マーシャルの需要関数

ミクロ経済学において、消費者のマーシャル需要関数（アルフレッド・マーシャルにちなんで名付けられる）は、特定の財に対する消費者の需要量を、その財の価格、消費者の所得、および他の財の価格の関数として表したもので、標準的な需要関数のより技術的な説明である。これは、消費者が所得と価格を与えられた場合に、どのように効用を最大化するかという効用最大化問題の解である。同義語は「非補償需要関数」である。これは、価格が上昇しても、ヒックス需要関数とは異なり、消費者は実質所得の減少に対して名目所得の増加で補償されないためである。したがって、需要量の変化は、代替効果と富の効果の組み合わせである。マーシャル需要は部分均衡理論の文脈ではあるが、一般均衡理論で使用されるように（レオン・ワルラスにちなんで名付けられる） ワルラス需要と呼ばれることもある。

効用最大化問題によれば、価格ベクトルと選択可能な数量ベクトルを持つ財が存在する。消費者は所得を持ち、したがって、手頃な価格のパッケージの 予算集合が存在する。${\displaystyle L}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle B(p,I)=\{x:p\cdot x\leq I\},}$

ここで、価格ベクトルと数量ベクトルの内積である。消費者は効用関数を持つ。${\displaystyle p\cdot x=\sum _{i}^{L}p_{i}x_{i}}$

${\displaystyle u:\mathbb {R} _{+}^{L}\rightarrow \mathbb {R} .}$

消費者のマーシャル需要対応は次のように定義される。

${\displaystyle x^{*}(p,I)=\operatorname {argmax} _{x\in B(p,I)}u(x)}$

顕示的嗜好

マーシャルの理論は、効用の追求は消費者にとって、財やサービスの消費を通じて得られる動機付け要因であると示唆している。消費者の効用の大きさは、特定の財の消費量に依存しており、これは人間の本性に根ざした根本的な傾向であり、限界効用逓減の法則として説明される。

効用最大値は常に存在するため、標準予算セットに対応するすべての値において、マーシャルの需要対応は空であってはいけません。

ユニークさ

${\displaystyle x^{*}(p,I)}$ は対応と呼ばれます。なぜなら、一般には集合値的であるため、同じ最大効用を達成する複数の異なる束が存在する可能性があるからです。場合によっては、価格と所得の状況ごとに、効用を最大化する唯一の束が存在することがあります。その場合、 は関数であり、マーシャル需要関数と呼ばれます。 ${\displaystyle x^{*}(p,I)}$

消費者が厳密に凸な選好を持ち、すべての財の価格が厳密に正である場合、効用を最大化する唯一のバンドルが存在する。^{[ 1 ]：156} これを証明するために、矛盾により、効用を最大化する2つの異なるバンドルおよびがあると仮定する。このとき、 とは等しく好まれる。厳密な凸性の定義により、混合バンドルはよりも厳密に優れている。しかし、これは の最適性と矛盾する。 ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle 0.5x_{1}+0.5x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$

連続

最大値定理は、次のことを意味します。

• 効用関数はに関して連続である。${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle x}$
• 対応は空でなく、コンパクト値を持ち、に関して連続である。${\displaystyle B(p,I)}$ ${\displaystyle p,I}$

は上半連続対応である。さらに、が一意であれば、はおよびの連続関数である。^{[ 1 ] : 156, 506} ${\displaystyle x^{*}(p,I)}$ ${\displaystyle x^{*}(p,I)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle I}$

前の節と合わせると、消費者の選好が厳密に凸型である場合、マーシャル需要は一意かつ連続的である。対照的に、選好が凸型でない場合、マーシャル需要は一意でなく、非連続的となる可能性がある。

均質性

連続効用関数の最適マーシャル需要対応は、次数0の同次関数である。これは、任意の定数に対して${\displaystyle a>0,}$

${\displaystyle x^{*}(a\cdot p,a\cdot I)=x^{*}(p,I).$

これは直感的に明らかです。 とがドルで測定されていると仮定します。、、 がセントで測定された全く同じ量である場合、価格と富がa倍上昇しても、経済主体の購買パターンは一定のままです。明らかに、価格と所得の測定単位が異なっても、需要には影響しないはずです。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a=100}$ ${\displaystyle ap}$ ${\displaystyle aI}$

