リウヴィルの方程式
力学系におけるリウヴィル方程式については、「リウヴィルの定理 (ハミルトニアン)」を参照してください。
量子力学におけるリウヴィルの方程式については、フォン・ノイマン方程式を参照してください。
ユークリッド空間におけるリウヴィル方程式については、リウヴィル・ブラトゥ・ゲルファンド方程式を参照してください。

リウヴィル方程式は、ジョゼフ・リウヴィル[ 1 ]にちなんで名付けられ、微分幾何学において定曲率曲面を研究する際に生じる非線形偏微分方程式である。この方程式は、曲面を角度を保持したまま平面（ユークリッド）座標系でどのように表現できるかを解明しようとする等角幾何学の理論において中心的な役割を果たしている。

局所座標 で記述された曲面に対し、定数ガウス曲率を持つリーマン計量を割り当てたいとします。このような計量の特に有用な形式は であり、関数 は長さの局所的なスケーリングを決定します。この共形因子が満たす方程式はリウヴィル方程式と呼ばれます。 （×、y）{\displaystyle (x,y)}K{\displaystyle K}f（×、y）2（d×2+dy2）{\displaystyle f(x,y)^{2}(dx^{2}+dy^{2})}f（×、y）{\displaystyle f(x,y)}f{\displaystyle f}

Δ0ログ⁡f＝−Kf2、{\displaystyle \Delta _{0}\log f=-Kf^{2},}

ここで、2次元の 平坦なラプラス演算子です。Δ0＝∂2∂×2+∂2∂y2{\displaystyle \Delta _{0}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}}

この方程式は、平面空間を一定の曲率に変形する方法を規定します。例えば、 のときは球面幾何学を、 のときは双曲幾何学を記述します。関数 は、この曲率 を反映するために、各点において平面計量をどれだけ伸縮させる必要があるかを示します。 K>0{\displaystyle K>0}K<0{\displaystyle K<0}f（×、y）{\displaystyle f(x,y)}

リウヴィル方程式は等温座標の使用と密接に関連しており、等温座標では計量は共形平坦な形をとる。また、共形因子はヴィルティンガー微分を用いて表すことができるため、複素解析にも現れる。

Δ0＝4∂∂z∂∂z¯。{\displaystyle \Delta _{0}=4{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}.}

変数の対数変化により、より一般的に使用される形式の方程式が得られます。 あなた＝ログ⁡f{\displaystyle u=\log f}

Δ0あなた＝−Ke2あなた。{\displaystyle \Delta _{0}u=-Ke^{2u}.}

リウヴィルの方程式は数理物理学（例えば、2次元重力モデル）にも登場し、特定の楕円偏微分方程式の解の滑らかさに関する第19問題の定式化においてデイヴィッド・ヒルベルトによって引用されました。

リウヴィル方程式の他の一般的な形式

変数変換log  f  ↦  uを使用すると、リウヴィルの式の別の一般的な形式が得られます。

Δ0あなた＝−Ke2あなた。{\displaystyle \Delta _{0}u=-Ke^{2u}.}

文献でよく見られる方程式の他の2つの形式[ 2 ]は、前述の変数変換のわずかな変化2 log  f  ↦  uとWirtinger計算を使用することで得られます。[ 3 ]Δ0あなた＝−2Keあなた⟺∂2あなた∂z∂z¯＝−K2eあなた。{\displaystyle \Delta _{0}u=-2Ke^{u}\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {\partial ^{2}u}{{\partial z}{\partial {\bar {z}}}}}=-{\frac {K}{2}}e^{u}.}

注目すべきは、リウヴィルの等式がデイヴィッド・ヒルベルトの第19の問題の定式化において引用されたのは、まさに前述の2つの形式のうち最初の形式であったということである。[ 4 ] [ a ]

ラプラス・ベルトラミ演算子を用いた定式化

より不変な形では、この方程式はラプラス・ベルトラミ演算子を用いて表すことができる。

ΔLB＝1f2Δ0{\displaystyle \Delta _{\mathrm {LB} }={\frac {1}{f^{2}}}\Delta _{0}}

次のように：

ΔLBログf＝−K。{\displaystyle \Delta _{\mathrm {LB} }\log \;f=-K.}

プロパティ

ガウス・コダッツィ方程式との関係

リウヴィル方程式は、計量がホップ微分が となるような等温座標で書かれている場合、3 次元空間への最小浸漬のガウス-コダッツィ方程式と同等です。 z{\displaystyle z}dz2{\displaystyle \mathrm {d} z^{2}}

方程式の一般解

単連結領域Ωにおいて、リウヴィル方程式の一般解は、ヴィルティンガー計算を用いて求めることができる。[ 5 ]その形は次のように与えられる。

あなた（z、z¯）＝ln⁡（4|df（z）/dz|2（1+K|f（z）|2）2）{\displaystyle u(z,{\bar {z}})=\ln \left(4{\frac {\left|{\mathrm {d} f(z)}/{\mathrm {d} z}\right|^{2}}{(1+K\left|f(z)\right|^{2})^{2}}}\right)}

ここでf  ( z )は任意 の有理型関数であり、

応用

リウヴィルの式は、表面の次の分類結果を証明するために使用できます。

定理. [ 6 ]ユークリッド 3 次元空間の曲面において、計量d l 2  =  g ( z ,_z)d z d_zであり、一定のスカラー曲率Kは、局所的に次の式と等長である。

  1. K  > 0の場合は球面。
  2. K  = 0の場合はユークリッド平面。
  3. K  < 0の場合、ロバチェフスキー平面。

参照

注記

  1. ^ヒルベルトはK = -1/2と仮定しているので、この方程式は次の半線形楕円方程式として現れる。
    ∂2f∂×2+∂2f∂y2＝ef{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=e^{f}}

引用

  1. ^ジョゼフ・リウヴィル (1838)。「任意の定数の変動に関する理論」(PDF)。Journal de mathématiques pures et appliquées。3：342～ 349。
  2. ^ ( Dubrovin, Novikov & Fomenko 1992 , p. 118) および ( Henrici 1993 , p. 294) を参照。
  3. ^ ( Henrici 1993、pp. 287–294) を参照。
  4. ^参照 ( Hilbert 1900、p. 288)：ヒルベルトはジョゼフ・リウヴィルを明示的に引用していない。
  5. ^ a b c ( Henrici 1993、p. 294) を参照。
  6. ^ ( Dubrovin、Novikov & Fomenko 1992、pp. 118–120) を参照。

引用文献

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