系を満たすことが示され、この系を解く（積分する）ことが需要を生み出す基礎となる効用関数を回復するための重要なステップであるという事実に由来しています。

この問題はポール・サミュエルソンの著書『経済分析の基礎』で考察されており、1950年の論文ではその解決条件が示されている。^{[ 2 ]}より一般的な解決条件は後にレオニード・ハーウィッツと宇沢弘文によって示された。^{[ 3 ]}

数学的定式化

消費空間と既知のワルラス需要関数が与えられた場合、需要の積分可能性の問題を解決するには、次のような 効用関数を見つけることである。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x:\mathbb {R} _{++}^{L}\times \mathbb {R} _{+}\rightarrow X}$ ${\displaystyle u:X\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle x(p,w)=\operatorname {argmax} _{x\in X}\{u(x):p\cdot x\leq w\}}$

つまり、本質的には消費者の効用最大化問題を「逆転」させているのです。

解決のための十分な条件

需要関数の積分可能性問題を解くには、本質的に2つのステップがあります。まず、消費者の支出関数 を復元します。次に、支出関数の性質を用いて、少なくとも同等に良好な集合を構築できます。 ${\displaystyle e(p,u)}$

${\displaystyle V_{u}=\{x\in \mathbb {R} _{+}^{L}:u(x)\geq u\}}$

これは効用関数を見つけることと同等です。 ${\displaystyle u(x)}$

需要関数が0次の同次関数で、ワルラスの法則を満たし、負の半正定値代替行列を持つ場合、これらの手順に従って需要を生み出す効用関数を求めることができる。^{[ 4 ]}${\displaystyle x(p,w)}$ ${\displaystyle S(p,w)}$ ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle x(p,w)}$

証明：最初の2つの条件（次数0の同次性とワルラスの法則）が満たされている場合、支出最小化問題と効用最大化問題の双対性から次のことがわかる。

${\displaystyle x(p,w)=h(p,v(p,w))}$

ここでは消費者の間接効用関数、は消費者のヒックス需要関数である。効用水準を固定する^{[注1 ]}。シェパードの補題と上記の恒等式から、 ${\displaystyle v(p,w)=u(x(p,w))}$ ${\displaystyle h(p,u)}$ ${\displaystyle u_{0}=v(p,w)}$

${\displaystyle {\frac {\partial e(p)}{\partial p}}=x(p,e(p))}$

1

ここでは簡潔にするため、固定効用レベルは省略する。（１ ）は価格ベクトルにおける偏微分方程式のシステムであり、フロベニウスの定理は行列 ${\displaystyle u_{0}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle D_{p}x(p,w)+D_{w}x(p,w)x(p,w)}$

が対称であれば、解が存在します。上の行列は、私たちが事前に対称であると仮定した代替行列 に過ぎないことに注目してください。したがって、( 1 ) には解が存在し、となるような支出関数を見つけることは（少なくとも理論的には）可能です。 ${\displaystyle S(p,w)}$ ${\displaystyle e(p)}$ ${\displaystyle p\cdot x(p,e(p))=e(p)}$

2番目のステップでは、定義により、

${\displaystyle e(p)=e(p,u_{0})=\min\{p\cdot x:x\in V_{u_{0}}\}}$

ここで である。 の性質により、であることを示すのはそれほど難しくない^{[ 4 ]}。不等式 に代数的な操作を加えると、を用いて元の形に復元することができる。そうすれば、消費者需要 を生み出す効用関数が見つかったことになる。 ${\displaystyle V_{u_{0}}=\{x\in \mathbb {R} _{+}^{L}:u(x)\geq u_{0}\}}$ ${\displaystyle e(p,u)}$ ${\displaystyle V_{u_{0}}=\{x\in \mathbb {R} _{+}^{L}:p\cdot x\geq e(p,u_{0})\}}$ ${\displaystyle p\cdot x\geq e(p,u_{0})}$ ${\displaystyle V_{u_{0}}}$ ${\displaystyle u(x)\geq u_{0}}$ ${\displaystyle u:X\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x(p,w)}$

注記

1. この任意の選択は、効用関数の単調変換において選好が保存されるため効用水準が無意味であるため有効である。

参考文献

1. ロレンツォ・フェルシュトレーテン (2012)。「需要関数の統合性について: Antonelli から Hurwicz-Uzawa まで」(PDF)。ピサ大学。 2019 年 3 月 26 日のオリジナル(PDF)からアーカイブされました。
2. サミュエルソン、ポール(1950). 「効用理論における積分可能性の問題」 .エコノミア. 17 (68): 355– 385. doi : 10.2307/2549499 .
3. レオニード・ハーウィッツ、宇沢弘文 (1971)「第6章 需要関数の積分可能性について」ジョン・S・チップマン、マルセル・K・リヒター、ヒューゴ・F・ゾンネンシャイン（編）『選好、効用、そして需要：ミネソタ・シンポジウム』ニューヨーク：ハーコート、ブレース、ジョバノビッチ、pp.  114– 148。
4. マス・コレル、アンドリュー、ウィンストン、マイケル・D、グリーン、ジェリー・R (1995).ミクロ経済理論. オックスフォード大学出版局. pp.  75– 80. ISBN 978-0195073409。