需要曲線

マーシャル理論は、需要曲線が財の限界価値の逓減を表すという考え方を利用しています。この理論は、消費者の購買決定は、価格と比較した財またはサービスの獲得効用に依存すると主張しています。これは、消費者が得る追加効用が少なくとも価格と同程度でなければならないためです。以下の提案は、要求価格は、消費者が追加の財またはサービス1単位に対して支払うであろう最大価格に等しいと提唱しています。したがって、効用は需要曲線に沿って一定に保たれます。所得の限界効用が一定である場合、または市場需要曲線内の個人間でその値が同じである場合、購入単位の純便益、つまり消費者余剰は、需要価格を加算することによって生み出すことができます。

「価格」と「限界効用＝需要」の交点は、個人の消費の最適レベルを示します。

例

次の例では、商品 1 と 2 の 2 つの商品があります。

1. 効用関数はコブ・ダグラス型である。

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{\alpha }x_{2}^{\beta }.}$

制約付き最適化により、マーシャル需要関数が導かれます。

${\displaystyle x^{*}(p_{1},p_{2},I)=\left({\frac {\alpha I}{(\alpha +\beta )p_{1}}},{\frac {\beta I}{(\alpha +\beta )p_{2}}}\right).}$

2. 効用関数はCES効用関数である。

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=\left[{\frac {x_{1}^{\delta }}{\delta }}+{\frac {x_{2}^{\delta }}{\delta }}\right]^{\​​frac {1}{\delta }}.}$

それから ${\displaystyle x^{*}(p_{1},p_{2},I)=\left({\frac {Ip_{1}^{\epsilon -1}}{p_{1}^{\epsilon }+p_{2}^{\epsilon }}},{\frac {Ip_{2}^{\epsilon -1}}{p_{1}^{\epsilon }+p_{2}^{\epsilon }}}\right),\quad {\text{with}}\quad \epsilon ={\frac {\delta }{\delta -1}}.}$

どちらの場合も、選好は厳密に凸型であり、需要は一意であり、需要関数は連続的です。

3. 効用関数は線形形式をとる：

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2}.}$

効用関数は弱凸関数であり、需要は一意ではありません。つまり、 のとき、消費者は収入を製品タイプ 1 と 2 の間で任意の比率に分割し、同じ効用を得ることができます。 ${\displaystyle p_{1}=p_{2}}$

4. 効用関数は、限界代替率が減少しないことを示している。

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{\alpha }+x_{2}^{\alpha }),\quad {\text{with}}\quad \alpha >1.}$

効用関数は凸型ではなく、需要は連続的ではありません。 のとき、消費者は製品 1 のみを要求し、 のとき、消費者は製品 2 のみを要求します (需要の対応に、製品 1 のみを購入するか、製品 2 のみを購入するかという 2 つの異なるバンドルが含まれる場合)。 ${\displaystyle p_{1}<p_{2}}$ ${\displaystyle p_{2}<p_{1}}$ ${\displaystyle p_{1}=p_{2}}$

参照

• ヒックス需要関数
• 効用最大化問題
• スルツキー方程式
• 派生需要のヒックス・マーシャルの法則

参考文献

1. バリアン、ハル(1992).ミクロ経済分析（第3版）. ニューヨーク: ノートン. ISBN 0-393-95735-7。

• マス・コレル、アンドリュー、ウィンストン、マイケル、グリーン、ジェリー (1995).ミクロ経済理論. オックスフォード: オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-507340-1。
• ニコルソン、ウォルター（1978年）『ミクロ経済理論』（第2版）ヒンズデール：ドライデン・プレス、  90～ 93頁。ISBN 0-03-020831-9。
• シルバーバーグ、E. (2008). 『ヒックス的要求とマーシャル的要求』 ロンドン: パルグレイブ・マクミラン、ロンドン. ISBN 978-1-349-95121-5。
• ジョナサン・レビン、ポール・ミルグロム（2004年10月）「消費者理論」（PDF） 。 2021年4月22日閲覧。
• ウォン、スタンリー (2006). 『ポール・サミュエルソンの顕示選好理論の基礎』（PDF）（改訂版）. ラウトレッジ. ISBN 0-203-34983-0. 2021年4月19日閲覧。